Variationson the Black-Scholes Model by scz11423

VIEWS: 0 PAGES: 9

									                                             Kohde-etuus maksaa
  Variations on the                          osinkoja
   Black-Scholes                              Tavoitteena on tarkastella
                                              tilanteita, joissa B&S yhtälö ei
       Model                                  ole riittävä sellaisenaan (esim.
                                              option kohde-etuus maksaa
                                              osinkoja)
  Sovelletun matematiikan                     Tarkastellaan ainoastaan
   jatko-opintoseminaari                      deterministisiä osinkoja;
            26.9                              osinkojen suuruus ja
                                              irtoamishetki ovat tunnettuja
                                              option elinkaaren alusta asti




Kohde-etuus maksaa                           Vakiosuhteinen ja jatkuva
osinkoja                                     osinkotuotto
 Option arvon määritystä                      Oletetaan, että aikana dt
 tarkastellaan kahdessa eri                   kohde-etuus maksaa osingon
 tapauksessa:                                 D0Sdt, jossa D0 on vakio. Näin
   Kohde-etuus maksaa vakiona                 ollen osinkotuotto on
   pysyvää jatkuvaa osinkotuottoa             määritelty osuutena kohde-
     Esimerkiksi: indeksin (iso määrä         etuuden arvosta aikayksikköä
     erilaisia osakkeita) maksamat osingot
     ovat niin tiheät, että saattaa olla      kohti.
     parasta pitää osinkomaksuja
     jatkuvana useiden erillisten
                                              Koska arbitraasiehdon mukaan
     osinkomaksujen sijaan                    kohde-etuuden hinnan pitää
   Osingon maksu on kertaluonteista           pienentyä osingon verran
     Yritykset maksavat osan voitoistaan      osingonmaksun yhteydessä,
     osinkoina omistajilleen. Yritykset       kohde-etuuden hinnan
     maksavat osinkoa yleensä yhdestä
     neljään kertaan vuodessa.                stokastinen yhtälö muuttuu
     Useat yritykset pyrkivät pitämään        muotoon:
     omistajiensa osinkotuoton vakiona
     vuodesta toiseen
                                              dS = σSdX + ( µ − D0 ) Sdt




                                                                                 1
Vakiosuhteinen ja jatkuva                                            Vakiosuhteinen ja jatkuva
osinkotuotto                                                         osinkotuotto
 Näin ollen suojattuun portfolioon                                    Kaksi ensimmäistä rajaehtoa
 tulee osinko tuottoja -∆D0Sdt verran                                 kolmesta säilyy:
  d ∏ = dV − ∆dS − D0 S∆dt                                               1. C(S,T)=max(S(T)-E,0)
 Sijoittamalla                                                           2. S=0, niin C(0,t)=0
                                                                         3. kun S->∞, niin C(S,t)~Se-D(T-t)
    dV (ito’s lemma)                                                         Option arvo lähenee kohde-etuuden
    dS (edelliseltä sivulta)                                                 arvoa ilman osinkoa.
                                  ∂V                                  Oletetaan, että S*(t) on S(t):n
    Poistamalla satunnaisuus ∆ = ∂S
                                                                      osinkopuhdistettu hinta. Eli S*(t) ei
    Jonka jälkeen dΠ:n on riskitön ja                                 maksa osinkoa ja se on yhtä suuri
    voidaan kirjoittaa muotoon rΠdt                                   kuin S(t) osingon maksun jälkeen,
    arbitraasiehtoon vedoten                                          joten:
    lopuksi sijoitetaan
           ∂V      ja                                                     S * (t ) = S (t )e − D0 (T −t )
     ∆=                    ∏ = V − ∆S − ∆D0 S
           ∂S                                                         Option haltijan näkökulmasta on
                                                                      aivan sama kumman kohde-
 Lopputulokseksi saadaan:                                             etuuden option hän ostaa, koska
 ∂V 1 2 2 ∂ 2V                ∂V                                      option haltija ei hyödy osingoista
   + σ S        + (r − D0 ) S    − rV = 0                             mitenkään.
 ∂t 2     ∂S  2
                              ∂S




