Bat dang thuc cosi

Document Sample
Bat dang thuc cosi Powered By Docstoc
					   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG
L i nói đ u : Th c hi n nhi m v năm h c 2008 – 2009, Trư ng THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh
Hòa khuy n khích các giáo viên d y môn chuyên, làm chuyên đ đ xây d ng tài nguyên c a t chuyên
môn.
Chính vì v y tôi đã th c hi n và làm chuyên đ v :
                                       B T Đ NG TH C CÔ SI
                  TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG
Trong các kì thi tuy n sinh đ i h c và cao đ ng, có m t hay hai câu khó đ phân lo i thí sinh và
thư ng có m t câu v b t đ ng th c.
1) Đ nh lý (B t đ ng th c Cô si) :
Cho n s th c không âm : a1 ; a2 ; ...; an
Ta có :
                                     a1 + a2 + ... + an   √
                                                        ≥ n a1 a2 ...an
                                             n
Đ ng th c x y ra khi và ch khi
                                             a1 = a2 = · · · = an

2) M t s b t đ ng th c liên quan đ n b t đ ng th c Cô si :
2.1) Các B t đ ng th c d ng phân th c
V i x, y > 0. Ta có :
                                            1 1   4
                                             + ≥                (1)
                                            x y  x+y
                                             1      4
                                               ≥                (2)
                                            xy   (x + y)2
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y.
V i x, y, z > 0. Ta có :
                                      1 1 1    9
                                       + + ≥                          (3)
                                      x y z  x+y+z
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z.
2.2) Các b t đ ng th c d ng đa th c :

                                   x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx        (4)

                                  3 x2 + y 2 + z 2 ≥ (x + y + z)2           (5)

                                  (x + y + z)2 ≥ 3 (xy + yz + zx)           (6)

Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z.
3) M T S     BÀI TOÁN THI Đ I H C :
Bài toán 1 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i A năm 2005
Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn :
                                               1 1 1
                                                + + =4
                                               x y z

Huỳnh Kim Linh                                                                    Trang th 1 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Ch ng minh r ng :
                                        1          1          1
                                              +          +           ≤ 1.
                                    2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
L i gi i :
Cách 1 :
Áp d ng b t đ ng th c :
                                                 1 1   4
                                                  + ≥
                                                 x y  x+y
V i x, y > 0, ta đư c :

              1 1 1                 1 1   1 1   1 1     1   1   1
     8=2       + +          =        +  +  +  +  +  ≥4    +   +                                           (1)
              x y z                 x y   y z   z x    x+y y+z z+x

Tương t
                           1         1      1        1    1     1            1      1         1
                    2     x+y
                                +   y+z
                                          +z+x
                                                = x+y + x+z x+y         +   y+z    y+z
                                                                                         +   z+x
                               1             1         1
                    ≥4      2x+y+z
                                      +   x+2y+z
                                                 + x+y+2z   (2)

T (1) và (2) suy ra

                 1          1          1                           1          1          1
   8≥8                 +          +                        ⇔             +          +           ≤ 1.
             2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z                  2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z

Đ ng th c x y ra khi
                                                       3
                                                 x=y=z= .
                                                       4
Cách 2 :
Áp d ng b t đ ng th c :
                                                 1 1   4
                                                  + ≥
                                                 x y  x+y
v i x, y > 0, và b t đ ng th c Côsi ta có :
                                                                        √          √
                            2x + y + z = (x + y) + (x + z) ≥ 2              xy +       xz

Do đó :
                               1        1              1            1    1  1
                                      ≤         √        √      ≤       √ +√
                           2x + y + z   2           xy + xz         8    xy  xz
Tương t :
                                              1        1    1  1
                                                     ≤     √ +√
                                          x + 2y + z   8    xy  yz

                                              1        1    1  1
                                                     ≤     √ +√
                                          x + y + 2z   8    xz  yz

C ng v theo v 3 b t đ ng th c trên ta đư c :

                    1          1          1        1                 1  1  1
                          +          +           ≤                  √ +√ +√                        (3)
                2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z   4                 xy yz  zx



