Docstoc

breviar teoretic tsu cls 8 algebra

Document Sample
breviar teoretic tsu cls 8 algebra Powered By Docstoc
					                  Breviar teoretic,
                 exemple si teste de

          MATEMATICĂ
                        Clasa a VIII-a



Cuprins:

           ALGEBRA                          GEOMETRIE
   1   Numere reale           3        1 Relatii intre puncte, drepte,     15
                                         plane
   2   Functii                 8       2 Proiectii ortogonale pe un plan   21
   3   Ecuatii si inecuatii   11       3 Calcul de arii si volume          24




                                   1
Simboluri MATEMATICE
 Simbolul                  Semnificatia                                Exemplu
              Mulţimea vidă                            Mulţimea care nu are nici un element

              Reuniune                                 2;3;4;5 3;5;6;7
              Intersecţie                              2;3;4;5 3;5;6;7
              Diferenţă                                2;3;4;5 3;5;6;7
              Incluziune                               2;3;4  1;2;3;4;5
              Apartenenţă                              2   ;2;3;4; PAB
                                                             1

              Implicit, echivalent                     x  3  7  3x  2  10

              Rezultă                                  3x  2  8  x  2

              Sumă                                      5

                                                         x  1  2  3  4  5  15
                                                        x 1

              Oricare ar fi                            aZ, 2a este numar par

              Există
                                                        
                                                          m             a            m a
                                                            , m,n0, () astfel încât   1
                                                          n             b            n b
              Aproximativ egal                         125:62  2

              Îl divide                                315
              Se divide                                18  9
              Mai mic sau egal                         2 x  3  10

              Mai mare sau egal                        2 x  3  10

              Tinde, cu valori în …, definită pe…      x   ;       f : A B

              Infinit
                                                        lim
                                                                 1
                                                        x   x  2

               Rădăcina pătrată                            64  8
  [AB]         Segmentul AB

              Congruent, identic                       ABC  MNP ;

              Asemenea                                 ABC  MNP

              Perpendicular                            ABMN

             Paralel                                  AB  MN

              Triunghi                                 ABC
 d  A; MN    Distanţa de la un punct la o dreapta
d P;  ABC  Distanţa de la un punct la un plan
              Numar irrational                           3,15159…




                                                    2
                              ALGEBRA
                     CAPITOLUL:       1. NUMERE REALE
Continutul:    1.1 NZQR
Fie multimea
                           1                   2     16                 
                 A   3;2; ;      8 ;2,15;     ;      ;0;2, (12);5;  
                           2                   5     3                  
  A  N   ;0;5
           2
A  Z   3;2;0;5
              1       2 16             
A  Q   3;2; ;2,15; ;   ;0;2, (12);5
              2       5 3              
                 
A  R  Q   8 ;     
                                  NZZQR

Continutul: 1.2 Reprezentarea numerelor reale pe axa prin aproximari
Faptul ca multimea numerelor reale este compusa Exemplu:
din multimea numerelor rationale si multimea    Sa se reprezinte pe axa numerelor numarul 2 6 .
numerelor irationale, ramane doar sa aratam cum
se reprezinta pe axa un numar irrational.              
                                                      2
                                                 2 6  24 ; 16  24  25  4  2 6  5 .




Continutul:    1.3 Modulul unui numar real
Valoarea absoluta (modulul) a unui numar real             a, daca a  0           26  26
este distanta dintre punctul ce reprezinta            a 
                                                          a, daca a  0          26  26
numarul pe axa numerelor si originea axei, O.


Continutul:    1.4 Intervale de numere reale
                                                  Exemple:
                                                  Interval marginit inchis la stanga si deschis la dreapta
                                                                            [3;7)
                                                  Interval marginit inchis la stanga si la dreapta
                                                                           [2;5]
                                                  Interval marginit deschis la stanga si la dreapta
                                                                           (3;6)
                                                  Interval marginit inchis la stanga si nemarginit la
                                                  dreapta               [2;+)
                                                  Interval nemarginit la ambele capete, R
                                                                     (;+) sau R