Vakiosuhteinen ja jatkuva
osinkotuotto                                                         Diskreetti osingon maksu
 Näin ollen C(S*(t),t)= C(S(t),t)
 C(S*(t),t) voidaan ratkaista B&S
                                                                      Oletetaan että kohde-etuus
 yhtälön avulla ja ratkaisuhan on                                     maksaa yhden osingon dyS
 tunnettu. Sijoittamalla ratkaisuun:                                  ajanhetkellä td ennen option
 S * (t ) = S (t )e − D0 (T −t )                                      lunastamista. dy on osinkotuot-
                                                                      to.
 Saamme:
                                                                      Kohde-etuuden hinta muuttuu
                                                                      näin ollen osingon verran
 C ( S , t ) = e − D0 (T −t ) SN (d10 ) − Ee − r (T −t ) N (d 20 )
                                                                      osingon maksuhetkellä…
                               1
       log( S / E ) + (r − D0 + σ 2 )(T − t )                              +         −              −         −
 d10 =                         2                                      S (t d ) = S (td ) − d y S (t d ) = S (td )(1 − d y )
                      σ T −t
 d 20 = d1 − σ T − t                                                  Mikä vaikutus kohde-etuuden
                                                                      epäjatkuvalla hinnalla on
                                                                      option hintaan?




                                                                                                                              2
Diskreetti osingon maksu                              Diskreetti osingon maksu
 Option arvon pitää olla jatkuva                        Miten option hinta lasketaan
 osingonmaksuajankohdan yli. Jos                        käytännössä, kun kohde-etuus
 option arvo muuttuisi osingon-                         maksaa kertaalleen osinkoa?
 irtoamishetkellä, voisi ostamalla ja                   Arvon määrittäminen aloitetaan
 myymällä optioita tehdä riskittö-                      lunastushetkestä taaksepäin
 mästi rahaa. Kyseessä olisi A-tyypin                   (backward parabolic)
 arbitraasi. Eli:                                       1.   Aluksi ratkaistaan B&S yhtälö
         −     −             +     +                         osingonirtoamishetkeen asti
 V ( S (td ), td ) = V ( S (td ), td )                  2.   Tämän jälkeen käytetään uusia
                                                             muuttujan arvoja, joiden yhteys löytyy
 Huom! Osingon maksu pienentää                               hyppyehdosta:
 arvoa koko option elinajan ajalta                                     −                        +
                                                              V ( S , td ) = V ( S (1 − d y ), td )
 Edellistä kaavaa kutsutaan ”hyppy-
 ehdoksi”.                                              3.   Ratkaistaan B&S yhtälö haluttuun
                                                             ajanhetkeen asti uusilla muuttujan
 Edellinen kaava pätee myös muille                           arvoilla
 epäjatkuville muuttujille




Diskreetti osingon maksu                              Termiinit
 Esimerkkinä eurooppalainen osto-                      Termiinit ovat kahden
 optio                                                 osapuolen välisiä sopimuksia,
      Kohdassa 1. voidaan käyttää
 1.
      normaalisti eurooppalaisen osto-option
                                                       joissa toinen osapuoli sitoutuu
      analyyttistä ratkaisua (osinkoa ei               ostamaan toiselta kohde-
      makseta):                                        etuuden sovittuun hintaan
                                        +
      Cd ( S , t ) = C ( S , t ; E ), t d ≤ t ≤ T      (forward price) sovittuna
 2.   Kohta 2.
                                                       ajankohtana (maturity date)
                 −                          +
      Cd ( S , t d ) = Cd ( S (1 − d y ), t d ; E )
                                                       Eroja optioihin:
                                                             Kummankin osapuolen on pakko
 Delta muuttuu osingonirtoa-
                                                             ”lunastaa” termiini
 mishetkellä, joten tämä pitää
 huomioida suojauksessa                                      Termiinin preemio on nolla

