brief discription about solving numerical equations

							‫ﺣﻞ ﻋﺪدﯼ ﻣﻌﺎدﻻت ﺁﺷﻮﺑﯽ‬

Nader Mortazavi
MSC student in Sahand University of Technology

‫ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻄﺎﻟﺐ‬
‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫6‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫81‬ ‫81‬ ‫81‬ ‫91‬ ‫91‬ ‫91‬ ‫91‬ ‫02‬ ‫22‬ ‫32‬ ‫42‬ ‫92‬ ‫33‬ ‫53‬ ‫63‬ ‫73‬ ‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦ ﭘﺬﻳﺮي، اﺣﺘﻤﺎﻻت و آﺷﻮب‬ ‫ﺟﻤﻌﻴﺖﻫﺎي ﺟﺎﻧﻮري: ﺗﺠﻠﻲ آﺷﻮب‬ ‫ﻧﻘﺸﻪ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺳﺎده‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻧﺘﺎﻳﺞ‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫ﺗﻜﺮار‬ ‫ﻣﺪار‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺪاري‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ‬ ‫ﻧﻘﻄﻪ ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺛﺎﺑﺖ و ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺗﻨﺎوﺑﻲ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب و داﻓﻊ‬ ‫ﻣﺪارﻫﺎي ﭘﺎﻳﺪار و ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺟﺎذب و داﻓﻊ‬ ‫ﻣﺪارﻫﺎي ﺟﺎﻟﺐ‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻋﺪدي در ﺳﻴﺴﺘﻢ آﺷﻮﺑﻲ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮي‬ ‫ﺿﻤﻴﻤﻪ‬ ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ و ﻣ‪Ĥ‬ﺧﺬ‬

‫1‬

‫ﻣﻘﺪﻣﻪ‬
‫ﺻﺒﺢ اﺳﺖ و ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﺪ ﺑﻪ ﻣﺪرﺳﻪ، داﻧﺸﮕﺎه ﻳﺎ ﺳﺮ ﻛﺎرﺗﺎن ﺑﺮوﻳﺪ. رادﻳـﻮ را روﺷـﻦ ﻣـﻲﻛﻨﻴـﺪ. اداره‬ ‫ﻫﻮاﺷﻨﺎﺳﻲ ﻣﮋده ﻫﻮاﻳﻲ آﻓﺘﺎﺑﻲ و آﺳﻤﺎﻧﻲ ﺻﺎف و ﺑﺪون اﺑﺮ را ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ ﺧﻴﺎل راﺣﺖ ﻟﺒﺎﺳﻲ ﺳـﺒﻚ ﺑـﺮ ﺗـﻦ‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ و ﺑﻪ راه ﻣﻲاﻓﺘﻴﺪ. اﻣﺎ وﻗﺘﻲ ﻇﻬﺮ ﻣﻲرﺳﺪ ﻧﺎﮔﻬﺎن آﺳﻤﺎن ﺗﻴﺮه و ﺗﺎر ﻣﻲﺷﻮد، و ﺑﺎران ﻛﻪ ﺳﻬﻞ اﺳﺖ،‬ ‫ﺗﮕﺮگ ﺑﺮ زﻣﻴﻦ ﻓﺮو ﻣﻲﺑﺎرد، و ﺷﻤﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻟﺰوﻣﻲ ﻧﻤﻲدﻳﺪﻳﺪ ﭼﺘﺮي ﺑﺎ ﺧﻮد ﻫﻤﺮاه آورﻳﺪ، در راه ﺑﺎزﮔﺸﺖ ﺑـﻪ‬ ‫ﻣﻨﺰل در ﻣﻌﺮض ﺑﺎرﺷﻲ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﺪ.‬ ‫ﺣﺎل اﮔﺮ در ﭼﻨﻴﻦ وﺿﻌﻲ ﻛﺴﻲ ﺑﻪ ﺷﻤﺎ ﺑﮕﻮﻳﺪ ﻛﻪ ﺷﺎﻳﺪ ﻋﻠﺖ ﺑﺎرش ﺗﮕـﺮگ اﻳـﻦ ﺑـﻮده ﻛـﻪ در ﮔﻮﺷـﻪاي از‬ ‫داﻣﻨﻪﻫﺎي ﻛﻮه، ﭘﺮواﻧﻪاي ﺑﺎل زده اﺳﺖ، ﭼﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ؟ ﺑﻪ اﺣﺘﻤﺎل زﻳـﺎد واﻛـﻨﺶ ﺷـﻤﺎ از ﺳـﻪ ﺣﺎﻟـﺖ ﺧـﺎرج‬ ‫ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد: ﻳﺎ ﺑﺎ ﺧﺸﻢ واﻛﻨﺶ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﺪ، ﻳﺎ ﺑﻪ ﻧﺰدﻳﻜﺘﺮﻳﻦ ﺗﻴﻤﺎرﺳﺘﺎن ﺗﻠﻔﻦ ﻣﻲزﻧﻴـﺪ و ﺟـﺎﻳﻲ ﺑـﺮاﻳﺶ‬ ‫ﻛﻨﺎر ﻣﻲﮔﺬارﻳﺪ، ﻳﺎ از او ﺗﻮﺿﻴﺢ ﺑﻴﺸﺘﺮي ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﺪ، ﭼﻮن اﺣﺘﻤﺎل ﺿﻌﻴﻔﻲ ﻣﻲدﻫﻴﺪ ﻫﺬﻳﺎن ﻧﮕﻔﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.‬ ‫اﮔﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﺳﻮم در ﻣﻮرد ﺷﻤﺎ ﺻﺪق ﻛﻨﺪ، اﻣﻜﺎن دارد - ﻫﺮﭼﻨﺪ ﺑﺎور ﻛﺮدﻧﺶ ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ – ﻗﺎﻧﻊ ﺷـﻮﻳﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﺣﺮﻓﺶ درﺳﺖ اﺳﺖ. ﭼﻮن ﺗﻐﻴﻴﺮات ﺟﻮي ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻜﻲ از ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي ﺑﻴﺸﻤﺎري ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛـﻪ ﺑـﻪ ﻧﻈـﺮ ﻣـﻲرﺳـﺪ‬ ‫رﻓﺘﺎري » آﺷﻮﺑﻲ1« داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.‬ ‫ﻣﻔﻬﻮم آﺷﻮب2 ، ﻣﻔﻬﻮم ﺗﺎزهاي ﻧﻴﺴﺖ. ﺗﻨﻬﺎ ﭼﻴﺰي ﻛﻪ ﺑﺎﻋﺚ ﺷﺪه اﻳﻦ روزﻫﺎ ﺑﺮ ﺳﺮ زﺑﺎﻧﻬـﺎ ﺑﻴﻔﺘـﺪ، دﺳﺘﺮﺳـﻲ‬ ‫ﻫﺮﭼﻪ ﮔﺴﺘﺮده ﺗﺮ ﺑﻪ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻮده اﺳﺖ. داﻧﺸﻤﻨﺪان ﺑﻴﺶ از ﭘﻴﺶ ﭘﻲ ﺑﺮدهاﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﺴﻴﺎري از ﻣﺴﺎﺋﻠﻲ ﻛﻪ ﺑﺎ‬ ‫آن دﺳﺖ و ﭘﻨﺠﻪ ﻧﺮم ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ ﻣﺎﻫﻴﺖ آﺷﻮﺑﻲ دارﻧﺪ، و ﻋﻤﻮم ﻣﺮدم ﻫﻢ از ﻋﻜﺴﻬﺎي زﻳﺒـﺎ و ﺧﻴـﺮه ﻛﻨﻨـﺪهاي‬ ‫ﻛﻪ از ﺑﻪ ﺗﺼﻮﻳﺮ ﻛﺸﻴﺪن ﭘﺪﻳﺪه آﺷﻮب ﺑﺎ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ ﺷﮕﻔﺖزده ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. ﺑﺮﺧﺎﻟﻬﺎ3 )ﻓﺮﻛﺘﺎﻟﻬﺎ(،‬ ‫ﻧﻈﻴﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻨﺪﻟﺒﺮات، از ﺟﻤﻠﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺼﺎوﻳﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
‫‪1- Chaotic‬‬ ‫‪2- Chaos‬‬ ‫‪3- Fractal‬‬

‫2‬

‫ﺗﻌﻴﻴﻦﭘﺬﻳﺮي، اﺣﺘﻤﺎﻻت، و آﺷﻮب‬
‫ﻓﻴﺰﻳﻚ ﻗﺮن ﺑﻴﺴﺘﻢ، ﻳﺎ ﺑﻬﺘﺮ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﻓﻠﺴﻔﻪ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻗـﺮن ﺑﻴـﺴﺘﻢ، ﺑـﺎ دو ﻧﻈﺮﻳـﻪ ﺑﻨﻴـﺎدﻳﻦ ﻣـﺸﺨﺺ‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد. ﻳﻜﻲ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﻧﺴﺒﻴﺖ اﻳﻨﺸﺘﻴﻦ، ﻛﻪ در واﻗﻊ ﺗﻌﻤﻴﻤـﻲ از ﻣﻜﺎﻧﻴـﻚ ﻧﻴـﻮﺗﻨﻲ اﺳـﺖ، و دﻳﮕـﺮي ﻧﻈﺮﻳـﻪ‬ ‫ﻛﻮاﻧﺘﻤﻲ، ﻛﻪ ﺣﺎﺻﻞ ﺗﻼشﻫﺎي ﭘﻼﻧﻚ، ﺷﺮودﻳﻨﮕﺮ، و ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ، و دﻳﮕﺮان اﺳﺖ.‬ ‫در ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﻧﺴﺒﻴﺘﻲ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎﻳﻲ ﺳﺮ و ﻛﺎر دارﻳﻢ ﻛﻪ در آﻧﻬﺎ در ﺻﻮرت داﻧﺴﺘﻦ وﺿﻊ ﻓﻌﻠـﻲ، ﻣـﻲﺗـﻮان ﺑـﺎ‬ ‫اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻌﺎدﻻت رﻳﺎﺿﻲ، آﻳﻨﺪهﺷﺎن را ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ ﻛﺮد، اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻻت را ﻛﻪ ﺑـﺎ اﺳـﺘﻔﺎده از آﻧﻬـﺎ ﻣـﻲﺗـﻮان‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ﻟﺤﻈﻪ ﭘﺪﻳﺪهاي را ﺑﺮ اﺳﺎس وﺿﻊ ﻓﻌﻠﻲاش ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﺮد، ﻳﻚ » دﺳﺘﮕﺎه ﭘﻮﻳﺎ1 « )ﺳﻴﺴﺘﻢ‬ ‫دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ( ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.‬ ‫ﻣﺜﻼ اﮔﺮدر ﻟﺤﻈﻪاي از زﻣﺎن ﺑﺪاﻧﻴﻢ ﺳﻴﺒﻲ ﻛﻪ در ﺟﻬﺖ ﻣﻌﻴﻨﻲ در ﺧﻸ ﺳﻘﻮط ﻣﻲﻛﻨﺪ ﭼﻪ ﺳﺮﻋﺖ و ﺷـﺘﺎﺑﻲ‬ ‫دارد، ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ از راه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨﻴﻢ در ﺛﺎﻧﻴﻪﻫﺎي ﺑﻌﺪي ﻛﺠﺎ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺴﻴﺎري از ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي روزﻣﺮه، از ﻫﻤﺎن ﺳﻘﻮط ﺳﻴﺐ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺗﺎ ﺣﺮﻛﺖ اﻛﺜـﺮ ﺳـﻴﺎرات و ﺳـﺘﺎرﮔﺎن، از‬ ‫ﻫﻤﻴﻦ ﮔﻮﻧﻪ دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎي ﭘﻮﻳﺎي ﺗﻌﻴﻴﻦﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ، و ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺟﻬﺖ ﻋﻤﻮم ﻣﺮدم ﺑﻪ ﻏﻠﻂ ﺗﺼﻮر ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ ﻫﻤﻪ‬ ‫ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي ﻋﺎﻟﻢ رﻓﺘﺎري » ﺳﺎﻋﺖ ﮔﻮﻧﻪ « و ﻗﺎﺑﻞ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ دارﻧﺪ.‬ ‫اﻣﺎ در ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﻛﻮاﻧﺘﻤﻲ ﻣﻔﻬﻮم ﻧﺎﻳﻘﻴﻨﻲ و ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻗﺪ ﻋﻠﻢ ﻣﻲﻛﻨﺪ. در ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﻛﻮاﻧﺘﻤﻲ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪهﻫـﺎﻳﻲ‬ ‫روﺑﺮو ﻣﻲﺷﻮﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻗﺪر ﻫﻢ اﺑﺰار اﻧﺪازهﮔﻴﺮيﻣﺎن دﻗﻴﻘﺘﺮ ﺷﻮد، ذاﺗﺎً ﻧﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺗﻮاﻧﺴﺖ وﺿﻊ آﻳﻨﺪه آﻧﻬﺎ را ﺑﻪ‬ ‫دﻗﺖ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ. در ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻮاردي ﻧﺎﭼﺎرﻳﻢ ﻣﺘﻮﺳﻞ ﺑﻪ آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎل ﺷﻮﻳﻢ. ﭼـﻮن اﺑـﺰاري در ﻃﺒﻴﻌـﺖ‬ ‫وﺟﻮد ﻧﺪارد ﺗﺎ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ آن، ﻫﻢ ﺑﻪ دﻗﺖ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ ﻳﻚ اﻟﻜﺘﺮون در ﻟﺤﻈﻪ ﻣﻌﻴﻨﻲ ﻛﺠﺎﺳﺖ و ﻫﻢ دﻗﻴﻘﺎً ﺗﻨﺪي آن‬ ‫ﭼﻴﺴﺖ، ﺗﻨﻬﺎ ﻗﺎدرﻳﻢ ﺗﺨﻤﻴﻦ ﺑﺰﻧﻴﻢ ﻛﻪ اﺣﺘﻤﺎل آﻧﻜﻪ در آﻳﻨﺪه در ﻓﻼن ﺟﺎ ﺑﺎﺷﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ. وﻗﺘـﻲ ﭘـﺮي در‬ ‫ﻫﻮا ﺳﻘﻮط ﻣﻲﻛﻨﺪ، ﭼﻮن اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي دﻗﻴﻖ ﺑﺮﻫﻤﻜﻨﺶ و ﺑﺮﺧﻮرد ﺗﻚ ﺗﻚ ﻣﻮﻟﻜﻮﻟﻬﺎي ﻫﻮا ﺑـﺎ ﭘـﺮ در ﺳـﻄﺢ‬ ‫اﺗﻤﻲ و زﻳﺮ اﺗﻤﻲ ذاﺗﺎً ﻣﺤﺎل اﺳﺖ ﻫﺮﮔﺰ ﻧﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺗﻮاﻧﺴﺖ ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﭘﻴﺞ و ﺧﻢ ﻫﺎي ﻣﺴﻴﺮ آﻧﺮا ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ‬ ‫ﻛﻨﻴﻢ، اﻣﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﺣﺘﻤﺎل آﻧﻜﻪ در ﻧﻘﻄﻪ ﺧﺎﺻﻲ ﻓﺮود آﻳﺪ ﭼﻘﺪر اﺳﺖ.‬ ‫آﺷﻮب در ﺟﺎﻳﻲ ﻣﻴﺎن اﻳﻦ دو ﻗﺮار دارد. داﻧﺸﻤﻨﺪان ﻣﺪﺗﻬﺎ ﭘﻴﺶ درﻳﺎﻓﺘﻪ ﺑﻮدﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻲ دﺳﺘﮕﺎهﻫـﺎي ﭘﻮﻳـﺎ‬ ‫در ﻣﻮارد ﺧﺎص ﺑﺎ وﺟﻮد ﺗﻌﻴﻴﻦﭘﺬﻳﺮ ﺑﻮدن، رﻓﺘﺎرﺷﺎن آﻧﻘﺪر ﭘﻴﭽﻴﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺎﻳـﺪ ﺑـﺮاي ﭘـﻴﺶﺑﻴﻨـﻲ وﺿـﻊ‬