Huỳnh Kim Linh                                                                           Trang th 2 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

M t khác theo b t đ ng th c Côsi

                   1    1 1   1       1 1   1 1 1   1  1  1
              4=         +  +          +  +    +  ≥√ +√ +√                                    (4)
                   2    x y   2       y z   2 z x   xy yz  zx

T (3) và (4) suy ra :

                                  1          1          1
                                        +          +           ≤ 1.
                              2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z

Cách 3 : Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho 4 s dương

                                                      1 1 1 1
                               (x + x + y + z)         + + +                ≥ 16
                                                      x x y z

Suy ra
                                         1        1            2 1 1
                                                ≤               + +
                                     2x + y + z   16           x y z
Tương t
                                         1        1            1 2 1
                                                ≤               + +
                                     x + 2y + z   16           x y z
                                         1        1            1 1 2
                                                ≤               + +
                                     x + y + 2z   16           x y z
C ng v theo v 3 b t đ ng th c trên ta đư c :
                                  1          1          1
                                        +          +           ≤ 1.
                              2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z

M r ng bài toán 1 :
Cho n s th c dương cho trư c :
                                                a1 , a 2 , . . . a n

th a đi u ki n :
                                          1   1         1
                                            +   + ··· +    =k
                                          a1 a2         an
V i n > 1 và k > 0 cho trư c. Ch ng minh r ng :
             1                                1                                     1                           k
                             +                                +· · ·+                                 ≤
m1 a1 + m2 a2 + · · · + mn an m2 a1 + · · · + mn an−1 + m1 an         mn a1 + m1 a2 + · · · + mn−1 an   m1 + m2 +

Bài toán 2 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i B năm 2005
Ch ng minh r ng : v i m i x ∈ R ta có :
                                     x           x              x
                                12         15          20
                                         +           +              ≥ 3x + 4x + 5x
                                5          4           3

Khi nào đ ng th c x y ra.
L i gi i :




Huỳnh Kim Linh                                                                       Trang th 3 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Áp d ng b t đ ng th c Côsi
                                              x            x                         x            x
                                         12           15                    12               15
                                          5
                                                  +    4
                                                               ≥2            5                4
                                                                                                      = 2.3x
                                              x            x                         x            x
                                         15           20                    15               20
                                          4
                                                  +    3
                                                               ≥2            4                3
                                                                                                      = 2.5x
                                              x            x                         x            x
                                         12           20                    12               20
                                          5
                                                  +    3
                                                               ≥2            5                3
                                                                                                      = 2.4x

C ng v theo v ba b t đ ng th c trên ta đư c :
                                              x                x                 x
                                     12               15                 20
                                                  +                +                 ≥ 3x + 4x + 5x
                                     5                4                  3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi
                                                  x                x                     x
                                           12              15                   20
                                                      =                 =                    ⇔ x = 0.
                                           5               4                    3
Đ t a = 3, b = 4, c = 5 ta đi đ n bài toán t ng quát sau :
M r ng bài toán 2 :
Cho a, b, c là ba s th c dương tùy ý. Ch ng minh r ng : v i m i x ∈ R, ta có :
                                              x                x                 x
                                      ab              bc                 ca
                                                  +                +                 ≥ ax + b x + c x
                                      c               a                   b

Bài toán 3 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i D năm 2005
Cho các s th c dương x, y, z th a xyz = 1. Ch ng minh r ng :
                     √                 √               √
                        1 + x3 + y 3     1 + y3 + z3     1 + z 3 + x3   √
                                     +               +                ≥3 3
                            xy              yz              zx

L i gi i :
Đ t                                  √                             √                                  √
                                         1 + x3 + y 3                  1 + y3 + z3                        1 + z 3 + x3
                               P =                    +                            +
                                            xy                            yz                                 zx
Áp d ng b t đ ng th c Côsi
                                                               √
                                              1 + x3 + y 3 ≥ 3 3 x3 y 3 = 3xy
                                                               √
                                              1 + y 3 + z 3 ≥ 3 3 y 3 z 3 = 3yz
                                                               √3
                                              1 + z 3 + x3 ≥ 3 z 3 x3 = 3zx
T đó suy ra
                                √      √      √
                       √          xy     yz     zx                          √      1  1  1
                 P ≥       3         +      +                          =        3 √ +√ +√                                (1)
                                 xy     yz     zx                                  xy yz  zx

L i áp d ng b t đ ng th c Côsi
                                      1   1   1     1
                                     √ + √ + √ ≥ 3√     =3                                                   (2)
                                      xy  yz  zx  2 xyz



T (1) và (2) suy ra đi u c n ch ng minh.
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 1.