                                                  3
Continutul: 1.5 Operatii cu numere reale
Adunarea si scaderea                                    Exemplu:
Pentru a efectua adunarea sau scaderea numerelor                           3
                                                                                              3)     3)
                                                                                                 5 3 8
                                                                                                             2)

rationale este necesar a parcurge urmatorii pasi:              7  2,5   2, (6) 6) 7                        
                                                                           2                     2 2 3
 Se transforma fractiile zecimale in fractii
                                                                   42  15  9  16 34
                                                                                             (2
  ordinare;                                                                                        17
                                                                                                .
 Se aduc fractiile la acelasi numitor;                                    6             6          3
 Se efectueaza adunarea/scaderea.
Proprietatile adunarii:
                        Adunarea este comutativa:             a + b = b + a.
                        Adunarea este asociativa:             a + b + c = (a + b) + c.
                        Elementul neutru al adunarii este 0: a + 0 = a.
                        Pentru orice a exista opusul lui astfel incat: a + (-a) = 0
Inmultirea                                              Exemplu:
 La inmultirea unui numar intreg cu o fractie, se                      7 12  7 84
                                                                                           (6
                                                                                                  14
  inmulteste numarul intreg cu numaratorul fractiei,          a) 12                          .
                                                                       18       18     18          3
  numitorul ramanand neschimbat;
 Se transforma fractiile zecimale in fractii
                                                                           6 14 6 14  6 84
                                                                                                          ( 21
  ordinare;                                                   b) 4, (6)                                     4.
 La inmultirea a doua fractii ordinare se inmultesc                       7 3 7 3  7 21
  numaratorii intre ei si numitorii intre ei.
Proprietatile inmultirii:
                        Inmultirea este comutativa:                a  b = b  a;
                        Inmultirea este asociativa:                a  b  c = (a  b)  c;
                        Elementul neutru al inmultirii este 1: a  1 = a;
                        Inmultirea este distributiva fata de adunare sau scadere: a  ( b + c ) = a b + a c
Impartirea                                              Exemplu:
 La impartirea a doua numere rationale se                    25 5 25 24 25  24 600
                                                                                                        ( 30
                                                                                                                  20
  inmulteste primul numar cu al doilea inversat.                 :                                          .
                                                             18 24 18 5                18  5       90             3

                                                                       F1       F2       P                                                                                       D       I      C
Tabelul inmultirii semnelor:                                           +        +        +               Tabelul impartirii semnelor:                                            +       +      +
                                                                       +                                                                                                       +             
                                                                               +                                                                                                      +      
                                                                                       +                                                                                                    +
Ridicarea la putere                                                                                      Exemplu:
,,Puterea este o inmultire repetata”                                                                                                 25  2  2  2  2  2  32
                       a n  a  a  a  ...  a                                                                                                 2               2
                                                                                                                                         2            3  9
                                                                                                                                                      
                                                                                                                                          3          2   4
                                                         1
                                a m 
                                                        am
Operatii cu                     1a = 1;                                                                                               am  an = am+n ;
                                           1
puteri:                         a = a;                                                                                                am : an = am-n ;
                                a0 = 1, daca a  0;                                                                                   (am)n = amn ;
                                0 = 0, daca a  0;
                                           a
                                                                                                                                       (ab)m = ambm .
 Intr-un exercitiu de calcul aritmetic ce contine mai multe operatii cu numere reale se efectueaza mai intai ridicarile la puteresi scoaterea factorilor de sub radicali, apoi inmultirile si impartirile in
   ordinea in care sunt scrise si apoi adunarile si scaderile, la fel, in ordinea in care sunt scrise.
 In exercitiile de calcul aritmetic care contin paranteze se efectueaza mai intai calculele din parantezele mici (rotunde), apoi cele din paranteze mari (drepte) si apoi cele din accolade.
Daca in fata unei paranteze ce contine un numar real sau o suma/diferenta de numere reale se afla simbolul ,,”, atunci se poate elimina semnul si paranteza, scriind numerele din paranteza cu
semnul schimbat.
                                                                                                     4
Continutul:      1.6 Rationalizarea numitorului de forma a b sau a  b unde a, b  N * .
                                     n)                                         5)
                                           a   a n                                       3       3 5 3 5
Rationalizarea numitorului:                       .       Exemplu:                                     .
                                          m n mn                                    2 5         25   10
Rationalizarea numitorului:                                Exemplu:
m n )                                                         2 5 )
           a    a(m  n )                                                 3    3(2  5 ) 6  3 5
                         .                                                                     3 5 6 .
         m n     m2  n                                                2 5     22  5     1