‫‪1- Dynamical System‬‬

‫3‬

‫آﻳﻨﺪهﺷﺎن ﺑﻪ آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎﻻت رو آورد1. دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر آﺷﻮﺑﻲ دارﻧﺪ ﻧﻮﻋﻲ دﺳﺘﮕﺎهﻫـﺎي » ﺗـﺼﺎدﻓﻲ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦﭘﺬﻳﺮ « ﻫﺴﺘﻨﺪ- ﺗﺼﺎدﻓﻲ از آن ﺟﻬﺖ ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان وﺿﻊ آﻳﻨﺪهﺷﺎن را ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ ﻛﺮد، وﻟـﻲ‬ ‫ﺗﻌﻴﻴﻦﭘﺬﻳﺮ از آن رو ﻛﻪ در ﻫﺮ ﺣﺎل ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﻳﺎﺿﻲ ﺛﺎﺑﺖ و ﻣﻌﻤﻮﻻً ﺳـﺎدهاي ﻫـﺴﺘﻨﺪ.- آﺷـﻮب در واﻗـﻊ‬ ‫ﻧﻈﻤﻲ اﺳﺖ در ﻗﺎﻟﺐ ﺑﻲ ﻧﻈﻤﻲ.‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺖ دﻳﮕﺮ دﺳﺘﮕﺎهﻫﺎي آﺷﻮﺑﻲ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺷﺪت ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﺣـﺴﺎساﻧـﺪ، ﻳﻌﻨـﻲ ﻣﻤﻜـﻦ اﺳـﺖ‬ ‫ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻛﻮﭼﻜﻲ در ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ دﺳﺘﮕﺎه، ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ ﺷﻮد. اﻳﻦ ﺑﺮ ﺧﻼف آن ﭼﻴـﺰي اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﻪ در ﻣﻜﺎﻧﻴﻚ ﻛﻼﺳﻴﻚ دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد: اﮔﺮ زﻣﻴﻦ ﻛﻤﻲ از ﺧﻮرﺷﻴﺪ دورﺗﺮ ﺷﻮد، ﺗﺎ ﻣﺪﺗﻬﺎ ﮔﺮدش ﺧـﻮد را در‬ ‫ﻣﺪاري اداﻣﻪ ﺧﻮاﻫﺪ داد ﻛﻪ از ﻣﺪار اوﻟﻴﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ ﭼﻨﺪاﻧﻲ ﻧﺪارد. در واﻗﻊ ﻇﺎﻫﺮ ﺗﺼﺎدﻓﻲ دﺳﺘﮕﺎهﻫـﺎي آﺷـﻮﺑﻲ‬ ‫ﻧﺎﺷﻲ از ﻫﻤﻴﻦ ﺗﻌﺎدل ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اﺟﺰاي آن اﺳﺖ، ﻧﻪ » ﻧﻮﻓﻪ2 « ﺑﻴﺮوﻧﻲ. ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﺟﻬﺖ اﺳـﺖ ﻛـﻪ در ﻃﺒﻴﻌـﺖ‬ ‫اﮔﺮ ﻫﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺎﻛﻢ ﺑﺮ ﭘﺪﻳﺪه آﺷﻮﺑﻨﺎﻛﻲ را ﺑﺪاﻧﻴﻢ، ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ آﻳﻨﺪه، از روي ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪاش ﻛـﺎر دﺷـﻮاري‬ ‫اﺳﺖ: ﭼﻮن ﺑﺮاي آﻧﻜﻪ اﻳﻦ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ دﻗﻴﻖ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﺎﻳﺪ از وﺿﻊ اوﻟﻴﻪ ﻫﻤﻪ اﺟﺰاي دﺳﺘﮕﺎه اﻃﻼع ﻛﺎﻣﻼً دﻗﻴﻘﻲ‬ ‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ.‬

‫ﺷﻜﻞ1- ﺑﺴﺘﮕﻲ ﺣﺴﺎﺳﻴﺖ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ‬

‫1- ﻧﻘﺎط ﺗﺸﺎﺑﻬﻲ ﺑﻴﻦ ﺗﺌﻮري آﺷﻮب و ﻋﻠﻢ آﻣﺎر و اﺣﺘﻤﺎﻻت وﺟﻮد دارد. آﻣﺎر ﻧﻴﺰ ﺑﻪ دﻧﺒﺎل ﻛﺸﻒ ﻧﻈﻢ در ﺑﻲ ﻧﻈﻤﻲ اﺳﺖ. ﻧﺘﻴﺠﻪ ﭘﺮﺗﺎب ﻳﻚ ﺳﻜﻪ در ﻫﺮ‬ ‫ﺑﺎر، ﺗﺼﺎدﻓﻲ و ﻧﺎﻣﻌﻠﻮم اﺳﺖ، زﻳﺮا داﻣﻨﻪاي ﻣﺤﻠﻲ دارد. اﻣﺎ ﭘﻴﺎﻣﺪﻫﺎي ﻣﻮرد اﻧﺘﻈﺎر اﻳﻦ ﭘﺪﻳﺪه، ﻫﻨﮕﺎﻣﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺗﻌﺪاد زﻳﺎد ﺗﻜﺮار ﺷﻮد ﻗﺎﺑﻞ ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ‬ ‫اﺳﺖ.‬ ‫٢- ‪noise‬‬

‫4‬

‫ﺟﻤﻌﻴﺖﻫﺎي ﺟﺎﻧﻮري: ﺗﺠﻠﻲ آﺷﻮب‬
‫داﻧﺸﻤﻨﺪان رﺷﺘﻪﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ ﺷﺒﻴﻪﺳﺎزيﻫﺎي ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي، ﭘﺪﻳـﺪهﻫـﺎي ﺑـﺴﻴﺎري را در ﻃﺒﻴﻌـﺖ‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮدهاﻧﺪ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻈﺮ آﻧﻬﺎ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ آﺷﻮﺑﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ-ﻳﻌﻨﻲ ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻏﻴﺮ ﺗﻜﺮار ﺷـﻮﻧﺪه، ﺣـﺴﺎس‬ ‫ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ، ﺑﻪ ﻇﺎﻫﺮ ﺗﺼﺎدﻓﻲ، اﻣﺎ در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻛﺎﻣﻼً ﻗﺎﻧﻮﻧﻤﻨﺪ ﻫﺴﺘﻨﺪ.‬ ‫ﻳﻜﻲ از ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻛﻪ اﺣﺘﻤﺎل ﻣـﻲدﻫﻨـﺪ آﺷـﻮب در آن ﻧﻘـﺶ داﺷـﺘﻪ ﺑﺎﺷـﺪ، اﻓـﺖ و ﺧﻴـﺰ ﺑﺮﺧـﻲ‬ ‫ﺟﻤﻌﻴﺖﻫﺎي ﺟﺎﻧﻮري اﺳﺖ. ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﻮﺛﺮ ﺟﻤﻌﻴﺖﻫﺎي زﻳﺴﺘﻲ زﻳﺎدي ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﻧﺴﻞ ﻣﻨﻔﺮد ﺑﺪون ﻫﻴﭽﮕﻮﻧﻪ‬ ‫ﺗﻼﻗﻲ ﺑﻴﻦ ﻧﺴﻞﻫﺎي ﭘﻲ در ﭘﻲ ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻣﻲﺗﻮان ﺟﺰﻳﺮهاي را ﺗﺼﻮر ﻛﺮد ﻛﻪ در آن ﻳﻚ ﮔﻮﻧﻪ از ﺣﺸﺮات ﻫﺮ‬ ‫ﺗﺎﺑﺴﺘﺎن از ﺗﺨﻢﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﺑﻬﺎر ﮔﺬاﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻣﺘﻮﻟﺪ ﻣﻲﺷـﻮﻧﺪ. ﭼـﻮن رﺷـﺪ ﺟﻤﻌﻴـﺖ در زﻣـﺎنﻫـﺎي‬ ‫ﮔﺴﺴﺘﻪ اﺗﻔﺎق ﻣﻲاﻓﺘﺪ، ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ رﺷـﺪ ﺟﻤﻌﻴـﺖ را ﺑﻮﺳـﻴﻠﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪﻫـﺎي ﺗﻔﺎﺿـﻠﻲ ﺑـﻪ ﺟـﺎي ﻣﻌﺎدﻟـﻪﻫـﺎي‬ ‫دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ ﻣﺪلﺳﺎزي ﻛﻨﻴﻢ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﻋﺪهاي ﺟﺎﻧـﺪار ﮔﻴـﺎهﺧـﻮار در ﻧﺎﺣﻴـﻪ اي زﻧـﺪﮔﻲ ﻣـﻲﻛﻨﻨـﺪ ﻛـﻪ‬ ‫ﻫﻴﭻﮔﻮﻧﻪ ارﺗﺒﺎﻃﻲ ﺑﺎ ﻧﻮاﺣﻲ اﻃﺮاف ﻧﺪارﻧﺪ. اﮔﺮ ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﺗﻌﺪاد ﺟﺎﻧﻮراﻧﻲ را ﻛﻪ از ﻧﻈـﺮ ﻣﻨـﺎﺑﻊ ﻏـﺬاﻳﻲ در اﻳـﻦ‬ ‫ﻧﺎﺣﻴﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ زﻧﺪﮔﻲ ﻛﻨﻨﺪ واﺣﺪ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ، و ﻧﺴﺒﺘﻲ از ﺟﺎﻧﻮران را ﻛﻪ ﻋﻤـﻼً در ﻟﺤﻈـﻪاي از زﻣـﺎن در آن‬ ‫زﻧﺪﮔﻲ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ ‪ xn‬ﺑﻨﺎﻣﻴﻢ، ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻳﺎ دﺳﺘﮕﺎه ﭘﻮﻳﺎي ﺑﺴﻴﺎر ﺳﺎده ﺷﺪهاي ﺑﺮاي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﻐﻴﻴـﺮات‬ ‫ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻪ ﻟﺤﻈﻪ ﺗﻌﺪاد ﺟﺎﻧﻮران آن ﻧﺎﺣﻴﻪ ﺑﻨﻮﻳﺴﻴﻢ. اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ از آن ﺟﻬـﺖ ﺳـﺎده ﺷـﺪه اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻓـﺮض‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد ﮔﻴﺎﻫﺎن آن ﻧﺎﺣﻴﻪ ﺛﺎﺑﺖ و ﻣﺴﺘﻘﻞ از ﺷﺮاﻳﻂ ﻓﺼﻠﻲ و آب و ﻫﻮاﻳﻲ اﺳﺖ. ﺿﻤﻨﺎً ﻓﺮض ﻣـﻲﻛﻨـﻴﻢ ﻛـﻪ‬ ‫ﭼﻮن ﺟﺎﻧﻮران ﺧﻴﺎﻟﻲ ﻣﺎ ﮔﻴﺎهﺧﻮارﻧﺪ، ﻫﺮﻗﺪر ﻫﻢ ﮔﺮﺳﻨﻪ ﺷﺎن ﺑﺸﻮد ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را ﻧﺨﻮاﻫﻨﺪ ﺧﻮرد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﻨﻬـﺎ‬ ‫ﻋﻠﺖ ﻣﺮگ ﺟﺎﻧﻮران ﺑﻪ ﻏﻴﺮ از ﺳﭙﺮي ﻛﺮدن ﻃﻮل ﻋﻤﺮ ﻃﺒﻴﻌﻲ، ﻛﻤﺒﻮد ﻣﻨﺎﺑﻊ ﮔﻴﺎﻫﻲ ﻗﺎﺑﻞ اﺳﺘﻔﺎده ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‬ ‫و ﺑﺲ. ﺑﺎ اﻳﻦ ﺷﺮاﻳﻂ، ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻋﺒﺎرت ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد از:‬

‫) ‪xn +1 = f ( x) = rxn (1− xn‬‬

‫)1(‬

‫ﺣﺎل اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻳﻌﻨﻲ ﭼﻪ؟ ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﮔﻔﺘﻴﻢ ‪ xn‬ﻋﺒﺎرت اﺳﺖ از ﻧـﺴﺒﺖ ﺟـﺎﻧﻮران ﺳـﺎﻛﻦ آن ﻧﺎﺣﻴـﻪ ﺑـﻪ‬ ‫ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﺗﻌﺪاد ﺟﺎﻧﻮراﻧﻲ ﻛﻪ ﺑﺘﻮاﻧﻨﺪ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻣﻨﺎﺑﻊ ﻏﺬاﻳﻲ آن ﻧﺎﺣﻴﻪ در ﻳﻚ ﺑﺮﻫﻪ از زﻣﺎن در آﻧﺠـﺎ زﻧـﺪه‬ ‫ﺑﻤﺎﻧﻨﺪ. ﻓﺮﺿﺎً اﮔﺮ ﺣﺪاﻛﺜﺮ 0005 ﺟﺎﻧﻮر در آﻧﺠﺎ ﻗﺎدر ﺑﻪ زﻳﺴﺘﻦ ﺑﺎﺷﻨﺪ، و در ﻟﺤﻈﻪاي از زﻣﺎن 2803 ﺟـﺎﻧﻮر‬ ‫در آن ﺑﺎﺷﻨﺪ، ‪ xn‬ﻋﺒﺎرت ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد از 2803 ﺗﻘﺴﻴﻢ ﺑﺮ 0005 ، ﻳﻌﻨﻲ 4616/0 . ‪ 1− xn‬ﭼﻴﺰي ﻧﻴـﺴﺖ‬

