Deducci´on Natural Jose Emilio Labra Gayo Tabla de Contenidos 1. L´ogica Proposicional 2 2. L´ogica de Predicados 5 3. Referencias y Agradecimientos 9 11 L ´OGICA PROPOSICIONAL 2 1. L´ogica Proposicional El m´etodo de deducci´on natural, desarrollado por Gentzen, utiliza dos reglas de inferencia por cada conectiva: una para insertar la conectiva y otra para eliminarla Las reglas de inferencia son: Cuadro 1: Reglas de Inferencia ^I A B A ^ B ^E A ^ B A A ^ B B _I A A _ B B A _ B _E A _ B A ! C B ! C C ! I A . . .B A ! B ! E A ! B A B $ I A ! B B ! A A $ B $ E A $ B A ! B A $ B B ! A I A . . . B^ B A E A . . . B^ B A TI A _ A T TE T A _ A FI A^ A F FE FA A continuaci´on se incluyen varios ejemplos de demostraciones en deduci´on natural. Ejemplo 1 ([p^q) )p^(q_r)] Ejemplo 2 ([p!q,q!r) )p!r]1 L ´OGICA PROPOSICIONAL 3 Ejemplo 3 ([p!q_r,q!r,r!s) )p!s] Ejemplo 4 ([p!q,r!q) )(p^r)]1 L ´OGICA PROPOSICIONAL 4 Ejemplo 5 ([p) )p!q] Ejemplo 6 (p$p)2 L ´OGICA DE PREDICADOS 5 Ejemplo 7 (p!q)p_q) 2. L´ogica de Predicados Para la l´ogica de predicados se a˜naden las siguientes reglas de inferencia para insertar y eliminar cada uno de los cuantificadores.2 L ´OGICA DE PREDICADOS 6 Cuadro 2: Reglas de Inferencia l´ogica de Predicados 8I (t)libre . . . A(t) 8xA(x) 8E 8xA(x) A(t) 9I A(t) 9xA(x) 9E 9xA(x) A(t)libre . . .B B Deben cumplirse las siguientes normas: En las reglas 8I y 9E, el t´ermino t no debe aparecer en ninguna caja anterior abierta. En la regla 9E la f´ormula B no puede contener el t´ermino t A continuaci´on se incluyen varias demostraciones de razonamientos en l´ogica de predicados mediante deducci´on natural Ejemplo 8 ([8x(p(x)!q(x)),8x(r(x)!q(x)),8x(p(x)_r(x))) )8xq(x)] Ejemplo 9 ([8x(p(x)!q(x),9xp(x)) )9xq(x)]2 L ´OGICA DE PREDICADOS 7 Ejemplo 10 ([9xp(x)) )8xp(x)] Ejemplo 11 ([8xp(x)) )9xp(x)]2 L ´OGICA DE PREDICADOS 8 Ejemplo 12 ([9x(p(x) _ q(x)), 8x(p(x)!r(x,x)), 9xq(x)) )9xr(x,x)] Ejemplo 13 ([9x8y p(x,y)) )8y9x p(x,y)] Ejemplo 14 ([8x(r(x)!q(x), 9x(p(x)^q(x))) )9x(p(x)^r(x))]3 REFERENCIAS Y AGRADECIMIENTOS 9 3. Referencias y Agradecimientos Los ejemplos han sido implementados mediante el sistema YanDES que permite realizar demostraciones en deducci´on natural y convertir dichas demostraciones a diversos formatos: XML, HTML, SVG, etc. Estos apuntes est´an siendo utilizados en la asignatura L´ogica En la versi´on HTML, las demostraciones se almacenan en formato SVG. Si no se pueden ver adecuadamente, es posible obtener un visualizador en: SVG Implementations. Adem´as, las p´aginas utilizan codificaci´on UTF−8 para representar conectivas y cuantificadores de l´ogica. En caso de problemaas puede consultarse la P´agina de Unicode Se agradecer´a cualquier comentario o sugerencia sobre estos apuntes.