Docstoc

Turunan - PowerPoint

Document Sample
Turunan - PowerPoint Powered By Docstoc
					KALKULUS
TURUNAN

Materi yg akan dibahas?
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Definisi Aturan Pencarian Turunan Turunan Sinus Kosinus Aturan Rantai Notasi Leibniz Turunan Tingkat Tinggi Pendiferensialan Implisit

1. Arti Kata Turunan?
• Dalam Bahasa jawa : • Dalam bahasa matematika : “Turunan fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah … asalkan limit ini ada.
– Saling mencontek – Sering tidur

f ' ( c )  lim

f (c  h )  f (c ) h

h0

Syarat limit ada?
f(a) terdefinisi atau f(a) ε R lim f ( x ) ada, yakni lim f ( x )  lim f ( x ) a x a x a 2. x……
 

1.

3. ……

lim f ( x )  f ( a )
x a

• Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan (terturunkan) di c. • Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Dilambangkan dengan f’, D f(x) atau dy/dx dlm notasi leibniz

Contoh
• Diketahui f(x) = 13x – 6. cari f’ (4)! • Peny : …
f ' ( 4 )  lim
h 0

f (4  h)  f (4) h [13 ( 4  h )  6 ]  [13 ( 4 )  6 ] h [( 52  13 h )  6 ]  ( 52  6 ) h 52  13 h  6  52  6 h 13 h h

 lim  lim  lim  lim

h 0

h 0

• Cari f’(3) jika f(x) = x2 – x !

h 0

h 0

 lim 13
h 0

 13

2. Aturan Pencarian Turunan
A. Aturan Fungsi Konstanta. Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sebarang x, f’(x) = 0, yakni D(k) = 0. B. Aturan Fungsi Identitas. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1, yakni D(x) = 1. C. Aturan Pangkat. Jika f(x) = xn, dengan n bilangan2 Bulat positif, maka f’(x) = nxn-1, yakni D(xn) = nxn1

2. Aturan …
D. Aturan Kelipatan Konstanta. Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yg terdiferensialkan, maka (kf)’(x) = k.f’(x), yakni D[k.f(x)] = k.Df(x) E. Aturan Jumlah. Jika f dan g fungsi-fungsi yg terdiferensialkan maka (f + g)’(x) = f’(x) + g’(x), yakni D[ f(x) + g(x) ] = Df(x) + Dg(x)

2. Aturan …
F. Aturan Selisih. Jika f dan g fungsifungsi yg terdiferensialkan maka (f g)’(x) = f’(x) - g’(x), yakni D[ f(x) g(x) ] = Df(x) - Dg(x) G. Aturan Hasilkali. Jika f dan g fungsifungsi yg dpt didiferensialkan maka (f . g)’(x) = f(x)g’(x) + g(x) f’(x), yakni D[ f(x) . g(x) ] = f(x)Dg(x) + g(x)Df(x)

H. Aturan Hasilbagi. Jika f dan g fungsifungsi yg dpt didiferensialkan dengan g(x) ≠ 0, maka ...

 f  g ( x) f '( x)  f ( x) g '( x)  ( x )  2  g  g ( x)   yaitu D f(x) g(x)  g(x)Df(x)  f(x)Dg(x) g (x)
2

Contoh
D(7) = 0 D(x) = 1 D(x3) = 3x2 D(-7x3) = -7. 3x2 = -21x2 D(5x2 + 7x) = D(5x2) + D(7x) = 10x + 7 F. D(4x6 – 3x5) = D(4x6) – D(3x5) = 24x5 – 15x4 A. B. C. D. E.

Contoh…
G. (3x2 – 5)(2x4 – x) = (3x2 – 5)D(2x4 – x) + (2x4 – x)D(3x2 – 5) = (3x2 – 5)(8x3 – 1) + (2x4 – x)(6x) = (24x5 - 3x2 - 40x3 + 5) + (12x5 – 6x2) = 24x5 - 3x2 - 40x3 + 5 + 12x5 – 6x2 = 36x5 - 40x3 - 9x2 + 5

H. Cari turunan dari
2

(3 x  5 )
2

Contoh…
!
2

( x  7)

 3 x  5  ( x  7 ) D (3 x  5 )  (3 x  5 ) D ( x  7 ) D 2  2 2 x  7 ( x  7)        ( x  7 )( 3 )  ( 3 x  5 )( 2 x )
2