‫5‬

‫ﺟﺰ ﻧﺴﺒﺖ ﻏﺬاﻳﻲ ﻛﻪ در ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻌﺪ ﻗﺎﺑﻞ ﻣﺼﺮف ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. ﻣـﺴﻠﻤﺎً ﻫﺮﭼـﻪ ﻧـﺴﺒﺖ ﺟـﺎﻧﻮران در آن ﻧﺎﺣﻴـﻪ‬ ‫ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺷﻮد، ﻧﺴﺒﺖ ﻏﺬاﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻌﺪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ ﻛﻤﺘﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد، ﻳﻌﻨـﻲ ﻫﻤﭽﻨـﺎن ﻛـﻪ ‪ xn‬ﺑـﻪ‬ ‫ﺳﻮي 1 ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ، ﻏﺬاي ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧﺪه ﺑﻪ ﺳﻮي ﺻﻔﺮ ﻣﻴﻞ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد. ‪ r‬را ﺿﺮﻳﺐ زاﻳﺎﻳﻲ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ، ﻛـﻪ در‬ ‫واﻗﻊ ﺑﻴﺎﻧﮕﺮ ﻣﻴﺰان رﺷﺪ ﻃﺒﻴﻌﻲ آن ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري اﺳﺖ: در اﻳﻨﺠﺎ ﻣﻨﻈﻮر از » رﺷﺪ ﻃﺒﻴﻌـﻲ « اﻳـﻦ اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﻪ اﮔﺮ ﻣﺤﺪودﻳﺖ ﻏﺬاﻳﻲ وﺟﻮد ﻧﺪاﺷﺖ، در ﻫﺮ ﻧﺴﻞ، ﺗﻌﺪاد ﺟﺎﻧﻮران ﭼﻨﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻣﻲﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻴﺰان ﺗﻮﻟـﺪ‬ ‫و ﻣﻴﺰان ﻣﺮگ ﻧﺎﺷﻲ از ﭘﻴﺮي در اﻳﻦ ﺿﺮﻳﺐ ﻣﻨﻈﻮر ﺷﺪه اﺳﺖ، و ﻣﺴﻠﻤﺎً ﻫﺮﭼﻪ ﻣﻘﺪار آن ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، رﺷـﺪ‬ ‫ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺳﺮﻳﻌﺘﺮ اﺳﺖ. اﮔﺮ اﻳﻦ ﺳﻪ ﻋﺎﻣﻞ، ﻳﻌﻨﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻧﻮران زﻧﺪه ) ‪ ،( xn‬ﻧﺴﺒﺖ ﻏﺬاي ﺑﺎﻗﻴﻤﺎﻧـﺪه‬ ‫) ‪ ،(1− xn‬و ﺿﺮﻳﺐ زاﻳﺎﻳﻲ ) ‪ ،( r‬را در ﻟﺤﻈﻪاي از زﻣﺎن اﻧﺪازه ﮔﻴﺮي ﻛﻨﻴﻢ، ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آﻧﻬﺎ ﻋﺒـﺎرت ﺧﻮاﻫـﺪ‬ ‫ﺑﻮد از 1+ ‪ ، xn‬ﻳﺎ ﻧﺴﺒﺖ ﺟﺎﻧﻮران زﻧﺪه در ﻟﺤﻈﻪ ﺑﻌﺪ. )ﺑﻪ اﻳﻨﻜﻪ اﻳﻦ »ﻟﺤﻈﻪ« ﭼﻨﺪ ﺳﺎﻋﺖ، روز، ﻳـﺎ ﻣـﺎه اﺳـﺖ‬ ‫ﻛﺎري ﻧﺪارﻳﻢ. آن را واﺣﺪ زﻣﺎن اﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ(.‬ ‫در اﻳﻨﺠﺎ ﺑﺎز ﻫﻢ ﺟﻨﺒﻪ دﻳﮕﺮي از زﻧﺪﮔﻲ اﻳﻦ ﺟﺎﻧﻮران ﺧﻴﺎﻟﻲ را ﺳﺎده ﻣﻲﻛﻨـﻴﻢ: ﻓـﺮض ﻣـﻲﻛﻨـﻴﻢ در ﻃـﻮل‬ ‫زﻣﺎن، ‪ r‬ﻳﺎ زاﻳﺎﻳﻲ اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ ﺟﺎﻧﻮري ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺎﺷﺪ و رﺑﻄﻲ ﺑﻪ ﻛﻤﺒﻮد ﻳﺎ ﻓﺮاواﻧﻲ ﻏﺬا ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﭘـﺲ وﻗﺘـﻲ‬ ‫‪ r‬ﺗﻌﻴﻴﻦ ﺷﺪ، ﺑﺮاي آﻧﻜﻪ اﻓﺖ و ﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮران اﻳﻦ ﻧﺎﺣﻴﻪ را ﺑﺎ ﮔﺬﺷﺖ زﻣﺎن دﻧﺒﺎل ﻛﻨﻴﻢ، ﺑﺎﻳﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮ‬ ‫دﺳﺘﮕﺎه ﻳﻌﻨﻲ ‪ x‬را - ﻛﻪ در واﻗﻊ ﻫﻤﺎن »ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ« دﺳﺘﮕﺎه اﺳﺖ- ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﻨـﻴﻢ. وﻗﺘـﻲ ﺑـﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴـﺐ‬ ‫ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻟﺤﻈﻪ اول را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻛﺮدﻳﻢ، ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺣﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ، ﺗﺎ 2‪ x‬ﻳﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻟﺤﻈﻪ دوم ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ. در‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻌﺪ ﻛﻪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را دوﺑﺎره ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﻟﺤﻈﻪ ﺳﻮم ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ، دﻳﮕـﺮ ﻧﻤـﻲﺗـﻮاﻧﻴﻢ‬

‫‪ x‬ﻟﺤﻈﻪ اول را ﻗﺮار دﻫﻴﻢ، ﭼﻮن اﻛﻨﻮن ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺑﻪ 2‪ x‬رﺳﻴﺪه اﺳـﺖ. ﺑﻨـﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﻣﻌﺎدﻟـﻪ ﺑـﻪ ﺟـﺎي ‪xn‬‬
‫ﻣﻘﺪار ﺟﺪﻳﺪ 2‪ x‬را ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﻴﻢ و ﺳﭙﺲ 3 ‪ x‬ﺟﺪﻳﺪ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ، ﺑـﻪ ﻋﺒـﺎرﺗﻲ ﺧﻼﺻـﻪﺗـﺮ، در ﻫـﺮ‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ دﺳﺘﮕﺎه ﻋﺒﺎرت ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد از ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ در ﻣﺮﺣﻠﻪ ﻗﺒﻞ.‬ ‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ در اﻳﻨﺠﺎ ‪ x‬ﺑﻪ ﻧﺎﺣﻴﻪ 1≤ ‪ 0 ≤ x‬ﻣﺤﺪود ﻣﻲﺷﻮد.‬
‫1‬

‫ﻧﻘﺸﻪ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﺳﺎده‬

‫از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ )‪ f ( x‬ﻛﻪ ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ راﺑﻄﻪ )1( ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ اي را در ﻧﺎﺣﻴﻪ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي‬ ‫]1,0[ ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ دﻳﮕﺮي در ﻫﻤﺎن ﻧﺎﺣﻴﻪ اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻲدﻫﺪ، ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ )‪ f ( x‬ﻳﻚ ﻧﻘﺸﻪ ﻳﻚ ﺑﻌﺪي ﻧﺎﻣﻴﺪه‬

‫‪1- Simple One-Dimensional Map‬‬

‫6‬

‫ﻣﻲﺷﻮد. ﺷﻜﻞ )‪ f ( x‬در راﺑﻄﻪ )1( ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻧﻘﺸﻪ ﻟﮋﺳﺘﻴﻚ1 ﺷﻨﺎﺧﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﻧﻘﺸﻪ ﻟﮋﺳﺘﻴﻚ ﻳﻚ ﻣﺜﺎل‬ ‫ﺳﺎده از ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻧﺴﺨﻪ ﺟﺒﺮي رﻳﺎﺿﻲ ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﻧﻬﺎﻳﻲ آن ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ.‬ ‫ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻋﺪدي ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ‪ x‬اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻜﺮار ﺗﺎﺑﻊ )‪ f ( x‬را روي آن ﺑﻪ دﺳﺖ‬ ‫آورﻳﻢ، دﻧﺒﺎﻟﻪاي ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﻳﺎﻓﺖ. ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺗﻜﺮارﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ 0‪ ، ... ، x1 ، x‬ﻣﺪار ﻳﺎ ﻣﺴﻴﺮ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد.‬ ‫اﻳﻦ ﻓﻬﺮﺳﺖ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺷﺒﺎﻫﺘﻲ ﺑﻪ »ﻣﺪار« ﻫﺎﻳﻲ ﻣﺜﻞ ﻣﺪار ﻣﺎﻫﻮاره ﻳﺎ ﻣﺪار ﺳﻴﺎرات ﻛﻪ ﺗﺎﻛﻨﻮن دﻳﺪهاﻳﺪ‬ ‫ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ ﻟﻜﻦ ﺑﻲ رﺑﻂ ﻫﻢ ﻧﻴﺴﺖ. ﺗﻜﺮار ﺗﻮاﺑﻊ ارﺗﺒﺎط ﺗﻨﮕﺎﺗﻨﮕﻲ ﺑﺎ ﻳﻜﻲ از ﺷﺎﺧﻪﻫﺎي رﻳﺎﺿﻴﺎت ﺑﻪ ﻧﺎم‬ ‫ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ دارد. در اﻳﻦ ﻗﻠﻤﺮو ﺣﺴﺎب دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال را ﺑﻜﺎر ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ ﺗﺎ ﻓﺮاﻳﻨﺪﻫﺎي ﭘﻮﻳﺎ را‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻨﺪ. ﻣﺜﻼً ﻧﻴﻮﺗﻦ ﺗﻮاﻧﺴﺖ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻧﻈﺮﻳﻪ ﮔﺮاﻧﺶ ﺧﻮد را ﺻﻮرﺗﺒﻨﺪي ﻛﻨﺪ و آن‬ ‫را ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ ﺣﺮﻛﺖ و ﻣﺪارﻫﺎي اﺟﺮام ﺳﻤﺎوي ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮد. ﺑﻪ ﻣﻨﻈﻮر ﭼﻚ ﻛﺮدن ﻓﻬﻤﻤﺎن، ﺷﺮط اوﻟﻴﻪ‬ ‫5 /0 = 0‪ x‬و 21/0 = ‪ r‬را در ﻧﻈﺮ ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﺑﻪ ﺷﻜﻞ 2 /0 = 1‪ x3 = 0/089293 ، x2 = 0/128 ، x‬و ... ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد.‬ ‫در ﺷﻜﻞ2 اوﻟﻴﻦ ﺳﻲ ﻣﺴﻴﺮ راﺑﻄﻪ )1( ﺑﺮاي دو ﻣﻘﺪار ‪ r‬ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫0‬ ‫5‬ ‫01‬ ‫51‬ ‫02‬ ‫52‬ ‫03‬

‫5‬

‫01‬

‫51‬

‫02‬

‫52‬

‫03‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬

‫ﺷﻜﻞ2- اﻟﻒ( ﺳﺮيﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺮاي 8.0 = ‪ r‬و 6.0 = 0 ‪ . x‬ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﭘﺎﻳﺪار، ﻧﻘﻄـﻪ 0 = ‪ x‬ﻣـﻲﺑﺎﺷـﺪ.‬ ‫ب( ﺳﺮي ﻫﺎي زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺮاي 8.2 = ‪ r‬و 1.0 = 0‪ . x‬ﺑﻪ رﻓﺘﺎر ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار اوﻟﻴﻪ ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ. ﺧﻄﻮط ﺑﻴﻦ ﻧﻘـﺎط، ﺧﻄـﻮط‬ ‫راﻫﻨﻤﺎ ﺑﺮاي ﭼﺸﻢ ﻫﺴﺘﻨﺪ.‬

‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﺪارﻫﺎي ﺗﻮاﺑﻌﻲ ﻣﺜﻞ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ، اﻳﻦ ﭘﺮﺳﺶ ﻣﻬﻢ را در دﺳﺘﮕﺎه ﻫﺎي دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﭘﻴﺶ ﻣﻲآورد ﻛﻪ آﻳﺎ‬ ‫ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺳﺮﻧﻮﺷﺖ ﻫﻤﻪ ﻣﺪارﻫﺎي ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ را ﺣﺪس ﺑﺰﻧﻴﻢ؟ آﻳﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﭘﻴﺶﮔﻮﻳﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ ﻳﻚ‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ را ﺗﻜﺮار ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﭼﻪ رخ ﻣﻲدﻫﺪ؟‬

‫‪1- Logistic Map‬‬

‫7‬

‫ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ وﺿﻌﻴﺖ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﻳﻚ ﻣﻨﻄﻘﻪ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ روش ﻣﻲﺗﻮان ﻋﻤﻞ ﻛﺮد:‬

‫اﻟﻒ( ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻧﺘﺎﻳﺞ‬
‫ﺑﺮاي 4 /0 = ‪ x‬و 6 / 3 = ‪ r‬ﺑﻌﺪ از 02 دﻓﻌﻪ ﺗﻜﺮار ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺮ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ:‬
‫‪N‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫3‬ ‫4‬ ‫5‬ ‫6‬ ‫7‬ ‫8‬ ‫9‬ ‫01‬ ‫11‬ ‫21‬ ‫31‬ ‫41‬ ‫51‬ ‫61‬ ‫71‬ ‫81‬ ‫91‬ ‫02‬

‫ﻣﻘﺪار‬
‫4/0‬ ‫468/0‬ ‫410324/0‬ ‫466878/0‬ ‫18383/0‬ ‫4158/0‬ ‫664554/0‬ ‫68298/0‬ ‫973443/0‬ ‫618218/0‬ ‫727745/0‬ ‫8198/0‬ ‫573743/0‬ ‫41618/0‬ ‫991045/0‬ ‫281498/0‬ ‫336043/0‬ ‫865808/0‬ ‫32755/0‬ ‫902888/0‬

‫ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از اﻳﻦ اﻋﺪاد ﺧﻴﻠﻲ ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر اﻳﻦ ﺳﻴﺴﺘﻢ را ﺑﻔﻬﻤﻴﻢ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ رﺳﻢ اﻳﻦ ﻧﻘﺎط در‬ ‫ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﺑﻬﺘﺮ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ ﭘﺮداﺧﺖ.‬

‫8‬

‫ب( ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻧﺘﺎﻳﺞ‬
‫از آﻧﺠﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﺣﺎﺻﻞ از ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻛﺎر آﺳﺎﻧﻲ ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻪ ﺗﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮداري اﻳﻦ ﻧﺘﺎﻳﺞ ﻣﻲﭘﺮدازﻳﻢ.‬ ‫در ﻧﻤﻮدارﻫﺎي زﻳﺮ ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﻳﻚ ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﺳﺎده ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي1 اﻓﺖ وﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﺑﻪ ازاي ﻳﻚ ﻣﻘﺪار‬ ‫اوﻟﻴﻪ ‪ x‬ﺑﺮاي ‪ r‬ﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ.‬ ‫در ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮدارﻫﺎي زﻳﺮ ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ‪ x‬ﺑﺮاﺑﺮ 4/0 اﺳﺖ.‬

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬ ‫2.0=‪r‬‬

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬ ‫4.0=‪r‬‬

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬ ‫6.0=‪r‬‬

‫1- ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮي ﻣﺮﺑﻮﻃﻪ ﺑﻪ زﺑﺎن ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﻳﺴﻲ ﻓﻮرﺗﺮن در اﻧﺘﻬﺎي ﻫﻤﻴﻦ ﺗﺤﻘﻴﻖ آﻣﺪه اﺳﺖ.‬

‫9‬

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=0.8

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=1

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=1.2

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=1.4

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=1.6

10

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=1.8

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=2

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=2.2

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 r=2.4

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=2.6

11

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=2.8

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=3.0

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=3.2

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=3.4

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 r=3.6

12

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫7‬ ‫94 74 54 34 14 93 73 53 33 13 92 72 52 32 12 91 71 51 31 11 9‬