Huỳnh Kim Linh                                                                                                     Trang th 4 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

M r ng bài toán 3 :
Cho các s th c dương
                                                               a1 , a 2 , . . . a n

th a mãn :
                                                            a1 . a2 · · · an = 1

Ch ng minh r ng :
               m
                   1 + ap + · · · ap
                        1          n−1
                                               m
                                                    1 + ap + · · · ap
                                                          2           n
                                                                                      m
                                                                                          1 + ap + ap + · · · ap
                                                                                               n    1          n−2                 √
                                     q   +                          q   + ··· +                                 q                ≥nmn
                   (a1 a2 · · · an−1 )             (a2 a3 · · · an )                        (an a1 · · · an−2 )

Trong đó
                                                                    m≥2

là s nguyên dương, p, q là các s th c tùy ý
Hư ng d n :
Áp d ng b t đ ng th c Côsi cho n s

                                             1 + ap + · · · ap ≥ n n (a1 .a2 · · · an−1 )p
                                                  1          n−1


Bài toán 4 : D           B 1 KH I A Năm 2005 :
Cho x, y, z là ba s th c th a x + y + z = 0. Ch ng minh r ng :
                                 √          √        √
                                   3 + 4x + 3 + 4y + 3 + 4z ≥ 6
L i gi i :
Ta có:
                                                       √    √           √        √
                            3 + 4x = 1 + 1 + 1 + 4x ≥ 4 4x ⇒ 3 + 4x ≥ 2
                                                       4                4        8
                                                                          4x = 2. 4x

Tương t
                                               √             √
                                                             8
                                                                           √             √
                                                                                         8
                                                   3 + 4y ≥ 2 4x ;             3 + 4z ≥ 2 4z

Vy
         √                √              √                 √
                                                           8
                                                                      √
                                                                      8
                                                                                 √
                                                                                 8             3   √
                                                                                                   8
                                                                                                                            √
                                                                                                                            24
             3 + 4x +         3 + 4y +       3 + 4z ≥ 2        4x +       4y +        4z ≥ 6           4x .4y .4z ≥ 6            4x+y+z = 6

Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z = 0.
Bài toán 5 : D           B 2 KH I A Năm 2005 :
                                                                                                    y                   2
                                                                                                                   9
Ch ng minh r ng : v i m i x, y > 0 ta có :                                        (1 + x) 1 +       x
                                                                                                           1+     √
                                                                                                                    y
                                                                                                                             ≥ 256
Đ ng th c x y ra khi nào?
L i gi i :
Ta có:
                                                                   x x x      3
                                                                          4 x
                                                   1+x=1+           + + ≥4 3
                                                                   3 3 3    3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 3

                                                   y      y   y   y   4  y3
                                             1+      =1+    +   +   ≥4 3 3
                                                   x     3x 3x 3x       3 .x

Huỳnh Kim Linh                                                                                              Trang th 5 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Đ ng th c x y ra khi và ch khi y = 3x = 9
                                                                                              2
                     9     3   3   3     33                                          9                     36
                 1+ √ =1+ √ + √ + √ ≥44 √                                  3   ⇒ 1+ √             ≥ 16 4
                      y     y   y   y     y                                           y                    y3