             ∂V
       ∆=
             ∂S




                                                                                                      3
Futuurit                                Futuurit ja termiinit
 Futuurit ovat perusominaisuuk-            Huolimatta futuurien ja
 siltaan termiinien kaltaisia              termiinien eroista niiden
                                           hinnat ovat lähes samat
 Erot termiineihin                         On olemassa useita tapoja
   Futuureja välittävät johdannais-        johtaa lunastushinta (forward
   pörssit, jotka ovat standardoineet
   tiettyjä futuurien ominaisuuksia,       price)
   kuten maturiteettihetken ja
   kohde-etuuksien määrän
   Futuurien arvo lasketaan
                                        1. Arbitraasi
   päivittäin ja arvon muutos                 Lyhyt positio eli velvollisuus
   hyvitetään välittömästi toiselle           myydä kohde-etuus
   osapuolelle. Termiinien voitto             maturiteettihetkellä
   /tappio puolestaan realisoituu             Otetaan riskitöntä lainaa
   maturiteettihetkenä
                                              pankista ja ostetaan sillä heti
                                              kohde-etuus




Futuurit ja termiinit                   Futuurit ja termiinit
 Hinnaksi F on tultava                  2. Put-Call Pariteetti
 riskittömän pankkilainan                    Termiinin pitkä positio
 aiheuttamat kustannukset,                   (ostovelvollisuus) vastaa
 koska em. järjestely ei aiheuta             eurooppalaisen osto-option pitkää
                                             positiota ja myyntioption lyhyttä
 riskiä tekijälleen ja koska
                                             positiota, joilla on sama
 muuten kyseessä olisi A-                    maturiteetti ja lunastushinta
 tyypin arbitraasi
                                          Tuotto
    F = S (t )e r (T −t )                               Termiini     Osto-optio


 Jos kohde-etuus maksaa                                              myyntioptio

 jatkuvaa vakio-osinkoa D0                                 F ja E   Kohde-
 Tällöin hinnaksi F saadaan:                                        etuuden hinta


    F = S (t )e ( r − D0 )(T −t )




                                                                                    4
Futuurit ja termiinit                          Futuurit ja termiinit
    S + P − C = Ee − r (T −t )                  Termiinin arvo muuttuu koko
                                                ajan, sillä kohde-etuuden hinta
 Koska termiinin arvo sopimuksen                muuttuu. Termiinisopimuksen
 solmimishetkellä on nolla ja koska E           osapuoli voi koska tahansa (t’)
 =F, niin
                                                ”lukita” voittonsa tai tappionsa
    S − Ee − r (T −t ) = 0                      tekemällä vastaavan sopimuk-
                                                sen ottamalla vastakkaisen
    ⇒ F = S (t )e r (T −t )                     position. Tällöin voitoksi/tap-
3. Black and scholesin ratkaisu                 pioksi muodostuu:
  Koska termiinin (pitkä positio)
  payoff on hetkellä T, S-F, on
  helppo päätellä, että ratkaisu
                                                  V ( S , t ' ) = S (t ' ) − Fe − r (T −t ')
  aiemmille ajankohdille on:

   S (t ) − Fe − r (T −t )




Futuurioptiot                                  Futuurioptiot
 Voimme johtaa B&S yhtälöstä                    Eurooppalaisen osto-option arvon
 futuurioption arvon V(F,t)                     kaava on täten helppo tehdä
 muuttujan vaihtosääntöön vedoten.              sijoittamalla D0=r:
 Korvaamme S:n:
      S ⇔ Fe − r (T −t )                         C ( F , t ) = e − r (T −t ) (( FN (d1 ) − EN (d 2 ))
 Ja:   ∂     ∂F ∂                       ∂
         ⇔               = e r (T −t )
      ∂S     ∂S ∂F                     ∂F
       ∂     ∂ ∂F ∂                 ∂      ∂
         ⇔ +                   = − rF
      ∂t    ∂t ∂t ∂F ∂t                   ∂F
 Tulokseksi saamme:
 ∂V 1 2 2 ∂ 2V
   + σ F       − rV = 0
 ∂t 2     ∂F 2
 Tulos on identtinen jatkuvaa
 osinkoa maksavan kohde-etuuden
 B&S yhtälön kanssa, kun kohde-
 etuus maksaa osinkoa r:n verran