‫8.3=‪r‬‬

‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫3‬ ‫5‬ ‫7‬ ‫94 74 54 34 14 93 73 53 33 13 92 72 52 32 12 91 71 51 31 11 9‬

‫4=‪r‬‬

‫ﺷﻜﻞ3- در ﻫﻤﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ﻓﻮق ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ 0‪ x‬ﺑﺮاﺑﺮ 4/0 ﻓﺮض ﺷﺪه اﺳﺖ. وﻟﻲ ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﺪ ﻣﻘﺪار ‪) r‬ﻛﻪ در ﺳﻤﺖ راﺳﺖ‬ ‫ﻫﺮ ﻧﻤﻮدار ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه( ﻣﺘﻐﻴﺮ اﺳﺖ. ﺗﺎﺛﻴﺮ ‪ r‬را در ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮران ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ.‬

‫ﺣﺎل اﻳﻦ ﺳﻮال ﭘﻴﺶ ﻣﻲآﻳﺪ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ‪ x‬و ﻳﺎ ﺿﺮﻳﺐ زاﻳﺎﻳﻲ ‪ r‬ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻳﺎﺑﺪ، ﺷﻜﻞ ﻧﻬﺎﻳﻲ ﻛﺪام‬ ‫ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﻋﻮض ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ؟ اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع ﺑﺎ رﺳﻢ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ دو ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ‪ x‬و ﺑﻪ ازاي ﻣﻘﺎدﻳﺮ‬ ‫ﻣﺨﺘﻠﻒ ‪ r‬در ﻧﻤﻮدارﻫﺎي زﻳﺮ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬
‫2.0=‪r‬‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬

‫‪X‬‬ ‫4.0=‪o‬‬
‫‪X‬‬ ‫6.0=‪o‬‬

‫4.0=‪r‬‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬

‫‪X‬‬ ‫4.0=‪o‬‬

‫‪X‬‬ ‫6.0=‪o‬‬

‫31‬

r=0.6
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=0.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=1
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=1.2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=1.4
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

14

r=1.6
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=1.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=2.2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=2.4
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

15

r=2.6
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Xo=0.4 Xo=0.6

r=2.8
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

r=3.0
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Xo=0.4 Xo=0.6

r=3.2
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

Xo=0.4 Xo=0.6

r=3.4
1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49

X o=0.4 X o=0.6

16

‫6.3=‪r‬‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬

‫‪X‬‬ ‫4.0=‪o‬‬ ‫‪X‬‬ ‫6.0=‪o‬‬

‫8.3=‪r‬‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬

‫‪X‬‬ ‫4.0=‪o‬‬ ‫‪X‬‬ ‫6.0=‪o‬‬

‫0.4=‪r‬‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫7‬ ‫01‬ ‫31‬ ‫61‬ ‫91‬ ‫22‬ ‫52‬ ‫82‬ ‫13‬ ‫43‬ ‫73‬ ‫04‬ ‫34‬ ‫64‬ ‫94‬

‫‪X‬‬ ‫4.0=‪o‬‬ ‫‪X‬‬ ‫6.0=‪o‬‬

‫ﺷﻜﻞ4- در ﻫﻤﻪ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ﻓﻮق ﺗﻐﻴﻴﺮات اﻓﺖ و ﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﺑﺮاي ﻳﻚ ﻣﻘﺪار ‪ r‬و دو ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ 0‪ x‬رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ.‬

‫ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻲ اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﭼﻨﺪ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺗﻮان رﺳﻴﺪ:‬ ‫1. ﺑﺮاي 1≤ ‪ r‬ﺟﺪاي از ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ﺑﺮاي ‪ x‬ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ 0 ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ.‬ ‫2. ﺑﺮاي 1> ‪ r‬ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮدارﻫﺎ از 0 = ‪ x‬دور ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.‬ ‫−1= ‪ x‬ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ.‬
‫1‬ ‫3. ﺑﺮاي 3 ≤ ‪ 1< r‬ﺗﻤﺎم ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫‪r‬‬

‫4. ﺑﺮاي ...944 / 3 ≤ ‪ 3 < r‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻴﻦ دو ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﻧﻮﺳﺎن ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‬ ‫5. ﺑﺮاي ...9965 / 3 < ‪ 3 / 449... < r‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺑﻴﻦ ﭼﻬﺎر ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﻧﻮﺳﺎن ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ.‬ ‫6. ﺑﺮاي 4 < ‪ 3 / 5699... < r‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎ رﻓﺘﺎري ﻏﻴﺮ ﻃﺒﻴﻌﻲ از ﺧﻮد ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. و ... .‬
‫71‬

‫7. از ﭘﺎراﻣﺘﺮ ‪ r‬ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮاي ﻛﻨﺘﺮل اﻳﻦ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد.‬ ‫ﺑﺮاي 6 / 3 > ‪ r‬ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ اﻓﺖ و ﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﻣﻨﻄﻘﻪ ﻣﻲﭘﺮدازﻳﻢ.‬
‫1‬ ‫9.0‬ ‫8.0‬ ‫7.0‬ ‫6.0‬ ‫5.0‬ ‫4.0‬ ‫3.0‬ ‫2.0‬ ‫1.0‬ ‫0‬ ‫1‬ ‫4‬ ‫46 16 85 55 25 94 64 34 04 73 43 13 82 52 22 91 61 31 01 7‬

‫5.0=‪Xo‬‬ ‫1005.0=‪Xo‬‬

‫ﺷﻜﻞ5- ﻧﻤﻮدار ﺗﻐﻴﻴﺮات اﻓﺖ و ﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﺑﺮاي 7 / 3 = ‪ r‬و دو ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ 0‪. x‬‬

‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﺷﻮد در اﻳﻦ دو ﻧﻤﻮدار 7 / 3 = ‪ r‬و ﺗﻌﺪاد ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻫﺎ 56 ﺑﺎر اﺳﺖ. ﺗﻨﻬﺎ اﺧﺘﻼﻓﻲ‬
‫ﻛﻪ در ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﺷﺎن وﺟﻮد دارد اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺣﺎﻟﺖ ‪ x‬اوﻟﻴﻪ 5/0 و در ﺣﺎﻟﺖ ﺑﻌﺪي 1005/0‬

‫اﺳﺖ. ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺗﺎ ﺣﺪود 73 ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اول ﺷﻜﻞ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﺗﻘﺮﻳﺒﺎً ﻳﻜﺴﺎن اﺳﺖ، وﻟﻲ از آن ﭘﺲ ﺑﻪ ﺗﺪرﻳﺞ‬ ‫اﺧﺘﻼفﻫﺎﻳﻲ ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻲﺷﻮد، ﺗﺎ ﺑﺎﻻﺧﺮه ﻣﺴﻴﺮ اﻓﺖ و ﺧﻴﺰﻫﺎي ﺟﻤﻌﻴﺘﻲ ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت ﻣﻲﺷﻮد. اﻳﻦ ﻫﻤﺎن‬ ‫»ﺣﺴﺎﺳﻴﺖ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ« اﺳﺖ. ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ 1000/0 ﺑﻪ ﻧﺴﺒﺖ ﺟﻤﻌﻴﺖ اوﻟﻴﻪ، ﻧﻤﻮدار ﻛﺎﻣﻼ ﻣﺘﻔﺎوﺗﻲ‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺳﺖ: ﻳﻌﻨﻲ در ﻳﻚ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﭼﻨﺪ ﻫﺰار ﻧﻔﺮي، اﺿﺎﻓﻪ ﺷﺪن ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﺟﺎﻧﻮر ﺑﺎﻋﺚ اﻳﻦ ﻫﻤﻪ‬ ‫اﺧﺘﻼف ﺷﺪه اﺳﺖ.‬

‫ج( ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﻗﺒﻞ از اﻳﻨﻜﻪ ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﻲ اﻳﻦ روش ﺑﭙﺮدازﻳﻢ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ اﺻﻄﻼح را ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﻨﻴﻢ.‬ ‫1. ﺗﺎﺑﻊ: ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﺳﺎده ﺗﺎﺑﻊ ﻋﻤﻠﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻋﺪدﻫﺎي ﻣﻌﻴﻨﻲ را ﺑﻪ ﻋﺪدﻫﺎي اﺣﺘﻤﺎﻻً ﻣﺘﻔﺎوت دﻳﮕﺮي‬ ‫ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ. وﻳﮋﮔﻲ ﻣﻬﻢ ﺗﺎﺑﻊ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ ﻋﺪدي ﺑﻪ آن ﻣﻲدﻫﻴﻢ، ﻳﻚ و ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻋﺪد‬ ‫ﻣﻲ دﻫﺪ.‬ ‫2. ﺗﻜﺮار: وﻗﺘﻲ ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻌﻲ را روي ﻋﺪدي اﺛﺮ ﻣﻲدﻫﻴﻢ، ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻲﻧﻤﺎﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﺘﻮان ﺑﺎر دﻳﮕﺮ ﻫﻤﺎن ﺗﺎﺑﻊ‬ ‫را روي ﻧﺘﻴﺠﻪ ﺑﻪ دﺳﺖ آﻣﺪه اﺛﺮ داد. اﻧﺠﺎم ﭘﻴﺎﭘﻲ اﻳﻦ ﻋﻤﻞ را ﺗﻜﺮار ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. اﮔﺮ ﻋﺪد ‪ x‬داده‬ ‫ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻲﺗﻮان ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬را روي آن اﺛﺮ داد و )‪ F(x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورد، ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﺎر دﻳﮕﺮ ‪ F‬را‬
‫81‬

‫روي آن اﺛﺮ دﻫﻴﻢ و ﻣﻘﺪار ﺟﺪﻳﺪ ))‪ F(F(x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﻢ. ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻧﺤﻮ، اﮔﺮ ‪ F‬را ﻳﻚ ﺑﺎر دﻳﮕﺮ‬ ‫اﺛﺮ دﻫﻴﻢ )))‪ F(F(F(x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ. ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ ﺑﺮاي ﺗﻜﺮار ﭘﻴﺎﭘﻲ ‪ F‬ﻫﻢ ﻧﻤﺎد ﺧﺎﺻﻲ‬ ‫اﻧﺘﺨﺎب ﻛﻨﻴﻢ وﮔﺮﻧﻪ ﺑﺎ اﻓﺰاﻳﺶ دﻓﻌﺎت ﺗﻜﺮار، در اﻧﺒﻮه ﭘﺮاﻧﺘﺰﻫﺎ ﻏﺮق ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ. ﻟﺬا )‪ F j (x‬را ﺑﻪ‬ ‫ﻣﻌﻨﺎي ﺗﻜﺮا ‪ j‬ام ‪ F‬روي ‪ x‬ﺑﻪ ﻛﺎر ﻣﻲﺑﺮﻳﻢ. ﻳﻌﻨﻲ:‬
‫)‪F1( x) = F ( x‬‬ ‫))‪F 2 ( x) = F ( F ( x‬‬ ‫)))‪F 3 ( x) = F ( F ( F ( x‬‬ ‫...‬

‫3. ﻣﺪار: ﻓﻬﺮﺳﺖ ﺗﻜﺮارﻫﺎي ﻣﺘﻮاﻟﻲ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻳﺎ ﻋﺪد، ﻣﺪار آن ﻧﻘﻄﻪ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد.‬ ‫4. ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺪاري: ﺗﺠﺰﻳﻪ و ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺪارﻫﺎي ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﻣﻔﺮوض را ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﺪاري‬ ‫ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.‬ ‫5. ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ: ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬را ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮاي ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ اﮔﺮ ‪ . F(xo) = xo‬ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺗﺤﺖ ﺗﻜﺮار ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻧﻤﻲﻛﻨﻨﺪ.‬ ‫6. ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ: ﻧﻮع دﻳﮕﺮي از ﻣﺪار، ﻣﺪار ﺗﻨﺎوﺑﻲ اﺳﺖ. ﻳﻚ ﻣﺪار را ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺑﻪ‬
‫ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ از آن ﺷﺮوع ﺷﺪه اﺳﺖ ﺑﺮﮔﺮدد. ﻳﻌﻨﻲ ﻣﺪرا ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬را ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﮔﻮﻳﻴﻢ اﮔﺮ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ‪n‬‬

‫ﻣﻮﺟﻮد ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ ‪ F n (xo) = xo‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬را ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره ‪ n‬ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ.‬ ‫ﻛﻮﭼﻜﺘﺮﻳﻦ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺜﺒﺖ ‪ n‬از اﻳﻦ ﻧﻮع را دوره اوﻟﻴﻪ ﻣﺪار ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ.‬ ‫ﺣﺎل ﭼﻨﺪ وﻳﮋﮔﻲ ﻣﻬﻢ ﻣﺪارﻫﺎي ﺗﻨﺎوﺑﻲ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ.‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ xo‬ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره 4 ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ:‬
‫) 0‪x1 = F ( x‬‬
‫) 0‪x2 = F ( x1) = F 2 ( x‬‬

‫) 0‪x3 = F ( x2 ) = F 3 ( x‬‬ ‫) 0‪x0 = F ( x3 ) = F 4 ( x‬‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺪار ‪ xo‬ﺑﻪ ﻃﻮر ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺗﻜﺮار ﻣﻲ ﺷﻮد:‬
‫… , 0‪x0 , x1 , x2 , x3 , x0 , x1 , x2 , x3 , x‬‬

‫91‬

‫در ﻣﻮرد ﻣﺪار ﻫﺎي 1‪ x2 ، x‬و 3‪ x‬ﭼﻪ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺑﮕﻮﻳﻴﻢ؟ ﺑﻠﻪ؛ ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ روي ﻣﺪار ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره 4، ﺑﺮاي‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬ﺗﻮﺳﻂ 4 ‪ ... ، F12 ، F 8 ، F‬و ﻛﻼً ‪ F 4n‬ﻛﻪ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺤﻲ اﺳﺖ ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﻪ داﺷﺘﻪ ﻣﻲﺷﻮد. ﻫﺮ ﻳﻚ‬ ‫از اﻳﻦ ﻣﻀﺎرب 4 ﻳﻚ دوره ﻫﺴﺘﻨﺪ، وﻟﻲ 4 دوره اوﻟﻴﻪ اﺳﺖ. ﻫﻴﭻ ﻧﻜﺘﻪ ﺧﺎﺻﻲ در ﻋﺪد 4 ﻧﻴﺴﺖ، اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ‬ ‫را ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﻀﺎرب ﻣﺜﺒﺖ 4 ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻴﺎن ﻛﺮد.‬ ‫اﻫﻤﻴﺖ ﻣﺪارﻫﺎي ﺗﻨﺎوﺑﻲ از آﻧﺠﺎ ﻧﺎﺷﻲ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ آﻧﻬﺎ ﻧﺸﺎن دﻫﻨﺪه ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي دورهاي در ﻃﺒﻴﻌﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ.‬ ‫ﺑﺎﻻ و ﭘﺎﻳﻴﻦ رﻓﺘﻦ ﻓﺼﻠﻲ ﺟﻤﻌﻴﺖ اﻧﻮاع ﻣﻌﻴﻨﻲ از ﺣﻴﻮاﻧﺎت و ﺣﺸﺮات از اﻳﻦ دﺳﺖ ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎ اﺳﺖ.‬ ‫7. ﻧﻘﺎط ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺛﺎﺑﺖ و ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺗﻨﺎوﺑﻲ: ﺗﺎﺑﻊ 2‪ F ( x) = x‬را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﻧﻘﻄﻪ 1− = ‪ x‬ﻳﻚ‬
‫ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ وﻟﻲ 1= )1−( ‪ F‬ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮاي ‪ F‬اﺳﺖ. ﻣﺪار ﻧﻘﻄﻪ 1− = ‪x‬‬