Đ ng th c x y ra khi và ch khi y = 9.
Vy
                                                                 2
                                                y         9                    x3 y 3 36
                           (1 + x) 1 +                1+ √           ≥ 256 4                 = 256
                                                x          y                   33 33 .x3 y 3
Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 3 và y = 9.
Bài toán 6 : D       B 1 KH I B Năm 2005 :
Cho a, b, c là ba s dương th a mãn :
                                                                    3
                                                        a+b+c=
                                                                    4
                                                        √
                                                        3
                                                                  √
                                                                  3
                                                                           √
Ch ng minh r ng :                                         a + 3b + b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3
Khi nào đ ng th c x y ra ?
L i gi i :
Cách 1:
Ta có :
                                                           a+3b+1+1      1
                                      3
                                          (a + 3b) 1.1 ≤       3
                                                                       = 3 (a + 3b + 2)
                                                           b+3c+1+1
                                      3
                                          (b + 3c) 1.1 ≤       3
                                                                       = 1 (b + 3c + 2)
                                                                         3
                                                           c+3a+1+1
                                      3
                                          (c + 3a) 1.1 ≤       3
                                                                       = 1 (c + 3a + 2)
                                                                         3

Suy ra
                 √
                 3
                                √
                                3
                                                √
                                                3              1                       1   3
                     a + 3b +       b + 3c +        c + 3a ≤     [4 (a + b + c) + 6] ≤   4. + 6 = 3
                                                               3                       3   4
D u = x y ra                
                             a+b+c= 3                             1
                                          4
                           ⇔                              ⇔a=b=c=
                              a + 3b = b + 3c = c + 3a = 1         4

Cách 2:
Đ t
                                            √
                                      x=    3
                                                a + 3b ⇒ x3 = a + 3b
                                            √
                                      y=    3
                                                b + 3c ⇒ y 3 = b + 3c
                                            √
                                      z=    3
                                                c + 3a ⇒ z 3 = c + 3a
                                      ⇒ x3 + y 3 + z 3 = 4 (a + b + c) = 4. 3 = 3
                                                                            4

B t đ ng th c c n ch ng minh
                                                       ⇔x+y+z ≤3

Ta có :                                                        √3
                                                x3 + 1 + 1 ≥ 3 x3 .1.1 = 3x
                                                               √
                                                y 3 + 1 + 1 ≥ 3 3 y 3 .1.1 = 3y
                                                               √3
                                                z 3 + 1 + 1 ≥ 3 z 3 .1.1 = 3z
                                                ⇒ 9 ≥ 3 (x + y + z)

Huỳnh Kim Linh                                                                               Trang th 6 trong 12 trang
     B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Vì
                                                x3 + y 3 + z 3 = 3

Vy
                                                 x+y+z ≤3

Hay
                                 √
                                 3
                                                  √
                                                  3
                                                                 √
                                                                 3
                                     a + 3b +         b + 3c +       c + 3a ≤ 3

Đ ng th c x y ra khi và ch khi
                                                                     1
                                                 a=b=c=
                                                                     4
Bài toán 7 : DB 2 KH I B Năm 2005 :
                                       √     √                       1
Ch ng minh r ng n u 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 thì x y − y x ≤                    4
Đ ng th c x y ra khi nào?
L i gi i :
Ta có
                                             √
                                 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x ≥ x2
                            √   √     1    √   1    √
                           x y−y x≤ ⇔x y ≤ +y x                                     (1)
                                      4        4
Theo b t đ ng th c Cauchy :
                     √   1       1         1   √     √     √    1
                    y x + ≥ yx2 + ≥ 2 yx2 . = x y ⇒ x y − y x ≤
                         4       4         4                    4
D u = x y ra                         
                                      0≤y≤x≤1
                                                                  
                                     
                                        √                          x=1
                                 ⇔
                                     
                                             x = x2              ⇔
                                                                    y= 1
                                     
