Resumen sobre Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas by lpe53845

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									                          Resumen sobre:
            Ecuaciones de Segundo Grado o Cuadráticas

                                 Elaborado por:
                      Prof. A. Patricia Vásquez Hernández

                                   Base tomada de:
                      http://ponce.inter.edu/cremc/cuadratica.html




1.- ¿Qué es una ecuación?

Es una expresión algebraica que consta de dos miembros unidos por un signo de
igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o
letra, llamada incógnita.

Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s)
incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación. Ejemplo:

“La ecuación: 3X - 8 = 10 sólo se cumple para X = 6, ya que si sustituimos dicho
valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que X = 6 es la
solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo,
X = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo).”

Resolver una ecuación es hallar los valores de la letra o incógnita que la satisfacen a
través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje
es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben
utilizarse otros métodos y tomar en cuenta que debe quedar siempre igualada a cero.

2.- ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al
cuadrado, es decir, es de segundo grado (al menor un exponente de una de las variables
es de grado dos). Un ejemplo sería: 2                    . En este tipo de ecuación no es

posible despejar fácilmente la incógnita, por lo tanto se requiere un procedimiento
general para hallar las soluciones.
3.- Soluciones de una ecuación cuadrática: Fórmula general

Existen varias formas de resolver una ecuación cuadrática, entre ellas se puede
mencionar:

   •   Por fórmula general
   •   Por inspección
   •   Por factorización
   •   Por calculadora

Se tratará a continuación el método por fórmula general y calculadora.

Por fórmula general

El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general
                                     2
de la ecuación de segundo grado: ax + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada.
Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación
de segundo grado por medio de la fórmula general se trata a través de la fórmula:




La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la
raíz, es decir:




Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar los valores
de los coeficientes “a, b, c” de la ecuación original y sustituir sus valores en la fórmula
resolvente.

Es de hacer notar que, utilizar la fórmula resolvente es un procedimiento que debe
realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con
calculadora o cualquier proceso manual.

Estas dificultades hacen que el estudiante inexperto se equivoque constantemente en la
solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los
cuales se pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las
técnicas de factorización.
Por calculadora

Para el caso de la ecuación cuadrática                      , los valores de a, b y c son:

a=2, b=-3 y c=-9, los cuales deben ser ingresados a la calculadora. Para el modelo
fx-95MS de la Casio, debe presionar las teclas: modo – modo – 1 -      , e ingresar los

valores por medio de la tecla =. Las respuestas obtenidas son:




Cada uno de esos valores corresponden a las soluciones de la ecuación propuesta y se
expresa como:




4.- Tipos de soluciones: Reales e imaginarias

Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas
raíces, a saber:

   •   Dos raíces reales distintas
   •   Una raíz real (o dos raíces iguales)
   •   Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se
define al discriminante como:


                                         = b2 - 4.a.c

Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan
dos raíces reales distintas

Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número.

Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces
imaginarias o complejas. Estos números pertenecen a un conjunto de números llamado
Complejos que no será de interés para efectos de este curso, pero es importante que se
detecten este tipo de números en la calculadora o en los procesos de resolución y se
presentan de las siguientes maneras:
           •                                                                           .

           •                                                                      .

           •           ,      ó este indicativo en la parte superior de la pantalla.


Lo importante es saber detectar, ya que estos números no se toman como parte de la
solución de nuestras ecuaciones cuadráticas.

5.- Ejemplos. Verificación de las soluciones

A continuación se resolverán algunas ecuaciones de segundo grado, que mostrarán
algunos de los casos posibles ya mencionados.

   • Hallar el conjunto solución de la ecuación - 5x2 + 13x + 6 = 0

Se identifican los valores de los coeficientes a=-5, b=13, c=6, cuidando que la ecuación
esté ordenada(los exponentes de las variables de mayor a menor). Se aplica la fórmula:


                                   =                              =


Como las raíces cuadradas no son usualmente memorizadas, deben sacarse con
calculadora, por tanteo o por el procedimiento manual. La raíz buscada es 17, ya que el
cuadrado de 17 es precisamente, 289. Se tiene entonces que:




Hay dos raíces diferentes, una usando el signo + y otra el signo -. Llámense X1 y X2 a
las dos soluciones, que serán:




Ambos valores de x satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlos en ella, producen una
identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la
ecuación se le denomina verficación.

Probando con x = 3. Resulta: -5.(3)2 + 13.(3) + 6 = -45 + 39 + 6 = 0, tal como se
esperaba en el segundo miembro.

Probando X = -2/5, se tiene
Obsérvese que la fracción 20/25 se simplificó a 4/5 antes de sumarla con la otra. Como
ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 2 y -2/5 son las raíces de -
5x2 + 13x + 6 = 0 y escribimos que:




   • Hallar la solución de la ecuación 6x - x2 = 9

La ecuación está desordenada y no hay un cero del lado derecho de la igualdad, por lo
tanto, deben hacerse los cambios necesarios para que la ecuación tenga la forma
deseada. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: - x2 +6x - 9 = 0. Ahora se
identifican los coeficientes a = -1 ; b = 6 ; c = -9 ; y se aplica la fórmula resolvente:




Obsérvese que el discriminante es igual a cero, por lo cual se producen dos raíces
iguales a 3, es decir:              x1= x2 = 3
Sustituyendo los valores en la ecuación original, se verifica que: 6.3 - 32 = 18 - 9 = 9
con lo cual se ha comprobado la respuesta. Así,




   • Hallar el conjunto solución de la ecuación -6x + 13 = - x2

Nuevamente hay que ordenar y trasponer para obtener: x2 -6x + 13 = 0.

Identificando los valores de los coeficientes se obtiene que a = 1; b = -6; c = 13.
Aplicando la resolvente se tiene:




 Oops! El discriminante es negativo y ninguna calculadora evaluará la raíz cuadrada de
 un número negativo porque este es un resultado no pertenece a los números reales. Sin
  entrar en detalles que escapan del alcance del presente documento, la raíz de -16 no
  existe en el Conjunto de Números Reales y por lo tanto no tendrá solución, es decir:
                           Resumen sobre:
               Ecuaciones de grado mayor o igual a tres

                                Elaborado por:
                     Prof. A. Patricia Vásquez Hernández




Para resolver ecuaciones de grado mayor o igual a tres se debe factorizar
completamente el polinomio e igualar cada factor a cero para hallar su solución,
veamos:

   1. Hallar el conjunto solución de la ecuación                      .


       Procedemos a factorizar totalmente:




                                                         Se factorizó por factor común.



                                                       Se factorizó la cuadrática




      Cuándo x=0?                                     Cuándo x+3=0?
                         Cuándo x – 4=0?
                             x - 4=0                      x+3=0
          x=0                                              x = -3
                              x =4
Nota: en caso que el polinomio dado no tenga factor común, deberá aplicar la
división sintética para realizar su factorización completa y seguir los pasaos indicados
anteriormente para hallar todas sus soluciones.

								
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