Docstoc

HIMPUNAN (DOC)

Document Sample
HIMPUNAN (DOC) Powered By Docstoc
					         TUGAS KALKULUS I




     TUGAS KALKULUS I


         HIMPUNAN

              OLEH :

   I GEDE GEGIRANANG WIRYADI

         NIM 0904105001




JURUSAN/PROGRAM STUDI TEKNIK SIPIL
         FAKULTAS TEKNIK
      UNIVERSITAS UDAYANA
               2009
                                  HIMPUNAN


PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya memiliki
persamaan dan didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

      Himpunan mahasiswa teknik sipil yang memiliki nim akhir ganjil.
      Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

   1. Metode Roster
      yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
      tanda kurung {...........}
      contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

                  K Himpunan material kolom = { besi, semen, pasir}

   2. Metode Rule
      yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
      contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

                   K = { x | adalah material kolom}



   1. Elemen (Anggota)                        notasi : Î
      setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
      elemen/anggota himpunan itu.
       contoh:
       A ={a,b,c,d}
       a Î A (a adalah anggota himpunan A)
       e Ï A (e bukan anggota himpunan A)

       B = {batu, pasir semen}
       Pasir Î B ( pasir adalah anggota himpunan B)
       Kayu Ï B ( kayu bukan anggota himpunan B)


   2. Himpunan kosong 9999999999999notasi : f atau {}
      yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
       contoh :
   A = { x | x² = -2; x riil}
   A=f


3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
   yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
   contoh :
   K = {1,2,3}
   S = { x | x bilangan asli } atau
   S = { x | x material lantai bangunan} atau
   S = { x | x material pondasi bangunan } dsb.



1. Himpunan bagian                            notasi : Ì atau É

   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota
   A adalah anggota B.

   Ditulis : A Ì Bf atau B É A


                                 U

                     B

                 A




contoh:
A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C

ketentuan :

      o   himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
      o   himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
      o   himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak
          n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n


   HB = 2n
   contoh:
   jika A = {a,b,c}
   maka himpunan bagian dari A adalah :
   {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f

   seluruhnya ada 2³ = 8

   POWER SET 2s
   himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S

   contoh:
   S = {a,b,c}
   2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }


2. Himpunan sama ttttttttttt                     notasi : =

   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B,
   dan setiap elemen B adalah elemen A.

   Ditulis A = B

   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L


3. Himpunan lepas ttttttttttt                    notasi : //

   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak
   mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.

   Ditulis A // B

   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B




1. Gabungan (union)                               notasi : È

   Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari
   semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B.

   A È B = { x | x Î A atau x Î B }


                              U

         A            B
                                  daerah yang diarsir menyatakan A È B



             Gbr. Diagram Venn

   contoh:
   A = {1,2,3}
   B = {0,2,4}
   Maka A È B = {0,1,2,3,4}


2. Irisan (intersection)                      notasi : Ç

   Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua
   elemen persekutuan dari himpunan A dan B, dengan kata lain Irisan adalah
   suatu unsur-unsur yang dimiliki oleh himpunan A juga dimiliki oleh
   himpunan B.

   A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }


                          U
     A                B

                                  daerah yang diarsir menyatakan A Ç B



         Gbr. Diagram Venn

   contoh:
   A={1,2,3,4}
   B={3,4,5}
   maka A Ç B = {3,4}


3. Selisih                                     notasi : -

   Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari
   semua anggota A yang bukan anggota B atau unsur-unsur yang termasuk
   di A tetapi tidak di B.

   A - B = { x | x Î A dan x Ï B }


                                 U
          A         B
                                       daerah yang diarsir menyatakan A - B


          Gbr. Diagram Venn


contoh:
A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6,7,10}
Maka A - B = {1,3,5}

                                                          _

4. Komplemen                                         notasi: A', Ac, A

   Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua
   anggota himpunan S yang bukan anggota A.

   A' = { x | x Î S dan x Ï A }


                        U

               A                     daerah yang diarsir menyatakan A'
                            A’

       Gbr. Diagram Venn




contoh:
S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5}
Maka A' = {6,7,8,9,10}
1. Komutatif       AÇB=BÇA
                   AÈB=BÈA


2. Asosiatif       A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C
                   A È (B È C) = (A È B) È C


3. Distributif     A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
                   A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)


                    ____    _ _
4. De Morgan       (A È B)= A Ç B
                    ____    _ _
                   (A Ç B)= A È B



   1. Himpunan bilangan asli
      Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya merupakan bilangan bulat positif.

      N = {1,2,3,4,5,6,......}

   2. Himpunan bilangan prima
      Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang
      hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1.

