Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak by itb15368

VIEWS: 1,402 PAGES: 8

									                                                    BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                                     Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.



Bentuk umum persamaan aljabar linear serentak :
a11 x1 + a 12 x2 + ........ + a 1n xn = b 1                                                  x  b 
                                                             a11    a12   .........   a1n   1  1
                                                                                             x   b 2 
a21 x1 + a 22 x2 + ........ + a 2n xn = b 2                 a21     a22   .........   a2n   2 
                                                                                                
                                                                                              . = . 
                                                             .                          
.                                                                                        .   . 
.                                                           an1
                                                                    an2   ......... ann     
                                                                                           x  b 
                                                                                            n   n
an1 x1 + a n2 x 2 + ........ + ann xn = b n
dimana a adalah koefisien-koefisien konstan ta, b adalah konstanta-
konstanta dan n adalah banyaknya persamaan.

Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan cara :
1. Eliminasi     è Eliminasi Gauss, Gauss Jordan.
2. Iterasi       è Iterasi Jacobi, Gauss siedel.
3. Dekomposisi è Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky.


1. Eliminasi Gauss
è Eliminasi bilangan unknown dengan menggabungkan persamaan-
    persamaan.
Strategi : mengalikan persamaan dengan konstanta agar salah satu
           bilangan unknown akan tereliminasi bilamana dua
           persamaan digabungkan.
Kebutuhan : pemahaman Operasi Matrik
Skema langkah eliminasi Gauss

                 a11 a12      a13   x 1      b1                …… (E1)
                                                               …… (E2)
                 a 21 a 22    a 23  x 2  =   b 2 
                 a 31 a 32
                              a 33  x 3 
                                     
                                                 b 
                                                  3                …… (E3)

                            Forward
                           Elimination

                 a11 a12      a13   x 1        b1 
                                                              Upper Triangular
                  0 a'22      a'23  x 2  =    b '2               System
                  0
                      0       a' '33  x 3 
                                       
                                                  b'' 
                                                   3

                              Back
                           Substitution

                          x3   = b’’3 / a’’33
                     x2   = (b’2- a’ 23 x3) / a’22
                  x1 = (b 1 - a 12 x2 - a13 x3) / a 11


Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                                                     8
                                                            BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                                             Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.



J Langkah eliminasi maju :
1. Eliminasikan x1 dari (E 2) dan (E 3), asumsi a11 ≠ 0

       e    m21 = a21 ; m31 = a31
                        a11                  a11
       e    kurangkan (m21 x (E 1)) pada (E 2) dan kurangkan (m 31 x (E 1)) pada
            (E 3), sehingga :
                      a11 x 1      + a 12 x 2      + a 13 x3              = b1
                                      a’22 x 2     + a’23 x 3             = b’2
                                      a’32 x 2     + a’33 x 3             = b’3
NB :    tanda petik satu berarti persamaan telah dimodifikasi satu kali.
2. Eliminasikan x2 dari (E 3), asumsi a22 ≠ 0

       e    m32 = a'32
                        a'22
       e    kurangkan (m32 x (E 2)) pada (E 3), sehingga :
       a 11 x1        + a 12 x 2   + a 13 x 3      = b1
                        a’22 x2    + a’23 x 3 = b’2
                                      a’’33 x3 = b’’ 3
NB :        tanda petik dua berarti persamaan telah dimodifikasi dua kali.

J Langkah substitusi mundur :
                 x3    =    b’’ 3 / a’’ 33
                                                         (n- 1)
Sehingga dapat dirumuskan :                        xn = bn
                                                          a(n- 1)
                                                           nn

Untuk menghitung x sisanya :
        x2 = (b’2 - a’ 23 x 3) / a’22
                 x1    =    (b 1 - a 12 x2 - a 13 x3) / a11

                                                                      n
                                                          b(i - 1) − ∑ a(i - 1)x j
                                                           i            ii
Sehingga dapat dirumuskan :                        xi =             j = i +1

                                                                  a(i - 1)
                                                                   ii

                           dengan i = n – 1, n – 2 , …. , 1
NB :        Persamaan (E 1) disebut Pivot Equation, a 11 disebut koefisien Pivot
            dan operasi perkalian baris pertama dengan a 21/a 11 disebut
            sebagai Normalisasi.

Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                                              9
                                          BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                           Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.



Untuk kemudahan dapat dipakai matrik dalam bentuk kombinasi yang
disebut dengan Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).
                      a     a12 a13 b1
                       11             
                      a21   a22 a23 b2
                      a     a32 a33 b3
                       31             

Masalah è        harus menghindari pembagian dengan nol, sehingga
                 muncul sebutan untuk metode ini yaitu Eliminasi Gauss
                 Naif.

Teknik untuk memperbaiki penyelesaian Eliminasi Gauss :
1. Pivoting
   Ø Sebelum tiap baris dinormalkan, maka dilakukan penentuan
       koefisien terbesar yang tersedia. Kemudian baris-baris tersebut
       dipertukarkan sehingga elemen terbesar tersebut merupakan
       elemen pivot.
2. Scaling
   Ø berguna dalam peminimalan galat pembulatan untuk kasus
       dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien -koefisien yang
       jauh lebih besar dari lainnya.

Contoh soal :
     Selesaikan persamaan simulta n berikut ini.

       27 x1 + 6 x2 – x 3 = 85 ….. (1a)
        6 x1 + 15 x 2 + 2 x3 = 72 ….. (1b)
          x1 + x2 + 54 x 3 = 110 ….. (1c)

Penyelesaian :

Pakai matrik dalam bentuk Augmented Matrix (matrik yang diperbesar).

27 6 - 1 85                     27    6     -1    85 
                                                       
 6 15 2 72  E 2 - 6/27 E 1       0 13,667 2,222 53,111 
 1 1 54 110 E 3 - 1/27 E 1
                                 0 0,778 54,037 106,852
                                                         

                       27   6      -1     85 
                                              
                        0 13,667 2,222 53,111 
E 3 – 0,778/13,667 E 2  0
                            0                 
                                  53,911 103,829
                                               

dengan menggunakan substitusi mundur akan diperoleh x1, x 2, dan x3.

Ü x3 = 103,829 / 53,911 = 1,926
Ü 13,667 x2 + 2,222 x 3 = 53,111 à x2 = 3,573
Ü 27 x 1 + 6 x2 - x3 = 85         à x1 = 2,425


Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                           10
                                             BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                              Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.




2. Eliminasi Gauss-Jordan
è Merupakan Variasi dari Eliminasi Gauss dengan kebutuhan untuk
    menghitung matrik invers.
Strategi : Langkah eliminasi menghasilkan matrik satuan, sehingga tidak
           diperlukan proses substitusi mundur.

      Skema langkah eliminasi Gauss-Jordan

                  a      a12 a13 b1               …… (E1)
                   11                
                  a 21   a22 a23 b 2              …… (E2)
                  a      a32 a33 b 3 
                   31                             …… (E3)

                        Elimination

                                    *
                                   b1 
                   1     0   0             NO Back              x1 = b*1
     Matrik                         *                           x2 = b*2
     Satuan        0     1   0    b  2    Substitution
                                                                x3 = b*3
                   0     0   1    b*
                                    3
                                       


Selesaikan soal yang sama pada metode Eliminasi Gauss :

27 6 - 1 85  1/27 E 1            1 0,222 - 0,337 3,148
                                                      
 6 15 2 72                      6 15        2     72 
 1 1 54 110
                                1
                                       1      54    110 
                                                         

             1 0,222 - 0,337 3,148                    1 0,222 - 0,337 3,148 
                                    
E 2 – 6 E 1 0 13,667 2,222 53,111 1/13,667 E 2
                                   
                                                       
                                                       0    1    0,163 3,886 
                                                                               

E 3 – E 1 0 0,778 54,037 106,852
                                   
                                                      0 0,778 54,037 106,852
                                                                              
                                                                               

E 1 – 0,222 E 2  1 0 - 0,073  2,285                     1 0 - 0,073 2,285
                                                                         
                  0 1 0,163   3,886                    0 1 0,163 3,886
E 3 – 0,778 E 2   0 0 53,911 103,828 1/53,911 E 3
                                                       0 0
                                                                  1   1,926
                                                                            


   E 1 –(- 0,073 E 3)      1 0 0 2,426
                                                        x1 = 2,426
                                                       x2 = 3,572
   E 2 – 0,163 E 3        0 1 0 3,572
                          0 0 1 1,926
                                     
                                                        x3 = 1,926



Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                                11
                                                     BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                                      Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.