Continutul: 1.7 Operatii cu numere reprezentate prin litere (calcul algebric)
Termenii de forma cl unde c, numit           Exemple:
coeficientul termenului, reprezinta un       1) Perechi de termeni asemenea: 2 xy 2 si 5 xy 2 ;
numar, iar, l, partea literala a termenului,     5 x 2 y 3 si  4 x 2 y 3 .
este formata din numere reprezentate prin
litere, eventual, cu diversi exponenti, ii   2) Adunarea: 3xy  2 xy 2  5 xy  4 xy 2  8 xy  2 xy 2 .
numim termeni asemenea daca partile lor      3) Inmultirea: 3x   2 xy 2   4 x 2 y   24 x 4 y 3 .
literale sunt identice, iar adunarea lor se  4) Impartirea: 28 x 4 y 5 : 7 x 3 y 3   4 xy 2 .
numeste reducerea termenilor asemenea.                                                    3
                                                                                             
                                             5) Ridicarea la o putere:  2 x 2 yz 3  8x 6 y 3 z 9 .   
Continutul: 1.8 Formule de calcul prescurtat
Formule utilizate:                                         Exemple:
1) Produsul dintre un numar si o suma/diferenta:           1) 2 x x  3  2 x 2  6 x
   a b  c   ab  ac
                                                           2) 2 x  1  4 x 2  4 x  1
2) Patratul unui binom:                                                     2

   a  b 2  a 2  2ab  b 2
3) *Patratul unui trinom:
   a  b  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  ac  bc                               2
                                                           3) x 2  2 x  3  x 4  4 x 3  10x 2  12x  9
4) Produsul sumei cu diferenta:
   a  ba  b  a 2  b 2                              4) 3x  53x  5  9 x 2  25
5) Produsul a doua paranteze:
   a  bm  n   am  n   bm  n                  5)  x  2 x  5  x 2  3x  10


Continutul:      1.9 Descompuneri in factori
Formule utilizate:                                                                       Exemple:
1) Scoaterea factorului comun: ab  ac  a b  c                                       1) 15 x 2  25 x  5 x 3x  5 ;
2) Restrangerea patratului unui binom: a 2  2ab  b 2  a  b                         2) 9 x 2  24 x  16  3x  4  ;
                                                                        2                                                    2


3) Diferenta de patrate: a 2  b 2  a  b a  b                                     3) 4 x 2  y 2  2 x  y 2 x  y  ;
4) Descompunerea unui trinom de forma: x 2  mx  n ; daca
   a  b  n si a  b  m a, b  Z                                                       4) x 2  x  12  x  3x  4  .
     atunci: x 2  mx  n   x  a  x  b  .

Continutul: 1.10 Rapoarte de numere reprezentate prin litere
Raport de numere reprezentate prin litere este        Exemple:
raportul a doua numere reale reprezentate prin litere 2x x  y x 2  9    2x
cu conditia ca numitorul sa fie diferit de zero.         ;     ;       ;     cu conditia ca x  0 .
                                                       3   5      4      x2

                                                       5
Continutul:   1.11 Operatii cu rapoarte de numere reprezentate prin litere
                                              x 2 )
                   m mk                                      3 x ( x  2)   3x 2  6 x
                k)
                                                      3x
a) Amplificarea                     Exemplu:                               2         .
                   n nk                             x  2 ( x  2)( x  2)   x 4
                                                                                       x2  4x  4
                         (k
                  m      m:k
b) Simplificarea                                Exemplu: Sa se simplifice raportul:               ; se
                  n       n:k                                                             x2  4
 pentru a simplifica un raport de               descompun in factori termenii raportului si dupa aceea se
fapt se cauta c.m.m.d.c. al termenilor           simplifica.
                                                                  x  2
raportului dat.                                                                 ( x 2
                                                 x2  4x  4                       x2
                                                                            2
                                                                                       .
                                                    x 4
                                                     2
                                                               x  2x  2      x2
c) Adunarea sau scaderea                         Exemplu:
                                                 3x       2      x 2 )
                                                                         3x     2            3x 2  6 x  2
                                                                                                        
                  p (k : n )  m  (k : q)  p
k :n )     k :q )
       m
                                               x  2 x2  4      x  2 ( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2)
       n          q              k                  3x 2  6 x  2
Unde k este c.m.m.m.c. al lui n si q.                              .
                                                   ( x  2)( x  2)
                  m p m p                                       x x2         x ( x  2)    x2  2x
d) Inmultirea                                  Exemplu:                                  2      .
                  n q nq                                      x  3 x  3 ( x  3)( x  3)   x 9
                  m p m q mq                    Exemplu:
e) Impartirea      :   
                  n q n p n p                    x 1 2x  2 x 1 x  2       ( x  1)( x  2)    x2
                                                      :                                               .
                                                 x2 x2       x  2 2 x  2 ( x  2)  2( x  1) 2 x  4
                                  a                                     2
                       m  ma                             x          x2       x2
f) Ridicarea la putere    a                   Exemplu:                  2          .
                       n  n                              x 1   ( x  1)2 x  2 x  1