                                                     1                          4
                                         yx2 =
                                     
                                     
                                                     4

Bài toán 8 : D   B 1 KH I D Năm 2005 :
Cho x, y, z là ba s dương và xyz = 1. Ch ng minh r ng :
                                          x2          y2        z2       3
                                         1+y
                                                 +   1+z
                                                           +   1+x
                                                                     ≥   2
L i gi i :
Ta có:
                                       x2       1+y             x2 1+y
                                      1+y
                                            +    4
                                                         ≥2    1+y 4
                                                                    .   =x
                                       y2       1+z             y 2 1+z
                                      1+z
                                            +    4
                                                         ≥2    1+z 4
                                                                        =y
                                       z2       1+x             z 2 1+x
                                      1+x
                                            +    4
                                                         ≥2    1+x 4
                                                                        =z
C ng ba b t đ ng th c trên v theo v ta có:
                    x2              y2           z2
                   1+y
                         + 1+y + 1+z + 1+z + 1+x + 1+x
                            4            4          4
                                                                             ≥ (x + y + z)
                       x2     y2   z2     3   x+y+z                                  3(x+y+z)       3
                  ⇔ 1+y + 1+z + 1+x ≥ − 4 − 4 + (x +                     y + z) ≥        4
                                                                                                −   4
                            3       3
                  ≥ 3 .3 − 4 = 9 − 4 = 6 = 3
                     4           4     4    2

vì
                                                      √
                                         x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3

Huỳnh Kim Linh                                                                            Trang th 7 trong 12 trang
     B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Vy
                                                                           x2   y2   z2   3
                                                                              +    +    ≥
                                                                          1+y 1+z 1+x     2
Bài toán 9 : Đ thi tuy n sinh Đ i h c kh i A năm 2006
Cho hai s th c x = 0, y = 0 thay đ i và th a mãn đi u ki n: (x + y) xy = x2 + y 2 − xy
                                                                                   1         1
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A =                                              x3
                                                                                        +    y3
                                                                                                .
L i gi i :
                                        1       1       1         1            1
T gi thi t suy ra:                      x
                                            +   y
                                                    =   x2
                                                             +    y2
                                                                          −   xy
                                                                                 .
      1          1
Đ t   x
          = a,   y
                       =b
ta có: a + b = a2 + b2 − ab                                  (1)
Khi đó a + b = a2 + b2 − ab                                      (1)
                                                        2
T (1) suy ra: a + b = (a + b) − 3ab.
                       2
Vì ab ≤      a+b
              2
                           nên a + b ≥ (a + b)2 − 3 (a + b)2 ⇒ (a + b)2 − 4 (a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4
                                                  4
Suy ra: A = (a + b)2 ≤ 16.
                   1
V ix=y=            2
                       thì A = 16.
V y giá tr l n nh t c a A là 16.
Bài toán 10 : Đ D b 1 Đ i h c kh i A năm 2006
Cho các s th c x, y, z th a mãn đi u ki n: 3−x + 3−y + 3−z = 1.
                                       9x                   9y                    9z                 3x +3y +3z
Ch ng minh r ng:                   3x +3y+z
                                                    +   3y +3z+x
                                                                          +   3z +3x+y
                                                                                             ≥           4
                                                                                                                .
L i gi i :
                                                                                             1
Đ t 3x = a, 3y = b, 3z = c. Ta có: a, b, c > 0 và                                            a
                                                                                                 +1+
                                                                                                  b
                                                                                                              1
                                                                                                              c
                                                                                                                  = 1 ⇔ ab + bc + ca = abc.
B t đ ng th c c n ch ng minh tương đương v i:
  a2     b2     c2
 a+bc
      + b+ca + c+ab ≥ a+b+c
                        4
         a3        b3        c3
 ⇔    a2 +abc
              + b2 +abc + c2 +abc ≥ a+b+c
                                       4
           a3           b3           c3                                     a+b+c
 ⇔    (a+b)(a+c)
                 + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b)                                ≥    4
                                                                                     (1).
                                                                              a 3                                              a3
                                                                          (a+b)(a+c)
                                                                                      + a+b + a+c
                                                                                          8     8
                                                                                                                   ≥33               . a+b . a+c = 3 a (2)
                                                                                                                           (a+b)(a+c) 8        8   4
                                                                              b3        b+c   b+a                             b3      b+c b+a     3
Áp d ng b t đ ng th c Cô si ta có                                         (b+c)(b+a)
                                                                                     + 8 + 8                       ≥ 3 (b+c)(b+a) . 8 . 8 = 4 b (3)
                                                                                                                        3