‫را ﻣﺪار ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ. از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ در ﺗﺎﺑﻊ 1− 4‪ ، F ( x) = x‬ﻧﻘﻄﻪ 0 = ‪ x‬ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره 2 اﺳﺖ زﻳﺮا 1− = )0( ‪ F‬و 0 = )1−( ‪ . F 2 (0) = F‬اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﻣﺪارﻫﺎ را ﻣﺪارﻫﺎي‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺗﻨﺎوﺑﻲ و ﻧﻘﺎﻃﻲ را ﻛﻪ ﻣﺪارﻫﺎﻳﺸﺎن ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺛﺎﺑﺖ ﻳﺎ ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺗﻨﺎوﺑﻲ اﺳﺖ، ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﻘﺎط‬ ‫ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺛﺎﺑﺖ ﻳﺎ ﺳﺮاﻧﺠﺎم ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ.‬ ‫در اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖ روﺷﻲ ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ رﻓﺘﺎرﻫﺎي دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ اراﺋﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﭘﻴﺶ از اﻳﻦ ﺑﻪ ﻧﺤﻮ دﻳﮕﺮي ﺑﻪ‬ ‫دﺳﺖ آﻣﺪ. اﻳﻦ روش را ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. ﺑﺎ اﻳﻦ روش ﻣﻲﺗﻮان رﻓﺘﺎر ﺗﻜﺮارﻫﺎي ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ را ﻓﻘﻂ ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻤﻚ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ درك ﻛﺮد. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﭼﻨﺪ ﻧﻤﻮدار اوﻟﻴﻪ و ﺑﺪون اداﻣﻪ رﺳﻢ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي‬ ‫ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﻜﺮارﻫﺎي ﺑﻌﺪي ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ، ﻣﺪارﻫﺎي آن ﺗﺎﺑﻊ را ﭘﻴﮕﻴﺮي و ﺑﻪ ﻃﻮر ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻛﺮد.‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ، ﺗﺼﻮﻳﺮي ﻣﺨﺘﺼﺮ و ﮔﻮﻳﺎ از ﺗﻤﺎم ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ. ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ اﻃﻼﻋﺎت ﺑﺴﻴﺎري راﺟﻊ ﺑﻪ ﺗﻜﺮار‬ ‫اول ﺗﺎﺑﻊ ‪ F‬ﻳﻌﻨﻲ ﺧﻮد ﺗﺎﺑﻊ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ، ﻟﻴﻜﻦ ﺑﺮاي ﺷﻨﺎﺧﺖ رﻓﺘﺎر دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ‪ F‬ﻧﻴﺎز دارﻳﻢ ﻛﻪ‬ ‫درﺑﺎره ))‪ F 3 ( x) = F ( F ( F ( x))) ، F 2 ( x) = F ( F ( x‬و ... ﻧﻴﺰ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﻢ. در ﺗﺤﻠﻴﻞ‬ ‫ﻧﻤﻮداري ﺑﺪون رﺳﻢ ﻧﻤﻮدارﻫﺎي 2 ‪ ... ، F 3 ، F‬اﻳﻦ اﻃﻼﻋﺎت را ﻓﻘﻂ از ﻧﻤﻮدار ‪ F‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآورﻳﻢ.‬ ‫روش ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺳﺎدهاي ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ رﻓﺘﺎر ﻣﺪارﻫﺎ وﺟﻮد دارد ﻛﻪ در آن ﻓﻘﻂ از ﻧﻤﻮدار )‪ F(x‬اﺳﺘﻔﺎده‬ ‫ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﺮاي ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﺪار ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬اﺑﺘﺪا ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ‪ y = x‬را رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ﻣﺪار ‪ xo‬در اﻳﻦ ﻣﺜﺎل ﻋﺒﺎرت‬
‫اﺳﺖ از ‪ . ... ، F 2 ( x0 ) ، F(xo) ، xo‬ﭘﺲ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻌﺪي روي ﻣﺪار ‪ ، xo‬ﻧﻘﻄﻪ )‪ F(xo‬اﺳﺖ. ﻧﻘﻄﻪ ))‪(xo , F(xo‬‬

‫روي ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ )‪ F(x‬ﻗﺮار دارد. ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ آن ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ از ﻧﻘﻄﻪ )‪ (xo , xo‬ﺑﺮ روي ﺧﻂ ﻗﻄﺮي، ﻳﻚ ﺧﻂ‬

‫02‬

‫ﻗﺎﺋﻢ رﺳﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ )‪ F(x‬را ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ، ﻋﺮض ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮﺧﻮرد )‪ F(xo‬اﺳﺖ. ﺑﻬﺘﺮ اﺳﺖ اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ را ﻧﻴﺰ ﻫﻤﭽﻮن‬ ‫‪ xo‬ﺑﺮ ﻣﺤﻮر ﻃﻮلﻫﺎ ﻣﻨﺘﻘﻞ ﻛﻨﻴﻢ. ﺑﺮاي اﻧﺠﺎم اﻳﻦ ﻛﺎر از ﻧﻘﻄﻪ ))‪ (xo , F(xo‬ﻳﻚ ﺧﻂ اﻓﻘﻲ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺧﻂ‬ ‫ﻗﻄﺮي رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮﺧﻮرد دﻗﻴﻘﺎً ﻧﻘﻄﻪ ))‪ (F(xo) , F(xo‬اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ )‪ F(xo‬درﺳﺖ زﻳﺮ اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫روي ﻣﺤﻮر ﻃﻮل ﻫﺎ واﻗﻊ اﺳﺖ. )ﺷﻜﻞ6 را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ.(‬

‫))‪(F(xo) , F(xo‬‬

‫))‪(xo , F(xo‬‬

‫)‪F(xo‬‬
‫ﺷﻜﻞ6- ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري )‪F(x‬‬

‫ﺑﺎ اﻳﻦ روش ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺪار ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ.اﺑﺘﺪا ﺑﺎ ﻧﻘﻄﻪ )‪ (xo , xo‬روي ﺧﻂ ﻗﻄﺮي آﻏﺎز ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ.‬ ‫ﺳﭙﺲ ﻳﻚ ﺧﻂ ﻗﺎﺋﻢ ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪ ))‪ (xo , F(xo‬و ﺑﻪ دﻧﺒﺎل آن ﻳﻚ ﺧﻂ اﻓﻘﻲ ﺗﺎ ﻧﻘﻄﻪ ))‪ (F(xo) , F(xo‬روي ﺧﻂ‬ ‫ﻗﻄﺮي رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ﺣﺎل از ﻧﻘﻄﻪ ﺟﺪﻳﺪ ))‪ (F(xo) , F(xo‬ﻳﻚ ﺧﻂ ﻗﺎﺋﻢ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ )‪ F(x‬رﺳﻢ‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ آﻧﺮا در ﻧﻘﻄﻪ )) 0‪ ( F ( x0 ), F 2 ( x‬ﻗﻄﻊ ﻛﻨﺪ. ﺧﻂ اﻓﻘﻲ ﮔﺬرﻧﺪه از اﻳﻦ ﻧﻘﻄﻪ، ﺧﻂ ﻗﻄﺮي را در‬ ‫)) 0‪ ( F 2 ( x0 ), F 2 ( x‬ﻗﻄﻊ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ. ﺑﻪ اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻣﺪار ‪ xo‬در اﻣﺘﺪاد ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ﻧﻤﺎﻳﺎن ﻣﻲﺷﻮد.‬ ‫ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ ﻧﻤﻮدار ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي، ﺧﻄﻮط ﻗﺎﺋﻢ از ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺑﺎﻻ ﻳﺎ ﭘﺎﻳﻴﻦ ﺑﺮوﻧﺪ. ﺑﻪ ﻃﺮﻳﻖ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺧﻄﻮط اﻓﻘﻲ از ﻧﻤﻮدار ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي‬ ‫ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﭼﭗ ﻳﺎ راﺳﺖ ﺑﺮوﻧﺪ.‬

‫‪k‬‬

‫ﺷﻜﻞ8- دو ﻣﺪار از ﻃﺮﻳﻖ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري‬

‫12‬

‫ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ وﻳﮋﮔﻴﻬﺎي دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﻲ ﺑﺴﻴﺎري دﺳﺖ ﻳﺎﻓﺖ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ‬ ‫ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ را ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ. اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﻣﺤﻞ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ‪ y = x‬ﺑﺎ‬ ‫ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺗﺎﺑﻊ )‪ F(x‬اﺳﺖ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ دوره ﻫﺎي ﺗﻨﺎوﺑﻲ را ﻧﻴﺰ ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ.‬ ‫ﮔﺎﻫﻲ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻧﻤﻲﺗﻮان رﻓﺘﺎر ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ را ﭘﻴﺶﺑﻴﻨﻲ ﻛﺮد. ﻣﺜﻼً ﺷﻜﻞ7 ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري‬ ‫ﺗﺎﺑﻊ )‪ F(x) = 4x(1− x‬را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. در اﻳﻦ ﺷﻜﻞ ﭘﻴﭽﻴﺪﮔﻲﻫﺎي ﻣﺪارﻫﺎ ﺑﻪ وﺿﻮح دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد. اﻳﻦ‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﮔﺎﻫﻲ رهﮔﻴﺮي ﻣﺪارﻫﺎي ﻃﻮﻻﻧﻲ از ﻃﺮﻳﻖ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ.‬

‫)‪F(x‬‬

‫‪o‬‬

‫‪x‬‬

‫1‬
‫ﺷﻜﻞ8- ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري )‪F(x) = 4x(1-x‬‬

‫ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب و داﻓﻊ‬ ‫وﻗﺘﻲ ﭼﮕﻮﻧﮕﻲ رﻓﺘﺎر ﻣﺪارﻫﺎ را ﻧﺰدﻳﻚ ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﺗﻔﺎوت ﻣﻬﻤﻲ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‬ ‫ﻛﻪ ﻣﻲﺗﻮان آﻧﺮا ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﺗﻮﺿﻴﺢ داد. دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ H ( x) = x‬و ‪ G(x) = 2x‬را در ﻧﻈﺮ‬
‫ﻣﻲﮔﻴﺮﻳﻢ. ﻧﻘﻄﻪ 0 ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮاي ﻫﺮ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻓﻮق اﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ )0( ‪ ... ، H 2 (0) ، H‬ﻫﻤﮕﻲ ﺻﻔﺮﻧﺪ و )‪G(x‬‬
‫1‬ ‫2‬

‫ﻧﻴﺰ ﭼﻨﻴﻦ اﺳﺖ. ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﺗﺎﺑﻊ ‪ H‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﻣﺪار ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ دﻟﺨﻮاﻫﻲ ﻏﻴﺮ از ﺻﻔﺮ را در ﻧﻈﺮ‬ ‫ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ ﺗﺤﺖ ﺗﻜﺮار ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻧﻘﻄﻪ 0 ﻣﻴﻞ ﻣﻲﻛﻨﺪ، ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ ﻫﻤﻪ ﻣﺪارﻫﺎ را ﺟﺬب ﻣﻲﻛﻨﺪ. از‬ ‫ﺳﻮي دﻳﮕﺮ ﻫﻤﻪ ﻣﺪارﻫﺎي ‪ G‬از 0 دور ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ، ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﻧﻘﻄﻪ ﺻﻔﺮ ﻫﻤﻪ ﻣﺪارﻫﺎ را دﻓﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺻﻔﺮ را ﺑﺮاي ﺗﺎﺑﻊ ‪ ،H‬ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب و ﺑﺮاي ‪ G‬ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ داﻓﻊ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ. اﻳﻦ ﻣﻮﺿﻮع در ﺷﻜﻞ9 ﻧﺸﺎن‬ ‫داده ﺷﺪه اﺳﺖ.‬
‫22‬

‫‪y=x‬‬

‫‪y=x‬‬

‫1‬ ‫ﺷﻜﻞ9- ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ‪ H ( x) = x‬و ‪G ( x) = 2x‬‬ ‫2‬

‫ﻣﺪارﻫﺎي ﭘﺎﻳﺪار و ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار‬ ‫دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻌﻀﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ داراي ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺘﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﻛﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺟﺎذب ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻳﺎ داﻓﻊ؛ و ﻧﻴﺰ‬ ‫دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ رﻓﺘﺎر دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ در اﻃﺮاف اﻳﻦ دو ﻧﻮع ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺮرﺳﻲ اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﻣﺎ را ﺑﻪ‬ ‫ﺳﻤﺖ ﻣﻔﺎﻫﻴﻢ ﭘﺎﻳﺪاري و ﻧﺎﭘﺎﻳﺪاري ﺳﻮق ﻣﻲدﻫﺪ. ﻣﺪار ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ را ﭘﺎﻳﺪار ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ اﮔﺮ داراي‬ ‫اﻳﻦ وﻳﮋﮔﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻣﻘﺪار ورودي را اﻧﺪﻛﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ دﻫﻴﻢ، رﻓﺘﺎر ﻣﺪار ﺣﺎﺻﻞ ﺑﺎ رﻓﺘﺎر ﻣﺪار اوﻟﻴﻪ ﻣﺸﺎﺑﻪ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ. ﻣﺪاري از ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ را ﻧﺎﭘﺎﻳﺪار ﮔﻮﻳﻴﻢ ﻫﺮﮔﺎه ﺑﺎ ﺗﻐﻴﻴﺮي اﻧﺪك در ورودي ﻣﺪار رﻓﺘﺎري‬ ‫ﻛﺎﻣﻼً ﻣﺘﻔﺎوت ﺑﻪ دﺳﺖ آﻳﺪ.‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب، ﭘﺎﻳﺪار؛ و ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ داﻓﻊ ﻧﺎﭘﺎﻳﺪارﻧﺪ. ﻣﺪار ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ اي ﻛﻪ در ﭘﻬﻨﻪ ﺟﺬب ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ‬ ‫ﺟﺎذب ﺑﺎﺷﺪ ﻧﻴﺰ ﭘﺎﻳﺪار اﺳﺖ.‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬

‫ﺷﻜﻞ01: اﻟﻒ( ﻧﻘﻄﻪ ‪ p‬ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب اﺳﺖ. ب( ﻧﻘﻄﻪ ‪ p‬ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ داﻓﻊ اﺳﺖ.‬

‫32‬

‫ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺟﺎذب و داﻓﻊ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻧﻴﺰ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺟﺎذب ﻳﺎ داﻓﻊ ﺑﺎﺷﻨﺪ. ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺟﺬب و دﻓﻊ ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﻣﺸﺎﺑﻪ ﺑﺎ‬ ‫ﻫﻤﺎن ﺗﻌﺮﻳﻔﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ داده ﺷﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ روﺷﻦ ﻣﻲ ﺷﻮد.‬