      P = {2,3,5,7,11,13,....}

   3. Himpunan bilangan cacah
      Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol.

      C = {0,1,2,3,4,5,6,....}

   4. Himpunan bilangan bulat
      Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif.

      B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}

   5. Himpunan bilangan rasional
      Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggonya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai:
      p/q dimana p,q Î bulat dan q ¹ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu
      desimal berulang.

      contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain

   6. Himpunan bilangan irasional
      Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat
      dinyatakan sebagai suatu desimal berulang.

      contoh: log 2, e, Ö7

   7. Himpunan bilangan riil
      Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya
      merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional.

      contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3

   8. Himpunan bilangan imajiner
      Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang
      bilangan baru yang bersifat i² = -1

      contoh: i, 4i, 5i

   9. Himpunan bilangan kompleks
      Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggota-
      anggotanya (a + bi) dimana a, b Î R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b
      bagian imajiner.

      contoh: 2-3i, 8+2




Contoh soal :

Dalam kumpulan mahasiswa terdiri dari 50 orang, di antara mereka terdapat 30
orang yang memilih mata kuliah struktur, 34 orang memilih mata kuliah hidrologi,
dan 23 orang memilih keduanya. Berapa orang yang tidak mengikuti kedua mata
kuliah tersebut?



Jawab:

Diketahui
Mahasiswa yang mengikuti kuliah Struktur = 30 orang

Mahasiswa yang mengikuti kuliah Hidrologi = 34 orang

Yang mengikuti keduanya = 23 orang

Yang tidak mengikuti kedua mata kuliah tersebut = x orang

Jumlah mahasiswa = 50 orang

Penyelesaian :



                                                                  U

              Kuliah Struktur                  Kuliah Hidrologi

                    7             23           11




                                                            X




         -    mahasiswa yang hanya memilih kuliah struktur = 30-23=7 orang
         -    mahasiswa yang hanya memilih kuliah hidrologi= 34-23=11 orang
         -    mahasiswa yang tidak mengikuti kuliah = x

         50= (30 – 23) + (34 – 23 ) + 23 + x

         X = 50 – (7 + 11 + 23)

             = 50 – 41

             = 9 orang

         Jadi mahasiswa yang tidak mengikuti kedua mata kuliah tersebut
         sebanyak 9 orang.
Dalam suatu proyek, seorang kontraktor mempekerjakan tenaga kerja sebanyak
70 orang. Dalam proyek tersebut 30 orang mengambil pasangan batu kosong, 35
orang mengambil pasangan batu kali, 30 orang mengambil pasangan plesteran,
20 orang mengambil pasangan batu kosong dan batu kali, 30 orang mengambil
pasangan batu kosong dan plesteran, 15 orang mengambil pekerjaan pasangan
batu kali dan plesteran, 5 orang lagi mengambil ketiganya, dan sisinya tidak
mengambil pekerjaan . Berapakah jumlah pekerja yang tidak mengmbil pekerjaan
?



Jawab

Jumlah seluruh pekerja = 60 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kosong= 30 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kali= 35 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan plesteran = 30 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan batu kali =
20 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan batu kosong dan plesteran = 10 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan batu kali dan plesteran = 15 orang

Jumlah pekerja yang mengambil pekerjaan ketiganya = 5 orang

Jumlah pekerja yang tidak mengambil pekerjaan = ....?

                                                        U

  PAS. Batu Kosong                     PAS. Batu Kali

            5             15           5

                          5

                   5            10

                          10

        5          Plesteran
Jumlah semua pekerja = 60

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekrjaan ketiganya

= 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan batu
kali = 20 – 5 = 15 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kosong dan
plesteran = 10 – 5 = 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan pasangan batu kali dan
plesteran = 15 – 5 = 10 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan batu kali

= 35 – (20 + 15 – 5)= 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan batu kosong

= 30 – (20 + 10 – 5) = 5 orang

Jumlah pekerja yang hanya mengambil pekerjaan plesteran

= 30 – (15 + 10 – 5) = 10 orang

Jadi jumlah pekerja yang tidak mengambil pekerjaan = 60 –
(5+5+5+5+15+10+10+15) = 5 orang.




Dalam bidang Teknik Sipil

Dalam pembuatan sebuah rumah sederhana, pembuatan pondasi dibutuhkan
bahan-bahan sebagai berikut : batu, pasir, dan semen. Sedangkan dalam
pembuatan dinding atau tembok dibutuhkan bahan-bahan sebagai berikut :
batako, pasir, dan semen. Gambarkanlah diagram Venn dari contoh diatas.!

Diketahui :

Bahan pondasi kita gunakan nama P = {batu, pasir, semen}

Bahan tembok kita gunakan nama T = {batako, pasir, semen}
Dit; Diagram Venn

Jawab;

Dalam pembuatan kedua komponen tersebut terdapat elemen-elemen yang sama
yaitu pasir dan semen, jadi jika digambarkan akan terjadi irisan di antara kedua
himpunan bahan tersebut.

                                              U

             P                            T

                 batu    pasir      batako

                          semen