3. Iterasi Gauss-Siedel
Bentuk umum persamaan linear serentak :

        a 11 x1 + a12 x 2 + a 13 x3 + ................... + a1n x n = b1
        a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 + ................... + a2n x n = b2
        .
        .
        .
        a n1 x1 + a n2 x 2 + a n3 x 3 + .................. + ann x n = b n
Dapat diubah bentuknya menjadi :
           1
     x1 =      ( b1 - a12 x2 + a 13 x 3 - .................... - a1n x n)
          a11
           1
     x2 =       ( b2 - a21 x 1 + a 23 x3 - .................... - a2n x n)
          a22
           1
     x3 =       ( b3 - a31 x 1 + a 32 x2 - .................... - a3n x n)
          a 33
            1
     xn =       ( bn - an1 x 1 - an2 x 2 - .................... - an(n- 1) x( n- 1))
          ann

Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel
1. Asumsikan x2 = x3 = ….. = xn = 0, sehingga dapat diperoleh :
            b
       x1 = 1
            a11
2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan 2 untuk mendapatkan
   harga x2 (dimana x 3 = … = xn = 0), maka akan diperoleh :
              1
       x2 =      ( b2 - a21 x 1 )
            a 22
3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan
   selesailah proses iterasi yang pertama. Kemudian h asil proses tersebut
   dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga
   “unknown” dari x 1, x 2, x3. ….. xn pada proses iterasi kedua, ketiga dan
   seterusnya.
4. Proses iterasi berakhir bila hasil dari iterasi terakhir sama dengan atau
   hampir sama dengan iterasi sebelumnya. Ini merupakan kelemahan
   metode iterasi gauss-siedel yaitu proses akhir iterasi menjadi
   meragukan.

Contoh soal :
Selesaikan persamaan simultan berikut :
       27 x + 6 y – z = 85     ….. (1a)
        6 x + 15 y + 2 z = 72  ….. (1b)
          x + y + 54 z = 110   ….. (1c)
Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                                       12
                                          BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                           Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.



Penyelesaian :
Persamaan di atas dapat diubah bentuknya menjadi :
             1
       x=       ( 85 - 6 y + z ) …… (2a)
            27
             1
       y=       ( 72 - 6 x - 2 z ) …… (2a)
            15
             1
       z=       ( 110 - x - y ) …… (2a)
            54
: Iterasi pertama
1. Asumsikan y = z = 0, sehingga dari persamaan (2a) akan diperoleh :
             85
       x1 =       = 3,15
             27
2. Hasil dari “x1” tersebut dimasukkan persamaan (2b) untuk
    mendapatkan harga y 1 (asumsi z = 0)
              1
       y1=       ( 72 - 6 (3,15) ) = 3,54
             15
3. Masukkan hasil “x 1” dan “y 1” ke dalam persamaan (2c)
              1
       z1 =      ( 110 – 3,15 – 3,54) = 1,91
             54
: Iterasi kedua
              1
       x2 =      ( 85 - 6 (3,54) + 1,91 ) = 2,43
             27
              1
       y2=       ( 72 - 6 (2,43) – 2 (1 ,91) ) = 3,57
             15
              1
       z2 =      ( 110 – 2,43 – 3,57) = 1,926
             54
: Iterasi selanjutnya dapat ditabelkan sebagi berikut :

       Iterasi ke -          x                  y                 z
            1              3,15               3,54              1,91
            2              2,43               3,57             1,926
            3             2,423              3,574             1,926
            4             2,425              3,573             1,926
            5             2,425              3,573             1,926

Jadi ha sil penyelesaiannya adalah :
       x = 2,425 ; y = 3,573 dan z = 1,926




Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                           13
                                              BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                               Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.