                                                                              c3                                              c3
                                                                          (c+a)(c+b)
                                                                                     + c+a + c+b
                                                                                          8    8
                                                                                                                   ≥ 3 3 (c+a)(c+b) . c+a . c+b = 3 c (4).
                                                                                                                                        8     8   4
                                                                                                                          a3             b3           c3         a+b+c
C ng theo t ng v các b t đ ng th c (2), (3), (4) ta suy                                                           ra (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b)    ≥     4
                                                                                                                                                                       .
V y (1) đúng và ta có đi u ph i ch ng minh.
Bài toán 11 : Đ D b 1 Đ i h c kh i B năm 2006
                                                                                        11                          7
Tìm giá tr nh nh t c a hàm s : y = x +                                                  2x
                                                                                              +          4 1+       x2
                                                                                                                         ,v ix>0
L i gi i :
Áp d ng b t đ ng th c : (a2 + b2 ) (c2 + d2 ) ≥ (ac + bd)2
                                                                  2
                                    7                        7
Ta có : (9 + 7) 1 +                 x2
                                                ≥ 3+         x
                 11            1                7                     9        3                 3       15
⇒y ≥ x+          2x
                           +   2
                                    3+          x
                                                    = x+              x
                                                                           +   2
                                                                                     ≥6+         2
                                                                                                     =    2
                                   15                                                                15
Khi x = 3 thì y =                   2
                                        nên giá tr nh nh t c a y là                                   2
                                                                                                        .
Bài toán 12 : Đ D b 2 Đ i h c kh i B năm 2006
Cho hai s dương x, y thay đ i th a mãn đi u ki n x + y ≥ 4


Huỳnh Kim Linh                                                                                                                       Trang th 8 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG
                                                        3x2 +4        2+y 3
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A =                    4x
                                                                 +     y2
                                                                            .
L i gi i :
                        3
           3x2 +4
Ta có A =    4x
                  + 2+y = 3x + x + y22
                     y2       4
                                    1
                                                   +y
⇒ A = x + x + 2 y12 + y + y + x+y
        4
            1
                            8   8     2
                                                   ≥ 1 + 3 + 2 = 9.
                                                         2       2
                          9
V i x = y = 2 thì A = 2 .
V y giá tr nh nh t c a A là 9     2
Bài toán 13 : Đ D b Đ i h c kh i A năm 2007
Cho x, y, z là các s dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

                         3                     3                          3
                                                                                                 x     y  z
                 P =         4(x3 + y 3 ) +        4(x3 + z 3 ) +             4(z 3 + x3 ) + 2     2
                                                                                                     + 2+ 2
                                                                                                 y    z  x

L i gi i :
V i x, y > 0 ta ch ng minh :
                                               4 x3 + y3 ≥ (x + y)3 (∗)

D u = x y ra khi và ch khi x = y
Th t v y b t đ ng th c (*)

                                    ⇔ 4 (x + y) (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)3
                                    ⇔ 4 (x2 − xy + y2 ) ≥ (x + y)2 dox, y > 0
                                                                      3
                                    ⇔ 3 (x2 + y2 − 2xy) ⇔ (x − y)2 ≥ 0

Tương t ta có
                                                    4 y3 + z3 ≥ (y + z)3

D u = x y ra khi và ch khi y = z

                                                    4 z3 + x3 ≥ (z + x)3

D u = x y ra khi và ch khi z = x
Do đó
                 3                     3                         3                                    √
                     4 (x3 + y 3 ) +       4 (y 3 + z 3 ) +          4 (z 3 + x3 ) ≥ 2 (x + y + z) ≥ 6 3 xyz

Ta l i có
                                                     x     y  z                       6
                                               2       2
                                                         + 2+ 2                 ≥ √
                                                     y    z  x                    3   xyz
Suy ra
                                                         √                     1
                                             P ≥6        3
                                                             xyz + √                  ≥ 12
                                                                   3           xyz
D u = x y ra khi x = y = z = 1
V y minP = 12 khi x = y = z = 1
Bài toán 14 : Đ D b Đ i h c kh i D năm 2007
Cho a, b > 0 th a mãn ab + a + b = 3 Ch ng minh :
                                        3a   3b   ab              3
                                           +    +    ≤ a2 + b 2 +
                                       b+1 a+1 a+b                2

