GENERALISATION OF A TOTAL LEAST SQUARES PROBLEM IN FREQUENCY by qok10781

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									 GENERALIZATION OF A TOTAL LEAST SQUARES PROBLEM IN FREQUENCY DOMAIN SYSTEM 
                                               IDENTIFICATION

                                            László Balogh
                                           Advisor: István Kollár




I.  Introduction
In the last years the research area of the system identification in the frequency domain has been 
extended. As yet in this topic there are lots of known algorithms which have different properties. In 
this   paper   we  would  like  to  present  a   generalization  of  the  so­called  total  least  squares   (TLS) 
algorithm. In the frequency domain system identification we would like to estimate a linear time­
invariant dynamic system with single input and single output. This means determination of the real 
coefficients of the transfer function.

II.  Preliminaries
In this paper we assume that there are additive noises both on the input and the output.  Ωk  denotes 
the generalized frequency and  k  means the  k th measure point in frequency domain. If we write the 
measured input and output to the place of the exact input and output in the model equation, then

                      N (Ωk , P)U m (Ωk ) − D(Ωk , P )Ym (Ωk ) = 0       k =1, , F                       (1)

Where   N (Ωk , P) ,   D (Ωk , P)   are   the   numerator   and   denominator   of   the   transfer   function. 
U m (Ωk )  and  Ym (Ωk )  denotes the measured input and output, respectively.  P  notes the collected 
parameters of the transfer function and  t  is the transposing operator. The equation (1) is only true if 
the measured input and output are noiseless. Otherwise cannot be fulfill with any   P , so it is an 
overdetermined set of linear equation. More details see in [1] and [3].

We can formulate the parameter estimation as minimization of a so­called cost function:

               K = ( JP) t ( JP)  where  ( JP) k = N (Ωk , P)U m (Ωk ) − D (Ωk , P)Ym (Ωk )               (2)
To  avoid   the trivial  solution   P = 0 , we fix the parameter   P = . Considering this, the  linear 
                                                                      1
equations can be solved by the TLS algorithm with by using singular value decomposition. The cost 
function can be written in form:

                                                         ( JP) t JP
                                               K TLS =
                                                            Pt P
where the constraint     P =  is included ([1], [3]).
                            1

III. A generalization of the total least squares problem
This method allows us to give us additional constraint on the parameter vector in the form of a 
bilinear expression. It is a generalization of fixing the norm ([1], [3]). Applications will be discussed 
in the next section. We use the cost function (2). A bilinear constraint can be written in the form
                                                     P t AP = 1                                               (3)
We use the Lagrange multiplier technique to consider (3) in the minimization of the cost function. 
Hence

                                         K λ = ( JP) t JP − λ ( P t AP −1)

Differential this, we get that

                                  ∂K λ
                                       = J t JP − λ AP = 0  and  J t JP = AP                                  (4)
                                   ∂P
Equation (4) is a generalized eigenvalue problem which can be solved effectively using generalized 
singular value decomposition (see [2]).

IV. Using orthogonal polynomials
The orthogonal polynomials are used to enhance the numerical condition of the problem ([4], [5]). 
                                                                                                 ˆ
Without details we note that using orthogonal polynomials is equivalent to a transformation. If  P  
denotes a parameter vector in the new basis,  we can write:

                                                      ˆ
                                                      P = TP                                                  (5)
where  T  is the transformation matrix mentioned above. It is important top note that  T  has full rank 
in   (5),   so   we   can   apply   generalized   singular   value   decomposition.   Thus   the   corresponding   cost 
function is:

                                                                 ˆ      ˆ
                                          K = ( JTP ) t JTP = ( JP ) t JP                                     (6)
                                                            ˆ
It can be seen that solving problem (6) with constraint  P = , we solve a problem which differs 
                                                                 1

from the original one, unless we use rather the bilinear constraint mentioned above. In this case we 
choose matrix  A  so that we will solve the equivalent of the original problem in the new basis.

                                                    A = T −t T −1

References
[1] R. Pintelon et al.,”Parametric Identification of Transfer Function in the Frequency Domain--A
    Survey”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 39., No. 11, pp. 2245-2260, November
    1994.
[2] G. H. Golub and C. F. Van Loan, “Matrix Computations”, The John Hopkins University Press,
Baltimore, USA, 1989.
[3] S. Van Huffel and J. Vandewalle, “The Total Least Squares Problem - Computational Aspects
    and Analysis”, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, USA, 1991.
[4] Yves Rolain, R. Pintelon, K. Q. Xu, and H. Vold, “On the Use of Orthognal Polynomials in High
    Order Frequency Domain System Identification and its Application to Modal Parameter
    Estimation”, Proceedings of the 33rd IEEE Conference on Decision and Control, Lake Buena
    Vista, Florida, USA, December 14-16, 1994, pp. 3365-3373.
[5] R. Pintelon and J. Schoukens, “System identification. A frequency domain approach”, IEEE
Press, to appear.

								
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