Cálculo Diferencial e Integral I Guillermo Gómez Alcaraz 2 de Octubre de 20032Contents 1 Preface 5 2 Introduction 7 I LOSNÚMEROSREALES. 9 3 CONJUNTOS. 11 4 MAPEOS. 13 4.1 Mapeo, Aplicación, Transformación o Correspondencia. . . . . . 13 4.2 Mapeo inverso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.3 Composición demapeos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 EL MÉTODO AXIOMÁTICO 23 5.1 Los Axiomas del conjunto R+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.1 Los Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.1.2 La Trigonometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 .0.3 Lista de los Axiomas del Conjunto R+. . . . . . . . . . . 26 .0.4 La semirecta numérica (Segmentos e Intervalos). . . . . . 33 .0.5 Condición de unicidad del número cortadura. . . . . . . . 34 .0.6 Teorema de Eudoxo-Arquímides . . . . . . . . . . . . . . 35 .0.7 Multiplicación y división en R+. . . . . . . . . . . . . . . 37 .0.8 Notación decimal en R+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 .0.9 Medición de segmentos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 .1 El conjunto de los números reales R. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 .1.1 Números racionales e irracionales. . . . . . . . . . . . . . 44 .1.2 Módulo y desigualdades con números reales. . . . . . . . . 45 .1.3 Recta numérica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 .1.4 Vecindades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 .2 Conjuntos Numéricos Acotados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 .2.1 Supremum e Infimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 .3 Preguntas de autocontrol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 .3.1 Ejercicios y Problemas I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 34 CONTENTS .3.2 Ejercicios y Problemas I’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Apéndice 167 .0.3 PROPIEDADES de los LOGARITMOS de NÚMEROS . 70 .0.4 PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO . . . 73 Apéndice 274 .0.1 DEDUCCIÓN AXIOMÁTICA DE LOS LOGARITMOS . 74 Afterword 75Chapter 1 Preface This is the preface. It is an unnumbered chapter. 56 PREFACEChapter 2 Introduction The introduction is entered using the usual chapter tag. Since the introduction chapter appears before the mainmatter TeX field, it is an unnumbered chapter. 78 CHAPTER 2. INTRODUCTIONPart I LOS NÚMEROS REALES. 9Chapter 3 CONJUNTOS. //////FALTA//////1112 CHAPTER 3. CONJUNTOS.Chapter 4 MAPEOS. 4.1 Mapeo, Aplicación, Transformación o Corresponndencia Estos términos serán tomados provisionalmente como sinónimos. En general en el Cálculo se emplean diferentes tipos de mapeos y más adelante se verá el caso particular de funciones. Sean X, Y dos conjuntos de elementos arbitrarios, adicionalmente se define el subconjunto llamado dominio: D ⊂ X, donde a cada elemento x de D, le corresponde un único elemento y de Y , entonces, se dira que está dado un “mapeo”, una “transformación” o una “aplicación” f “entre X y Y ” o “de X a Y ”: En símbolos: (D ⊂ X) (∀x ∈ D) (∃!y ∈ Y ) x f 7−→ y (4.1) Geométricamente: X = “conjunto de partida”, Y = “conjunto de llegada”, D = “dominio del mapeo f ”, I = “imagen de f” Fig. 1. /////Fig. 1//////Algunas de las maneras más comunes de expresar este mapeo o transformaciión x f 7−→y f : {x ∈ X} → {y ∈ Y } D f 7−→Y f: D → Y D ⊂ X f 7−→Y f : D ⊂ X → Y D ⊂ X f 7−→ I ⊂Y f : D ⊂ X → I ⊂ Y (4.2) donde en particular entiéndase por la imagen de X bajo f a: I = {y ∈ Y : (∃x ∈ X) f (x) = y} (4.3) que en notación conjuntista, también puede ser expresado como: I = f (D). A D, como ya se dijo, se le denomina dominio de f y a I, imagen de f .//////1314 CHAPTER 4. MAPEOS. Example 1 Sean: X = “conjunto de cuadriláteros”, Y = “conjunto de circunfereencias” f = “mapeo que pone en correspondencia a cada cuadrilátero de X con una única circunferencia de Y , que quede inscrita en dicho cuadrilateero” Se plantea el siguiente problema: ¿Con que características adicionales escoger los cuadrilateros arbitrarios de X, para que admitan tener una única circunferencia de Y , que les quede inscrita?. Solution 2 La pregunta puede reformularse así: ¿Cuál es el dominio definido D del mapeo f en este problema? Dado que en cada cuadrilátero se puede inscribir no más de una circunfereencia entonces sólo se cuenta con dos posibilidades a un cuadrilátero le corresponde una circunferencia que le queda inscrita, o bien ninguna. Véase la Fig. 2 ////Fig. 2////De la experimentación mínima previa que habría que realizar se puede concllui que una primera restricción adicional que habría que imponerle al conjunto X es que sus cuadriláteros fueran convexos, ya que de lo contrario si se tomara un cuadrilátero no convexo (para el que existan al menos un par de puntos que al unirlos por una recta ésta contenga puntos que no pertenezcan al cuadrilátero, por ejemplo un cuadrilatero estrellado), entonces no xistiría la circunferencia que le quedaría inscrita véase Fig. 3 ////Fig. 3////Ya dentro del mundo de posibilidades que dan los cuadriláteros convexos, los cuadriláteros pueden ser suficientemente alargados de manera que no permitan que exista circunferencia algúna que les quede inscrita, por ello la necesidad de acortarlos de manera que siempre admitan inscribirles una circunferencia. Esta segunda restricción proviene de la geometría euclideana y consiste en que es condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero admita circunscribir a una circunferencia el que la suma de las longitudes de los lados opuestos al cuadrilátero sean iguales. Fig. 4 ////Fig. 4////Esto es, que si L y l son las longitudes de los lados opuestos de un cuadrilátero y L1 y l1 las longitudes de los otros lados opuestos del mismo cuadrilátero, entonces se deberá cumplir con: L + l = L1 + l1. Resumiendo: f será un mapeo “de X a Y ”, donde el dominio D queda definido como el conjunto de cuadriláteros convexos y tales que la suma de las longitudes de los lados opuestos al cuadrilátero sean iguales. Example 3 Si X = Y = R (conjunto de los números reales, a construir en el siguiente capítulo) y supóngase que a cada x de X se le pone en correspondencia mediante f el número y de Y , tal que y ≥ 0 y y2 = x. ¿Cuál es el dominio D del mapeo f en este problema? En símbolos: (y ≥ 0) ¡y2 = x¢ x (∈ D) f 7−→ y. D =?. Solution 4 Es inmediato contestar que D = “conjunto de los números reales no negativos R+0 ”4.1. MAPEO, APLICACIÓN, TRANSFORMACIÓN O CORRESPONDENCIA.15 ya que y = f (x) = √x y por tanto: D = {x ∈ R : x ≥ 0}. Fig. 5. ////Fig. 5.//////Definition 5 Al elemento y ∈ Y , correspondiente a x ∈ X, bajo el mapeo f “de X a Y ”, se le llama imagen del elemento x y se denota por f (x). Fig. 6. ////Fig. 6//////En general, si D1 ⊂ X, entonces se le llama imagen de D1, bajo f, al conjunto de los valores y, con x ∈ X. En símbolos: f (D1) = {y ∈ Y : (∃x ∈ D1) f (x) = y} (4.4) ////Fig. 7//////En particular, la imagen del dominio D ⊂ X de f , será el conjunto de valores y para los elementos x ∈ D. En símbolos: f (D) = {y ∈ Y : (∃x ∈ D) f (x) = y} (4.5) ////Fig. 8//////Si f es un mapeo “de X a Y ”, con dominio D (f : D ⊂ X → Y ) y D1 ⊂ X, entonces, haciendo f1(x) = f (x) para x ∈ D1 ∩ D, se obtiene el mapeo f1 “de D1 a Y ”. A f1 se le llama restricción de f a D1. ////Fig. 9//////Definition 6 Si f es un mapeo “de X a Y” y y ∈ Y , entonces la imagen inversa completa o preimagen del elemento y se llama al conjunto de todas las x ∈ X, tales que f (x) = y y se denota por f −1 (y). En símbolos: f −1(y) = {x ∈ X : f (x) = y} (4.6) ////Fig. 10//////Si I1 ⊂ Y , entonces, la imagen inversa completa o preimagen del conjunto I1 es la unión de imágenes inversas de los elementos de yi ∈ I1: f −1(I1) =[i f −1(yi) = {x ∈ X : f (x) ∈ I1} (4.7) Example 7 Sean: X = “conjunto de triángulos”, Y = “conjunto de números reales”, f = “mapeo que pone en correspondencia a cada triángulo de X con su perímetro, que es un número real no negativo de Y ”. ¿Cómo es la imagen inversa de un cierto perímetro y de Y ?. Solution 8 Primero obsérvese que el dominio D lo constituyen todos los posiblle triángulos, incluidos los “degenerados”, donde se admite como triángulo a i) uno con longitud de uno de sus lados igual a 0 (dos segmentos de recta coincidentes), o a ii) uno con longitudes de dos de sus lados iguales a 0 (segmeent de recta) o bien incluso a iii) uno con las tres longitudes de sus lados iguales a 0 (un punto). Respectivamente i) f −1(doble longitud de un segmento)16 CHAPTER 4. MAPEOS. = “conjunto formado por los triángulos degenerados en dos segmentos de recta coincidentes” ii) f −1(longitud de un segmento) = “conjunto formado por los triángulos degenerados en un segmento de recta” y iii) f −1 (0) = “conjunto formado por los triángulos degenerados en un punto”. La imagen I de f es R+0 . Finalmente ¿Cómo es la imagen inversa de un cierto perímetro y de Y ?, esto es ¿Cómo es f −1 (y) para cualquier y ∈ Y ? f −1 (y) = ½ ∅, si y < 0 Triángulos con perímetro y, si y ≥ 0 ////Fig. 11//////Definition 9 Si el dominio D del mapeo “de X a Y ” coincide con el conjunto de partida X (D = X), o bien f (X) ⊂ Y , entonces a tal mapeo se le llama “X en Y ” y para denotarla se usa esencialmente la misma notación: ( f : D (≡ X) en 7−→ Y D (≡ X) f 7−→ en Y (4.8) ////Fig. 12//////Example 10 El mapeo del ejemplo anterior es un mapeo de este tipo “X en Y ”, dado que f (X) ⊂ Y , es decir cada triángulo tiene su perímetro f (X) ¡= I = R+0 ¢ ⊂ Y (= R). Definition 11 Al mapeo “de X a Y ”, donde la imagen del conjunto de partida es igual al conjunto de llegada: f (X) = Y , se le llama “X sobre Y ” (sobreyectivvo) Usualmente se dnotan como:  f : D (≡ X) sobre 7−→ Y D (≡ X) f 7−→ sobre Y (4.9) ////Fig. 13//////Example 12 El mapeo del ejemplo anterior, es decir del mapeo de triángulos en sus perímetros, como está planteado no es un mapeo “X sobre R” dado que no todo número real (cualquier número negativo) puede ser perímetro de un triángulo, pero si se cambia Y = R por Y = R+0 el mapeo se convierte en “sobre”. Definition 13 El mapeo f “de X a Y ”,con dominio D, se le llama invertibblesi a diferentes elementos del dominio le corresponden distintas imagenes. En símbolos: (f invertible) def ⇔ ((∀x 6= x0 ∈ D) ⇒ (f (x) 6= f (x0))). En otras palabras: el mapeo “de X a Y ” es invertible si y sólo si cada elemento elemento y tiene no más de una imagen inversa (ninguna preimagen si y /∈ f (X) y solo una preimagen si y ∈ f (X)). A tales mapeos se les llama inyectivos.4.2. MAPEO INVERSO. 17 Example 14 El mapeo f : x f 7→ x2 no es invertible, ya que (∀x 6= −x) ⇒ f (x) = x2 = f (−x) y no diferentes como debiera ser por la definición de mapeo invertible. Definition 15 El mapeo f invertible X sobre Y se llama correspondencia biuníívoc entre dichos conjuntos (o biyección). Example 16 La transformación de rotación es una biyección del conjunto de puntos del plano en sí mismo. Example 17 La transformación idéntica del conjutno X en sí mismo es una biyección. En símbolos: ½ Ix : X → X Ix(x) = x, ∀x ∈ X (4.10) Example 18 En la Fig. 14 estan representados dos conjuntos planos X y Y (segmentos y circunferencias) y también está dada la proyección X sobre Y en la dirección de la flecha señalada. Determinar en qué casos tienen lugar correspondencias X a Y , X en Y , X sobre Y y cuándo son mapeos invertibles. ////Fig. 14////1. En todos los casos, excepto en (e), a cada x ∈ X, le corresponde no más de un elemento y ∈ Y , luego en los casos (a), (b), (c), (d) y (f) el mapeo f es “X a Y ”. 2. En los casos (b), (c), (d) y (f), (sin (a) y (e)) el dominio D del mapeo f es todo X ( D ≡ X) y por tanto, es un mapeo “X en Y ”. 3. El mapeo de los casos (d) y (f), cumple con que f (X) = Y y por lo tanto, es suprayectivo (“X sobre Y ”), a diferencia del mapeo de (b) y (c), que no lo cumple (siendo entonces un mapeo “X en Y ”). 4. Para los mapeos (a), (b) y (f), se cumplen las condiciones de invertibilidad: (∀x1 6= x2) ⇒ (f (x1) 6= f (x2) ∈ Y ), como en los casos (c) y (d) no se cumple dicha condición, estas transformaciones no son invertibles. En el caso de (b), es una transformación invertible “X en Y ”, mientras que en el caso (f) es invertible “X sobre Y ” o correspondencia biunívoca. Resumiendo: ////Fig. 15. Mismas Figs que en Fig. 14, pero con comentarios////4.2 Mapeo inverso. Sea f un mapeo invertible “X a Y” con dominio D. Si el mapeo f es “X a Y ” e invertible, entonces el mapeo f −1 : Y −→ X, dado por: f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y se le llama mapeo inverso de f . En símbolos: µ f : XaY invertible D ⊂ X 7−→ Y ¶18 CHAPTER 4. MAPEOS. µ x ´unico·3·f(x)=y ←p y ∈ f (D)¶¡∃f −1 : f (D) → D ⊂ X¢f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y. Si en particular ³f : X sobre → Y ´⇒ ³f −1 : Y sobre → X´ /////Fig. 16/////Definition 19 Si f es “X a Y ” e invertible, entonces el mapeo f −1 : Y −→ X, dado por: f −1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y se le llama mapeo inverso de f . /////Fig. 17/////4.3 Composición de mapeos. Definition 20 Sea f un mapeo “X en Y ”. Sea g un mapeo “Y en Z”. El mapeo “X en Z”.se define así: Al elemento x0 ∈ X se pone en correspondencia con el elemento z0 = g(y0) ∈ Z, donde a su vez y0 = f (x0). En otras palabras: x0 7−→ g(f (x0)). En símbolos: (f : X en → Y )(g : Y en → Z) (g ◦ f )(x) = g(f (x)), ∀x ∈ X /////Fig. 18/////Definition 21 (generalización) Sea f un mapeo “X en Y ”. Sea g un mapeo “Y en Z”. El mapeo “X en Z”.se define así: (g ◦ f) : £X1 = f −1(Y1 ∩ f (X))¤⊂ X −→ Z donde /////Fig. 19/////La principal propiedad de la composición es la asociatividad: (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ) Para comprobarlo, basta verificar que tanto ((h◦g)◦f )(x) como (h◦(g ◦ f ))(x) son iguales a h(g(f (x)), ∀x ∈ X. Finalmente: Theorem 22 Si los mapeos: ½ f : X −→ Y g : Y −→ Z son invertibles, también es inverttibl g ◦ f y ((g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1). En símbolos: µ½ ∀f : X −→ Y ∀g : Y −→ Z ¶ µ½ ∃f −1 : Y −→ X ∃g−1 : Z −→ Y ¶ ⇒ ∃(g ◦ f )−1 y (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 Proof. En efecto, si por hipótesis (x1 6= x2 ∈ X) ⇒ (f (x1) 6= f (x2)) y por ende, g(f (x1)) 6= g(f (x2)), por lo cual por definición g◦f es invertible. Bajo estas condiciones, si ½ y = f (x) z = g(y) , entonces: ½ y = g−1(z) ∴ x = f −1(y) = f −1(g−1(z)) . Pero esto último significa que x = f −1(g−1(z)), y por otro lado (g ◦ f )−1(z) = x = f −1(g−1(z)) = (f −1 ◦ g−1)(z) , ∀z ∈ Z, de donde (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 Por último4.3. COMPOSICIÓN DE MAPEOS. 