‫ﺷﻜﻞ11- ﻣﺮﻛﺰ ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺟﺎذب ااﺳﺖ‬

‫ﺗﻜﺮارﻫﺎي ﺑﺎﻻﺗﺮ‬ ‫دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻛﻤﻚ روش ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬ﻣﻔﺮوض، ﻧﻘﺎط‬ ‫))‪ (Fn(xo) , Fn(xo‬را روي ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ﻣﺸﺨﺺ ﻛﺮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲﺗﻮان ﭘﺬﻳﺮﻓﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫ﻣﺜﺒﺖ ‪ ، n‬ﻋﺮض ﻧﻘﻄﻪاي را ﻛﻪ روي ﻧﻤﻮدار ‪ Fn‬و درﺳﺖ ﺑﺎﻻي ﻧﻘﻄﻪ ‪ xo‬اﺳﺖ در اﺧﺘﻴﺎر دارﻳﻢ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از‬ ‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻘﻂ ﺑﺎ در دﺳﺖ داﺷﺘﻦ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪ ، F‬ﻧﻤﻮدارﻫﺎي 2 ‪ ... ، F 3 ، F‬را ﺑﻪ ﻃﻮر‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ رﺳﻢ ﻛﺮد. اﻳﻦ ﻋﻤﻞ در درك رﻓﺘﺎر دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﻣﺪارﻫﺎي ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه دﻳﻨﺎﻣﻴﮕﻲ ﻛﻤﻚ زﻳﺎدي ﺑﻪ ﻣﺎ‬ ‫ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي روﺷﻦ ﺷﺪن ﻣﻮﺿﻮع ﻧﻤﻮدار ﭼﻨﺪ ﺗﻜﺮار ﺗﺎﺑﻊ )‪ F(x) = 4x(1− x‬را رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ.‬ ‫ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ‪ x‬در ﺑﺎزه 1≤ ‪ 0 ≤ x‬ﺑﺎﺷﺪ. در اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫1= ) − () (4 = ) ( ‪F‬‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫2‬ ‫2‬

‫:‬

‫0 = )1( ‪F (0) = F‬‬

‫ﺷﻜﻞ21- ﻧﻤﻮدار )‪ F(x) = 4 x(1− x‬در ﺑﺎزه 1≤ ‪0 ≤ x‬‬

‫42‬

‫را ﺑﻪ روي‬

‫1‬ ‫1‬ ‫ﻧﻤﻮدار ﺷﻜﻞ21 ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ‪ ، F‬ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺑﺎزه ﻫﺎي‬ ‫≤ ‪ 0 ≤ x‬و 1≤ ‪≤ x‬‬ ‫2‬ ‫2‬

‫1‬ ‫1‬ ‫1 ≤ )‪ 0 ≤ F (x‬ﻣﻲﺑﺮد. ﻳﻌﻨﻲ ﻧﻘﻄﻪاي ﻣﺜﻞ 0‪ a‬در ﺑﺎزه ≤ ‪ 0 ≤ x‬و ﻧﻘﻄﻪاي ﻣﺜﻞ 0‪ b‬در ﺑﺎزه 1≤ ‪≤ x‬‬ ‫2‬ ‫2‬

‫= ) 0‪ . F (a0 ) = F (b‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫1‬ ‫1= ) ( ‪F 2 (a0 ) = F 2 (b0 ) = F‬‬ ‫2‬
‫≤ ‪ 0 ≤ x‬را ﺑﻪ 0 ﻣﻲﺑﺮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮاي ) ‪F 2 (x‬‬

‫1‬ ‫وﺟﻮد دارد ﻛﻪ‬ ‫2‬

‫1 1‬ ‫از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ 2 ‪ F‬ﻧﻘﺎط اﻧﺘﻬﺎﻳﻲ ﺑﺎزهﻫﺎي 1≤ ‪ ≤ x‬و‬ ‫2 2‬

‫ﭼﻨﻴﻦ دارﻳﻢ‬
‫‪x‬‬
‫) ‪F 2 (x‬‬

‫0‬ ‫0‬

‫‪ao‬‬ ‫1‬

‫1‬ ‫2‬

‫‪bo‬‬ ‫1‬

‫1‬ ‫0‬

‫0‬

‫ﭘﺲ ﻧﻤﻮدار 2 ‪ F‬داراي دو ﻗﻠﻪ در ﺑﺎزه 1≤ ‪ 0 ≤ x‬اﺳﺖ. )ﺷﻜﻞ31 را ﺑﺒﻴﻨﻴﺪ(.‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬

‫ﺷﻜﻞ31- اﻟﻒ( ﻧﻤﻮدار 2 ‪ F‬ب( ﻧﻤﻮدار 3 ‪F‬‬

‫≤ ‪ a0 ≤ x‬و‬

‫1 1‬ ‫ﺣﺎل ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ 2 ‪ F‬ﻫﺮ ﻳﻚ از ﭼﻬﺎر ﺑﺎزه 1≤ ‪ b0 ≤ x‬؛ 0‪ ≤ x ≤ b‬؛‬ ‫2 2‬

‫0‪ 0 ≤ x ≤ a‬را ﺑﻪ روي ﺑﺎزه 1≤ 2 ‪ 0 ≤ F‬ﻣﻲﺑﺮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ در ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﭼﻬﺎر ﺑﺎزه ﻧﻘﻄﻪاي وﺟﻮد دارد ﻛﻪ‬ ‫ﺑﺮده ﻣﻲﺷﻮد و ﭼﻮن 1= ) ( ‪ ، F‬اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ﺗﻮﺳﻂ 3 ‪ F‬ﺑﻪ 1 ﺑﺮده ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. در‬
‫52‬
‫1‬ ‫2‬ ‫1‬ ‫ﺗﻮﺳﻂ 2 ‪ F‬ﺑﻪ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫2‬

‫ﺿﻤﻦ 3 ‪ F‬ﻧﻘﺎط اﻧﺘﻬﺎﻳﻲ ﻫﺮﻳﻚ از ﭼﻬﺎر ﺑﺎزه ﻓﻮق را ﺑﻪ ﺻﻔﺮ ﻣﻲﺑﺮد. ﻟﺬا ﻧﻤﻮدار 3 ‪ F‬داراي ﭼﻬﺎر ﻗﻠﻪ در ﺑﺎزه‬ ‫1≤ ‪ 0 ≤ x‬اﺳﺖ. اﮔﺮ ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ ﻃﺮﻳﻖ اداﻣﻪ دﻫﻴﻢ، ﻣﻲﺑﻴﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻤﻮدار ‪ ، Fn‬داراي 1−‪ 2n‬ﻗﻠﻪ ﺑﻴﻦ 0 و 1‬ ‫اﺳﺖ. ﻫﺮ ﻳﻚ از اﻳﻦ ﻗﻠﻪ ﻫﺎ از 0 = ‪ y‬ﺗﺎ 1 = ‪ y‬اﻣﺘﺪاد دارﻧﺪ. در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻤﻮدار ‪ Fn‬ﺧﻂ ﻗﻄﺮي را در دﺳﺖ‬ ‫ﻛﻢ ‪ 2n‬ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ. اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ ﻣﻬﻤﻲ اﺳﺖ زﻳﺮا ﺣﺎﻛﻲ از آن اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ Fn‬داراي دﺳﺖ ﻛﻢ ‪ 2n‬ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ . ﺷﻜﻞ21 ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ )‪ F(x‬دو ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ دارد ﻛﻪ ﻣﺤﻞ ﺗﻼﻗﻲ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ﺑﺎ )‪ F(x‬اﺳﺖ.‬ ‫= ‪ x‬را ﺑﻪ دﺳﺖ‬
‫3‬ ‫ﺑﺪﻳﻬﻲ اﺳﺖ ﻳﻜﻲ از اﻳﻦ دو ﻧﻘﻄﻪ 0 = ‪ x‬اﺳﺖ. ﺑﺎ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ دﻳﮕﺮ‬ ‫4‬

‫آورد. ﺷﻜﻞ31 ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ) ‪ F 4 (x‬ﭼﻬﺎر ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ دارد )ﻣﺤﻞ ﺗﻼﻗﻲ ) ‪ F 2 (x‬ﺑﺎ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي(. اﻳﻦ‬ ‫ﻧﻘﺎط ﺑﺮاي )‪ F(x‬ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ دوره 2 ﻫﺴﺘﻨﺪ، اﻣﺎ ﺑﺮاي ﻫﻤﻪ آﻧﻬﺎ دوره اوﻟﻴﻪ ﻧﻴﺴﺖ زﻳﺮا ﭼﻨﺎﻧﻜﻪ ﻣﻲداﻧﻴﻢ‬ ‫دو ﻧﻘﻄﻪ از اﻳﻦ ﭼﻬﺎر ﻧﻘﻄﻪ ﻫﻤﺎن ﻧﻘﻄﻪﻫﺎي ﺛﺎﺑﺖ )‪ F(x‬ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﻫﻤﻴﻨﻄﻮر ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ )‪ F n (x‬ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ‬ ‫)‪ F(x‬ﻫﺴﺘﻨﺪ اﻣﺎ دوره اوﻟﻴﻪ ﻫﻤﻪ اﻳﻦ ﻧﻘﺎط ‪ n‬ﻧﻴﺴﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺎﺑﻊ ﺳﺎدهاي ﻣﺜﻞ‬ ‫)‪ F ( x) = 4 x(1 − x‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻣﺘﻌﺪدي ﺑﺎ دورهﻫﺎي ﻣﺨﺘﻠﻒ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ.‬

‫ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ روش ﭼﻘﺪر اﻫﻤﻴﺖ دارد. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺎ روشﻫﺎي دﻳﮕﺮ ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ 4 ‪ F‬را‬ ‫ﭘﻴﺪا ﻛﻨﻴﻢ. ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ دﺳﺖ ﻛﻢ 61= 42 ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ وﺟﻮد دارد. اﻣﺎ‬ ‫ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ اﻳﻦ ﻧﻘﺎط را ﺑﺎ ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ F 4 ( x) = x‬ﺑﻴﺎﺑﻴﻢ ! اﻳﻦ، ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از‬
‫= ‪ x‬را ﺑﻪ ﺳﺎدﮔﻲ ﻣﻲﺗﻮان ﻳﺎﻓﺖ. )در واﻗﻊ اﻳﻨﻬﺎ ﻫﻤﺎن ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ‪F‬‬
‫3‬ ‫درﺟﻪ 61 اﺳﺖ. دو رﻳﺸﻪ 0 = ‪ x‬و‬ ‫4‬

‫اﻧﺪ.( اﻣﺎ ﻳﺎﻓﺘﻦ 41 رﻳﺸﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﺴﻴﺎر ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ. ﺛﺎﺑﺖ ﻣﻲﺷﻮد ﻫﻴﭻ روش ﻛﻠﻲ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ﭼﻨﺪ‬ ‫ﺟﻤﻠﻪاي ﺑﺎ درﺟﻪ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از 4 وﺟﻮد ﻧﺪارد. ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ روش ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﺗﻌﺪاد و ﻣﺤﻞ‬ ‫ﺗﻘﺮﻳﺒﻲ ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ‪ F n‬را ﺑﺮاي ﻣﺎ ﻣﻌﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﺪ. دﻗﺖ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از درﺟﻪ 61 ﻟﺰوﻣﺎً‬ ‫61 رﻳﺸﻪ ﻧﺪارد. ﻣﺜﻼً 2‪ F ( x ) = x‬دو ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ 0 و 1 دارد اﻣﺎ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻧﺪارد. زﻳﺮا ﻣﺜﻼً ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﺮﺑﻮط‬ ‫ﺑﻪ دورﻫﺎي ﺑﺎ دور 4 ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ x16 = x‬اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از درﺟﻪ 61 اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ دو‬ ‫رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ دارد ﻛﻪ ﻫﻤﺎن دو ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ 0 و 1 ﻫﺴﺘﻨﺪ.‬ ‫ﺣﺎل ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻲ رﻓﺘﺎر دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﺧﺎﻧﻮاده ﻣﺸﺨﺼﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ، ﻣﻔﻬﻮم آﺷﻮب را ﺑﻴﺎن ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. اﻳﻦ ﺧﺎﻧﻮاده،‬ ‫ﺧﺎﻧﻮادهاي از ﺗﻮاﺑﻊ درﺟﻪ دوم ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ اﺳﺖ.‬
‫‪Qc ( x ) = x 2 + c‬‬

‫)2(‬

‫62‬

‫ﭼﻮن ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﺑﺮاي ‪ ، c‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآورﻳـﻢ، ﺑـﻪ اﻳـﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋـﻪ از ﺗـﺎﺑﻊﻫـﺎ ﻋﻨـﻮان‬
‫ﺧﺎﻧﻮاده را اﻃﻼق ﻛﺮدﻳﻢ. اﻧﺪﻳﺲ ‪ c‬ﺑﻪ ﻫﻤﻴﻦ دﻟﻴﻞ ﺑﻪ ﻛﺎر ﺑﺮده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﻲداﻧﻴﺪ ﻧﻤـﻮدار ‪Qc‬‬

‫ﻳﻚ ﺳﻬﻤﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ دﻫﺎﻧﻪ آن رو ﺑﻪ ﺑﺎﻻ اﺳﺖ. ﺧﻂ ‪ y = x‬را رﺳﻢ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬و اﻳﻦ ﺧﻂ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ‬ ‫ﻫﻢ ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ.‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬

‫ج‬

‫<‪c‬‬

‫، ج( 1‬ ‫1‬ ‫1‬ ‫2‬ ‫ﺷﻜﻞ41- ﻧﻤﻮدارﻫﺎي ‪ . Qc ( x) = x + c‬اﻟﻒ( > ‪ ، c‬ب( = ‪c‬‬ ‫4‬ ‫4‬ ‫4‬

‫ﻧﻘﺎط ﺑﺮﺧﻮرد ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪ Qc‬ﺑﺎ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ‪ y = x‬از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪x2 + c = x‬‬

‫)3(‬ ‫ﻳﺎ‬

‫0 = ‪x2 − x + c‬‬

‫)4(‬ ‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﻨﺪ. رﻳﺸﻪﻫﺎي اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‬

‫=‪p‬‬

‫‪1+ 1− 4c‬‬ ‫2‬

‫و‬

‫=‪q‬‬

‫‪1− 1− 4c‬‬ ‫2‬

‫)5(‬

‫ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ اﻳﻦ رﻳﺸﻪﻫﺎ زﻣﺎﻧﻲ ﺣﻘﻴﻘﻲاﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫0 ≥ ‪1− 4c‬‬

‫)6(‬ ‫ﻳﺎ‬

‫≤‪c‬‬

‫1‬ ‫4‬

‫)7(‬
‫1‬ ‫1‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ اﮔﺮ = ‪ c‬آﻧﮕﺎه ‪ p = q‬؛ و وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬ ‫4‬

‫< ‪ ، c‬دارﻳﻢ ‪. q < p‬‬

‫72‬

‫ﻣﻄﺎﺑﻖ اﺻﻄﻼﺣﺎﺗﻲ ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻛﺮدﻳﻢ، ‪ p‬و ‪ q‬ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺗﻮاﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ وﻗﺘﻲ‬ ‫= ‪ c‬دو ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺮ‬
‫1‬ ‫1‬ ‫‪ Qc‬در اﻃﺮاف ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻣﻲﻛﻨﺪ در ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ﺗﻔﺎوت اﻳﺠﺎد ﻣﻲﺷﻮد. وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬ ‫4‬
‫1‬ ‫ﻫﻢ ﻣﻨﻄﺒﻖاﻧﺪ و در واﻗﻊ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ وﺟﻮد دارد، در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬

‫< ‪ c‬ﻧﺎﮔﻬﺎن ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ‬

‫دوﺗﺎ ﻣﻲﺷﻮد.‬ ‫> ‪ c‬ﺗﻤﺎم ﻣﺪارﻫﺎي ‪ Qc‬ﺑﻪ ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ ﻣﻲروﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ از‬
‫1‬ ‫ﺑﺎ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻲﺗﻮان ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ اﮔﺮ‬ ‫4‬

‫≤ ‪ c‬رﻓﺘﺎر ﻣﺪارﻫﺎ زﻣﺎﻧﻲ ﺟﺎﻟﺐ اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ . − p ≤ x ≤ p‬اﻳﻦ‬

‫1‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ در ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫4‬

‫ﺑﺎزه را ﺑﺎ ‪ Ic‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻴﻢ.‬ ‫< ‪ c = −2 ، − 2 < c‬و 2− < ‪ c‬ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. در ﻫﺮ ﺣﺎﻟﺖ ﻣﺮﺑﻌﻲ‬
‫1‬ ‫ﺷﻜﻞ51 ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬را در ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ‬ ‫4‬

‫ﻧﻴﺰ رﺳﻢ ﺷﺪه اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺮﻛﺰ آن ﻣﺒﺪأ و دو رأس ‪ A‬و ‪ C‬از آن، )‪ ( p, p‬و )‪ (− p,− p‬ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻗﺴﻤﺘﻲ از‬ ‫ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬ﻛﻪ در داﺧﻞ اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ واﻗﻲ ﻣﻲﺷﻮد، درﺳﺖ ﻫﻤﺎن ﻗﺴﻤﺘﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺎزه ‪ Ic‬اﺳﺖ.‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬ ‫ﺷﻜﻞ51- ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬در ﺳﻪ ﺣﺎﻟﺖ‬

‫ج‬

‫اﻟﻒ( 1 < ‪ ، − 2 < c‬ب( 2− = ‪ ، c‬ج( 2− < ‪c‬‬ ‫4‬

‫ﺗﻮﺟﻪ ﻛﻨﻴﺪ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ 2− < ‪ ، c‬ﻗﺴﻤﺖ ﭘﺎﻳﻴﻨﻲ ﻧﻤﻮدار از ﻗﺴﻤﺖ اﻧﺘﻬﺎﻳﻲ ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺬﻛﻮر ﺧﺎرج ﻣﻲﺷﻮد. و ﺑﺎ‬ ‫ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﺗﻮان درﺳﺘﻲ اﻳﻦ ادﻋﺎ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮد.‬

‫82‬

‫ﻣﺪارﻫﺎي ﺟﺎﻟﺐ‬

‫اﻛﻨﻮن ﻣﺪارﻫﺎﻳﻲ را ﻛﻪ ﺑﻪ ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ ﻧﻤﻲروﻧﺪ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. اﻫﻤﻴﺖ ﻣﺮﺑﻌﻲ ﻛﻪ در ﺷﻜﻞ51 ﻧﺸﺎن‬ ‫≤ ‪ − 2 ≤ c‬ﺗﻤﺎم ﻣﺪارﻫﺎي ‪ Qc‬در ﺑﺎزه ‪ Ic‬و ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﺗﻤﺎم ﺧﻄﻮط ﻗﺎﺋﻢ و‬
‫1‬ ‫دادﻳﻢ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬

‫اﻓﻘﻲ ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻫﻤﮕﻲ در اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ. ﻳﻌﻨﻲ اﮔﺮ ﻣﻘﺪار اوﻟﻴﻪ ‪ xo‬در ﺑﺎزه ‪ Ic‬ﺑﺎﺷﺪ‬ ‫ﻛﻞ ﻣﺪار ‪ Qc‬در ﺑﺎزه ‪ Ic‬ﻗﺮار ﺧﻮاﻫﺪ ﮔﺮﻓﺖ.‬ ‫≤ ‪ − 2 ≤ c‬ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﻢ. اﮔﺮ ﺳﻌﻲ‬
‫1‬ ‫در اداﻣﻪ ﻣﻘﺎﻟﻪ ﻣﻲﺧﻮاﻫﻴﻢ رﻓﺘﺎر دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ Qc‬را ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻪ ازاي‬ ‫4‬

‫ﻛﻨﻴﻢ ﺑﺎ دادن ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﻪ ‪ c‬در اﻳﻦ ﻓﺎﺻﻠﻪ و اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻘﺎط اوﻟﻴﻪ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن، ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﻳﻚ ﻣﺎﺷﻴﻦ‬ ‫ﺣﺴﺎب ﻋﻠﻤﻲ ﻳﺎ ﻳﻚ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ، ﺗﻌﺪادي از ﻣﺪارﻫﺎي ‪ Qc‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﻢ ﺑﻪ ﻧﺘﺎﻳﺞ زﻳﺮ ﻣﻲرﺳﻴﻢ.‬ ‫− ﻫﻤﻪ ﻣﺪارﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ ﺟﺎذب، ﺟﺬب ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.‬ ‫− اﻏﻠﺐ ﻣﺪارﻫﺎ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ دور ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب 2 ﺟﺬب ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ.‬
‫3‬ ‫1‬ ‫1. وﻗﺘﻲ ≤ ‪≤ c‬‬ ‫4‬ ‫4‬

‫5‬ ‫3‬ ‫2. وﻗﺘﻲ − < ‪≤ c‬‬ ‫4‬ ‫4‬

‫3. وﻗﺘﻲ ‪ c‬ﺑﺎز ﻫﻢ ﻛﻤﺘﺮ ﺷﻮد در اﻏﻠﺐ ﻣﺪارﻫﺎ، دورﻫﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب 4، 8، و ... دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد.‬ ‫4. ﺑﺮاي ﺑﻌﻀﻲ از از ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ c‬ﻧﻴﺰ اﻟﮕﻮي ﺧﺎﺻﻲ دﻳﺪه ﻧﻤﻲ ﺷﻮد.‬

‫≤ ‪ − 2 ≤ c‬در ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮﻧﺪ.‬

‫1‬ ‫ﺷﻜﻞ61- ﻣﺪارﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي‬ ‫4‬

‫92‬

‫ﺑﺎ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري، ﻣﻄﺎﻟﺐ ﺑﺴﻴﺎري از اﻳﻦ ﮔﻮﻧﻪ روﺷﻦﺗﺮ ﻣﻲﺷﻮد. ﺷﻜﻞ71 ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬ﺑﺮاي ‪ c‬ﻫﺎي ﻧﺰدﻳﻚ‬ ‫− راﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ.‬
‫3‬ ‫ﺑﻪ‬ ‫4‬

‫اﻟﻒ‬

‫ب‬ ‫ﺷﻜﻞ71- ﺑﺨﺶ ﻫﺎﻳﻲ از ﻧﻤﻮدار ‪Qc‬‬
‫اﻟﻒ( 56/-0=‪ ، C‬ب( 57/-0=‪ ، C‬ج( 58/-0=‪C‬‬

‫ج‬

‫−=‪c‬‬

‫3‬ ‫در ﺷﻜﻞ71 ﻳﻚ ﺧﻂ ﻋﻤﻮد ﺑﺮ ﺧﻂ ﻗﻄﺮي ‪ y = x‬در ﻧﻘﻄﻪ )‪ (q,q‬ﻧﻴﺰ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫3‬ ‫ﺷﻜﻞ71 ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ وﻗﺘﻲ − ≥ ‪ q ، c‬ﺟﺎذب و وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬ ‫4‬
‫3‬ ‫دﻳﮕﺮ وﻗﺘﻲ‬ ‫4‬

‫ﻧﻤﻮدار ‪ Qc‬ﺑﺮ اﻳﻦ ﺧﻂ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ، و وﻗﺘﻲ ‪ c‬از اﻳﻦ ﻣﻘﺪار ﻋﺒﻮر ﻣﻲﻛﻨﺪ، ﻧﻤﻮدار دور اﻳﻦ ﺧﻂ ﻣﻲﭘﻴﭽﺪ.‬ ‫− < ‪ q ، c‬داﻓﻊ اﺳﺖ. از ﻃﺮف‬

‫2‬ ‫− < ‪ c‬ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ از ‪ q‬دور ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺗﺤﺖ ‪ Qc‬ﺑﻪ ‪ q‬ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ و ﻧﻘﺎط ﻧﺰدﻳﻚ ‪ q‬از آن‬

‫دور ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ )ﺷﻜﻞ81(. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو ﻣﻮرد، ﺑﺎﻳﺪ ﻧﻘﺎﻃﻲ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﻪ ﻧﻪ از ‪ q‬دور ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ و ﻧﻪ ﺑﻪ آن‬
‫2‬ ‫ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻨﻬﺎ ﻧﻘﺎط ﺛﺎﺑﺖ ‪ Qc‬ﻳﺎ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ دور ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب دﻳﮕﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ.‬

‫ﺷﻜﻞ81- دور ﺑﻪ ﺗﻨﺎوب 2 ﺑﺮاي ‪ Qc‬ﺑﻪ ازاي 8/0- =‪C‬‬

‫03‬

‫ﻣﻄﻠﺐ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﻧﻴﺰ ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﺮد. ﻧﻘﺎﻃﻲ ﻛﻪ ﺗﻨﺎوب 2 دارﻧﺪ ﺟﻮاﺑﻬﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ زﻳﺮ ﻫﺴﺘﻨﺪ‬
‫2‬ ‫‪Qc ( x) = x‬‬

‫)8(‬ ‫ﻳﺎ‬

‫0 = ‪x 4 + 2cx2 − x + c2 + c‬‬

‫)9(‬

‫ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ 4 در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ. اﻣﺎ ﺑﺮاي ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق، ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ از اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ ﻛﻪ در‬ ‫دﺳﺖ دارﻳﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻛﻨﻴﻢ. ﻣﻲداﻧﻴﻢ ﻛﻪ ﻧﻘﺎط ‪ p‬و ‪ q‬ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﻳﺎﻓﺘﻴﻢ، ﺑﺮاي ‪ Qc‬ﻧﻘﻄﻪﻫﺎي ﺛﺎﺑﺖ و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮاي 2‪ Qc‬ﻧﻴﺰ ﻧﻘﻄﻪﻫﺎي ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﺒﺎرت دﻳﮕﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﺳﻤﺖ ﭼﭗ ﻣﻌﺎدﻟﻪ )9( ﺑﺮ ﻫﺮ دو ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫‪ x-p‬و ‪ x-q‬و ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آﻧﻬﺎ ﻛﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي درﺟﻪ دوم ‪ x2 − x + c‬اﺳﺖ ﺑﺨﺸﭙﺬﻳﺮ اﺳﺖ. ﺑﻪ‬ ‫اﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ:‬
‫0 = )1+ ‪( x2 − x + c)( x2 + x + c‬‬

‫)01(‬

‫ﭘﺲ رﻳﺸﻪﻫﺎي دﻳﮕﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻓﻮق از ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم‬
‫0 = 1+ ‪x2 + x + c‬‬

‫)11(‬

‫ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲآﻳﺪ. اﻣﺎ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ وﻗﺘﻲ داراي رﻳﺸﻪﻫﺎي ﺣﻘﻴﻘﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﺒﻴﻦ آن ﻧﺎﻣﻨﻔﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﻌﻨﻲ‬ ‫−≤‪. c‬‬
‫3‬ ‫0 ≥ )1+ ‪ 1− 4(c‬ﻳﺎ‬ ‫4‬

‫ﺣﺎل ﻣﻲﭘﺮدازﻳﻢ ﺑﻪ ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ 2− = ‪ . c‬اﮔﺮ در اﻳﻦ ﺣﺎﻟﺖ ﺑﺎ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺣﺴﺎب ﻳﺎ ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮ ﻧﻴﺰ رﻓﺘﺎر ﻣﺪارﻫﺎ را‬ ‫ﺑﺮرﺳﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﻐﻴﻴﺮات ﻧﺎﻫﻨﺠﺎري را ﻣﺸﺎﻫﺪه ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. اﻳﻦ دﻗﻴﻘﺎً ﻫﻤﺎن ﺣﺎﻟﺘﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ در دﻳﻨﺎﻣﻴﻚ‬ ‫ﻣﺪارﻫﺎي ﺗﺎﺑﻊ آﺷﻮب اﻳﺠﺎد ﻣﻲﺷﻮد. وﻗﺘﻲ 2− = ‪ ، c‬دارﻳﻢ 2=‪ . p‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎزه اي ﻛﻪ رﻓﺘﺎر ﻣﺪارﻫﺎي ﻧﻘﺎط‬ ‫آﻧﻬﺎ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲ ﻛﻨﻴﻢ ﺑﺎزه 2 ≤ ‪ − 2 ≤ x‬اﺳﺖ )ﺷﻜﻞ51 ب(. اﻳﻦ ﻣﻮرد ﻣﺜﺎﻟﻲ اﺳﺖ از آﺷﻮب. ﺟﺰ ﻧﻘﻄﻪ‬ ‫ﺛﺎﺑﺖ داﻓﻊ 2=‪ p‬ﺑﻪ ﻇﺎﻫﺰ ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ دﻳﮕﺮ ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ. آﻳﺎ 2−‪ Q‬دورﻫﺎي دﻳﮕﺮي دارد؟ ﺟﺎﻟﺐ‬ ‫اﺳﺖ ﺑﺪاﻧﻴﺪ ﻛﻪ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ داراي ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ دور اﺳﺖ. اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﻛﻤﻚ ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﺑﺮرﺳﻲ‬ ‫ﻛﺮد.‬ ‫اﺑﺘﺪا ﻧﻤﻮدار 2−‪ Q‬و ﺗﻜﺮارﻫﺎي آن را در ﻣﺰﺑﻌﻲ ﺑﻪ ﻣﺮﻛﺰ )‪ (o , o‬و رأﺳﻬﺎي )2 , 2( و )2- , 2-( رﺳﻢ‬ ‫ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ. ﻧﻤﻮدار 2 − 2‪ Q−2 ( x) = x‬ﻳﻚ ﺳﻬﻤﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ رأس آن در ﻧﻘﻄﻪ )2 , ‪ (o‬واﻗﻊ اﺳﺖ و از ﻧﻘﺎط‬ ‫)2 , 2-( و )2 , 2( ﻋﺒﻮر ﻣﻲﻛﻨﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ 0 = )2 ( 2−‪ Q‬و 0 = )2 −( 2−‪ . Q‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ‬
‫13‬

‫2‬ ‫2‬ ‫2− = )2 ±( 2−‪ . Q‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻧﻤﻮداري ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ 2−‪ Q‬داراي 2 دره اﺳﺖ )ﺷﻜﻞ91(. ﺑﺎ‬
‫‪n‬‬ ‫4‬ ‫3‬ ‫اﺳﺘﺪﻻﻟﻲ ﻣﺸﺎﺑﻪ ﻣﻌﻠﻮم ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ 2−‪ Q‬داراي 4 دره و 2−‪ Q‬داراي 8 دره و ... اﺳﺖ. ﭘﺲ 2−‪ Q‬داراي‬
‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫1−‪ 2n‬دره در اﻳﻦ ﻣﺮﺑﻊ اﺳﺖ. در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻧﻤﻮدار 2−‪ Q‬دﺳﺖ ﻛﻢ ‪ 2n‬ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ در اﻳﻦ ﺑﺎزه دارد. 2−‪ Q‬ﻫﻤﻪ‬