                                                               6
                                    LUCRARE DE VERIFICARE CLASA a VIII-a
                                             NUMERE REALE
     Toate subiectele sunt obligatorii.
     Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
     Se acorda 10 puncte din oficiu.
SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.
                                                   1
                                       1 1   1  este egal cu ….
4p 1. a) Rezultatul calculului      
                                       2 6   3
4p    b) Media aritmetica a numerelor 7 si 19 este egala cu ….
4p    c) Media geometrica a numerelor 3 si 12 este egala cu ….
4p 2. a) Scrisa sub forma de interval multimea A  x  R  2  x  3 este A = …..
4p    b) Dintre numerele a  2 14 si b  3 6 este mai mare numarul ….
                                                              12
4p         c) Prin rationalizarea numitorului, fractia           este egala cu ….
                                                               6
4p 3. a)         7 x  2 x  x  : 2 x  este egal cu ….
4p    b)          x  2 2 este egal cu ….
4p         c)        5 3           
                                  5  3 este egal cu ….
4p 4. a) Forma descompusa a expresiei x 2  6 x  9 este egala cu …
4p    b) Forma descompusa a expresiei x 2  9 este egala cu …
                               x2    1
6p    c) Rezultatul calculului           pentru x  1 , este egal cu ….
                               x 1 x 1

SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.
    1.    Fie intervalele de numere reale I1  [4;3) si I 2  ( 1;5]
5p     a) Sa se calculeze I1  I 2 .
5p     b) Sa se afle numerele intregi din I1  I 2 .

      2.                                          
                                                   2
                     Fie numerele A  2 3  5 si B  1  2 3 .         2


5p          a)       Sa se calculeze A B.
5p          b)       Sa se calculeze A B.
                                             3x  4  6x    2x  x  2
      3.             Fie expresia E ( x )       2           :        .
                                             x2 x 4 x2          3
5p          a)       Aflati x  R pentru care expresia data este definita.
10p         b)       Aduceti expresia la forma cea mai simpla.
                                                                                  3
5p          c)       Determinati x  Z astfel incat E ( x )  Z unde E ( x )        .
                                                                                 x2




                                       CAPITOLUL:            2. FUNCTII

                                                              7
Continutul: 2.1 Notiunea de functie
Daca fiecarui element din multimea A îi corespunde un element din         Exemplu:
multimea B spunem ca este definite o functie pe A cu valori în B.          f :  2;0;1;2;3  R, f ( x )  x  3
Se noteaza: f : A  B.
A = domeniul de definitie,
B = codomeniul functiei.

Continutul: 2.2 Functii definite pe multimi finite, exprimate prin diagrame, tabele, formule, grafice
                           7
                           6                            x   -1    0   2   3 5
                           5
                           4
                                                        y   1     2   4   5 7
                           3
                           2
                           1
                           0
                               -1   0    2    5              f(x) = x + 2


Continutul:   2.3 Functii de tipul f:RR, f(x) = ax + b
                                   Exemplu:
                                                                                                12 x 17
                                        Sa se construiasca graficul functiei f:RR, f ( x )         ;
                                                                                                 11 11

                                                                 72 17 55
                                        Pentru x  6  f (6)                  5  A(6;5) ;
                                                                 11 11 11
                                                                     60 17  77
                                        Pentru x  5  f ( 5)                     7  B( 5;7) ;
                                                                     11 11        11
                                        Graficul functiei este o dreapta ce trece prin punctele A si B.



Continutul:   2.4 Functii de tipul f:AR, f(x) = ax + b, unde A este un interval de numere reale
                                        Exemplu:
                                        Sa se construiasca graficul functiei f:[-2;4)R, f ( x )  3x  2 ;

                                        Pentru x  2  f ( 2)  6  2  8  A( 2;8) ;
                                        Pentru x  4  f (4)  12  2  10  B(4;10) ;
                                        Graficul functiei este un segment de dreapta ce uneste punctele A si
                                        B, inchis in A si deschis in B.