19 Theorem 23 Para todos los mapeos ½ f : X −→ Y g : Y −→ Z respectivamente se cumple que: ½ g ◦ Ix = g Iy ◦ f = f . En símbolos: µ∀½ f : X −→ Y g : Y −→ Z ¶⇒ ½ g ◦ Ix = g Iy ◦ f = f . Proof. En efecto, se puede comprobar lo que se afirma, para lo cual hay que recordar que si ½ y = f (x) z = g(y) , se tiene: ( y = g−1(z) ∴ x = f −1(y) ∴=f −1(g−1(z)) , y además que ½ Ix : X → X Ix(x) = x, ∀x ∈ X e ½ Iy : Y → Y Iy(y) = y, ∀y ∈ Y , luego Iy ◦ f = Iy (y) ◦ f (x) = y ◦ f (x) = y ◦ f ¡f −1(g−1(z)¢ = y ◦ f ◦ f −1 ¡g−1(z)¢ = y ◦ f ◦ f −1 ◦ g−1(z) = ¡y ◦ f ◦ f −1 ◦ g−1¢(z) = y ◦ y = ? En forma análoga g (y) ◦ Ix(x) = g (f (x)) ◦ Ix(x) = (g ◦ f) (x) ◦ Ix(x) = (g ◦ f ◦ Ix) (x) =?F ALT A Preguntas de autocontrol 1. Formula la definición de mapeo “X a Y ”. Dar un ejemplo. 2. Formula la definición de mapeo “X en Y ”. Dar un ejemplo. 3. Formula la definición de mapeo “X sobre Y ”. Dar un ejemplo. 4. ¿Qué es el dominio de un mapeo? ¿Cuál es el “conjunto de partida” de un mapeo? ¿Siempre coinciden? ¿Por qué? 5. ¿Cuál es la imagen de un elemento x ∈ X bajo el mapeo f “X y Y ? 6. ¿Cuál es la preimagen de un elemento y ∈ Y bajo el mapeo f? 7. ¿Aqué conjunto se le llama “conjunto de valores” (“de llegada”) del mapeo f? 8. ¿A qué conjunto se le llama “imagen” del mapeo f? 9. ¿A qué correspondencia se le llama “invertible”? 10. Dar un ejemplo de una correspondencia invertible f “X en Y ”. 11. Dar un ejemplo de un mapeo f invertible “X sobre Y ”. 12. Dar un ejemplo de un mapeo f no invertible “X sobre Y ”. 13. ¿A qué mapeo f “X a Y ” se le llama “biunívoca”? 14. ¿Qué se puede decir sobre la imagen del elemento x ∈ X bajo los mapeos: 15. ¿Qué se puede decir sobre la “preimagen (la “imagen inversa”) total del elemento y ∈ Y , bajo el mapeo f ?: (a) “X a Y ”.20 CHAPTER 4. MAPEOS. (b) “X en Y ”. (c) “X sobre Y ”. (d) “X en Y ” con f invertible. (e) “X sobre Y ” con f invertible. 16. Definir el mapeo inverso. 17. ¿A qué se le llama composición de mapeos? Ejercicios y Problemas 1. Exhibir un mapeo entre el conjunto de triángulos y el conjunto de circunferenncias 2. Sea X el conjunto de números no negativos y Y el conjunto de números reales, de manera que a cada x ∈ X, se le asocie un y ∈ Y , tal que y4 = x. ¿Resulta ser ésta correspondencia un mapeo?. Será ésta correspondencia un mapeo, si Y es el conjunto de números no negativos. 3. Supóngase que X es el conjunto de números racionales no negativos y que Y = X, de manera que a cada x ∈ X, se le asocie un y ∈ Y , tal que y2 = x. ¿Resultará ésta correspondencia un mapeo “X en Y ”?. 4. Supóngase que X es el conjunto de circunferencias del plano y Y el conjuunt de puntos de este mismo plano. A cada circunferencia se le pone en correspondencia con su centro. (a) ¿Resultará ser ésta correspondencia un mapeo “X sobre Y ”?. (b) ¿Será éste mapeo una correspondencia biunívoca?. 5. Supóngase que X es el conjunto de puntos del plano y Y el conjunto de puntos del eje de las ordenadas. A cada punto x ∈ X, se le asocia su proyección al eje de las ordenadas. (a) ¿Resultará ésta correspondencia un mapeo “X sobre Y ”?. (b) ¿Será éste mapeo una correspondencia biunívoca?. (c) ¿Qué resulta ser la imagen inversa completa del punto y ∈ Y ?. 6. Supóngase que X es el conjunto de puntos del plano y l una recta sobre este plano, de manera que a cada punto x ∈ X, se le asocie otro punto y ∈ X, simétrico a x respecto de la recta l. (a) ¿Resultará ésta correspondencia un mapeo “X sobre X”?. (b) ¿Será éste mapeo una correspondencia biunívoca?. (c) ¿Qué resulta ser la imagen del cuadrado de la Fig. 20?. __ _____l . Fig. 20.4.3. COMPOSICIÓN DE MAPEOS. 21 (d) ¿Qué puntos se transforman en sí mismos bajo éste mapeo?. 7. En al Fig. 21 las flechas van de x a f (x). Hallar f (X) (a) ¿Resultará ésta correspondencia un mapeo “X sobre X”?. (b) ¿Será ésta correspondencia un mapeo invertible?. (c) ¿A qué es igual la preimagen del elemento y1 de Y ?. (d) Y ¿A qué es igual la preimagen de y2 de Y ?. X Y x1◦ & x2◦ −→ ·y1 x3◦ % ·y2 x4◦ & x5◦ −→ ·y3 x6◦ % 8. Supóngase que X es el conjunto de estudiantes en el Aula magna 2 y Y el conjunto de sillas en la misma Aula Magna 2 . A cada estudiante se le pone en correspondencia con la silla, donde se encuentra sentado. (a) ¿Qué es la preimagen del elemento y ∈ Y ?. (b) ¿Resultará ésta correspondencia un mapeo “X sobre Y ”?. (c) ¿Será invertible?. (d) ¿En qué caso f : X → Y resultará ser una correspondencia biunívoca “X sobre Y ”?. 9. Existirá un mapeo, inverso al mapeo f , el cual pone en correspondencia (a) A cada triángulo la circunferencia que lo circunscribe. (b) A cada cuadrado la circunferencia que lo circunscribe. (c) A cada cuadrado, cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados la circunferencia que lo inscribe. 10. Demostrar que si f es un mapeo “X sobre Y ” y g un mapeo “Y sobre Z”, entonces g ◦ f es un mapeo “X sobre Z”.22 CHAPTER 4. MAPEOS.Chapter 5 EL MÉTODO AXIOMÁTICO Uno de los conceptos básicos de la matemática es el de número real. Lo usual es que en la matemática elemental hasta el nivel del Bachillerato los números reales se definen como aquellos que son representables como números decimales infinitos. Claro que en matemáticas además del sistema numérico decimal aparecce otros sistemas numéricos como el sistema numérico binario, ternario y en general en diferentes bases, por lo que un mismo número real tiene diferentes representaciones dependiendo en que sistema numérico se exprese. En el Cálculo Diferencial e Integral lo de menos es la forma de la escritura de los números, lo fundamental no es la representación del número, sino lo básico resultan ser las propiedades que tenga el conjunto de dichos números reales. Por ello en lo sucesivo se enumerarán las principales propiedades de los números reales en calidad de axiomas (de proposiciones, cuya veracidad no se pone en duda, sino que apriori se postulan como verdaderas y las cuales provienen en última instancia de una práctica ancestral previa) y a partir de ellas en forma deductiva se verifica (se demuestra) la veracidad de las restantes propiedades, afirmaciones o teoremas, es decir se construye el conjunto de los números reales en forma axiomática. Tómese en cuenta que esta forma sistematizada de hacer matemáticas yendo de lo general a lo particular en cierta forma se contrapone a la manera como usualmente se crea nuevo conocimiento matemático, esto es a la manera inductiva de ir “ensuciándose las manos" creando desde ejemplos simples hasta regularidades experimentales y mentales sofisticadas yendo así de lo particular a lo general. Recuérdese que así como los números naturales sirven para contar los elemennto de los conjuntos finitos, los números reales positivos sirven para medir una gran diversidad de magnitudes. La suma y la multiplicación de este tipo de números reflejan determinadas operaciones efectuadas sobre magnitudes geométtrica y físicas. Tanto dentro de la matemática como en sus aplicaciones antes que nada se considera la suma de magnitudes de naturaleza varia como 2324 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO la longitud de segmentos, áreas y volumenes de figuras, etc., por ello como operaació fundamental se toma la operación binaria de la suma de números reales positivos, cuyas propiedades básicas tambien serán planteadas como axiomas. Por ello se empezará por enunciar los axiomas del conjunto de los números reales positivos, que en lo sucesivo se denotará por R+. 5.1 Los Axiomas del conjunto R+. Antes de empezar con la construcción axiomática de los números reales positivos se tratará con 2 axiomatizaciones más sencillas que pueden dar la pauta e idea de lo que se hará con la construcción deductiva de los números reales positivos R+. 5.1.1 Los Logaritmos Una manera algebraica de plantearse el problema del logaritmo de un número consiste en considerar la ecuación algebraica ay = N (5.1) donde dados 2 de los números a, y y N hay que determinar el tercero. Por ejemplo, dados a y y la N se determina mediante la operación de elevar a una potencia como lo indica (5.1) (N = ay); así mismo dados y y N el valor de a se determina mediante la operación de extraer la raíz y-ésima (o en su defecto, elevar a la 1y, esto es, de (5.1) : a = N 1y ). Finalmente el planteamiento que nos interesa, a saber: dados los números a > 0(a 6= 1) y N > 0 hay que determinar la y. Esto nos lleva a la siguiente : Definition 24 Se llama logaritmo del número N en base a (y se denota por y = loga N ) a la potencia a la que hay que elevar la base a para obtener dicho número N . En símbolos esta definición luce de la manera siguiente: ay = N, esto es aloga N def = N (5.2) En otras palabras que si no fuera por ”la magia” de la dinámica de los símbolos en la matemática (en nuestro caso la tal magia opera de manera que los logaritmos de operaciones complicadas las lleva a operaciones más simples) no habría necesidad, en rigor, de introducir los logaritmos, ya que la y de nuestra ecuación original ay = N es exactamente el logaritmo, en base a, de N. En símbolos esto significa que(ay = N ) def ⇔ (y = loga N ) (5.3) Con base en estas definiciones en forma directa se pueden demostrar las propiedades de los logaritmos de números. Esto aparece en el Apéndice 1. Sin5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 25 embargo se pueden tomar algunas de las propiedades básicas de los logaritmos de números como axiomas y de ellas deducir las restantes, esto es, tómese: 1. (∀a > 0, a 6= 1)loga1 = 0, 2. loga a = 1, 3. loga (xy) = loga x + loga y, 4. loga xn = n loga x. como los axiomas de las propiedades de los logaritmos de números y con base en ellos deducir el resto de las propiedades Apéndice 2, que a pie fueron demostradas en el Apéndice 1. Otro posible ejemplo de axiomatización es el de la 5.1.2 La Trigonometría. En efecto, de nuevo una manera analítica de construir las funciones básicas de la trigonometría S (x) y C (x) (seno y coseno analíticos) consiste en tomar algunna de las propiedades básicas de dichas funciones precisamente de la variante geométrica, con la que se acostumbra construir la trigonometría en el Bachilleratto basado en las funciones trigonométricas usuales sin x y cos x. Tómese como axiomas a: 1. Se toma como el dominio de las funciones S (x) y C (x) a todo el conjunto de los números reales. En símbolos: D ≡ R (5.4) 2. Se cumple una identidad trigonométrica suficientemente rica como para de ahí deducir muchas de las propiedades restantes. En símbolos, por: (∀x, y ∈ R) C (x − y) ≡ C (x) C (y) + S (x) S (y) (5.5) 3. Ambas funciones son positivas en cierto intervalo (0, λ), con λ cierto número real λ. En símbolos: (∀x ∈ (0, λ)) S (x), C (x) > 0 (5.6) 4. En los extremos de dicho intervalo las funciones C (x) y S (x) toman el valor 1. En símbolos: C (0) = S (λ) = 1 (5.7) La idea del método deductivo en este caso consiste en ir demostrando a partir de estos 4 axiomas todas las propiedades importantes de la trigonometría como se esboza en el 3.26 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO .0.3 Lista de los Axiomas del Conjunto R+. De manera similar a como Hilbert dio su listado original de axiomas con el fin de construir un sistema deductivo de los números reales, aquí se dará un listado que pretende ser más simple y además restringido al conjunto de los números reales positivos. Ahora sí, finalmente se afrontará el problema básico de este capítulo: la construucció axiomatica del conjunto de los números reales positivos R+. Primero se resumirán los axiomas que se quiere introducir1 ∀x, y, z ∈ R+:  1)1 ∈ R+, 2)+ : (x, y) 7→ x + y, 3)x + y = y + x, 4) (x + y) + z = x + (y + z) , 5)x + y 6= x, 6)  x = y x > y x < y (sólo una), 7) (∀x ∈ R+) (∀n ∈ N) (∃y ∈ R+) x = y + y + · · · + y | {z } n veces , 8) (∀X, Y (6= ∅) ⊂ R+) (X ¹ Y ) (∃c ∈ R+) X ¹ c ¹ Y Deducción de nuevas propiedades de los números de R+. Se irán introduciendo dichos axiomas con motivaciones que se explicarán antes o durante el enunciado de cada axioma y luego de algunos de los axiomas se iran demostrando propiedades del conjunto R+. Como arriba ya se insinuaba la medición de magnitudes comienza con escoger la unidad de medición, tomándose a esta unidad precisamente como el 1, de ahí el primer axioma: 1. El número 1 es un número real positivo. En símbolos: 1 ∈ R+ (8) Se introduce la operación básica de suma y sus propiedades fundamentales descritas a través de los siguientes axiomas: 2. Dada la correspondencia de toda pareja de números reales positivos (x, y) con un tercer número real positivo z, se le llama la operación binaria de suma de los números x y y, la cual usualmente y en símbolos se denota por: ½ + : R+ × R+ → R+, (x, y) 7→ x + y. (9) 1 El cuantificador ∀ significa "para todo...", "para cualquier..."5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 27 3. La operación de suma de números positivos es conmutativa. En símbolos: (∀x, y ∈ R+) x + y = y + x (10) 4. La operación de suma de números positivos es asociativa. En símbolos: (∀x, y, z ∈ R+) (x + y) + z = x + (y + z) (11) 5. La suma x + y es distinta de x. En símbolos: (∀x, y ∈ R+) x + y 6= x (12) Vale decir que por el axioma 3) de conmutatividad de la suma: x + y 6= y (13) Estos primeros 5 axiomas permiten definir un orden (“ <”, menor que) en el conjunto R+, a saber: Definition 25 (∀x, y ∈ R+) (∃z ∈ R+) x + z = y, entonces se dice que “x es menor que y” (o que y es mayor que x) y se denota con: x < y (14) Se cumplen las siguientes propiedades de la relación de orden “<”: Theorem 26 1.Para ninguna x ∈ R+ se cumple que x < x. En símbolos: (∀x ∈ R+) x ≮ x (15) Proof. En efecto, por contradicción, si se supone que se cumpliera x < x, entonces por la definición del orden “<”, existiría un cierto z ∈ R+, tal que x+z = x, lo que significa que se entra en contradicción con el axioma 5) que asegura x + z 6= x. Theorem 27 2.