4. Iterasi Jacobi
è Melalui proses iterasi dengan menggunakan persamaan :
                     n a
              b
     xi(n+1) = i - ∑ ij xj (n)   ;j ≠ i
              aii   j =1 aii


Keuntungan metode ini adalah langkah penyelesaiannya yang
sederhana, sedangkan kelemahannya adalah :
1. Proses iterasinya lambat. Terutama untuk persamaan linear serentak
   dengan ordo tinggi.
2. Hanya dapat digunakan menyelesaikan persamaan linear serentak
   yang memenuhi syarat berikut :
                n
        aii >   ∑ aij           ; j ≠ i dan i = 1, 2, ….., N
                j =1




5. Dekomposisi LU
è Dengan cara membentuk matrik segitiga atas (Upper) dan matrik
  segitiga bawah (Lower) dari matrik koefisien A serta membentuk
  vektor matrik dari matrik hasil dengan aturan tertentu.

Kelebihannya adalah sangat efektif untuk menyelesaikan persamaan
linear serentak ordo tinggi, dengan hasil yang sangat mendekati nilai
eksaknya. Tentu saja konsekuensinya metode ini memerlukan cara yang
cukup kompleks.

                          [A] {X} = {B}
Dekomposisi

                        [U]   [L]


                              [L] {D} = {B}

                                    {D}            Maju

                                                                Pensubtitusian
                        [U] {X} = {D}
                                                  Mundur
                              {X}




Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                               14
                                                                 BAB III. Pers. Aljabar Linear Serentak
                                                                  Oleh : Moch. Agus Choiron, ST., MT.



Langkah -langkah Dekomposisi LU
1. Membentuk matrik koefisien [A], matrik variabel {X} dan matrik hasil {B}
   dari persamaan simultan.
     [A] {X} = {B}
2. Mencari matrik segitiga bawah [L] dan matrik segitiga atas [U] dari
   matrik koefisien [A] dengan aturan berikut :
     li1 = a i1      ; i = 1,2, … , n
            a     a
     u 1j = 1j = 1j           ; j = 2,3, … , n
             l11  a11
     - untuk j = 2,3, … , n-1
                      j −1
       lij = a ij -   ∑ lik .ukj           ; i = j, j+1, … , n
                      k =1
                        j −1
                a jk − ∑ l ji .u ik
                                                                                        n−1
       u jk =           i =1
                        l jj
                                          ; k = j+1, j+2, … ,n dan lnn = ann -          ∑ lnk .ukn
                                                                                        k =1
3. Mencari matrik {B’} dengan aturan berikut :
                                                      i −1
                                             b i − ∑ lij .b' j
         b1              j =1
       b’1 =   ; b’i =             untuk i = 2, 3, … , n
         l11              lii
4. Membentuk Augmented Matrix {UB’} dan penyelesaiannya diperoleh :
                                                        n
       xn = b’n        dan             x j = b’j -     ∑ u jk    xk
                                                      k = j +1




6. Dekomposisi Cholesky
Didasarkan bahwa matrik simetrik yaitu matrik dengan aij = aji (untuk
semua i dan j) dapat didekomposisi dalam bentuk : [A] = [L] [L] T
yaitu faktor-faktor segitiga yang dihasilkan saling bertranspose. Dimana
suku-suku persamaan tersebut dapat dikalikan dan ditetapkan satu sama
dengan yang lain. Hasilnya dapat dinyatakan dalam hubungan
berulang.
                                               i −1
                                       aki − ∑ lij − ukj
                                               j =1
Untuk baris ke-k :             lki =                              ; untuk i = 1,2, …, k-1
                                                lii
                                                  k −1
                               lkk =     akk − ∑ lkj
                                                  2

                                                     j =1




Program Semi QUE IV Jurusan Teknik Mesin Unibraw                                                     15

								
To top