‫اﻳﻦ ﻣﻘﺎدﻳﺮ را ﺛﺎﺑﺖ ﻧﮕﺎه ﻧﻤﻲدارد، ﺑﻠﻜﻪ اﻛﺜﺮ آﻧﻬﺎ داراي دوره اوﻟﻴﻪ ‪ n‬ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻫﺮ ﺻﻮرت ﻃﻲ ﻣﻄﺎﻟﺐ‬ ‫ﺗﺎ 2- ﻧﺰول ﻣﻲﻛﻨﺪ، ﺧﺎﻧﻮاده ‪ Qc‬از ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﺛﺎﺑﺖ وﺟﻮد دارد ﺑﻪ‬
‫1‬ ‫ﮔﻔﺘﻪ ﺷﺪه وﻗﺘﻲ ‪ c‬از‬ ‫4‬

‫ﺣﺎﻟﺘﻲ ﻛﻪ ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ ﻣﺪار ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﺷﻮد.‬

‫3‬ ‫2‬ ‫ﺷﻜﻞ91- ﻧﻤﻮدارﻫﺎي 2−‪ Q‬و 2−‪Q‬‬

‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﺷﻮد، اﻳﻦ روش ﺗﻮﺻﻴﻒ ﻫﻨﺪﺳﻲ داراي ﻗﺪرت ﺑﺴﻴﺎر اﺳﺖ زﻳﺮا اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﺑﻪ‬ ‫روش ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ، ﻧﻘﺎط ﺑﺎ ﺗﻨﺎوب ‪ n‬را ﺑﻪ دﺳﺖ آورﻳﻢ ﺑﺎﻳﺪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪n‬‬ ‫0 = ‪Q−2 ( x) − x‬‬

‫)21(‬

‫را ﺣﻞ ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از درﺟﻪ ‪ 2n‬اﺳﺖ و اﻟﺒﺘﻪ اﮔﺮ ‪ n‬ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ اﻳﻦ ﻛﺎر ﻏﻴﺮ ﻣﻤﻜﻦ‬ ‫اﺳﺖ! رﻓﺘﺎرﻫﺎﻳﻲ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﺑﺮاي ﻳﻚ ﺧﺎﻧﻮاده از ﺗﻮاﺑﻊ را، رﻓﺘﺎر آﺷﻮﺑﻲ ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ.‬ ‫در ﺷﻜﻞﻫﺎي 02 و 12 دو ﻧﻤﻮدار ﻧﺴﺒﺘﺎً ﻋﺠﻴﺐ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد. اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻛﻪ‬ ‫≤ ‪ − 2 ≤ c‬ﺑﻪ دﺳﺖ ﻣﻲدﻫﺪ. ﺷﻜﻞ 12 ﺑﺰرگ‬
‫1‬ ‫ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺗﺎﺑﻊ ‪ Qc‬را ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﮔﻮﻧﺎﮔﻮن‬ ‫4‬

‫ﺷﺪه ﺷﻜﻞ 02 اﺳﺖ. ﻣﺤﻮر اﻓﻘﻲ در اﻳﻦ ﻧﻤﻮدارﻫﺎ ﻣﺤﻮر ﻣﺮﺑﻮط ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ c‬وﻣﺤﻮر ﻋﻤﻮدي ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط‬ ‫ﺗﻨﺎوﺑﻲ اﺳﺖ. ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻣﻼﺣﻈﻪ ﻣﻲﺷﻮد، وﻗﺘﻲ ‪ c‬ﻧﺰدﻳﻚ ﻣﻘﺪار 2- اﺳﺖ ﻧﻤﻮدار، ﺷﻜﻞ ﻋﺠﻴﺐ و‬

‫23‬

‫ﭘﻴﭽﻴﺪهاي ﺑﻪ ﺧﻮد ﻣﻲﮔﻴﺮد و دﻳﮕﺮ ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ را ﺑﻪ درﺳﺘﻲ ﺗﺸﺨﻴﺺ دﻫﻴﻢ. در 2− = ‪c‬‬

‫ﻫﻤﺎﻧﻄﻮر ﻛﻪ ﻗﺒﻼً ﮔﻔﺘﻴﻢ، ﺑﻴﻨﻬﺎﻳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺮاي ‪ Qc‬ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ و اﻳﻦ ﻣﻄﻠﺐ از روي ﻧﻤﻮدار ﻣﺬﻛﻮر‬ ‫دﻳﺪه ﻣﻲﺷﻮد. اﻳﻦ ﻧﻤﻮداري اﺳﺖ از آﺷﻮب در ﺧﺎﻧﻮادهاي از ﺗﻮاﺑﻊ ﺳﺎده ﻳﻌﻨﻲ ﺗﻮاﺑﻊ درﺟﻪ دوم. ﺧﺎﻧﻮادهﻫﺎي‬ ‫دﻳﮕﺮي ﻧﻴﺰ ﻣﻲﺗﻮان ﻣﺜﺎل زد ﻛﻪ ﭼﻨﻴﻦ رﻓﺘﺎرﻫﺎﻳﻲ از ﺧﻮد ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﻨﺪ. ﻣﺜﻼً ﺧﺎﻧﻮاده ﺗﻮاﺑﻊ‬ ‫)‪. Fc ( x) = cx(1− x‬‬

‫ﺷﻜﻞ02- ﻧﻤﻮدار ﺗﻌﺪاد ﻧﻘﺎط ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ Qc‬ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﺨﺘﻠﻒ ‪c‬‬

‫ﺷﻜﻞ12-ﺑﺰرگ ﺷﺪه ﺷﻜﻞ02‬

‫ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻋﺪدي در ﺳﻴﺴﺘﻢ آﺷﻮﺑﻲ‬

‫ﭘﺪﻳﺪهﻫﺎي ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ در ﻃﺒﻴﻌﺖ، ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻓﺮﻣﻮﻟﺒﻨﺪي ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ. اﻏﻠﺐ ﻣﻮاﻗﻊ ﺣﻞ‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﺑﻪ روش ﺗﺤﻠﻴﻠﻲ ﻛﺎري ﻣﺸﻜﻞ اﺳﺖ. ﻳﻜﻲ از روﺷﻬﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺑﺮاي ﺣﻞ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻻت‬ ‫دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮد، روش ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدي اﺳﺖ. در اﻳﻦ روش ﺟﻮاب ﻫﺮ ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻪ‬
‫33‬

‫ﻋﻨﻮان ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﺑﺮاي ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻌﺪي ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮد، ﻛﻪ اﻳﻦ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﺟﻮاﺑﻲ‬ ‫آﺷﻮﺑﻲ ﺷﻮد. ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻣﺜﺎل ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ.‬
‫) ‪dy (t‬‬ ‫2‪= ay − by‬‬ ‫‪dt‬‬

‫)31(‬

‫ﻛﻪ در آن و ﺛﺎﺑﺖ ﻫﺴﺘﻨﺪ. و ﺟﻮاب دﻗﻴﻖ ﺑﺎ راﺑﻄﻪ زﻳﺮ داده ﻣﻲﺷﻮد.‬
‫=‪y‬‬ ‫‪ae at‬‬ ‫‪a + be at‬‬

‫)41(‬

‫ﺑﺎ ﺣﻞ ﻋﺪدي راﺑﻄﻪ )31( ﺑﻮﺳﻴﻠﻪ روش اوﻳﻠﺮ ﺑﻪ راﺑﻄﻪ زﻳﺮ ﻣﻲرﺳﻴﻢ.‬
‫‪yn +1 − yn‬‬ ‫2‪= ayn − by‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪h‬‬

‫)51(‬ ‫اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﻓﺮم زﻳﺮ ﺑﺎزﻧﻮﻳﺴﻲ ﻛﺮد.‬

‫2‪yn +1 = αyn + β y‬‬ ‫‪n‬‬

‫)61(‬ ‫ﻛﻪ در آن 1+ ‪ α = ah‬و ‪. β = bh‬‬

‫ﺑﺎ در ﻧﻈﺮ ﮔﺰﻓﺘﻦ ‪ ، α = β = A‬راﺑﻄﻪ )61( ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ در ﻣﻲآﻳﺪ.‬
‫) ‪yn +1 = Ayn (1− yn‬‬

‫)71(‬

‫اﻳﻦ راﺑﻄﻪ ﺷﺒﻴﻪ راﺑﻄﻪ )1( اﺳﺖ و ﺑﺎﻋﺚ رﻓﺘﺎري آﺷﻮﺑﻲ ﻣﻲﺷﻮد، ﻫﺮﭼﻨﺪ ﻛﻪ داراي ﺟﻮاﺑﻲ دﻗﻴﻖ ﺑﻪ‬ ‫ﺻﻮرت )41( اﺳﺖ.‬ ‫ﺑﺎ اﻳﻦ وﺿﻌﻴﺖ ﻣﺴﺌﻠﻪ ﺟﺪﻳﺪي رخ ﻣﻲدﻫﺪ، ﺑﻪ اﻳﻦ ﻣﻌﻨﻲ ﻛﻪ اﮔﺮ ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ داراي ﺟﻮاب دﻗﻴﻘﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ و ﺑﺮﺧﻲ روﺷﻬﺎي ﻋﺪدي ﺑﺮاي اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﻋﺚ اﻳﺠﺎد آﺷﻮب ﺷﻮﻧﺪ، و ﻓﺮض ﻛﻨﻴﻢ ﻛﻪ ﺟﻮاب دﻗﻴﻖ‬ ‫ﺻﺤﻴﺢ ﺑﺎﺷﺪ، درﺑﺎره ﻣﻌﺎدﻻت دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻠﻲ ﻛﻪ ﺟﻮاب دﻗﻴﻘﻲ ﻧﺪارﻧﺪ و روش ﻋﺪدي ﺑﺮاي ﺣﻞ آﻧﻬﺎ ﺑﺎﻋﺚ اﻳﺠﺎد‬ ‫آﺷﻮب ﻣﻲﺷﻮد ﭼﻪ ﻣﻲﺗﻮان ﮔﻔﺖ؟ آﻳﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ را ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ آﺷﻮﺑﻲ ﻧﺎﻣﻴﺪ؟‬

‫43‬

‫ﻧﺘﻴﺠﻪ ﮔﻴﺮي‬
‫1. ﺑﺎ ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻄﺎﻟﺐ ﻓﻮق اﻟﺬﻛﺮ ﻣﻲﺗﻮان درﻳﺎﻓﺖ ﻛﻪ روش ﺗﻜﺮار ﺑﻪ راه ﺣﻞ آﺷﻮﺑﻲ ﻛﻤﻚ ﻣﻲﻛﻨﺪ.‬ ‫2. ﺑﺮﺧﻲ از روﺷﻬﺎي ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدي ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻻﺗﻲ ﻣﻨﺠﺮ ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ ﺗﻜﺮار ﺷﻮﻧﺪه ﺑﻮده و ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻫﺮ‬ ‫ﻣﺮﺣﻠﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﺑﺎز ﺧﻮرد، دوﺑﺎره در ﺧﻮد راﺑﻄﻪ ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮد. در ﭼﻨﻴﻦ ﻣﻮاردي ﺑﺎﻳﺪ در‬ ‫ﭘﺎراﻣﺘﺮﻫﺎي اوﻟﻴﻪ دﻗﺖ ﻛﺮد ﺗﺎ راه ﺣﻞ ﻣﺎ ﺑﻪ ﻧﺘﻴﺠﻪاي آﺷﻮﺑﻲ ﻣﻨﺠﺮ ﻧﺸﻮد‬ ‫3. ﻣﻌﻤﻮﻻً اﺷﻮب در ﻣﻮاردي رخ ﻣﻲدﻫﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﺎ ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ دﻳﻨﺎﻣﻴﻜﻲ ﻏﻴﺮ ﺧﻄﻲ‬ ‫ﺑﺎﺷﺪ.‬ ‫4. ﺑﺎ اﻋﻤﺎل ﻣﻘﺎدﻳﺮ ﻣﻨﺎﺳﺐ ﻣﻲﺗﻮان آﺷﻮب را ﻛﻨﺘﺮل ﻛﺮد. ﻛﻨﺘﺮل آﺷﻮب ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻳﻚ ﻓﺮاﻳﻨﺪ‬ ‫ﻳﺎ ﻣﻜﺎﻧﻴﺰﻣﻲ ﺗﻠﻘﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ در ﻣﻮاﻗﻌﻲ ﻛﻪ آﺷﻮب ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز اﺳﺖ آﻧﺮا زﻳﺎد ﻣﻲﻛﻨﺪ و در ﻣﻮاﻗﻌﻲ ﻛﻪ‬ ‫ﻣﻀﺮ اﺳﺖ آﻧﺮا ﻓﺮو ﻣﻲﻧﺸﺎﻧﺪ.‬ ‫5. ﺣﺴﺎﺳﻴﺖ ﺑﻪ ﺷﺮاﻳﻂ اوﻟﻴﻪ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺮاي ﺟﻬﺖ دادن ﺑﻪ ﻣﺴﻴﺮﻫﺎي ﻳﻚ ﺳﻴﺴﺘﻢ ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﻳﻚ ﻣﺴﻴﺮ‬ ‫ﻣﻮرد ﻧﻈﺮ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻗﺮار ﮔﻴﺮد.‬

‫53‬

‫ﺿﻤﻴﻤﻪ‬

‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ اﻓﺖ و ﺧﻴﺰ ﺟﻤﻌﻴﺖ ﺟﺎﻧﻮري ﻳﻚ ﻣﻨﻄﻘﻪ ﻛﻪ ﺑﻪ زﺑﺎ ن ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ ﻧﻮﻳﺴﻲ ﻧﻮﺷﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺧﺮوﺟﻲ اﻳﻦ‬ ‫ﺑﺮﻧﺎﻣﻪ در ﻓﺎﻳﻠﻲ ﺑﻪ ﻧﺎم ذﺧﻴﺮه ﻣﻲ ﺷﻮد‬

PROGRAM POPULATION OPEN(FILE='OUT_PUT',UNIT=50,FORM='FORMATTED',STATUS='NEW') PRINT*,'PLEASE ENTER R' READ*,R PRINT*,'PLEAXE ENTER X' READ*,X DO 10 I=1,100 WRITE(50,1)X X=R*X*(1-X) 1 FORMAT(1X,F8.6)

10 CONTINUE END

36

‫ﺧﺬ‬Ĥ‫ﻣﻨﺎﺑﻊ و ﻣ‬

[1] Soegianto Soelistiono & Houw Liong , Bandung Institute of Technology (ITB), Analysis of the Chaos Dynamics in ( xn , xn+1) Plane [2] Douglas Edwards , Simulating Chaotic Motion with Various Numerical Methods [3] Logistic Map http://mathworld.wolfram.com/logistic map.html [4] Chen, G (Guanrong) , From Chaos to Order

37