(transitividad del orden “<”) (∀x, y, z ∈ R+) (x < y) (y < z) x < z (16) Proof. En efecto, como ½ x < y y < z , de la definición del orden “<”, existtirá ciertos a, b ∈ R+, tales que ½ x + a = y y + b = z , entonces z = y + b = (x + a) + b = x + (a + b), y de nuevo de la definición de orden “<” como (a + b) ∈ R+, se concluye que x < z.28 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Theorem 28 3.Si x < y, entonces no se cumple la desigualdad y < x. En símbolos: (x < y) ⇒ (y ≮ x) (17) Proof. En efecto, si por reducción al absurdo se actuara, se partiría del supuesto de que (x < y) ⇒ (y < x), pero entonces se cumplirían simultánneament las desigualdades ½ x < y y < x y por el Teorema de transitivvida anterior resultaría que x < x, lo que resulta ser un absurdo, puesto que ya se demostró en el Teorema 1 que x ≮ x. Theorem 29 4.Si x < y, entonces para cualquier z ∈ R+, se cumple x + z < y + z. En símbolos: (∀z ∈ R+) (x < y) x + z < y + z (18) Proof. Dado que x < y, por definición x + a = y, con a ∈ R+, pero entonces y+z = (x + a)+z A3 = (a + x)+z A4 = a+(x + z), luego x+z < y+z. De los Teoremas 1 y 2 se sigue que ningún par de las relaciones  x = y x > y x < y pueden simultáneamente cumplirse, aunque esto no invalida el que para cualquier par de números x, y se pueda cumplir una de dichas relaciones. Para poder comparar un par de elementos de R+, se introduce el siguiente “axioma de la tricotomia”: 6. (∀x ∈ R+) (∀y ∈ R+) se cumple sólo una de las relaciones:  x = y x > y x < y (19) Este axioma permite definir en R+la operación de resta. En efecto: Theorem 30 5. (x < y) (∃!z ∈ R+) x + z = y (20) Proof. De hecho este es un teorema de existencia y unicidad. La existennci de z queda demostrada de la definición misma de x < y. Falta por demostrar la unicidad de z. Para ello por contradicción supóngaas que en efecto la z no es única. Sean entonces z 6= w números diferenttes para los cuales simultáneamente se cumple (20) ½ x + z = y x + w = y , entonnce por el axioma 6) de la tricotomía al ser z 6= w ½ z > w, o z < w . Pero5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 29 entonces por el Teorema 4 a ambas desigualdades se les puede sumar x teniéndose ½ x + z < x + w, o bien x + w < x + z y por ende en cada caso x + z y x + w no pueden simultáneamente ser iguales a y en cada caso y por tanto se entra en contradicción con lo que se supone debería cumplirse ½ x + z = y x + w = y A un tal número z que satisface x + z = y se le denota por y − x y se le llama la diferencia entre y y x. De los axiomas 1) y 2) se sigue que los números  1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 ... también son números reales positivos, usualmente se les llama números naturales y a su conjunto se le denota por N, siendo N el menor de los subconjuntos infinitos de R+, el cual contiene al 1 y junto con cada n también contiene a su siguiente n + 1. Como todo intervalo puede ser dividido en cualquier número de partes de longitudes iguales, entonces parece natural introducir un axioma que refleje dicha situación: 7. Para todo número x ∈ R+ y cualquier n ∈ N se puede encontrar un y ∈ R+ tales que x = y + y + · · · + y | {z } n veces . En símbolos: (∀x ∈ R+) (∀n ∈ N) (∃y ∈ R+) x = y + y + · · · + y | {z } n veces (21) En lo sucesivo a la suma y + y + · · · + y | {z } n veces se le denota como ny y se dice que x es un n múltiplo de y. El número y, es tal que ny = x, queda unívocamente definido mediante los números x y n (si z < y, entonces nz < ny) y se denota como xn . Adicionalmente: mn x significa m · ¡xn ¢. Por otro lado: mn x = pq x sí y solo sí mq = np. También mn x + pn x = m+p n x y mn x + pq x = mq+np nq x Finalmente a los números que es posible representar como mn · 1 se les llama números racionales positivos y a su conjunto se le denota como Q+.30 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Lo usual para los números de Q+ es utilizar la notación simplificada: mn .2 •Antes de enunciar formalmente este último axioma 8 se introducen las siguientes definiciones: Definition 31 Si X y Y son subconjuntos no vacios de R+, se dice que X precede a Y , (lo cual será denotado por X ¹ Y ), si para cualquier x ∈ X y y ∈ Y se cumple la desigualdad: x ≤ y (donde x ≤ y significa que x < y o bien x = y). En símbolos: (∀X ⊂ R+) (∀Y ⊂ R+) X ¹ Y (22) donde a su vez. Fig. 1 (X ¹ Y ) def ⇔ (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ y (23) ––––––––– p ––––––––––→ R+ x ∈X y∈ Y x ≤ y Fig.1 Example 32 El conjunto X de todas las posibles áreas de polígonos inscrrito en una circunferencia dada de radio r precede al conjunto Y de todas las posibles áreas de polígonos circunscritos alrededor de la misma circunferencia de radio r. Fig. 2 /////Falta Fig. 2////////2Obsérvese que incluso desde aquí se podría introducir el número cero, cuyo símbolo 0 quedaría incorporado si se definiera al conjunto R+0 def = R+ ∪ {0} y si además a R+ se le identifica con el conjunto {x : 0 < x}, entonces R+0 def = {x : 0 ≤ x}. Donde el número 0 es tal que x+0 = 0+x = x, ∀x ∈ R+0 . En general todas las propiedades de la suma y de la relación de orden en R+ se conservan en R+0 . Se puede introducir las operación de multiplicación en R+: ¡∀x, y ∈ R+¢ (X ¹ xy ¹ Y ), donde X está formado por los productos de las aproximaciones racionales positivas por defecto de los números x y y, mientras que Y consiste de los productos de las aproximaciones racionales positivas por exceso de los números x y y. La multiplicación cumple con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva de la multiplicación respeco de la suma. Para definir la multiplicación en R+0 se agrega la propiedad: 0 · x = x · 0 = 0, ∀x ∈ R+. Adicionalmente 0 ·0 = 0. Todas las propiedades de la multiplicación de R+ se conservan en R+0 . Para la división 1y : ¡∀y ∈ R+¢ ³X ¹ 1y ¹ Y ´, donde X = ©1s ∈ Q+ : s > y, s ∈ Q+ª y Y = ©1r ∈ Q+ : r < y, r ∈ Q+ª. La división general de la forma: xy , ∀x, y ∈ R+ se interpreta como: xy = x · 1y . Todas las propiedades de la multiplicación R+ se conservan en R+0 , excepto que x0 = x 10 no tiene sentido para ninguna x, igual respecto al símbolo 00 . Finalmente en R+0 , la operación de resta no siempre está definida. Para lograr que la resta siempre quede definida se completa con la construcción del conjunto R− de los números reales negativos, donde por número negativo se entiende al número −x, con x ∈ R+. Al conjunto R+0 ∪ R− = R+ ∪ {0} ∪ R− not = R ,5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 31 Example 33 El conjunto X de números racionales positivos x ∈ Q+, tales que x2 < 2 precede al conjunto Y de números racionales positivos tales que y2 > 2: X = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª ¹ Y = ©y ∈ Q+ ¯¯y2 > 2ª, Fig. 3––––––––––-p ––––––––––→ R+ x ∈ ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª y ∈ ©y ∈ Q+ ¯¯y2 > 2ª x ≤ y Fig.3 Definition 34 El número c separa (divide, parte o corta) a X y Y , si para cualquiera que sea x ∈ X y y ∈ Y se cumplen las desigualdades: x ≤ c ≤ y. En símbolos: (X ¹ c ¹ Y ) def ⇔ (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ c ≤ y (24) •Si existe el número c que separa a los conjuntos X y Y , entonces X precede a Y : (∃c) (X ¹ c ¹ Y ) ⇒ X ¹ Y. En el conjunto Q+ la afirmaciió inversa no se cumple: si (X ¹ Y ) (siendo X, Y ⊂ Q+), entonces no necesariamente existe el número c ∈ Q+ que separa a los conjuntos X y Y . •A manera de ilustración en el último ejemplo analizado para los conjuntto X = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª y Y = ©y ∈ Q+ ¯¯y2 > 2ª se cumple que X precede a Y : (X ¹ Y ) pero no se cuenta con un número racional posittiv c que separe a tales conjuntos (tal número no existe en Q+). En efecto, primeramente se puede mostrar que no existe un número c de Q+, cuyo cuadrado sea 2. Ya que si tal número racional positivo c existíera se podría representar como una fracción irreducible (fracción sin factores comunes): c = mn , teniéndose entonces que cumplir: ¡mn ¢2 = 2, es decir que m2 = 2n2, de donde m tendría que ser par (ya que si m2 es par, entonces m debe ser par, puesto que de lo contrario m2 tendría que ser impar). Pero el que m sea par significa que sea de la forma m = 2k y por ende ³m2 = (2k)2 = 2n2´⇒ ¡4k2 = 2n2¢⇒ ¡n2 = 2k2¢, luego n también sería par y entonces mn sería un cociente de números pares lo que entraría en contradicción con la hipótesis de que la fracción era irreducible. Esta contradicción muestra que no existe un número racional c, cuyo cuadrado sea 2. •Ahora supóngase que existe un número racional positivo c ∈ Q+ que corta a los conjuntos del último ejemplo analizado X = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª y Y = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 > 2ª, o sea que existe un c ∈ Q+ tal que (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ c ≤ y. Como ya se mostró c2 6= 2, luego por el axioma 6: ½ c2 < 2, o bien c2 > 2 . •En el primer caso si c2 < 2, como ¡12 < 2 < 22¢32 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO ⇒ (1 < c < 2) y por ello 2 − c2 < 2 − 12 = 1. Pertúrbese aditivamente al número c con un número positivo ε “adecuadamente pequeño” y como tal se le obliga a que sea digamos < 1. Qué resulta ser el número c + ε. Para ello véase dónde cae: (c + ε)2 = c2 + 2cε + ε2 = c2 + (2c + ε) ε < c2 + (2· 2 + 1) ε = c2 + 5 · ε ε=2−c2 5 <1 = c2 + 5 · 2−c2 5 = 2, luego resulta: (c + ε)2 < 2 por tanto cae en X: (c + ε) ∈ X. y como c y ε son racionales positivos, entonces (c + ε) ∈ Q+. Por otro lado se obtiene que el número c + ε es mayor que c (c + ε > c), lo que significa que c ∈ Y . Esto lleva a una contradicción con la definición misma de c, que simultáneamente no puede pertenecer a X y a Y por como están definidos. •En forma completamente análoga se demuestra en el segundo caso la imposibilidad de que c2 > 2.3 De esta forma queda demostrado que en el conjunto Q+ no existe un número c que separe a los conjuntos X = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª y Y = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 > 2ª. El axioma 8 expresa la propiedad fundamental del conjunto R+de los números reales positivos llamada continuidad o densidad de este conjunto. 8. Si X y Y son subconjuntos no vacios de R+ tales que X precede a Y , entonces existe al menos un número c que separa a estos conjuntos. En símbolos: ¡∀X, Y (6= ∅) ⊂ R+¢(X ¹ Y ) ¡∃c ∈ R+¢ X ¹ c ¹ Y (25) Obsérvese que tal número c no queda unívocamente definido. Example 35 El conjunto {x ∈ R+ |2 ≤ x ≤ 4} precede al conjunto {x ∈ R+ : 5 ≤ x ≤ 10} teniéndose que hay infinitos números c que separan a dichos conjuntos, precisamente todos los reales entre 4 y 5. Fig. 4. ////Fig. 4////Example 36 En el ejemplo de los conjuntos númericos dados por las áreas de los poligonos inscritos y circunscritos a un círculo dado de radio r, el único número c que separa a los valores de los 2 conjuntos (de las áreas interiores de las exteriores) es el área del círculo de radio r. Fig. 5. ////Fig. 5////3En el segundo caso si ¡c2 > 2¢ ⇒ ¡c2 − 2 > 0¢, pero como 1 < c < 2 entonces pertúrbese negativamente al número c decrementándola en un número positivo ε se le obliga a que sea digamos > 1. ¿Qué resulta ser el número c − ε? Para ello hay que ver dónde cae: (c − ε)2 = c2 − 2cε + ε2 = c2 + (−2c + ε) ε > c2 + (−2 · 1 + 1) ε = c2 − ε ε=c2−2 = c2 − ¡c2 − 2¢ = 2, luego resulta que: (c − ε)2 > 2 por tanto (c − ε) cae en Y : (c − ε) ∈ Y . Por otro lado se obtiene que el número c − ε es menor que c (c − ε < c), lo que significa que c ∈ X. Esto lleva a una contradicción con la definición misma de c, que simultáneamente no puede pertenecer a X y a Y por como están definidos.5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 33 Example 37 En el ejemplo de los conjuntos X = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 < 2ª y Y = ©x ∈ Q+ ¯¯x2 > 2ª, ya se mostró que en Q+ no existe un c que separe a los conjuntos X y Y. Pero en el conjunto R+quedan separados por un único número c precisamente √2. Y esta será la regularidad cuando dicha c resulta ser única, entonces el número definido es irracional Fig. 6. ////Fig. 6////Con estos 8 axiomas se pueden demostrar las principales propiedades del conjunto R+. .0.4 La semirecta numérica (Segmentos e Intervalos). Si se adjunta al conjunto R+ el número 0, es decir si se forma la unión R+ ∪ {0} y a ésta se le denota por R+0 . Ahora se puede decir que 0 < x, para todo x ∈ R+, y que x + 0 = 0+x = x para toda x ∈ R+0 . Bajo tal ampliación se conservan en R+0 como ciertas todas las propiedades de las operaciones de suma y orden de R+. Ahora se toma un rayo (semirecta) que inicia en el punto O y en él se escoge arbitrariamente otro punto U , cuya longitud OU se toma como la unidad. Al punto O se le asocia el número 0, mientras que al punto U se le asocia el número 1. Entonces se establece una correspondencia 1 a 1 (biunívoca) entre el conjunto numérico R+0 y los puntos de la semirecta que inicia en el punto O. A tal rayo o semirecta se le llama semirecta numérica. Así es que al número x ∈ R+0 se le pone en correspondencia con un punto M de la semirecta numérica, de manera que su longitud OM = x. La correspondencia así establecida permite hablar de los números de R+0 con la terminología geométrica (y viceversa). Si ahora se toman dos números distintos a, b ∈ R+0 , digamos a < b. Se pueden señalar como puntos en la semirecta numérica, de manera que si x es tal que a < x < b, entonces tiene sentido el conjunto ©x ∈ R+0 |a < x < bª que usualmente se denota como ]a, b[, o bien como (a, b) y se llama intervalo de a a b, es decir: Fig.? ]a, b[ = (a, b) def = ©x ∈ R+0 |a < x < bª En forma similar,Fig.?, se define el segmento [a, b] def = ©x ∈ R+0 |a ≤ x ≤ bª y los semisegmentos o semiintervalos, Fig.?: ]a, b] def = ©x ∈ R+0 |a < x ≤ bª [a, b[ def = ©x ∈ R+0 |a ≤ x < bª Por extensión el rayo, Fig.?, que inicia en a (o semirecta que inicia en a) se denota como: [a,+∞[ def = ©x ∈ R+0 |a ≤ xª34 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO mientras que el rayo abierto (o semirecta abierta que inicia en a) queda definido como: ]a,+∞[ def = ©x ∈ R+0 |a < xª Arriba ya se señalaba que si X precede a Y , entonces no siempre estos conjuntos los separa un único número c. Enseguida se enunciará y demostrará una condición necesaria y suficiente para que ocurra la unicidad de dicho número c. Para no perder el hilo intuitivo de lo que se va viendo esta condición asegura, que el número que separa a dichos conjuntos es único, si los conjuntos X y Y se acercan tanto como se quiera. .0.5 Condición de unicidad del número cortadura. Theorem 38 Para que los conjuntos X y Y de R+, donde X precede a Y , sean separados por un único número c es condición necesaria y suficiente que se cumpla lo siguiente: para cualesquiera que sea ε > 0, existe x de X y y de Y , tales que se cumplen con: y − x < ε. En símbolos: ¡∀X, Y (6= ∅) ⊂ R+¢(X ¹ Y ) ¡∃!c ∈ R+¢(X ¹ c ¹ Y ) (26) ⇐⇒ (∀ε > 0) (∃x ∈ X) (∃y ∈ Y ) y − x < ε Proof. Obsérvese que este es un teorema de existencia y unicidad. Antes que nada la existencia de tal c, se asegura con el cumplimiento del axioma 8, pero la unicidad primero por facilidad se demostrará la condición suficiente (por reducción al absurdo) para lo cual la demostración se iniciará suponiendo que: (∀ε > 0) (∃x ∈ X) (∃y ∈ Y ) y − x < ε, pero negando la tesis: para X y Y no existe un único c que los separa, o sea X y Y los separan c y d (X ¹ c < d ¹ Y ), pero esto significa que (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ c < d ≤ y, de donde y − x ≥ d − c, pero esto contradice la condición de partida, ya que es suficiente con que se haga ε = d − c para obtener la contradicción. Esta contradicción significa que la hipótesis del inicio de la demostración es falsa, luego lo que afirma la condición suficiente es verdadera. Condición necesaria. Ahora se supone que (∀X, Y (6= ∅) ⊂ R+) (X ¹ Y ) (∃!c ∈ R+) (X ¹ c ¹ Y ), entonces cualquiera que sea ε > 0, como c es el único número que separa a X de Y , entonces c − ε2 no separa a X de Y , aunque c − ε2 precede a Y , por ello existe al menos un x ∈ X, tal que x > c − ε2. Véase la Fig. 7 ◦ − − • c− ε2 − − •x − − − •c − − − − •y − • c+ε2 − − − → R+ En forma completamente análoga se establece la existencia de un y ∈ Y , tal que y < c + ε2 , pero entonces se tendrá que: y − x < ¡c + ε2 ¢− ¡c − ε2 ¢ = (c − c) + ¡ε2 − ¡−ε2 ¢= ε y eso es lo que se quería demostrar •Antes de pasar al enunciado y demostración del Teorema de Eudoxo -Arquímmide un ejemplo ilustrativo de los trabajos de estos matemáticos que ilustra la esencia de dicho Teorema: si la longitud de un segmento es “muy grande” de5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 35 1, 000, 000 km. es mucho más largo que la longitud de un segmento “muy pequeeño de 1 mkm. (micrómetro 1 mkm = 10−6m.). Pero si se repite la longitud de 1 mkm. del pequeño segmento un número grande, dígase, de 2 · 1015 veces, lo que se obtiene es un segmento de longitud el doble del original: 2, 000, 000 km. Esta idea en general expresada lleva al siguiente: .0.6 Teorema de Eudoxo-Arquímides Theorem 39 (Eudoxo-Arquímides). Si a y b son 2 números reales positivos cualesquiera, se puede encontrar un número natural n, tal que na > b. En símbolos: (∀a, b ∈ R+) (∃n ∈ N) na > b (27) Proof. (Por contradicción) Se iniciará con la hipótesis de que la tesis del Teoreem es falsa, es decir que (∀n ∈ N) (∃a, b ∈ R+) na ≤ b. Como la tesis del Teorema versa sobre 2 tipos de números na y b, entonces es natural denotar por X al conjunto formado por los múltiplos de a, y por Y al conjunto formado por las y, tales que no cumplan con el Teorema, esto es: ½ X = {na : ∀n ∈ N} Y = {y ∈ R+ : na ≤ y, ∀n ∈ N} se puede de inmediato observar que así definidos los conjuntos X y Y primero no son vacíos, dado que al menos a ∈ X y b ∈ Y y segundo X precede a Y , puesto que la demostración inició con la hipótesis (∀n ∈ N) na ≤ y. Por consiguiente del axioma 8 existe c, que separa a estos conjuntos (∃c : X ¹ c ¹ Y ), o sea que (∀n ∈ N) na ≤ c y en particular: 1 · a ≤ c. Más aún se afirma que a < c, ya que si por el contrario a = c, entonces 2c > c, esto es 2a > c, en contradicción con que na ≤ c. Por ello existe c − a. Pero como c − a < c, entonces c − a /∈ Y ____________ c−a · ____ na · _c·| {z } X Y z }| { _______R+ Por ende existe al menos un na a la derecha de c − a: (na > c − a) ⇒ (c < na + a) ⇒ (c < (n + 1) a), pero (n + 1) a ∈ X y esto contradice la definiciió de que c separa a X de Y : na ≤ c ≤ y. Por lo tanto el punto de partida de la demostración na ≤ b es falso, por lo cual es verdadero el Teorema Corollary 40 (∀x ∈ R+) (∃n ∈ N) n > x (28) Proof. En efecto, basta con hacer en el Teorema de Eudoxo-Arquímides: a = 1, b = x Corollary 41 (∀x ∈ R+) (∃n ∈ N) 1n < x (29) Proof. En efecto, basta con hacer en el Teorema de Eudoxo-Arquímides: a = x, b = 136 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Corollary 42 (∀n ∈ N) ¡∀x ≥ 1n ¢(∃m ∈ N) mn ≤ x < m+1 n (30) Proof. Por el Corolario 1 se puede afirmar la existencia de un número natural k, tal que x ≤ k def = kn n . Ahora bien, entre los números: 1, 2, 3, . . . , kn se puede escoger el mayor número m, para el que se cumple la desigualdad: mn ≤ x. Y para este mismo número x se tendrá: ¡mn ≤ x < mn + 1n ¢ mn ≤ x < m+1 n Corollary 43 (∀x, y ∈ R+) (x < y) (∃r ∈ R+) x < r < y (31) Proof. Corollary 44 Como (∀x ∈ R+) por el Corolario 2 (∃n ∈ N) 1n < x. En forma análoga como (∀x, y ∈ R+) (x < y), entonces (y − x ∈ R+) y por el Corolario 2 (∃n ∈ N) 1n < y − x. Entonces, se puede escoger un m por el Corolario 3, tal que: mn ≤x < m+1 n . Por otro lado m+1 n = mn + 1n < x+(y − x) = y ∴m+1 n < y, de donde haciendo m+1 n not = r se obtiene que r queda entre x y y Obsérvese que: 1. Del Corolario 4 se desprende que en cualquier intervalo abierto: ]a − δ, a + δ[ a la izquierda y ala derecha de a hay números racionales pertenecientes a dicho intervalo menores (respectivamente mayores) que a, que se llaman aproximaciones racionales con precisión δ por defecto (respectivamente por exceso) Fig.7 ¤a−δ . .....r........a................a+δ . £ 2. Del Corolario 3 se sigue que (∀a ∈ R+) (∀δ : 0 < δ < a) existen aproximacioone r de a por defecto y por exceso con precisión δ. Example 45 Para a = √5 el número r = 2 es una aproximación racional por defecto de √5 con presición δ = 1, mientras que el número r = 3 es una aproximación racional por exceso de √5 con la misma precisión δ = 1. En efecto, 2 < √5 < 3, donde además: √5 − 1 < 2 y 3 < √5 + 1.5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 37 .0.7 Multiplicación y división en R+. Las operaciones binarias multiplicación y división pueden ser definidas como la operación suma como en el axioma 2, pero ya con dichos axiomas en particular con el axioma 8 y con el Teorema de unicidad del número cortadura se puede introducir la operación de multiplicación en R+ como: Definition 46 El producto xy para x ∈ R+ y y ∈ R+ se le llama al único número c = xy que separa a los conjuntos X y Y (X ¹ xy ¹ Y ), donde X está formado por los productos de las aproximaciones racionales positivas por defecto de los números x y y, mientras que Y consiste de los productos de las aproximaciones racionales positivas por exceso de los números x y y. Definition 47 (∀y ∈ R+) por división 1y se entiende al único número c = 1y que separa a los conjuntos X y Y ³X ¹ 1y ¹ Y ´, donde X está formado por los números de la forma 1s, con s > x y s ∈ Q+ o sea que X está formado por las aproximaciones racionales positivas por defecto de los números 1x, mientras que Y consiste de los cocientes de las aproximaciones racionales positivas por exceso de los números 1y, donde X = ©1s ∈ Q+ : s > x, s ∈ Q+ª y Y = ©1r ∈ Q+ : r < y, r ∈ Q+ª. La división general de la forma: xy , (∀x, y ∈ R+) se interpreta como el producto: xy = x · 1y . Puesto que el conjunto X precede al conjunto Y , entonces por el axioma 8 existirá al menos un c que separa a los conjuntos X y Y , en ambas definiciones. La demostración de que los conjuntos X y Y , los separa un único número c, en ambas definiciones se deja al lector. También son ejercicios más o menos estandar no excentos de dificultades el mostrar, como posiblemente se hizo en el Bachillerato, que en R+ se cumplen las propiedades de conmutatividad y asociatividad de la multiplicación: (∀x, y, z ∈ R+) xy = yx; (xy) z = x (yz), así como la distributividad de la multiplicación respecto de la suma: (∀x, y, z ∈ R+) (x + y) z = xz + yz. Si además a R+ se le identifica con el conjunto {x : 0 < x}, entonces R+0 def = {x : 0 ≤ x}. Donde el número 0 es tal que x + 0 = x, ∀x ∈ R+0 . En general todas las propiedades de la suma y de la relación de orden en R+ se conservan en R+0 . Se introduce pues el conjunto: R+0 def = R+ ∪ {0}, donde el elemento 0, es tal que 0 · x = 0, (∀x ∈ R+), además de que: 0 ·0 = 0. Todas las propiedades de la multiplicación de R+ también se conservan en R+0 , excepto que x0 = x · 10 no tiene sentido para ninguna x ∈ R+; igual carece de sentido el símbolo 00. Al conjunto R+0 ∪ R− = R+ ∪ {0} ∪ R− not = R. .0.8 Notación decimal en R+. •Si x ≥ 1, entonces se puede escoger aquel número natural n, tal que: n ≤ x < n + 1, al número n se le llama la parte entera de x y se denota por [x]. En símbolos: (∀x (∈ R+) : x ≥ 1) (∃n ∈ N) x ∈ [n, n + 1[38 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO •Para x ∈ R+, con x < 1 su valor entero se postula: [x] = 0. En símbolos: (∀x : 0 < x < 1) [x] = 0. La diferencia x − [x] se llama la parte decimal de x y se denota por {x}. Example 48 [π] = 3, ©73ª= 13 . •Supóngase que [x] = n, entonces se puede escoger una cifra n14, tal que n + n1 10 ≤ x < n + n1+1 10 , y Se puede escoger otra cifra n2, tal que n + n1 10 + n2 102 ≤ x < n + n1 10 + n2+1 102 , En general para cualquier k se puede escoger una cifra nk, tal que n + n1 10 + n2 102 + · · · + nk 10k ≤ x < n + n1 10 + n2 102 + · · · + nk−1 10k−1 + nk + 1 10k (32) donde a la suma n + n1 10 + n2 102 + · · · + nk 10k se le denota decimalmente como: n.n1n2 · · · nk = xk, luego la anterior desigualdad se puede reescribir como: ( [x] = n ) (∃n1, n2, . . . , nk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}) ⇒ xk ≤ x < xk + 1 10k, ó n.n1n2 · · · nk ≤ x < n.n1n2 · · · nk + 1 10k (33) El sistema infinito de desigualdades (33) (∀k ∈ N) se sustituye por la notación decimal con infinitas cifras decimales5 : x = n.n1n2 · · · nk · · · (34) A la parte derecha de la expresión (34) se le llama notación decimal infinita. Del hecho que en (33) las desigualdades de la derecha sean estrictas se desprende que en la notación decimal infinita el número no puede tener “cola” infinita de 9. •De hecho hasta aquí propiamente se ha demostrado que cualquier número de R+0 puede ser representado en notación decimal infinita con sólo no tener una “cola” infinita de 9. El cero se representa como: 0 = 0.000 . . . 0 . . . •También es verdadera la proposición inversa: Cualquier número representado en notación decimal infinita con sólo no tener una “cola” infinita de 9 representa a un cierto número de R+0 . Proof. •Póngase en correspondencia para cada k ∈ N la notación decimal infinita n.n1n2 · · · nk · · · con los números: ½ xk = n.n1n2 · · · nk x0k = xk + 1 10k , así: (n. n1n2 · · · nk · · · ) À (∀k ∈ N) xk ≤ x < x0k. •Como para cualesquiera k y l, tales que k < l se cumple que xk ≤ xl < x0l ≤ x0k •Estas desigualdades muestran que el conjunto X = {xk} precede al conjuunt Y = {x0k} y por ello según el axioma 8 existe al menos un c = x que separa 4Evidentemente: n1 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. 5Obsérvese que este salto mortal relmente lo que significa es el paso al límite en la sucesión infinita de desigualdades (33) cuando k → ∞.5.1. LOS AXIOMAS DEL CONJUNTO R+. 39 a los conjuntos X y Y , lo cual significa simbólicamente que (X ¹ x ¹ Y ) def ⇔ (∀xk ∈ X) (∀x0k ∈ Y ) (xk ≤ x ≤ x0k). •Finalmente de la condición que la notación decimal infinita no termina con cola de 9, se sigue que a partir de cierto número k: xk ≤ x < x0k por ello la notacció decimal infinita del número x es de la forma: x = n.n1n2 · · · nk · · · .LQQD. Resumiendo, de hecho de las 2 proposiciones anteriores se ha demostrado la siguiente afirmación: Theorem 49 Cada número x ∈ R+0 puede ser escrito en notación decimal infinita e inversamente cada número escrito en notación decimal infinita con sólo no tener una “cola” infinita de 9 representa a un cierto número de R+0 . Observación. Los números en notación decimal infinita que contemplan tener una “cola” infinita de 9, es decir que admiten tener al 9 como período usualmente no se consideran, ya que tales números pueden ser sustituidos por números con período 0 y siguen representando a un cierto número de R+0 . Example 50 0.399 · · · = 0.3˘9 = 0.4˘0, 0.88999 · · · = 0.88˘9 = 0.89˘0, 0.999 · · · = 0.˘9 = 1.˘0. •Los números con infinitos decimales forman un modelo con el cual se puede comprobar que la axiomática de R+ no es contradictoria. •En este trabajo sólo se consideran números con infinitos decimales que no terminan con “cola” de puros 9 y se mostrará que para tales números se puede definir la comparación y las operaciones aritméticas: 1. Si se conoce la representación decimal infinita de los números x, y ∈ R+: ½ x = n.n1n2 · · · nk · · · y = m.m1m2 · · · mk · · · , entonces x < y, sí y solo sí  •n < m, ´o • (∃k ∈ N) xk = yk xk+1 < yk+1 , donde xk, yk son las aproximaciones decimales por defecto de x y y, mientrra que las x0k, y0k son por exceso. 2. Para la obtención de la notación decimal de la suma: x + y formamos la sucesión: {x0k + y0k }∞k=1, entonces a partir de cierta k las partes enteras dejan de cambiar. Este valor invariante será la parte entera de la suma. Para obtener la primera cifra decimal (los décimos) hay que tomar el valor de dicha cifra decimal cuando ya no cambia en la sucesión {x0k + y0k }∞1 , es decir tal valor invariante a partir también de otra cierta k. En forma completamente análoga para la segunda cifra decimal (para los centécimos) y así sucesivamente, etc. 3. También en forma completamente análoga se establece la representación decimal, si x < y, de la diferencia y − x. Para ello hay que tomar la sucesión: {y0k − xk}∞1 .40 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO 4. Para la obtención de la representación decimal del producto xy, se toma la sucesión: {x0k y0k }∞1 . 5. Para la obtención de la representación decimal del cociente 1y, se toma la sucesión: n 1 y0k o∞1 . Example 51 x = 2.373842 · · · , y = 1.123562 · · ·. Hallar las 3 primeras cifras invariantes de las operaciones: x + y, x − y, xy. Solution 52 x0 = 2 x00 = 3 y0 = 1 y00 = 2 x1 = 2.3 x01 = 2.4 y1 = 1.1 y01 = 1.2 x2 = 2.37 x02 = 2.38 y2 = 1.12 y02 = 1.13 x3 = 2.373 x03 = 2.374 y3 = 1.123 y03 = 1.124 x4 = 2.3738 x04 = 2.3739 y4 = 1.1235 y04 = 1.1236 •Por lo cual: {x0k + y0k } toma la forma: x00 + y00 = 5, x01 + y01 = 3.6, x02 + y02 = 3.51, x03 + y03 = 3.498, x04 + y04 = 3.4975 obsérvese que en las últimas 2 aproximaciones ya no cambian las 3 primeras cifras, es decir permanece invariante x + y = 3.49 · · · , que es la aproximación buscada. •Para {x0k − yk} las aproximaciones toman la forma x00 − y0 = 3 −1 = 2, x01 −y1= 2.4−1.1 = 1.3, x02 −y2 = 2.38−1.12 = 1.26, x03 −y3 = 2.374−1.123 = 1. 251, x04 − y4 = 2.3739 − 1.1235 = 1. 250 4, de nuevo obsérvese que en las últimas 2 aproximaciones ya no cambian las 3 primeras cifras, esto es permanece invariante x − y = 1.25 · · · , que es la aproximación buscada. •Finalmente para {x0k y0k } las aproximaciones son: x00y00 = 3 · 2 = 6, x01y01= 2.4 · 1.2 = 2. 88, x02y02 = 2.38 · 1.13 = 2. 689 4, x03y03 = 2.374 · 1.124 = 2. 668 4, x04y04 = 2.3739 · 1.1236 = 2. 667 3 y aquí también obsérvese que en las últimas 2 aproximaciones ya no cambian las 3 primeras cifras, esto es permanece invariante xy = 2.66 · · · , que es la aproximación buscada. .0.9 Medición de segmentos. •Al realizar la medición de cualquier segmento con precisión creciente se obtiene una sucesión de números en representación decimal con un número finito k de cifras decimales y por ende números racionales positivos o cero, o sea de Q+0 : rk = n.n1n2 · · · nk, para k = 1, 2, . . .. Tal segmento tendrá una longitud x no menor que rk, pero menor que r0k = rk + 1 10k . En símbolos: rk ≤ x < r0k , pero esto como ya vimos significa que la longitud del segmento se expresa mediante un número decimal infinito: x = n.n1n2 · · · nk · · ·.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 41 o lo que es lo mismo se expresa mediante un número positivo o cero, esto es de R+0 .