                                        * Daca multimea A este un interval de numere marginit la o extrema
                                        si nemarginit la cealalta extrema, atunci graficul functiei este o
                                        semidreapta cu originea in extrema marginita a intervalului.



Continutul:   2.5 Determinarea functiilor in anumite conditii date
   a) Sa se determine functia f:RR, f(x) = 3x + b stiind ca punctul A(1;5) apartine graficului functiei
       date.
Rezolvare:
Din A(1;5) f (1)  5 ; Dar f (1)  3 1  b  3  b  3  b  5  b  2  f ( x)  3x  2.




                                                        8
   b) Sa se determine functia f:RR, f(x) = ax + b stiind ca punctele A(2;1) si B(4;3) apartin
       graficului functiei date.
Rezolvare:
Din A(2;1) f (2)  1 ; Dar f (2)  2a  b  2a  b  1.
Din B(4;3) f (4)  3 ;     Dar f (4)  4a  b  4a  b  3.
     2a  b  1  a  2
                               f ( x )  2 x  5.
      4a  b  3       b  5
     c) Sa se determine functia f:RR, f(x) = ax + b stiind ca f  f x   2 f x  1  24 x  78
Rezolvare:
 f  f x   aax  b  b  a 2 x  ab  b;
2 f x  1  2ax  1  b  2ax  a  b  2ax  2a  2b
 a 2 x  ab  b  2ax  2a  2b  24 x  78
 (a 2  2a ) x  ab  2a  3b  24 x  78
                                                                        a 4
 a 2  2a  24  a 2  2a  1  25  a  1  25  a  1  5   1
                                             2
                                                                                 ;
                                                                        a2  6
                          pentru a1  4  b1  10          f ( x )  4 x  10
Din ab  2a  3b  78                                 1
                          pentru a2  6  b2  30        f 2 ( x )  6 x  30

Continutul:     2.6 Diverse probleme de functii
Fie f:RR,                   Fie f:RR,                      Fie f:RR,                  Fie f:RR,
f(x) = 2x  6.                f(x) = 2x  6.                  f(x) = 2x  6.              f(x) = 2x  6.
Sa se afle aria              Sa se afle distanta de la       Sa se afle tangenta         Sa se afle coordonatele
triunghiului determinat      originea sistemului xOy         unghiului dintre graficul   punctului de intersectie
de graficul functiei si      la graficul functiei.           functiei si axa Ox.         dintre graficul functiei f
cele doua axe ale                                                                        si cel al functiei
sistemului ortogonal         Pentru x = 0, f(0) = -6         Pentru x = 0, f(0) = -6     g(x) = x + 1.
xOy.                          A(0;-6);                       A(0;-6);
                             Pentru x = 3, f(3) = 0         Pentru x = 3, f(3) = 0     Se rezolva ecuatia:
Pentru x = 0, f(0) = -6      B(3;0).                         B(3;0).                      f ( x)  g ( x)
 A(0;-6);                                                                               2x  6  x 1
Pentru x = 3, f(3) = 0                                                                  2x  x  1 6
B(3;0).
                                                                                         x7
                                                                                         f (7)  14  6  8
                                                                                          I (7;8)



                             AB2  AO2  BO2                        AO 6
                                                             tg       2
                              36  9  45                           OB 3
           AO  BO
AAOB                      AB  45  3 5.
             2
    63                          AO  BO
        9.                 d          
     2                             AB
                               63 6 5
                                       .
                               3 5     5




                                                         9
              LUCRARE DE VERIFICARE CLASA a VIII-a
                           FUNCTII

   Toate subiectele sunt obligatorii.
   Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
   Se acorda 10 puncte din oficiu.
                                      10
SUBIECTUL I (45 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.
7p 1. a) Fie f:{1;2;4}B, f(x) = x + 1; B = {………}
10p   b) Fie f:A{1;3;4}, f(x) = x  1; A = {………}
7p    c) Daca f(x) = 2x + 3, atunci f(3) = ……
7p 2. a) Fie f ( x)  2 x  3 si A(a;a)Gf, atunci a = …..
7p    b) Fie f ( x )  3x  1 si A(a;10)Gf, atunci a = …..
7p    c) Care din tabelele urmatoare descrie o functie?