                                                                                                        5
Aikariippuvat parametrit                 Aikariippuvat parametrit
B&S yhtälössä                            B&S yhtälössä
 Tarkoituksena on sisällyttää             Korko r voidaan korvata:
 B&S analyysiin ajasta riippuva              1 T
                                           T − t ∫t
 korko r(t) ja volatiliteetti σ(t).                 r (τ )dτ
 Näitä on pidetty tätä ennen
 vakioina.                                Volatiliteetti σ voidaan korvata:
 Tulokset ovat merkittäviä
                                              1 T 2
                                            T − t ∫t
 niille, joilla on vahva näkemys                     σ (τ )dτ
 mihin suuntaan korko ja
 volatiliteetti kehittyvät
 Lopputulos: Voimme korvata
 B&S yhtälön ratkaisuista vakio-
 koron r ja -volatiliteetin σ
 seuraavilla keskiarvoilla




Eksoottiset optiot                       Barrier options
 Kaikki ne optiot, joiden payoff          Barrier optioille on ominaista
 lasketaan eri tavalla kuin vanilja-      ennalta määrätty kohde-etuuden
                                          rajahinta, joka joko mitätöi option
 optioiden payoff:it, ovat eksoottisia    arvon tai aktivoi option
 optioita. Eli poikkeavat:                Tällainen ehto voidaan lisätä
                                          käytännössä millaiseen tahansa
  PEuropeanCall = max(S − E ,0)           optioon
                                          Barrieroptioita on neljää eri
  PEuropeanPut = max( E − S ,0)           päätyyppiä:
                                             Down-and-out
 Path-dependent options                          Option payoff on nolla, mikäli kohde-
                                                 etuuden hinta käy asetetun Barrier
   Option payoff riippuu lunastus- tai           hinnan alapuolella option elinkaaren
   maturiteettihetkellä kohde-etuuden            aikana
   aikaisemmasta hintahistoriasta            Down-and-in
   Asian, lookbacks, Barrier, American           Option payoff on nolla, mikäli kohde-
                                                 etuuden hinta EI käy asetetun Barrier
   options                                       hinnan alapuolella option elinkaaren
                                                 aikana
                                             Up-and-in
                                             Up-and-out




                                                                                         6
Barrier options                         Barrier options
 Yksi syy ko. optioiden suosiolle on,    Muita käytössä olevia ehtoja:
 että ne ovat halvempia kuin esimer-        Double barrier: kohde-etuuden hinnan
 kiksi vastaavat eurooppalaiset             vaihtelulle on asetettu sekä ylä- että
 optiot                                     alaraja. Rajat voivat olla in tai out -
                                            tyyppisiä
 Ne ovat halvempia, koska payoff:in
                                            Partial barrier: raja on asetettu vain
 saaminen on lisä-ehdon takia               rajoitetuksi ajaksi
 epävarmempaa                               Parisian: rajan ylitykselle on asetettu
 Toisiaan vastaavien in ja out -            etukäteen aikavaatimus
 optioiden arvoilla on yhteys:
      in + out = european
 B&S yhtälön analyyttinen ratkaisu
 on ratkaistavissa sekä
 eurooppalaisen myynti- että osto-
 option arvolle millä tahansa barrier
 ehdolla




Asian options                           Asian options
 Aasialaisten optioiden payoff           Osto-option, jonka lunastus-hinta
 on riippuvainen kohde-etuuden           on vakio, payoff:
 hintahistoriasta (path-
                                                                              T
                                                                            1
                                                                            T∫
                                          PAverage Pr iceAsianCall = max(       S (τ )dτ − E ,0)
 dependent). Hintahistorian                                                   0
 avulla lasketaan keskiarvo.
                                         Osto-option, jonka lunastus-hinta
 Keskiarvo voidaan laskea
                                         on keskiarvo, payoff:
   Aritmeettisesti/geometrisesti                                                    T
                                                                                  1
                                                                                  T∫
   Painotettuna/ei painotettuna          PAverageStrikeAsianCall = max(S (T ) −       S (τ )dτ ,0)
   Jatkuva/diskreetti otos                                                          0