•De la misma forma se pueden expresar con números de R+0 el área de rectángulos: A = xy, o el volumen de paralelepípedos rectangulares: V = xyz, cualesquiera que sean los números x, y y z de R+0 . •En resumen el conjunto R+0 es suficiente para expresar el resultado de cualquier medición. .1 El conjunto de los números reales R. Es así que esencialmente se pudo construir el conjunto de los números reales positivos R+. Luego lo completamos con el cero, obteniendo así el conjunto de los números reales positivos y el cero: R+0 . Sin embargo en R+0 no siempre queda definida la diferencia de 2 de sus elementos. Para lograr que siempre quede definida la operación de resta se completa el conjunto construido R+0con el conjunto R− formado por los números negativos. Entendiéndose por número negativo a todo número representable como −x, con x ∈ R+. Las operaciones de suma y multiplicación en R− se introducen exactamente como fueron introducidas a nivel del bachillerato, a saber (∀a, b ∈ R+): 1. (−a) + (−b) = − (a + b) , 2. a + (−b) =  a − b, si a > b 0, si a = b − (b − a), si a < b , 3. (−a) (−b) = ab, 4. (−a) (b) = a (−b) = −ab, 5. (−a) + 0 = −a, 6. (−a) 0 = 0. El conjunto obtenido como la unión de los 2 conjuntos construidos, es decir como el conjunto formado por los elementos de uno de los conjuntos o del otro: R = R+0 ∪ R− = R+ ∪ {0} ∪ R− (35) es el llamado conjunto de los números reales. En general las operaciones de suma y multiplicación en R también se introducen exactamente como fueron definidas a nivel del bachillerato, a saber: (∀a, b, c ∈ R) 1. a + b = b + a 2. ab = ba 3. (a + b) + c = a + (b + c) 4. (ab) c = a (bc) 5. a + 0 = a 6. a ·1 = a 7. a + (−a) = 0 8. a · 1a (a 6= 0) 9. a (b + c) = ab + ac (36)42 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO La relación de orden en R se define exactamente igual que para R+: (x < y) def ⇔ (∃z ∈ R+) x+z = y. Y basados en esta definición se puede mostrar que todas las propiedades deducidas en R+ de los 8 axiomas e incluso estos últimos también se cumplen en R. Sólo queda por remarcar el que además ahora se cumple que cambiar de signo en una desigualdad hace que cambie de sentido la desigualdad misma: (x < y) ⇒ (−x > −y). __−y • __−x • ___0•___x•___y•_____ Otro resultado digno de resaltarse es que ahora en R también se cumple el Teorema sobre la existencia del número c que separa a dos conjuntos uno de los cuales precede al otro (axioma 8 en R+). En efecto se cumple el siguiente Theorem 53 Para A y B subconjuntos no vacios, pero ahora de todo R, tales que A precede a B, entonces existe al menos un número c que separa a estos conjuntos6. En símbolos: (∀A, B (6= ∅) ⊂ R) (A ¹ B) (∃c ∈ R) X ¹ c ¹ Y (37) Proof. •Si en el conjunto A hay números de R+, entonces se escoge un subconjuunt A1 de A (A1 ⊂ A) formado exclusivamente por números de R+(A1 ⊂ R+), pero por la hipótesis de que A precede a B (A ¹ B) se tendrá que A1 precede a B (A1 ¹ B), por lo que B también será un subconjunto de R+(B ⊂ R+). Aplicando a los conjuntos A1 y B formados exclusivamente por elementos de R+el axioma 8 de R+se asegura la existencia del número c, que separa a los conjuntos A1 y B (A1 ¹ c ¹ B), pero este mismo número c separará a los conjuntos iniciales A y B. __ A z }| { ___ •0 __ |{z} A1 B z }| { •c___________________________ •Si en A no hay números de R+ y en B no hay números de R−, entonces A precederá a B y el número c, que siempre separa a los conjuntos A y B es el número 0. ____ A z }| { __________ • c=0 _ B z }| { _______________ 6Otra idea de la demostración consiste en trabajarla con el uso de la representación decimal de los numeros reales. Tómese el segmento [n, n + 1], con n ∈ Z. Como por hipótesis A precede a B, entonces existira en el extreno derecho de A un segmento del anterior tipo que contenga puntos de A y que se denotará por [M, M +1], En forma similar existirá un segmento de enteros [N, N + 1]en el extreno izquierdo de B, que contenga puntos de B, Por ejemplo si A fuera¤−∞, 32 ¤ y B = [3,+∞[, entonces M = 1 y N = 3. De nuevo como A precede a B, entonces sólo puede n darse dos casos: i) M < N o bien ii) M = N. Para el caso i) el número M + 1 separa a los dos conjuntos A y B. – A z }| { − − − − − • M −–– • M+1– · N– B z }| { − · N+1 −−–—. Sea ahora el caso ii) M = N. Por sencillez supóngase que N > 0. En este caso se puede dividir el segmento [N, N +1] en 10 partes iguales y se escoge el segmento más a la derecha hN + m1 10 , N + m1+1 10 i que contenga puntos de A y el más a la izquierda hN + n1 10 , N + n1+1 10 i que contenga a puntos de B. Si estos segmentos no coinciden, entonces......1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 43 •Si finalmente en A no hay números de R+, pero en B hay números de R−, entonces se puede considerar a los conjuntos A0 = {−a : a ∈ A} y B0 = {−b : b ∈ A} y es claro que el conjunto B0 precede al conjunto A0( B0 ¹ A0), además en B0 hay números de R+. Pero como vimos en la primera parte de la demostración por el axioma 8 de R+se asegura la existencia del número −c, que separará a los conjuntos B0 y A0 (B0 ¹ −c ¹ A0), pero entonces el número c separará a los conjuntos A y B _ A z }| { •_____ 􀁂 _____B0_•___ B z }| { •__ •0 __ 􀁂 ____ ◦ ______A0__•__ ◦ _ •E incluso seguirá siendo válida la unicidad del número c, es decir seguirá siendo válida la condición necesaria y suficiente para la existencia de un único c que separe a los conjuntos no vacios A y B (donde A precede a B) pero ahora en R: Theorem 54 Para que los conjuntos A y B de R+, donde A precede a B, sean separados por un único número c es condición necesaria y suficiente que se cumpla lo siguiente: para cualesquiera que sea ε > 0, existen a de A y b de B, tales que cumplen con: b − a < ε, (es decir que existan segmentos entre los conjuntos tan pequeños como se quiera cuyos extremos sean respectivamente de A y B) En símbolos: (∀A, B (6= ∅) ⊂ R) (A ¹ B) (∃!c ∈ R) (A ¹ c ¹ B) (38) ⇐⇒ (∀ε > 0) (∃a ∈ A) (∃b ∈ B) b − a < ε Proof. Es completamente análoga a la realizada en R+7 7Otra demostración en el contexto de la notación decimal desarrollada. Primero la condiciió suficiente (Por contradicción): Supóngase que no es un único c, sino que existen dos c1 y c2 (c1 < c2), que separan a A de B, entonces para un n ∈ N suficientemente grande al segmento [c1, c2] le pertenecerá al menos un segmento £ m 10n , m+1 10n ¤ de una partición de longitud 1 10n con extremos no coincidentes, tal que: c1 < m 10n < m+1 10n < c2, pero si a ∈ A y b ∈ B, entonces a ≤ c1 < c2 ≤ b, y por ello £ m 10n , m+1 10n ¤⊂ [a, b]. Por otro lado cualquier segmento con extremos racionales que esté contenido el segmento [a, b], será de longitud mayor que 1 10n y por ello no pueden existir segmentos tan pequeños como se quiera con extremos pertenecientes respectivamment a A y a B. _A•a_____ • c1________ •m 10n__ • m+1 10n ___ • c2____•b_B La condición necesaria. Si ahora se cumple que hay un único c, que separa a A de B, se da una ε > 0 y se toma un segmento [α, β], con extremos α, β racionales tales que α < c < β y β − α < ε (un tal segmento puede escogerse como £cn − 1 10n , cn + 1 10n ¤), donde cn son las aproximacioone decimales de c con precisión 1 10n y n suficientemente grande. Se mostrará que sobre el segmento [α, β], existe al menos un número perteneciente a A. En caso contrario todo este conjunto A precedería al número α simultáneamente a que el conjunto B es posterior a c. Pero entonces todos los números de [a, c], separaría a los conjuntos A y B, lo que contradiría la hipótesis de que c era el único número que separaba a A de B. Es así que se ubicó al número a ∈ A, perteneciente al segmento [α, c]. De la misma manera se puede encontrar b ∈ B, perteneciente al segmento [c, β] con extremos racionales, cuya longitud es, cuya longitud es < ε. _•__A__α•| {z }___c•__•___ β• ____________• | {z } B ____44 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO .1.1 Números racionales e irracionales. Por lo visto hasta ahora se puede afirmar que en el conjunto de los números reales R las grandes clases de números que incluye son el conjunto de los números racionales Q y el de los números irracionales I (Q ⊂ R)(I ⊂ R) R = Q ∪ I. Arriba ya hemos tenido asociados al importante número c que separa a conjuntos tipo X y Y ejemplos de dos casos importantes en uno los conjuntos X y Y quedan separados por todo un segmento [a, b] con extremos a y b pintados por así decirlo de diferente color (pertenecientes respectivamente a X y Y ), todo un intervalo de posibles c, y en el otro X y Y quedan separados por intervalos que aunque sus extremos siguen estado pintados de diferente color existen segmentos tan pequeños como se quiera pintados de diferente color, lo cual quiere decir que X y Y quedan separados por un único punto c. En el primer caso cuando X y Y están separados por dos puntos extremos de un segmento se dice que definen a números racionales, mientras que en el segundo caso cuando X y Y están separados por un único punto c se dice que define a un número irracional. Pero recuérdese que en este último caso la condición necesaria y suficiente para tener un único punto c que separen a X de Y significa que (∀ε > 0) (∃ [a, b]) (a, b ∈ Q) b − a < ε8 A todos los números reales que no resulten ser racionales se les llama irracionnales Example 55 Ejemplos de números irracionales son muchas de las raíces como √2 (que de hecho arriba se demostró la imposibilidad de ser un número racional), el número π, el ln 2, 3 √4, etc. En cuanto a los números racionales e irracionales en notación decimal infinita las diferencias son: Los números racionales son aquellos que a partir de cierta posición decimal se repite un cierto grupo de cifas (llamado período) y como caso particular cuando se repite el período 0 (usualmente se dice que es un número decimal finito) e inversamente todo número decimal periódico define un número racional. Example 56 13 = 0.333 33 · · · not = 0.b3, 8 45 = 0.177 77 · · · not = 0.1b7, 17 = 0.142 857142 857 · · · not = 0.\142 857. En cambio los números que en notación decimal no admiten ningún período (decimales infinitos noperiódicos) se les llama irracionales. Example 57 El decimal infinito: 0.101001000100001000001 · · · no tiene período, ya que la regla de su construcción indica que después del primer 1 aparece un 0, luego del segundo 1 aparecen dos 0, y enseguida del tercer 1 aparecen tres 0 y así sucesivamente entre dos 1 consecutivos aparece un número de 0, creciente. Por ello es imposible que aparezca un período y por consiguiente el número es no periódico y por ende es un número irracional. 8 Si no se tuviera definida la resta recuérdese que esta condición rezaría así: (∀ε > 0) (∃ [a, b]) (α, β ∈ Q : [α, β] ⊂ [a, b]) β − α < ε..1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 45 Transformación de los decimales periódicos en facciones. Arriba ya se insinuo, que toda fracción (número racional de la forma: pq ) puede ser representada en su notación decimal simple y llanamente efectuando la divissió indicada. Pero el problema inverso, esto es teniéndose la representación decimal de un número como recuperar la fracción misma. Las recetas para transformar un número racional escrito en forma decimal a una fracción se planteal así: i) Un número formado sólo por su parte decimal pura y periódico resulta ser igual a la fracción en cuyo numerador aparece el período y en el denominador tantos 9 como número de cifras tenga el período. Example 58 x = 0.351351 · · · = 0.d351 100x = 351.351351 · · · 100x − x = 351.351351 · · · − 0.351351 · · · = 351 999x = 351 ∴ x = 351 999 = 39 111 Que como es fácil comprobar haciendo la división se obtiene el número decimma original. ii) Un número formado sólo por su parte decimal pura con una parte no periódica y luego un período resulta ser igual a la fracción en cuyo numerador aparece la diferencia entre el número desde el punto decimal hasta el inicio del segundo período y el número entero formado por la parte no periódica y en el denominador tantos 9 como número de cifras tenga el período con el agregado de tantos 0 como cifras tenga la parte no periódica. Example 59 x = 0.47612612 · · · = 0.47d612 100x = 47.612612 · · · ; 100000x = 47612.612 · · · 100000x − 100x = 47612.612 · · · − 47.612612 · · · ; : 47565. · · · 99900x = 513 ∴ x = 47612−47 99900 = 47565 99900 = 1057 2220 Que como también es fácil comprobar, haciendo la división se obtiene el número decimal original. La fundamentación de estas recetas finalmente descanza por tener infinitos decimales en la suma de infinitos números que se reduce a su vez al concepto de límite. Al ver en el futuro este concepto se regresará a este tema. .1.2 Módulo y desigualdades con números reales. Definition 60 El módulo o valor absoluto de un número real x, es aquel número denotado por |x|, que si x es no negativo (x ∈ R+0 ) será ese mismo número, mientras que si x es negativo (x ∈ R−) será el número negativo correspondiennte En otros términos |x| es siempre el número positivo correspondiente. En símbolos9 : (∀x ∈ R) |x| def = ½ x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 (39) 9Otra posible definición de módulo de x ∈ R es |x| def = max{x, −x}. Es decir, como módulo de x se toma al que no es negativo.46 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Example 61 |π| = π, |−π| = (− (−π)) = π. Algunas de las propiedades del módulo seguramente también planteadas en el Bachillerato son: Proposition 62 (∀x ∈ R) |x| = |−x| (40) Proof. Por la definición de módulo: x, si x ≥ 0 −x, si x < 0 ¾= ½ −x, si − x ≥ 0 − (−x) , si − x < 0 = ½ −x, si x ≤ 0 x, si x > 0 10 Proposition 63 (∀x, y ∈ R) |xy| = |x| · |y| (41) Proof. •Si ambos números tienen el mismo signo, entonces para x > 0, y > 0: |xy| = xy = |x| · |y|. (Para x < 0, y < 0: |xy| = xy = (−x) (−y) = |x| · |y|) •Si los números tienen signos contrarios, entonces para x > 0, y < 0: |xy| = −xy = x (−y) = |x| · |y|. (Para x < 0, y > 0: |xy| = −xy = (−x) y = |x| · |y|). •Si uno de los números es cero, entonces dígase para x = 0: |xy| = |0y| = |0| = 0· |y| = |0| · |y| = |x| · |y|. (Para y = 0: |xy| = |x0| = |0| = 0 = |x| ·0 = |x| · |y|)11 Proposition 64 (∀x, y ∈ R) ¯¯¯¯ xy ¯¯¯¯= |x| |y| (y 6= 0). (42) Proof. La demostración es inmediata si se analiza cada caso posible con la definición de módulo. Si x ≥ 0, y > 0: ¯¯¯xy ¯¯¯= xy = |x| |y| . Si x ≥ 0, y < 0: ¯¯¯xy ¯¯¯= x −y = |x| |y| . Si x < 0, y > 0: ¯¯¯xy ¯¯¯= −x y = |x| |y| . Si x < 0, y < 0: ¯¯¯xy ¯¯¯= −x −y = |x| |y| 10Obsérvese que en la primera expresión si x = 0, entonces |x| = 0. Y en la última si x = 0, entonces |x| = −0 = 0. Por lo que de esto se concluye que la primera y la última de las expresiones son iguales. Pudo usarse la definición alternativa de módulo, con ella la demostración de esta Proposición resulta diáfana: |x| = max{x, −x} = max{−x, − (−x)} = max {−x, x} = . |−x| . 