               a)    -2       0     1    6                       b)   -1       0   4    -1
                     -3       -1    0    5                            2        3   6    2

 SUBIECTUL II (45 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.
    1.    Fie functia f : R  R , f ( x)  ax  a  b
10p    a) Determinati functia f daca A(1;5) si B(-1;1) apartin graficului functiei
          date.
5p     b) Daca f ( x)  2 x  3 si C(3m;m) apartine graficului lui f, aflati m.
    2.    Fie functia f : R  R , f ( x)  3x  6 .
5p     a) Construiti graficul functiei f.
5p     b) Aflati coordonatele punctului de intersectie al graficelor functiilor f si
               g ( x)  4 x  7
      3.       Fie functia f ( x ) 
                                       4x
                                          4.
                                        3
5p         a) Construiti graficul functiei date.
10p        b) Aflati aria triunghiului determinat de graficul functiei f si cele doua axe
              ale sistemului xOy.
5p         c) Aflati distanta de la punctul O (originea sistemului xOy) la dreapta ce
              reprezinta graficul functiei f.




              CAPITOLUL:           3. ECUATII SI INECUATII
Continutul: 3.1 Ecuatii de forma ax + b = 0, unde a si b sunt numere reale
• Propozitia cu o variabila de forma ax + b = 0 se numeste       Exemplu:
  ecuatie cu o necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.              3x  3  x 2  2
• Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un
                                                                        3x  x 2  2  3
  membru in alt membru cu semnul schimbat.
• Intr-o ecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti egalitatea                     
                                                                       x 3 2   3 2        
  cu un numar diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru                   (3  2 )
  eliminarea numitorilor si la final aflarea necunoscutei.            x                  1 .
                                                                                 3 2


                                                 11
Continutul: 3.2 Ecuatii de forma ax + by + c = 0 unde a, b, c sunt numere reale, a si b  0
Ecuatia de forma ax + by + c = 0 unde a, b, c
sunt numere reale, a si b  0 in multimea numerelor
reale are o infinitate de solutii.
Din ax + by + c = 0 se poate evidentia o
necunoscuta in functie de cealalta necunoscuta.
Exemplu: Fie ecuatia 2 x  3 y  1 .
        1 3y
x             ; dam mai multe valori lui y pentru a
           2
afla valorile lui x si le trecem intr-un tabel:
           x -4 -1 2 5 8 11
           y -3 -1 1 3 5                    7
Daca reprezentam multimea solutiilor acestei
ecuatii intr-un sistem ortogonal aceasta va fi o
dreapta.
Fie punctele A(-4;-3) si B(5;3) care sunt solutiile
ecuatiei. Le reprezentam si construim dreapta AB
(vezi figura din dreapta).

                                                a1 x  b1 y  c1  0
Continutul:    3.3 Sisteme de ecuatii de forma                       , rezolvarea prin metoda reducerii
                                               a2 x  b2 y  c2  0
    Metoda reducerii:                                   Exemplu:
 Se alege o necunoscuta cu scopul de a fi ,,redusa”     2 x  y  5  2  4 x  2 y  10
  si se identifica coeficientii sai;                                     
 Se afla c.m.m.m.c. al coeficientilor si se             3x  2 y  3    3x  2 y  3
  inmultesc ecuatiile astfel incat sa se obtina                              7x         7  x  1;
  coeficientii necunoscutei numere opuse;                    2x  y  5 3          6 x  3 y  15
 Se aduna ecuatiile si se obtine o ecuatie cu o                                  
  singura necunoscuta, dupa care se rezolva;                3x  2 y  3   2   6 x  4 y  6
 La fel se procedeaza cu cealalta necunoscuta.                                              7 y  21
                                                                        x 1
                                                             y  3 
                                                                        y  3




                                                a1 x  b1 y  c1  0
Continutul:    3.4 Sisteme de ecuatii de forma                       , rezolvarea prin metoda substitutiei
                                               a2 x  b2 y  c2  0
    Metoda substitutiei:               Exemplu:
 Se afla dintr-o ecuatie o              2x  y  5
  necunoscuta in functie de cealalta                     din 2 x  y  5  y  5  2 x ;
                                         3x  2 y  3
  necunoscuta;
 Se introduce valoarea acestei        Introducem pe y  5  2 x in 3x  2 y  3  3x  25  2 x   3
  necunoscute in cealalta ecuatie si    3x  10  4 x  3  7x  7  x  1
  se rezolva ecuatia;                                                                          x 1
 Se afla cealalta necunoscuta.        Introducem pe x  1 in y  5  2 x  y  5  2 1  3          .
                                                                                                 y3