Huỳnh Kim Linh                                                                                      Trang th 9 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

L i gi i :
T gi thi t a, b > 0 và ab + a + b = 3 Suy ra:

                       ab = 3 − (a + b),        (a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1 = 4

B t đ ng th c đã cho tương đương v i
                                       3  3a(a+1)+3b(b+1)     3
                         a2 + b 2 +    2
                                           ≥ (a+1)(b+1)
                                                          + a+b − 1
                         ⇔   a2 + b2 + 3 ≥ 3 (a2 + b2 ) + 4 (a + b)
                                        2     4
                                                            3
                                                                          +    3
                                                                              a+b
                                                                                    −1
                                 2    2              2    2                       12
                         ⇔ 4 (a + b ) + 6 ≥ 3 (a + b ) + 3 (a + b) +             a+b
                                                                                       −4
                              2    2                     12
                         ⇔ a + b − 3 (a + b) −          a+b
                                                              + 10 ≥ 0    (∗)

Đ t
 x = a + b > 0 ⇒ x2 = (a + b)2 ≥ 4ab = 4(3 − x)
                                                    ( vì x > 0)
 ⇒ x2 + 4x − 12 ≥ 0 ⇒ x ≤ −6 hay x ≥ 2 ⇒ x ≥ 2
Ta có x2 = a2 + b2 + 2ab ⇒ a2 + b2 = x2 − 2(3 − x) = x2 + 2x − 6
Khi đó b t đ ng th c (*) thành
                                                12
                                  x2 − x −       x
                                                     + 4 ≥ 0, ∀x ≥ 2
                                                2
                                  ⇔ x3 − x + 4x − 12 ≥ 0, ∀x ≥ 2
                                  ⇔ (x − 2) (x2 + x + 6) ≥ 0, ∀x ≥ 2

hi n nhiên đúng.
V y b t đ ng th c cho đã đư c ch ng minh.
4) M t s bài toán đ các b n t làm :
Bài toán 15 : Cho x, y > 0 th a : x + y + z = 1. Ch ng minh :

                                                 x + y ≥ 16xyz

Bài toán 16 : Ch ng minh r ng v i a + b + c = 0 thì

                                           8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c

Bài toán 17 : Cho a, b, c > 0 : a + b + c = 1. Ch ng minh
                             (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a)(1 − b)(1 − c)
Bài toán 18 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :

                          a   b   c                         a             b          c
                            +   +    <                         +             +
                         b+c c+a a+b                       b+c           c+a        a+b

Bài toán 19 : Cho a, b, c > 0 th a :
                                            1   1   1
                                              +   +    ≥2
                                           1+a 1+b 1+c
Ch ng minh :
                                                              1
                                                      abc ≤
                                                              8
Huỳnh Kim Linh                                                                         Trang th 10 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Bài toán 20 : Ch ng minh r ng : v i a > b > 0 thì
                                                    4
                                       a+                     ≥3
                                             (a − b) (b + 1)2

Bài toán 21 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :

                                 a4   b4   c4   1 3
                                    +    +    ≥   a + b3 + c 3
                                b+c c+a a+b     2

Bài toán 22 : Cho các s th c dương a, b, c, d th a :

                                         a3 + b3 + c3 + d3 = 1

Ch ng minh :
                                                                           √
                         a2           b2           c2           d2        434
                                +            +            +             ≥
                    b3 + c3 + d3 a3 + c3 + d3 a3 + b3 + d3 a3 + c3 + b3    3

Bài toán 23 : Cho các s th c dương a, b, c, d th a : a + b + c + d = 1. Ch ng minh :
                  1                    1                    1                    1
P =                          + 2                  + 2                  + 2                   ≥ 256
      a2   (3c + 3b + 3d − 2) b (3c + 3a + 3d − 2) c (3a + 3b + 3d − 2) d (3c + 3b + 3a − 2)