11Por la definición alternativa de módulo: max {xy, −xy}. Si el máximo resulta ser xy esto provendrá de que ½ x > 0, y > 0, ´o x < 0, y < 0 , mientras que si el máximo resulta ser −xy esto provendrá de que ½ x > 0, y < 0, ´o x < 0, y > 0 , luego el máximo original provendrá de max {x, −x}max {y, −y}..1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 47 Proposition 65 (∀x ∈ R) |x|2 = x2 (43) Proof. Aquí todos los posibles casos serán: Si x ≥ 0: |x|2 = x2. Si x < 0: |x|2 = (−x)2 = x2 Proposition 66 (∀x ∈ R) |x| ≥ 0 (44) Proof. En efecto, si x ≥ 0, entonces: |x| = x ≥ 0. Si (x < 0) ⇒ |x| = −x ≥ 0. Proposition 67 (∀x ∈ R) − |x| ≤ x ≤ |x| (45) Proof. Si ½ x ≥ 0 : x = |x| x < 0 : |x| = −x > 0 ∴ x < |x| y juntando las 2 condiciones obtenidas: x ≤ |x|. En forma análoga si  •x = 0 : x = − |x| •x < 0 : − |x| = − (−x) = x < 0 ∴ x > − |x| y juntando las 2 condiciones obtenidas: x ≥ − |x|. Por consiguiente ahora juntando las dos desigualdades demostradas se obtiene: − |x| ≤ x ≤ |x| Proposition 68 (Desigualdad del triángulo)12 (∀x, y ∈ R) |x + y| ≤ |x| + |y| (46) Proof. •Primero sus ilustraciones geométricas: ///Fig.?///•Segundo la demostración desglosada por casos13. •Cuando ambos números son del mismo signo. Entonces si ambos son positiivos |x + y| = x + y = |x| + |y|, y si son negativos: |x + y| = − (x + y) = −x−y = |x|+|y|. Luego en ambos casos se cumple la igualdad de la desigualdad por demostrar. •Cuando los números son de signos contrarios. Entonces para fijar ideas supóngase que x > 0, y < 0 : |x + y| = |x − (−y)| < |x| + |y|, lo cual indica que se cumple la desigualdad por demostrar. •Cuando uno de los números es cero. Por ejemplo si y = 0, entonces |x + y| = |x+ 0| = |x| = |x| + 0 = |x| + |y|. Luego en ambos casos se cumple la igualdda de la desigualdad por demostrar. Es así que queda demostrada la llamada desigualdad del triángulo: |x + y| ≤ |x| + |y| 12El nombre de Desigualdad del Triángulo proviene de otra interpretación geométrica: Si se tiene los vectores −→x y −→y , que forman los catetos de un triángulo y sus correspondientes longitudes se denotan por x y y, entonces la longitud de la hipotenusa nunca sobrepasa a la suma de las longitudes de los catetos: |x + y| ≤ |x| + |y|. 13 También puede demostrarse usando la anterior Proposición para x, y y sumándolas: − |x| ≤ x ≤ |x| y − |y| ≤ y ≤ |y|, se obtiene: − (|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|), o de la definición de módulo: |x + y| ≤ |x| + |y| .48 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Proposition 69 (∀x, y ∈ R) |x + y| ≥ |x| − |y| (47) Proof. Como en la demostración de la Proposición anterior siendo exhaustivo en la verificación de todos los casos cualitativamente distintos14 Corollary 70 (∀x, y ∈ R) |x + y| ≥ |y| − |x| (48) Proof. En efecto, por simetría sustituyendo en la anterior Proposición x por y y y por x, se obtiene lo que se quería Proposition 71 (∀x, y ∈ R) ||x| − |y|| ≤ |x + y| (49) Proof. Del último Corolario: |x + y| ≥ |y| − |x| y de la última Proposición: |x + y| ≥ |x| − |y|, es decir de − |x + y| ≤ |y| − |x|, se tendrá las dos desigualdaddes ½ |x + y| ≥ |y| − |x| − |x + y| ≤ |y| − |x| , luego juntandolas en una sola: − |x + y| ≤ |y|− |x| ≤ |x + y|, esto es, por definición de módulo se tendrá: ||y| − |x|| ≤ |x + y|, pero como |−z| = |z|, entonces ||x| − |y|| ≤ |x + y| Corollary 72 De la desigualdad del triángulo y la desigualdad de la última Proposición se obtiene: ||x| − |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y| (50) ///Fig.?///Corollary 73 Sustituyendo y por −y en el anterior Corolario: ||x| − |y|| ≤ |x − y| ≤ |x| + |y| (51) ///Fig.?///.1.3 Recta numérica. Por analogía con la correspondencia establecida entre el conjunto de los números reales positivos y el cero R+0 y los puntos de la semirecta se establece la corresponddenci entre todo el conjunto de los números reales R y los puntos de toda la recta. Es decir que R queda representada por la recta, cuyo origen O es un punto arbitrario de la recta y al cual se le asocia el número 0. Una orientación positiva a la derecha del punto O. Un punto arbitrario U en esa dirección posittiv tomado como unidad de la escala y al cual se le asocia el número 1. Y finalmente cualquier número x = 3.4 le corresponde un punto M sobre la recta 14También es posible la demostración de |x + y| ≥ |x| − |y| a partir de la anterior Proposiciió (desigualdad del triángulo): (|x + y| ≤ |x| + |y|) ⇒ (|x + (−y)| ≤ |x| + |−y|) |−y|=|y| ⇒ (|x − y| ≤ |x| + |y|), pero haciendo x − y = z, entonces (|z| ≤ |z + y| + |y|), o sea: |z + y| ≥ |z| − |y|, o con cierto abuso de notación, regresando a la notación original: |x + y| ≥ |x| − |y|..1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 49 a la derecha de O, tal que la longitud OM = |x| = |3.4| = 3.4, mientras que el número x = −4.21 le corresponde un punto P sobre la recta a la izquierda de O, tal que la longitud OP = |x| = |−4.21| = − (−4.21) = 4.21. ____ P·−4.21 _________ O•0 __ U·1 _____ M· 3.4 _____R Las notaciones para los conjuntos de puntos que en R+0 representaban a segmennto intervalos y semisegmentos, semirectas y semirectas abiertas se seguirán representando igual en R, a saber:  [a, b] , (a, b) = ]a, b[ , [a, b) = [a, b[ , [a,+∞) = [a,+∞[ , (a,+∞) = ]a,+∞[ . ahora en R se amplían con la semirecta con orientación contraria a la positiva, a partir de a ∈ R: ––a] {x ∈ R : x ≤ a} def = (−∞, a] not = ]−∞, a] también llamada semirecta. Y la semirecta abierta: –––––––––––a). {x ∈ R : x < a} def = (−∞, a) not = ]−∞, a[ y finalmente toda la recta numerica: {x ∈ R : −∞ < x < ∞} def = (−∞,+∞) not = ]−∞,+∞[ = R. Se puede reanudar el tema de desigualdades con módulos. Definition 74 |x| ≤ r equivale a ½ si x ≥ 0, |x| = x ≤ r si x < 0, |x| = −x ≤ r ∴ x ≥ −r , que juntándolas en una doble desigualdad: −r ≤ x ≤ r, o sea (|x| ≤ r) ⇔ (−r ≤ x ≤ r) (52) Geométricamente: el conjunto {x : |x| ≤ r} caracteriza al intervalo cerrado de punto medio 0 de radio o semilongitud r _____ −r · ______ 0•____ x·__ r·______R mientras que (|x − a| ≤ r) ⇔ (−r ≤ x − a ≤ r) o sumándole a a las últimas desigualdades (|x − a| ≤ r) ⇔ (−r + a ≤ x ≤ r + a) (53) y el conjunto {x : |x − a| ≤ r} caracteriza al intervalo cerrado con centro en a de radio r _____ a−r · _____ x·_ a•______ a+r · ______R50 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO .1.4 Vecindades. Los conceptos que se llamarán locales serán conceptos puntuales, esto es que dependan de cada punto, pero dichos conceptos admitirán ser analizados en un cierto pequeño conjunto de valores que le rodean llamada vecindad de dicho punto. Es por ello que en lo sucesivo será importante la idea de vecindad. Definition 75 Al intervalo (abierto) (a − δ, a + δ) not = ]a − δ, a + δ[, con δ > 0, se le llama δ vecindad del punto a y se denota por U (a, δ). Y con la notación de conjuntos15 U (a, δ) = {x ∈ R : |x − a| < δ} = {x ∈ R : a − δ < x < a + δ} (54) Definition 76 A la unión de los intervalos (a − δ, a) ∪ (a, a + δ) (o lo que es lo mismo a la unión ]a − δ, a[ ∪ ]a, a + δ[), con δ > 0, se le llama δ vecindad agujerada del punto a y se denota por ◦U(a, δ) = ]a − δ, a[ ∪ ]a, a + δ[ Obsérvese que la vecindad agujerada no es otra cosa, sino la vecindad, pero con un agujero puntual de precisamente en su centro a. A los intervalos de esta vecindad agujerada se les llama respectivamente semivecindad izquierda y derecha, las cuales se denotan por: U − (a, δ) = ]a − δ, a[, U+ (a, δ) = ]a, a + δ[ luego ◦U(a, δ) = U − (a, δ) ∪ U+ (a, δ) (55) Definition 77 En la notación de conjuntos: ◦U(a, δ) = {x ∈ R : 0 < |x − a| < δ} = ½x ∈ R : a − δ < x6=0 x < a + δ¾ (56) Se puede al menos considerar dos propiedades de las vecindades: Proposition 78 La intersección de dos vecindades (de dos vecindades agujeraddas es de nuevo una vecindad (una vecindad agujerada). Proof. En efecto, si se tiene las vecindades δ1 y δ2, con centro en a, su interseccció será: –––³− ³− a·−´−´–––– U (a, δ1) ∩ U (a, δ2) = U (a, δ), con δ = min{δ1, δ2} (57) En forma análoga si se cuenta con las vecindades agujeradas de radios δ1 y δ2, con centro en a, su intersección será: –––³− ³− a◦ −´−´–––– ◦U(a, δ1) ∩ ◦U(a, δ2) = ◦U(a, δ), con δ = min{δ1, δ2} (58) 15 U (a, δ) = {x ∈ R : |x − a| < δ} = {x ∈ R : −δ < x − a < δ} = {x ∈ R : a − δ < x < a + δ}.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES R. 51 Proposition 79 Dos puntos arbitrarios distintos: a, b ∈ R admiten vecindades ajenas16. Proof. Tomando la distancia entre a y b como ε = |a − b| de inmediato se pueden definir las vecindades: U ¡a, ε2 ¢ y U ¡b, ε2 ¢, que son ajenas: U ¡a, ε2 ¢∩ U ¡b, ε2 ¢ = ∅. En efecto, por contradicción, si se supusiera que existíera algún c ∈ U ¡a, ε2 ¢∩ U ¡b, ε2 ¢, entonces: |a − b| = |a ± c − b| = |(a − c) + (c − b)| D.T. ≤ |a − c| + |c − b| (59) pero por pertenecer c tanto a una como a la otra vecindad, entonces: ½ |a − c| < ε2 |c − b| < ε2 , que sustituida en (??), se tendrá |a − b| ≤ |a − c|+|c − b| < ε2 + ε2 = ε, es decir: |a − b| < ε, pero esto entra en contradicción con el punto de partida de la demostrración |a − b| = ε. Esta contradicción significa que no puede existir ningún c en la intersección de las dos vecindades y por ende U ¡a, ε2 ¢∩ U ¡b, ε2 ¢= ∅ En lo sucesivo se usará frecuentemente, por ejemplo en el análisis del comportaamient de las funciones cuando la variable sin cota alguna crece, que tiene sentido considerar no sólo el conjunto de números reales R, sino también el símbool ideal ∞, con el cual se puede completar a R, a saber: R ∪ {∞} def = R0. Es evidente que ∞ es un símbolo y no un número, por lo cual no se operará con el como con los números de R, pero si tendrá sentido y se necesitarán las vecindades de dicho símbolo, en particular las vecindades agujeradas del ∞. La parte intuitiva de la que se partirá consiste en que aquellos valores reales x entre más alejados del número 0 estén, más cerca del símbolo ∞ estarán. Por ello se justifica la siguiente Definition 80 Si la constante M es positiva, se llama M vecindad agujerada del símbolo ∞ al conjunto de todas aquellas x, tales que en valor absoluto sobreppasa a M. En símbolos: ◦U(∞, M ) def = {x ∈ R : |x| > M} La M vecindad agujerada del símbolo ∞ estará formada por la unión de las dos semirectas: x > M, y x < −M, es decir ◦U(∞, M ) not = {x ∈ R : x > M} ∪ {x ∈ R : x < −M} = (M,+∞) ∪ (−∞, −M) = ]M,+∞[ ∪ ]−∞, −M[ = U+ (∞, M ) ∪ U − (∞.M ) que también se llamarán M semivecindades derecha e izquierda del símbolo ∞. 16Recuérdese que dos conjuntos se dicen ajenos o disjuntos si su intersección es vacía. En símbolos: (X, Y ajenos)def ⇔ (X ∩ Y = ∅).52 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO A diferencia de una δ vecindad (agujerada) de un punto a: ◦U(a, δ), que disminuye su longitud cuando δ disminuye, la M vecindad agujerada del símbolo ∞: ◦U(∞, M ), la cual disminuye su longitud cuando M crece: ––––– · M2– –– · M1–––––-(M1 > M2 > 0) ⇒ ◦U(∞, M1) ⊂ ◦U(∞, M2) y ahora la intersección de dos vecindades del ∞ será de nuevo una vecindad del ∞, pero su radio queda caracterizado no como el mínimo de los radios, sino como el máximo de los mismos ◦U(∞, M1) ∩ ◦U(∞, M2) = ◦U(∞, M ) donde M = max{M1, M2}. .2 Conjuntos Numéricos Acotados. A manera de motivación. El área de cualquier poligono en el interior de una circunferencia de radio R no sobrepasa el área del cuadrado circunscrito a la misma circunferencia (4R2). En este caso se dice que el conjunto de áreas de los poligonos interiores está acotado superiormente por el número 4R2. 1. Definition 81 El número b se llama cota superior (cota inferior) del conjunto X, si para toda x de X se cumple que x ≤ b (x ≥ b). En símbolos: b cota superior def ⇔ (∀x ∈ X) x ≤ b b cota inferior def ⇔ (∀x ∈ X) x ≥ b Definition 82 El conjunto numérico X se llama acotado superiormente (acotado inferiormente) si dicho conjunto X admite al menos una cota superior (una cota inferior). En símbolos: X acotado superiormente def ⇔ (∃b) (∀x ∈ X) x ≤ b X acotado inferiormente def ⇔ (∃b) (∀x ∈ X) x ≥ b Definition 83 Si el conjunto numérico X no es acotado superiormente se le llama no acotado superiormente (no acotado inferiormente) En lo sucesivo también se necesitará saber negar proposiciones, en particulla proposiciones que contienen cuantificadores ∀ y ∃. La regla general para la construcción de la negación de una proposición parte de ejemplos como:.2. CONJUNTOS NUMÉRICOS ACOTADOS. 53 Example 84 “Para todas las x de X la proposición P (x) no es verdadera ” es equivalente a decir “Existe x de X para la cual la proposición P (x) es verdadera” En símbolos: “(∀x ∈ X) dP (x)” ⇔ “(∃x ∈ X) P (x)” Example 85 “Existe x de X para la que no se cumple la proposición P (x)” es equivalente a decir “Para toda x de X la proposición P (x) es verdadera ” En símbolos: “(∃x ∈ X) dP (x)” ⇔ “(∀x ∈ X) P (x)” De estos ejemplos se puede concluir que la regla para la construcción de la negación de una proposición consiste en sustituir cada cuantificador ∀ y ∃ respectivamente por ∃ y ∀; además la proposición misma se sustituye por su negación. Como la negación de x ≤ b es x > b y la negación de x ≥ b es x < b, la no acotabilidad superior de un conjunto queda así definida. Definition 86 El conjunto numérico X se llama no acotado superiormeent (inferiormente), si cualquiera que sea la b existen x de X, para las que se cumple que x > b (x < b). En símbolos (compárese con la definición de acotado superiormente): X no acotado superiormente def ⇔ (∀b) (∃x ∈ X) x > b X no acotado inferiormente def ⇔ (∀b) (∃x ∈ X) x < b Example 87 Demostrar que el conjunto de números naturales N es acotaad inferiormente, pero no es acotado superiormente. Proof. Puesto que (∀n ∈ N) n ≥ 1, entonces por definición N es acotaad inferiormente y 1 resulta ser una cota inferior. Por otro lado (∀n (= b) ∈ N) n < n + 1. Es decir (∃x ∈ X) existe un número natural (el n+1) que es mayor que n (= b). Esto significa que N no es acotado superiormente. Cada conjunto numérico X acotado superiormente tiene al menos una cota superior b y si a > b, entonces con sobrada razón a es también cota superrior de manera que todo conjunto numérico X acotado superiormente tiene infinitas cotas superiores. Enseguida se demostrará que entre todda esas cotas superiores se puede escoger la más pequeña, la menor, la mínima. .2.1 Supremum e Infimum. 