                                                       12
                                                a x  b1 y  c1  0
Continutul:    3.5 Sisteme de ecuatii de forma  1                   , interpretarea geometrica
                                               a2 x  b2 y  c2  0
Multimea solutiilor in R a ecuatiei de forma                                     x y 3
ax  by  c  0 , reprezentate geometric este o          Exemplu: Fie sistemul 
                                                                                4 x  y  2
dreapta. Daca avem un sistem de doua ecuatii cu
                                                         a) Sa reprezentam geometric ecuatia x  y  3
doua necunoscute, reprezentarea geometrica a
solutiilor celor doua ecuatii vor fi doua drepte care            x  0  y  3  A(0;3)
                                                         Daca                 
se vor intersecta intr-un punct al carui coordonate              y  0  x  3  B(3;0)
vor fi chiar solutia sistemului.                         b) Sa reprezentam geometric si ecuatia 4 x  y  2
                                                                x  0  y  2      C (0;2)
                                                         Daca                   
                                                                y  0  x  0,5  D(0,5;0)
                                                         c) Se observa ca cele doua drepte se intersecteaza
                                                         in punctul S(1;2)  S  x  1; y  2.

                                                         Observatie: Nu in toate cazurile putem prin aceasta
                                                         metoda sa rezolvam un sistem de doua ecuatii cu
                                                         doua necunoscute.




Continutul: 3.6 Ecuatia de forma ax2 + bx + c = 0, a, b, c  R, a  0
Rezolvarea ecuatiei de gradul doi, de forma
                                   ax2 + bx + c = 0, a, b, c  R, a  0
Discriminantul ecuatiei:   b2  4ac ; Daca:
  0, ecuatia are doua solutii reale diferite; x1  x2  R.
  0, ecuatia are doua solutii reale egale; x1  x2  R.
  0, ecuatia are doua solutii imaginare diferite; x1  x2  C.
                                                                  b 
                                      Solutia ecuatiei: x1, 2 
                                                                    2a
Exemplu:             Fie ecuatia: x2  2x  3 = 0;
Se identifica coeficientii ecuatiei:         a = 1; b = 2; c = 3.
  b  4ac   2   4  1   3  4  12  16 .
        2            2


                                                      24 6
         b     2   16 2  4               x1  2  2  3
x1, 2                                     
           2a          2 1           2                 24 2
                                                  x2            1
                                                        2     2

Continutul: 3.7 Inecuatii de forma ax + b > 0, a, b  R, a  0.
Propozitia cu o variabila de forma ax + b > 0 se numeste inecuatie cu o                Exemplu:
necunoscuta, unde a si b sunt numere reale.
Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de a trece termeni dintr-un membru in alt             5x  21  8x  6
membru cu semnul schimbat.                                                               5x  8x  6  21
Intr-o inecuatie avem ,,dreptul” de inmulti/imparti inegalitatea cu un numar             3x  15: (3)
diferit de zero. Procedeul este utilizat pentru eliminarea numitorilor si la final
aflarea necunoscutei.                                                                    x  5
Daca o inecuatie se va inmulti/imparti cu un numar negativ atunci sensul                x   5; 
inegalitatii se schimba.