Bài toán 24 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :
                                        a b c a+b+c
                                         + + ≥ √
                                               3
                                        b c a    abc

Bài toán 25 : Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh :
                                    1 1 4 16      64
                                     + + +   ≥
                                    a b c  d   a+b+c+d

Bài toán 26 : Cho a, b, c > 0 Ch ng minh :
                           1 1 1      4          4          4
                            + + ≥           +          +
                           a b c  2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c

Bài toán 27 : Cho x, y, z là các s th c dương th a tích xyz = 1. Ch ng minh:

                               x3              y3              z3          3
                                        +               +                ≥
                         (1 + y) (1 + z) (1 + z) (1 + x) (1 + x) (1 + y)   4

Bài toán 28 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :
                                                                       2
                              1  1   1   4  1   1   1
                                + +    ≥      +   +
                              ab bc ca   3 a+b b+c c+a

Bài toán 29 : Cho a.b > 0 và
                                                 a+b≤1

Ch ng minh :
                                          2     3
                                            + 2     ≥ 14
                                          ab a + b2

Huỳnh Kim Linh                                                             Trang th 11 trong 12 trang
   B T Đ NG TH C CÔ SI TRONG CÁC KÌ THI TUY N SINH Đ I H C VÀ CAO Đ NG

Bài toán 30 : Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :
                      1                  1                 1                3
                                +                 +                  ≥
               (2a + b) (2c + b) (2b + c) (2a + c) (2b + a) (2c + a)   (a + b + c)2

Bài toán 31 : Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1. Ch ng minh :
                                       1        1       1
                                            + 2     + 2      ≥9
                                  a2   + 2bc b + 2ca c + 2ab

Bài toán 32 : Cho x, y, z > 0 th a : x + y + z = 1. Chúng minh :
                                         x   y   z    3
                                           +   +    ≤
                                        x+1 y+1 z+1   4

Bài toán 33 : Ch ng minh v i a, b, c > 0 thì :
                                                                      1 1 1
                                  a8 + b8 + c8 ≥ a3 b3 c3              + +
                                                                      a b c

Bài toán 34 : Cho a, b, c > 0 th a : ab + cb + ca = 1. Ch ng minh :
                            √              √                 √
                                1 + a2 +       1 + b2 +           1 + c2 ≤ 2 (a + b + c)

Bài toán 35 : Cho a, b, c > 0 th a a + b + c = 1. Ch ng minh :
                                           2                  2              2
                                    1               1                  1             100
                                 a+            + b+               + c+           ≥
                                    a               b                  c              3

Bài toán 36 : Ch ng minh : v i m i x, y, z > 0 ta luôn có :

                                        x3   y3   z3
                                           +    +    ≥x+y+z
                                        yz zx xy

Bài toán 37 : Ch ng minh : v i a, b, c > 0 th a a + b + c = 3 ta có :
                                        a       b       c      3
                                           2
                                             +     2
                                                     +     2
                                                             ≥
                                       1+b     1+c     1+a     2

Bài toán 38 : Cho a, b, c không âm. Ch ng minh :

                                      a2       b2      c2
                                           +       +        ≥1
                                    a + 2b2 b + 2c2 c + 2a2

Bài toán 39 : Cho a, b, c, d dương v i a + b + c + d = 4. Hãy Ch ng minh
                                        a        b       c       d
                                  1)   1+b2
                                              + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 2
                                         a         b        c       d
                                  2)   1+b2 c
                                              + 1+c2 d + 1+d2 a + 1+a2 b ≥           2
                                       a+1      b+1     c+1     d+1
                                  3)   1+b2
                                              + 1+c2 + 1+d2 + 1+a2 ≥ 4

Bài toán 40 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Hãy ch ng minh :
                                       √        √        √
                                           a+       b+       c ≥ ab + cb + ca


Huỳnh Kim Linh                                                                             Trang th 12 trong 12 trang

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags:
Stats:
views:9236
posted:2/28/2010
language:Vietnamese
pages:12