1. Theorem 88 Si X es un conjunto numérico no vacío acotado superiormennte Entonces entre sus cotas superiores existe la mínima. Proof. En este Teorema están propiamente definidos dos conjuntos numéricco no vacíos X y Y : X es el mismo conjunto dado. Y es el conjunto formaad por todas las cotas superiores de X (son no vacíos: X por hipótesis54 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO del Teorema y Y por que X es acotado superiormente y por ende está obligado a tener al menos una cota superior que sería un elemento de Y ). Además por la definición de cota superior (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ y. Por consiguiente X precede a Y (X ¹ Y ), pero entonces existirá al menos un número b que separa a X de Y (X ¹ b ¹ Y ), pero esto a su vez significa que (∀x ∈ X) (∀y ∈ Y ) x ≤ b ≤ y, donde la primera desigualdad x ≤ b significa que b es cota superior de X, mientras que la segunda desigualdad b ≤ y significa que b es la menor de las cotas superiores de X (de los elementos de Y ) Theorem 89 Si X es un conjunto numérico no vacío acotado inferiormennte Entonces entre sus cotas inferiores existe la más grande. Su demostrració es por simetría análoga a la del Teorema anterior. Definition 90 Si X es un conjunto numérico no vacío acotado superiormeente a su mínima cota superior se le llama supremum y se denota como sup X. Definition 91 Si X es un conjunto numérico no vacío acotado inferiormennte a su máxima cota inferior se le llama infimum y se denota como inf X. Example 92 X = ©x ∈ Q : √2 ≤ x ≤ √7ª ⇒ inf X = √2 y sup X = √7. En este caso ½ inf X /∈ X sup X /∈ X . Example 93 X = {x ∈ Q : 1 ≤ x ≤ 4} ⇒ inf X = 1 y sup X = 4. En este caso ½ inf X ∈ X sup X ∈ X . Para poder formalmente demostrar que un conjunto X tiene supremum b = sup X hay que regresar a los Teoremas anteriores y darse cuenta que las frases 1) el supremum debe ser una cota superior del conjunto X y 2) el supremum debe ser la mínima de las cotas superiores; se pueden traducir en: 1. Para todas las x de X se debe cumplir que x ≤ b, y 2. Si c < b, entonces al menos para una x de X se tiene que c < x (ya que en caso contrario (negación de lo formulado) c sería una cota superior de X, lo que contradiría que c < b) En símbolos estas dos importantísimas condiciones podrían quedar formulaada así: 1. (∀x ∈ X) x ≤ sup X.2. CONJUNTOS NUMÉRICOS ACOTADOS. 55 2. (∀c < sup X) (∃x ∈ X) x > c X z }| { − − − − − − − · ∀c − ∃x · − − −− sup X pb O bien como se acostumbra a través de una ε arbitraria: 1. (a) (∀x ∈ X) x ≤ sup X 2. (∀ε > 0) (∃x ∈ X) x > sup X − ε ––––– · sup X−ε–∃x · –––-sup X pb En forma completamente análoga para el b = inf X 1. (∀x ∈ X) x ≥ b 2. (∀c > b) (∃x ∈ X) x < c. Exercise 94 Demostrar que para X = nx ∈ R : x = n n+2; n ∈ No el sup X = 1 y el inf X = 13 . Solution 95 Primero nótese que intuitivamente los valores propuestos como supremum e infimum provienen de considerar n muy grandes para las cuales en n n+2 tanto el numerador como el denominador en muy poco diferirán, es decir se comportarán cercanos a 1, de ahí la hipótesis de que el sup X = 1. En cambio la idea intuitiva de por que el inf X = 13 , se basa en tomar el valor para la n más pequeña, o sea n n+2¯¯¯n=1 = 13 . Ahora con cierto rigor: 1. (∀n ∈ N) x = n n+2 < 1 (ya que el numerador es más pequeño que el denominaador Por lo tanto el 1 es una de las cotas superiores de X (recuérdese que la condición es que x ≤ b y en este caso se cumple la desigualdad estricta). 2. Por demostrar que el 1 es la mínima cota superior. Hay que demostrar en la formulación ε que (∀ε > 0) ³∃x = n n+2 ∈ X´ n n+2 > 1 − ε Tomando a la ε arbitaria en forma decimal, sin perder generalidad : ∀ε > 0 significará ∀m ∈ N, tal que digamos ε = 1 10m . Para tales ε deberá existir una x, esto es una n n+2, tal que n n+2 > 1 − ε, o sea que de ser posible eso se deberá cumplir a partir de cierta n, se verá a partir de cuál: n n + 2 > 1 − 1 10m ⇒ n n + 2 − 1 > − 1 10m ⇒ 1 − n n + 2 < 1 10m ⇒ 2 n + 2 < 1 10m ⇒ 2 · 10m < n + 2 ⇒ 2 (10m − 1) < n n > 2 (10m − 1) (60)56 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO Es para estas n que deberá existir una x = n n+2, tal que n n + 2 > 1 − ε y eso es lo que se quería demostrar. 3. En la formulación via c : (∀c < sup X) (∃x ∈ X) x > c , esto es (∀c < 1) ³∃x = n n+2 ∈ X´ n n+2 > c. Por este camino y de nuevo intentando tener números en su representación decimal como trampolín para verificar el aserto, se puede uno convencer de la existencia de m, tales que c < 1 − 1 10m (61) − − − − − ·c − 1− 1 10m · − − −− sup X p1 Comparando el supuesto valor del sup X con el de los elementos x de X: 1 − x = 1− n n + 2 = 2 n + 2 tomando en cuenta la estimación obtenida en la deducción anterior, a saber (60): n > 2 (10m − 1) se tendrá 1 − x = 2 n + 2 n>2(10m−1) < 2 2 (10m − 1) + 2 = 1 (10m − 1) + 1 = 1 10m de donde 1 − x < 1 10m ⇒ 1 − 1 10m < x y de (61) x > 1 − 1 10m > c es decir: x > c y eso es lo que se quería demostrar. Es así que se ha podido demostrar de 2 maneras distintas que el sup X = 1. 4. En forma completamente parecida se podría demostrar que el inf X = 13 . Aquí para variar se intentará una manera más simple, como: x = n n + 2 = (n + 2) − 2 (n + 2) = 1− 2 n + 2 y de aquí se intenta concluir lo deseado. En efecto, si n crece, entonces x como la diferencia obtenida 1− 2 n+2 también crecerá, puesto que al crecer n el denominador crecerá y toda la fracción disminuirá y por ende se estará disminuyendo al 1 una magnitud menor con lo cual la diferencia 1 − 2 n+2 aumentará. Pero el menor valor que puede tomar la diferencia 1 − 2 n+2 se alcanza cuando n toma su valor más pequeño, esto es, cuando n = 1, luego el menor valor de 1 − 2 n+2¯¯¯n=1 = 1− 23 = 13 por consiguiente el inf X = 13 ..3. PREGUNTAS DE AUTOCONTROL. 57 Definition 96 El conjunto numérico X acotado superiormente e inferiormente se llama conjunto acotado. Con base en esta definición el conjunto numérico X es acotado en el caso y solo en el caso de que exista un segmento [a, b], que contenga a dicho conjuunt (X ⊂ [a, b] y en calidad de dicho segmento se puede tomar el segmento: [inf X, sup X]). Si se denota por M = max{|a| , |b|}, con X ⊂ [a, b], entonces −M ≤ − |a| ≤ a, b ≤ |b| ≤ M (62) y por ello [a, b] ⊂ [−M, M] y por consiguiente X ⊂ [−M, M]. Por lo anteriio (∀x ∈ X) |x| ≤ M. Esto permite sustituir la anterior definición por su equivalente: Definition 97 El conjunto numérico X es acotado, si existe un número positivo M, tal que cualquiera que sea x de X, quedará acotada superiormente por M e inferiormente por −M. En símbolos: (X es acotado) def ⇔ (∀x ∈ X) (∃M > 0) |x| ≤ M, (recuérdese que esta última desigualdad es equivalente a: −M ≤ x ≤ M). Example 98 El conjunto M de las áreas de los polígonos que se pueden definir al interior de un círculo de radio R, resulta estar acotado inferiormente por el 0, mientras que superiormente está acotado por 4R2 el área del cuadrado exterior al circulo de lado 2R. Por lo tanto este conjunto es acotado. Su sup X = πR2 correspondiente al área del círculo y trivialmente el inf X = 0. .3 Preguntas de autocontrol. 1. (∀x, y ∈ R) qué significa la desigualdad: x < y. 2. ¿Qué significa que un conjunto numérico X preceda a otro Y ? Dar al menos un ejemplo. 3. ¿Qué significa el número c o número cortadura o número que separa a dos conjuntos. Dar al menos un ejemplo de un único número c que separe a dos conjuntos. Dar al menos un ejemplo de dos conjuntos separados por un único número c. Dar otro ejemplo de dos conjuntos separados por infinitos números c. 4. El conjunto X está formado por los números irracionales de la semirecta ]−∞, 8] y Y está formado por los números racionales del segmento: [88, 888]. ¿X precede a Y ? ¿Qué números separan a X de Y ? ¿cuál es el menor número, que separa a X de Y ? 5. El conjunto X está formado por los números racionales de la semirecta [−4, 6] y Y está formado por los números irracionales del segmento: [5, 8]. ¿X precede a Y ? ¿Existen números que separan a X de Y ?58 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO 6. ¿Para cuáles conjuntos númericos existen números que los separan? 7. Escribir con símbolos y cuantificadores que el conjunto X precede a Y . Escribir la negación de la anterior afirmación. 8. Escribir con símbolos y cuantificadores la afirmación de que el número c, que separa a los conjuntos X y Y . Escribir la negación de esta afirmación. 9. Supóngase que X precede a Y . ¿Pueden X y Y tener una intersección no vacía?. ¿Pueden X y Y tener dos números comunes?. ¿Pueden los conjuntos X y Y intersectarse si los separan dos números distintos?. 10. Enunciar el criterio de unicidad del número que separa a dos conjuntos. 11. Dar ejemplos de cinco números irracionales. 12. ¿Qué conjunto resulta ser la unión de los conjuntos de números racionales e irracionales? ¿Qué conjunto resulta ser la intersección de dichos conjuntos?. 13. ¿Qué ocurre con las aproximaciones por defecto al aumentar las cifras decimales que no cambian?. ¿Qué ocurre con las aproximaciones por exceso al aumentar las cifras decimales que no cambian? 14. ¿Qué tipos de intervalos se conocen en la recta numérica?¿Qué es un intervalo, un segmento, un semisegmento, un rayo abierto y un rayo?. Exibir ejemplos. 15. ¿A qué se llama vecindad de un punto?.¿A qué se llama centro de una vecindad de un punto?. ¿A qué se llama radio de una vecindad?.¿Qué es una vecindad agujerada?. 16. ¿A qué se llama módulo de un número real?.¿Puede un módulo ser negativo?¿A qué se llama vecindad de un punto?. y ¿Puede ser cero?. 17. ¿Cuál es el sentido geométrico de los símbolos |x| |x − a|?. 18. Representar en el eje numérico al conjunto {x ∈ R : |x − a| ≤ δ}, con δ > 0. ¿Qué es este conjunto?. 19. Representar en el eje numérico al conjunto {x ∈ R : 0 < |x − a| ≤ δ}, con δ > 0. ¿Qué es este conjunto?. 20. ¿Qué es un punto alejado al infinito?. ¿Cómo se define su vecindad?. 21. Escribir con ayuda de símbolos y cuantificadores la definiciones de los siguientes conceptos: i) Conjuntos acotados infriormente. ii) Conjuntos acotados superiormeente iii) Conjuntos no acotados superiormente. iii) Conjuntos no acotados inferiormente. 22. ¿Puede un conjunto numérico ser acotado superiormente?. y ser acotado inferiormeente? En este caso en conjunto puede llamarse acotado..3. PREGUNTAS DE AUTOCONTROL. 59 23. ¿Es acotado el conjunto de los números reales R?. ¿Es acotado superiormente el rayo [0,+∞[?. Y ¿el rayo abierto ]−∞, 8[?. ¿Es acotado el segmento [8, 88]? y ¿el intervalo]4, 44[? 24. ¿En qué se distingue el supremum del conjunto X de las restantes cotas superioore de este mismo conjunto X?. 25. ¿Bajo qué condición existe el supremum del conjunto X? 26. ¿El conjunto vacío admite supremum e infimum?. ¿Tendrá supremum el conjuunt de los números naturales? 27. ¿Cuál es el supremum e infimum del conjunto de cifras?. 28. ¿Para qué conjuntos numéricos el sup X = inf X?. 29. ¿Puede cumplirse la desigualdad sup X < inf X?. 30. Hallar el sup X e inf X, si a) [α, β] b) ]α, β[ c) ]a, b] d) [a, b[ ¿En qué casos: sup X ∈ X; inf X ∈ X?. .3.1 Ejercicios y Problemas I. 1. En el conjunto de números naturales N se introduce la relación de orden natural. ¿Existe dentro de los elementos de N el mayor? ¿Existirá dentro de ellos el menor?. 2. En el conjunto de números enteros Z se introduce la relación de orden natural. ¿Existen dentro de los elementos de Z el mayor y el menor?. 3. Supóngase que Q<1 es el conjunto de números racionales r < 1. ¿Existe dentro de los elementos de Q<1 el menor? ¿Existirá dentro de ellos el mayor?. 4. Si ahora Q≤1 es el conjunto de números racionales r ≤ 1. ¿Existe dentro de los elementos de Q≤1 el menor? ¿Existirá dentro de ellos el mayor?. 5. Demostrar que se puede escoger un N , tal que a partir de dicho N (n ≥ N) se cumple la desigualdad 2n > n10. 6. Demostrar que existe un N , tal que a partir de dicho N (n ≥ N ) se cumple la desigualdad 2n2+2n+1 3n2−2 − 23 < 3 100 . 7. Demostrar que se puede escoger un N , tal que luego de dicho N (n > N) se cumple la desigualdad 1000 · 2n < 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) n. 8. Existirá un número C, tal que para todas las n enteras se cumpla la desigualdad: ¯¯¯n3−2n+1 n4−3 ¯¯¯< C.60 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO 9. Existirá un número C, tal que para todas las n enteras se cumpla la desigualdad: ¯¯¯n4−3 n3−2n+1¯¯¯< C. 10. Para colegir la existencia de segmentos inconmensurables, demuestra que la diagoona de un cuadrado es inconmensurable con su lado. (Esta demostración impactó el desarrollo de la matemática de la Antigua Grecia, ya que ellos sólo conocían los números racionales, mientras que lo usual es que la relación enttr longitudes de segmentos no se exprese mediante números racionales. Por ello es que los Griegos desarrollaron geométricamente toda su Matemática, no apoyándose en el concepto de número) 11. Demostrar que no existen números racionales r, tales que su cuadrado sea 5 (r2 = 5). 12. Demostrar que si a es un número entero (a ∈ Z), entonces a no resulta ser el cuadrado de otro número entero b (a 6= b2). 13. Demostrar que si a es un número entero, que no resulte ser el cubo de otro número entero b (a 6= b3), entonces tampoco resultará ser el cubo de un número racional r (a 6= r3). 14. Demostrar que si los catetos de un triángulo rectángulo tienen longitudes con valores enteros, entonces la hipotenusa o tiene valores enteros, o bien es inconmensuurabl con los catetos. 15. Supóngase que a, b, c ∈ Z, ¿bajo que condición la ecuación ax2 + bx + c = 0 admite raíces racionales? Demostrar la necesidad y la suficiencia de dicha condición deducida. 16. Señalar en el eje numérico el conjunto M definido por las desigualdades: a) ½ |x − 2| < 3 |x + 6| > 5 b) |x − 4| + |x + 4| ≤ 0 c) ½ |x − 3| + |x + 3| ≤ 10 |x − 1| > 2 d) ½ |x − 4| < 6 x ≥ 7 17. Demostrar que a+b+|a−b| 2 resulta ser igual al mayor entre a y b. Mientras que a+b−|a−b| 2 resulta ser igual al menor entre a y b. 18. Resolver las desigualdades: a) ¯¯¯x+2 x−1 ¯¯¯> 3 b) ¯¯¯x−2 x+1¯¯¯< 2 c) |(x − 4) (x − 2)| < 8 19. Demostrar que la expresión: ||x − y| + x + y − 2z| + |x − y| + x + y + 2z no cambia al permutar los valores de x, y y z..3. PREGUNTAS DE AUTOCONTROL. 61 20. Demostrar que |x + y| 1 + |x + y| ≤ |x| 1+ |x| + |y| 1 + |y| 21. Convertir a una fracción usual los decimales periódicos: a) 0.d351 b) 0.47d612 d) 0.c45 e) 0.28c37 c) 0.00c15 d) 3.d716 con estos ejercicios se puede suponer que las reglas con las que se operaba en la secundaria han podido ser reconstruidas. Se podrá colegir una regla general para todos los números racionales. 22. Calcular: 0.8b5+0.17b1+0.8b3+0.1b6 0.8b5−0.17b1+0.8b3−0.1b6 23. Cuáles de las siguientes proposiciones abajo enumeradas son ciertas y cuáles son falsas: La fracción irreducible ab puede representarse como un número decimal finito: (a) sí y solo sí el denominador b no es divisible entre ningún número primo distinto de 2. (b) sí el denominador b no es divisible entre ningún número primo distinto de 2. (c) solo cuando b no es divisible entre ningún número primo distinto de 2. (d) cuando y solo cuando b no es divisible por 3. (e) si b no es divisible por 3. (f) solo cuando b no es divisible por 3. 24. Cuáles de las siguientes proposiciones abajo enumeradas son ciertas y cuáles son falsas El número racional mn puede representarse como un número decimal finito: (a) sí y solo sí n no tiene otros divisores primos distintos de 2 y 5. (b) sí n no tiene otros divisores primos excepto 2 y 5. (c) solo cuando n no tiene otros divisores primos distintos de 2 y 5. (Recomendación: tómese en cuenta que no se pide la irreducibilidad de mn ) 25. ¿Qué números racionales admiten una doble representación decimal sustancialmeent distinta? 