                                                        13
Continutul: 3.8 Probleme ce se rezolva cu ajutorul ecuatiilor, inecuatiilor si a sistemelor de ecuatii
Etapele de rezolvare a unei probleme:
    1. Stabilirea datelor cunoscute si a celor necunoscute din problema.
    2. Alegerea necunoscutei (necunoscutelor) si exprimarea celorlalte date necunoscute in functie de
        aceasta (acestea).
    3. Alcatuirea unei ecuatii (sistem de ecuatii) cu necunoscuta (necunoscutele) aleasa (alese), folosind
        datele problemei.
    4. Rezolvarea ecuatiei (sistemului de ecuatii).
    5. Verificarea solutiei.
    6. Formularea concluziei problemei.
                                                                                                1
Exemplul 1(ecuatie): Un calator parcurge un drum in 3 zile astfel: in prima zi parcurge din drum, a
                                                                                                3
                   3
doua zi parcurge din rest iar a treia zi ultimii 40 de km. Aflati lungimea totala a drumului.
                   5
Rezolvare: Stabilim necunoscuta principala – lungimea totala a drumului, pe care o notam cu x;
                        x                            2x                        3 2x 2x
In prima zi a parcurs:     ; i-au ramas de parcurs      ; a doua zi a parcurs               ;
                        3                             3                        5 3       5
                                                             5)   3)
                     x 2x                                       x 2 x 15)
Avem ecuatia: x             40 pe care o rezolvam: 15) x           40  15  15x  5x  6x  600
                     3 5                                        3    5
                                               600
 15x  5x  6x  600  4 x  600  x               150km care este lungimea totala a drumului.
                                                4
Exemplul 2 (inecuatie): Sa se gaseasca trei numere naturale consecutive a caror suma este mai mica
decat 16.
Rezolvare: Stabilim necunoscuta principala – numarul cel mai mic pe care il notam cu x;
Celelalte doua numere vor fi x + 1 si x + 2 inecuatia: x  x  1  x  2  16 pe care o rezolvam:
                                 13
3x  3  16  3x  13  x   solutiile: (1;2;3), (2;3;4), (3;4;5), (4;5;6).
                                  3
Exemplul 3 (sistem de doua ecuatii): Doua creioane si noua carti costa impreuna 80 de lei. Daca 5
creioane si 4 carti costa impreuna 42 de lei, aflati pretul unui creion si a unei carti.
Rezolvare: Stabilim necunoscutele problemei: pretul unui creion = x si pretul unei carti = y.
                                    2 x  9 y  76                        2 x  9 y  76  4
Se formeaza sistemul de ecuatii:                   pe care il rezolvam: 
                                    5x  4 y  42                        5 x  4 y  42  ( 9)
     8 x  36 y  304
  45x  36 y  378  x = 2 lei (pretul unui creion).
    
     37 x        74
Introducem valoarea lui x in prima ecuatie: 2  2  9 y  76  9 y  76  4  9 y  72  y  8 lei (pretul
unei carti).




                       LUCRARE DE VERIFICARE CLASA a VIII-a
                              ECUATII SI INECUATII

     
     Toate subiectele sunt obligatorii.
     
     Timpul efectiv de lucru este de 100 minute.
     
     Se acorda 10 puncte din oficiu.
SUBIECTUL I (50 puncte) – Pe lucrare se trec numai rezultatele.
5p 1. a) Solutia ecuatiei 2 x  5  9 este x = ……..
                                                     14
                            x 3
             Solutia ecuatiei  este x = ……..
5p       b)                 8 2
5p       c) Daca solutia ecuatiei ax  a  9 este 2, atunci numarul real a este egal cu
             ….
                                x  y  9
          Solutia sistemului              este x = …. si y = ……
5p 2. a)                        x  y 1
5p     b) Se considera ecuatia 3x  2 y  7  0 . Determinati o solutie particulara
          ecuatiei.
5p     c) Solutiile in N ale inecuatiei 2x  1  3 , sunt ….
10p 3. a) Ecuatia x 2  4 x  m  0 are solutii reale daca m  .......
5p     b) Solutiile ecuatiei x 2  25  0 sunt …..si…….
5p     c) Solutiile ecuatiei x 2  3x  0 sunt …..si……

 SUBIECTUL II (40 puncte) – Pe lucrare scrieti rezolvarile complete.
5p 1. a) Rezolvati ecuatia x  2x  3x  ...  199x  39800.
          Rezolvati ecuatia x 1  20  21  22  23  ... 299   2102.
10p    b)
    2.    Un triunghi dreptunghic are laturile egale cu x  2 , x  10 si x  6 .
          Sa se afle perimetrul triunghiului.
5p     a)
5p     b) Daca un triunghi dreptunghic ar avea catetele de x  2 si x  6 aflati
          valoarea lui x stfel incat aria lui sa fie egala cu 16.
    3.    Un bloc are 10 apartamente cu 2 si cu 3 camere.
5p     a) Cate apartamente cu 2 camere sunt in bloc daca in total sunt 26
          camere.
10p    b) Un alt bloc are apartamente la fel cu 2 si cu 3 camere. Aflati numarul
          posibil de apartamente cu 3 camere daca in total sunt 27 camere.




                                             15

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:742
posted:3/5/2010
language:Romanian
pages:15