 Aasialaisten optioiden arvoille
 löytyy B&S yhtälön analyytti-
 nen ratkaisu vain tietyissä
 tapauksissa




                                                                                                     7
Lookback options                                                 Compound options
 Lookback option payoff riippuu joko                              Compound option eli option optio
 kohde-etuuden hinnan maksimi- tai                                Esimerkkinä eurooppalainen osto-
 minimiarvosta.                                                   optio eurooppalaiselle osto-optiolle
 Lunastushinta on joko kiinteä (E)                                (”call-on-call”).
 tai ”kelluva”. Kelluvalla lunastushin-                           Compound optio voidaan lunastaa
 nalla tarkoitetaan kohde-etuuden                                 ajanhetkellä T1 lunastushinnalla E1.
 hintaa lunastushetkellä S(T)                                     Kohde-etuus optio voidaan lunastaa
 Osto-optioiden payoffit:                                         puolestaan ajanhetkellä T2
                                                                  lunastushinnalla E2. Kohde-etuus
  PKi int eä = max(S max − E ,0)                                  option arvo on oman kohde-
  PKelluva = max(S max − S (T ),0)                                etuuden hinnan S ja ajan funktio t
                                                                  C(S,t)
 Jos optiolla on ”kelluva”                                        Compound option payoff määräytyy
 lunastushinta, optio kannattaa                                   siis seuraavasti:
 lunastaa aina
                                                                    PCall −on −call = max(C ( S , T1 ) − E1 ,0)




Chooser options                                                  Bermudan option
 Regular chooser option haltijalla on oikeus                      Bermudan optio eroaa ainoastaan
 ostaa ajankohtana T1 lunastushinnalla E1                         yhdellä tavalla vastaavasta
 osto- TAI myyntioptio, jonka lunastushinta
 on E2 ajankohtana T2. Kohde-etuus
                                                                  amerikkalaisesta optiosta.
 optioiden arvot ovat niiden omien kohde-                         Amerikkalaisen option voi lunastaa
 etuuksien hinnan S ja ajan t funktioita                          minä hetkenä hyvänsä option
 P(S,t) ja C(S,t).                                                elinkaaren aikana [0,T]. Bermudan
 Chooser option haltija valitsee                                  option voi lunastaa puolestaan
 luonnollisesti sen option, kumman arvo on                        ainoastaan etukäteen määritettyinä
 suurempi ajanhetkellä T1, mikäli suurempi
 arvo on suurempi kuin E1
                                                                  päivinä
 Oletetaan taas, että kaikki optiot ovat                          Bermudan option arvolle ei ole
 eurooppalaisia. Tällöin regular chooser                          olemassa analyyttistä ratkaisua
 option payoffiksi muodostuu
 PC −on −c or p = max(C ( S , T1 ) − E1 , P( S , T1 ) − E1 ,0)

 Jos kohde-etuus optioilla on eri
 lunastushinta tai maturiteettihetki, optiota
 kutsutaan monimutkaiseksi chooser
 optioksi




                                                                                                                  8
Shout options
 Yksinkertaisin ”huuto-optio” sallii
 option haltijan ”huutaa” kerran
 aikavälillä [0,T]. Osto-option payoff
 määräytyy seuraavasti:

     Max(S(T) - E, S(τ ) - E)
     Jos option haltija on " huutanut"
     ajankohtana τ

     max(S(T) - E,0)
     Jos option haltija ei ole " huutanut"


 ”Huudon” ideana on lukita payoff
             τ
 vähintään S( )-E:n suuruiseksi.
 ”Huuto-option” arvolle ei ole
 olemassa valmista kaavaa




                                             9

								
To top