26. ¿Puede un número racional admitir tres representaciones decimales sustancialmeent distintas?62 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO 27. Demuestra que en su representación decimal el número: 0.010110111011110 · · · (luego del punto decimal aparece un cero, y un uno; después de nuevo un cero y dos unos; luego un cero y tres unos, etc.) no es periódico, es decir es un número irracional. 28. Demuestra que en su representación decimal el número: 0.01001100011100001111 · · · (luego del punto decimal aparece un cero, y un uno; después dos ceros y dos unos; luego tres ceros y tres unos, etc.) no es periódico, es decir es un número irracional. 29. En el contexto de la representación decimal de los números demuestra que entre dos números reales cualesquiera x y y hay un conjunto infinito de números racionales e irracionales. (La base de toda la construcción es darse cuenta que entre dos números reales cualesquiera x y y hay un segmento de la forma £r, r + 1 10n ¤con r = N.a1a2a3 · · · an) 30. Demuestra que en su representación decimal el número: 0.12345678910111213 · · · (luego del punto decimal aparecen todos los números naturales) no es periódico, es decir es un número irracional. 31. Señalar entre los números decimales: ½ 0.312000102 · · · 0.311999016 · · · un número racional y un irracional. 32. El segmento [0, 1] se divide en 10 partes iguales y se desprecia el tercer subinterrval (se aniquila el [0.2, 0.3)) dejando el extremo derecho 0.3. La misma operación se realiza con las 9 partes restantes dividiéndolas en 10 partes iguales y se desprecia en cada parte su tercer subintervalo dejando en cada subintervalo despreciado su extremo derecho. El procedimiento se repite indefinidamente. ¿Cuáles números quedan después de este procedimiento? ¿Con ayuda de qué cifras se pueden escribir dichos números? 33. Describir el proceso de formación del conjunto de números que en su representtació decimal no aparecen las cifras 3 y 8. 34. Demostrar que los números: a) √5 b) √15 c) √3 + √5 d) 3 √3 son irracionales. 35. Si se sabe que α es un número irracional, entonces demostrar que 1α también lo es. 36. ¿El número 0 es un número racional o irracional? 37. Si α es un número irracional positivo, podrá ser √α un número racional. 38. Supóngase que α y β son irracionales y además α + β es racional, mostrar que entonces α − β y α + 2β son números irracionales..3. PREGUNTAS DE AUTOCONTROL. 63 39. Supóngase que α y β son irracionales y además r es un número racional, ¿Cuáles de los siguientes números pueden resultar ser racionales? a) α + 4β b) α + r c) √α d) √r e) αβ f) √α + r g) pα + √β h) pα + √r i)pr + √α j) αr 40. Demostar que entre dos números reales distintos cualesquiera x y y se pueden escoger números racionales e irracionales. 41. Puede haber entre dos números reales distintos sólo 1000 números racionales. 42. Hallar el segmento que separa a los conjuntos A de las fracciones de la forma na : a = n2 n2+1, n ∈ Noy B de las fracciones nb : b = 2n2+10 n2+4 , n ∈ No. 43. Hallar el número que separa a los conjuntos A de las fracciones na : a = n2 n2+1o y B de las fracciones nb : b = 2n2+2 n2+1 o. .3.2 Ejercicios y Problemas I’. 1. Supóngase que los números c1 y c2 separan a los conjuntos X y Y. Demostrar que el número c1+c2 2 también separa a los conjuntos X y Y . 2. i) Demostrar que los conjuntos X = nx : x = 2n n+1, n ∈ Noy Y = nx : x = 2n+4 n+1 , n ∈ No, quedan separados por un único número c = 2. ii) Demostrar que cualquier número del segmento [2, 4] separa a los conjuntos X = nx : x = 2n+1 n+5 , n ∈ Noy Y = nx : x = 4n2+1 n2 , n ∈ No. 3. La aproximación decimal por defecto con precisión 0.001 del número x es igual a 2.564. ¿A qué es igual la aproximación decimal por exceso con precisión 0.001?. ¿A qué es igual la aproximación decimal por exceso con precisión 0.1?. ¿A qué son iguales las aproximaciones decimales por exceso y por defecto con precisión 0.01?. 4. Apuntar las aproximaciones decimales de √2 por defecto y por exceso con precissió de 0.1;de 0.01; de 0.001 y hallar la diferencia entre 2 y los cuadrados de estas aproximaciones. 5. Sabiendo que √2 = 1. 414 2 · · · y √3 = 1. 732 1 · · · (a) Hallar la parte entera de la suma: √2 + √3 y sus primeras 3 cifras decimalles (b) Hallar con precisión 0.001 el valor de √6. 6. i) Señalar dos números irracionales, cuya suma es un racional. ii) Señalar dos números irracionales, cuya producto es un racional.64 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICO 7. i) ¿Puede la suma de un número irracional con uno racional ser un número racional?. ii) ¿Puede el producto de un número irracional con uno racional ser un número racional?. 8. Supóngase que α y β son números irracionales, además que α−β es un racional. Demostrar que los números α + β y α + 3β son irracionales. 9. Sean los conjuntos numéricos: A = [1, 5], B = [3, 7], C = [−4, 8], D = ]0, 6[. Hallar los conjuntos: a) A ∩ B ∩ C ∩ D b) A ∪ B ∪ C ∪ D c) (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) d) (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 10. Señalar en la recta numérica los conjuntos definidos por las desigualdades: a) |x − 2| < 3 b) |x + 2| ≥ 2 c) |x − 4| + |x + 4| ≤ 10 d) |x| > 10 11. i) Hallar vecindades de los puntos x1 = 0.99, x1 = 1.01, que no se intersecten. ii) Demostrar que cualquier punto admite una vecindad, que no se intersecta con al menos una vecindad del punto al infinito. iii) Demostrar que si b ∈ U (a, δ), entonces existe una vecindad U (b, ε), tal que U (b, ε) ⊂ U (a, δ). 12. Bajo que condición se cumplen las igualdades: a) |x + y| = |x| + |y| b) |x + y| = |x| − |y| c) |x − y| = |x| − |y| d) |x − y| = |x| + |y| e) |x − y| = |y| − |x| 13. Señalar cuáles de los conjuntos abajo enumerados resultan ser acotados inferiormeente superiormente, o acotados: (a) El conjunto de los números racionales: r = pq , para los cuales 0 < p < q. (b) El conjunto de los números racionales: r = pq , para los cuales 0 < q < p. (c) El conjunto de los números racionales: r = pq , para los cuales −q < p < 0. (d) El conjunto de los números irracionales pertenecientes al intervalo ]−1, 1[. (e) El conjunto de los volúmenes de poliedros inscritos en la esfera de radio R. (f) El conjunto de aproximaciones decimales por defecto del número real √5. (g) El conjunto de números de la forma: n4 2n4+1, donde n ∈ N . (h) El conjunto de números de la forma: n2 n+1, con n ∈ N . 14. Demostrar que todo conjunto finito de números reales es acotado..3. PREGUNTAS DE AUTOCONTROL. 65 15. Demostrar que si los conjuntos númericos A y B son acotados, entonces su unión e intersección son conjuntos acotados. Con ayuda de esta proposición demostrar que la unión de cualquier número finito de segmentos es un conjunto acotado. 16. Supóngase que X = nx : x = 2n2 3n2+1, n ∈ No. Demostrar que el sup X = 23 , y el inf X = 12 . 17. Hallar los supremum e infimum (o bien demostrar que tales no existen) de los conjuntos del Problema 13 de esta lista. 18. Demostrar que si X es un conjunto acotado y ½ b1 = inf X b2 = supX , entonces todo el conjunto X pertenece al segmento [b1, b2], siendo [b1, b2] el menor de los segmentos que poseé la propiedad mencionada (o sea que ningún otro segmento [b01, b02] : [b01, b02] ⊂ [b1, b2], distinto de [b1, b2] tiene esta propiedad).66 CHAPTER 5. EL MÉTODO AXIOMÁTICOAppendix A Apéndice 1 6768 APPENDIX A. APÉNDICE 169 Obsérvese que (5.2) aloga N def = N es realmente una identidad, pues es cierta para todos los números reales positivos N , es decir, (5.3) (ay = N ) def ⇔ (y = loga N ) es cierta para todas las N ∈ (0, ∞), esto a su vez da base para que se pueda hablar no sólo del logaritmo del número específico N , sino del logaritmo de cualquier N ∈ R+, lo cual significa poder hablar de la función logaritmo, en efecto, nos quedaría definido un dominio D = R+ ⊂ R y un contradominio R, de manera que a cada N = x ∈ R+ le corresponde una única y, e incluso en esta función a cada y específica de R, también le corresponde un único valor de N = x, dado por x = ay . Por lo tanto entre las x ∈ R+ y las y ∈ R se establece una correspondencia biunívoca y por ende las funciones y = loga x y y = ax resultan mútuamente inversas. Específicamente para y = log2 x tenemos que su gráfica se ve como: 14 12 1 2 4 __________________________________x = 2y ↓ & & & . __________________________________y = log2 x −2 −1 0 1 2 O bien disponiendo los ejes en forma de un sistema cartesiano de coordenaada y = log2 x: Con base en lo anterior en el campo de los números reales el logaritmo de los números negativos y cero no existen. Obsérvese que si a > 0: (ay = az) ⇒ (y = z) , y además a 6= 1, ya que si a = 1: 1y = 1z (es cierta para todos los y y z reales, luego la conclusión de que y = z obligadamente ya no es cierta). Example 99 Hallar el log2 18.¿A qué potencia hay que elevar la base 2 para obtener el númro 18? 2y = 18 , evidentemente que hay que elevarlo a la potencia y = −3, ya que sólo así : 2−3 = 1 23 = 18. Entonces log2 18 = −3. Véase como con base en la última observación se obtiene el mismo resultado: 2y = 18 = 1 23 = 2−3 y esto implica que y = −3.70 APPENDIX A. APÉNDICE 1 Example 100 Hallar el log 13 9 · 313 =?. Dado que ay = N, entonces ³9 · 313 ´ = ³32 · 313 ´ = ³373 ´ = ¡13 ¢− 73 , luego la potencia a la que hay que elevar la base a = 13 para obtener el número N = 9· 313 es y = −73 , luego este es el valor del logaritmo: "µ13¶− 73 = 9· 313 #def ⇔ log 13 ³9 · 313 ´= −73 Example 101 Hallar log2k 2l. Puesto que la base 2k hay que elevarla a la potencia l k para obtener el número 2l, entonces l k será dicho logaritmo. En efecto: ¡2k¢l k = 2l def ⇔ log2k 2l = l k .0.3 PROPIEDADES de los LOGARITMOS de NÚMEROS Pasemos a demostrar las principales propiedades de los logaritmos Theorem 102 1. Si dos valores de la imagen del logaritmo, en la misma base a, son iguales, entonces sus contraimagenes son iguales. En símbolos: (loga N1 = loga N2) ⇒ (N1 = N2) Proof. N1 def = aloga N1 hip = aloga N2 def = N2 Esto también significa que: ¡aN = aY ¢⇒ (N = Y ). Theorem 103 2. Cuando el número N coincide con la base a, entonces y sólo entonces el logaritmo loga a vale 1. En símbolos: (y = loga N) (N = a) ⇔ loga a = 1. Proof. . Si N = a por definición de logaritmo: aloga a = a = a1, luego loga a = 1. Recíprocamente, si loga N = 1, entonces aloga N = a1 y por otro lado de la definición de logaritmo: aloga N = N . De estas dos igualdades se tendrá: N = a . Theorem 104 3. Logaritmo de 1, en cualquier base a > 0 (a 6= 1), es 0 e inversamente. Proof. aloga 1 def = 1not = a0, entonces loga1 = 0. E inversamente si el loga N = 0, entonces, en efecto: N def = aloga N hip = a0 not = 1, luego loga1 = 0. . Theorem 105 4. Si el valor de N y la base a están del mismo lado de 1, entonces el logaritmo de N, en base a, es positivo; en caso contrario, si N y a están de lados contrarios respecto al 1, entonces el logaritmo de N en base a es negativo. En símbolos: si ½ N > 1, a > 1 N < 1, a < 1 ¾⇒ loga N > 0, mientras que si ½ N > 1, a < 1 N < 1, a > 1 ¾⇒ loga N < 0.71 Proof. (Demostración del 1er. caso) Si N > 1 y a > 1, entonces de la definición de logaritmo aloga N = N, pero la potencia en esta igualdad loga N no puede ser negativa , ya que de llegarlo a ser se tendría que aloga N = 1 a− loga N a>1 < 1, que contradice a ¡aloga N =¢N > 1; tampoco puede ser cero, ya que de llegarlo a ser se tendría que aloga N = a0 = 1, que contradice a ¡aloga N =¢N > 1; luego dicha potencia el loga N tendrá que ser positiva . Theorem 106 5. El logaritmo del producto de factores positivos será igual a la suma de los logaritmos de sus factores. Proof. Sean N > 0 , y > 0 y el logaritmo de su producto loga N y es tal que por definición satisface : aloga Ny = N y, pero N y y quedan a su vez expresaada por la misma definición como N = aloga N y y = aloga y, luego aloga Ny = aloga N aloga y, de donde aloga Ny = aloga N+loga y, esto es loga N y = loga N + loga y . Corollary 107 Si N < 0 , y < 0 el logaritmo de su producto loga N y tiene sentido, aunque loga N y loga y no tienen valores reales y por ello el teorema afirmaría lo mismo, pero en el siguiente sentido : loga N y = loga (−N) (−y) = loga |N| |y| = loga |N |+loga |y| , o sea (∀N, y < 0) loga N y = loga |N | + loga |y|. Corollary 108 Evidentemente este teorema es generalizable a loga nQk=1 Nk = n Pk=1 loga Nk, por inducción o directamente: loga µ nQk=1 Nk¶= loga µ nQk=1 aloga Nk¶= loga Ãa n Pk=1 loga Nk!= n Pk=1 loga Nk. Theorem 109 6. El logaritmo del cociente de factores positivos será igual a la resta de los logaritmos del dividendo y el divisor. Proof. Sean N > 0 , y > 0 y el logaritmo de su cociente loga Ny es tal que por definición satisface: aloga Ny def = Ny def = aloga N aloga y = aloga N−loga y ⇒loga Ny = loga N − loga y . Theorem 110 7. loga N k = k loga N . Proof. El logaritmo loga N k por definición satisface: haloga Nk def = N k def = ¡aloga N ¢k = ak loga N i⇒ £loga N k = k loga N ¤ Corollary 111 loga k √N = 1k loga N .72 APPENDIX A. APÉNDICE 1 Proof. En efecto: loga k √N not = loga N 1k T7= 1k loga N Example 112 Hallar N de la ecuación: loga N = 23 loga b − 13 loga c. Por el Teorema 7: loga N = loga b 23 − loga c 13 , por el Teorema 6: loga N = loga b 23 c 13 , por el Teorema 1: N = b 23 c 13 = ³b2 c ´13= (b2c2) 13 c . Theorem 113 8. Si la base a > 1, entonces el número mayor tiene un logarittm mayor. Si la base a < 1, entonces un número mayor tiene un logaritmo menor. Este Teorema también puede enunciarse así: Al aplicar la función logarittmo en base a > 1, a una desigualdad el sentido de la desigualdad no cambia y al tomar logaritmos, en base a < 1, en una desigualdad el sentido de la desiguualda cambia por el contrario. Proof. Si suponemos que N > y > 0, entonces Ny > 1 y como a > 1, entonces por el Teorema 4: loga Ny > 0, y por el Teorema 6 : loga N − loga y > 0, de donde: loga N > loga y . Theorem 114 9. logan N = 1n loga N . Proof. De la definición de logaritmo: N = (an)logan N = an logan N, por otro lado: N = aloga N , de donde comparando: an logan N = aloga N, luego : n logan N = loga N, o sea: logan N = 1n loga N . Corollary 115 logan N n = loga N . Proof. logan N n T9=1n loga N n T7=1n n loga N = loga N Example 116 El log 13 7 + 2log9 49 − log√3 17 expresarlo a través del logaritmo en base 3. log 13 7 + 2log9 49 − log√3 17 = log3−1 7 + 2log32 49 − log3 12 17 = 1 −1 log3 7+212 log3 72− 112 log3 17 = − log3 7+2log3 7+2log37 = 3log37 = log3 73 = log3 343. Example 117 Calcular 2512 +log 15 27+log125 81. 2512 +log 15 27+log125 81 = 2512 +log5−1 27+log53 81 = 2512+ 1 −1 log5 27+13 log5 81 = 2512 −log5 33+13 log5 34 = 2512 −3 log5 3+43 log5 3 = 2512 − 53 log5 3 = 52( 12 − 53 log5 3) = 51− 10 3 log5 3 = 5·5log5 3− 10 3 = 5· 3− 10 3 = 5 27·3 13 = 5·9 13 81 . Theorem 118 10. Si a, N > 0 (6= 1) ⇒loga N logN a = 1.73 Proof. Dado que po