(x  7)
2 2

2 2

( 3 x  21 )  ( 6 x  10 x ) ( x  7)
2 2 2 2

3 x  21  6 x  10 x ( x  7)
2 2 2

 3 x  10 x  21 (x  7)
2 2 4 2 2

 3 x  10 x  21 x  14 x  49

4. Turunan Sinus Kosinus
• Fungsi-fungsi f(x) = sin(x) dan g(x) = cos(x) keduanya dapat diturunkan, yaitu D(sin x) = cos x dan D(cos x) = sin x • Contoh : D(3 sin x – 2 cos x) = 3 D(sin x) – 2 D(cos x) = 3 cos x – 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x

5. Aturan Rantai
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x) menentukan fungsi komposit y = f(g(x)) = (f o g)(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u = g(x), maka f o g terdiferensialkan di x dan (f o g)’(x) = f’(g(x))g’(x) yaitu Dxy = Duy Dxu

Contoh
• • • • y = (2x2 – 4x + 1)60 Dxy = …? Misal y = u60 dan u = 2x2 – 4x + 1 Dxy = Duy Dxu = (60u59)(4x-4) = 60(2x2 – 4x + 1)59. (4x-4)

5. Notasi Leibniz
• Lambang dy/dx untuk turunan dy dy du • Lambang Aturan  dx du dx Rantai

Contoh
cari dy/dx jika y  x  2 x
3





12

y  u dy dx 

12

dan u  x  2 x
3

dy du du dx
11 2

 (12 u ) ( 3 x  2 )  12( x  2 x ) ( 3 x  2 )
3 11 2

Turunan Notasi f’ Notasi y’ Notasi D Notasi Leibniz dy Pertama f’(x) y’ DxY
dx

6. Turunan Tingkat Tinggi

Kedua Ketiga Ke-n

f’’(x) f’’’(x) fn(x)

y’’ y’’’ y(n)

D y
D y
n x

2 x

d y dx
2

2

3 x

d y dx
n 3

3

D y

d y dx
n

Contoh
Jika y  2 x  4 x  7 x  8 , cari
3 2

d y dx
3

3

,

d y dx
4

4

!

dy dx
2

 6x  8x  7
2

d y dx
3 2

 12 x  8  12  0

d y dx
4 3

d y dx
4

Pendiferensialan Implisit
• Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya ditulikan dalam ruas yg berbeda. Jika tidak demikian maka dikatakan fungsi implisit • Metoda untuk mencari dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk y secara gamblang dalam bentuk x

Tips
• Misal turunan dari x dan y berturutturut dinyatakan dengan dx dan dy. • Bila dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y) maka dilakukan penurunan secara bergantian, bisa x dulu baru y atau sebaliknya.

Ti…
• Hasil turunan dy/dx akan nampak bila masing-masing ruas dibagi oleh dx.

Cari dy/dx jika 4 x y  3 y  x  1!
2 3

Contoh

Secara eksplisit y ( 4 x  3)  x  1
2 3

y 

x 1
3

4x  3
2

dy dx

    

g ( x) f '( x)  f ( x) g '( x) g ( x) ( 4 x  3 )( 3 x )  ( x  1)( 8 x )
2 2 3 2

( 4 x  3)
2 4 2 4

2

12 x  9 x  ( 8 x  8 x ) ( 4 x  3)
2 4 2 2 4

12 x  9 x  8 x  8 x ( 4 x  3)
2 2

4x  9x  8x
4 2

( 4 x  3)
2

2

Secara implisit :

Con…

4x y  3y  x 1
2 3

4x . 4x . dy dx dy dx 
2

2

dy dx dy dx
2

 y .8 x  3 .  8 xy  3 .

dy dx

 3x  3x
2

2

dy dx

( 4 x  3 )  3 x  8 xy
2

3 x  8 xy
2

4x  3
2

Matoer Noewoen
Njoewoen sewu menawi wonten lepatipun kawula

Sangu untuk dirumah
1. Cari Dy untuk y  sin x cos x 2. Cari 3. Cari 4. Cari dy dx d y dx dy dx
3 3

untuk y  ( 5 x  2 x  8 )
2 3 2

5

untuk y  x  3x - 2x - 8
2 2

untuk y  4 x  2 x y   3


				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Tags: Kalkulus
Stats:
views:11522
posted:11/19/2008
language:Indonesian
pages:27