Analyse de stabilitélinéaire d'un écoulement laminaire en régime by zdh15614

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									                                                                                      Institut Mathématique de Bourgogne
                                                                             UMR 5584 CNRS – Université de Bourgogne
                                                                                             Equipe Equations différentielles



     Instabilité de systèmes Hamiltoniens                                                                                                    Analyse de stabilité linéaire d’un
               au sens de Chirikov                                                                                                          écoulement laminaire en régime de
                                                                                                                                                    convection mixte
OBJECTIFS: Il s’agit de décrire géométriquement le
mécanisme d’instabilité modulationnelle à partir d’un système                                                                         OBJECTIFS: Par une approche qualitative, nous
Hamiltonien proche intégrable à 3 degrés de liberté et 2                                                                              revisitons le modèle bidimensionnel axisymétrique
paramètres perturbateurs dû à Chirikov mettant en jeu un                                                                              décrivant un écoulement laminaire ascendant en régime de
réseau de résonances parallèles et voisines ainsi qu’une                                                                              convection mixte à l’intérieur d’un tube vertical, au
résonance conductrice qui lui est transversale. L’objectif est de                                                                     voisinage d’une solution stationnaire donnée.
prouver l’existence d’orbites d’instabilité qui dérivent à travers                                                                     Formulation mathématique :
le réseau modulationnel par des changements successifs de                                                                                                                                                                                      z
                                                                                                                                       Equations sans dimension:                                Conditions aux
résonances, en construisant un squelette de diffusion formé                                                                              r
                                                                                                                                                                                                bords:

d’objets hyperboliques connectés par des orbites hétéroclines                                                                         ∇V* =0
                                                                                                                                       .                                                                                                                T0
                                                                                                                                                                                                                                                        W
                                                                                                                                                                                                                                           D
                                                                                                                                      ∂Vr*              ∂p*         V *
comme le propose par exemple le mécanisme d’Arnold.                                                                                                          1
                                                                                                                                           +(Vr*.∇ Vr* =− + (∇2Vr* − r )
                                                                                                                                                  )                                                               1
                                                                                                                                                                                         T* =1, Vz* =Vr* =0 r* = ± 
                                                                                                                                       ∂t*               ∂r* Re     r*2                                           2
                    W + (T1 ) W − (T1 )   W + (T2 )                     W + (TN −1 ) W − (TN −1 )       W − (TN )
                                                                                                                                      ∂Vz*
                                                                                                                                       ∂t
                                                                                                                                        *
                                                                                                                                                  )
                                                                                                                                                         ∂p* 1
                                                                                                                                           +(Vz*.∇ Vz* =− + ∇2Vz* −γ(T*) g
                                                                                                                                                        ∂z * Re
                                                                                                                                                                                         ∂Vz*
                                                                                                                                                                                                   ( )
                                                                                                                                                                                                =0 r* =0
                         U                                                                                   V
                                                                                                                                                                                         ∂r*                                                             r
                                                                                                                                      ∂T*   r          1 2 *                             T =0 (z =0)
                                                                                                                                                                                          *        *
                                                                                                                                          +(V*.∇ T* =
                                                                                                                                                )         ∇T                                                                          V0           T
                                                                                                                                      ∂t*             RePr                                                                                          0
                             T1           T2
                                                                                        TN                                            avec T* = T −T0 et γ(T*) = 1−β(T 0 −T )T*
                                                                                                                                                                D
                                                                                                                                                                V2
                                                                                                                                                                     [W 0         ]                                             Géométrie du problème étudié
                                                                                                                                               T 0 −T0
                                                                                                                                                W                0

                                                      Mécanisme d’Arnold

                                                                                                                                      RESULTATS : La réduction du système de Navier
RESULTATS : Nous avons mis en évidence deux scénarii                                                                                  Stokes obtenue via la fonction courant, met en évidence le
de diffusion: l’un, valable pour des valeurs arbitrairement                                                                           rôle pertinent des nombres de Rayleigh (Ra), Reynolds
petites du paramètre perturbateur principal, repose                                                                                   (Re) et Richardson (Ri):
                                                                                                                                                        ~
essentiellement sur le mécanisme d’Arnold (Cas1) le long des                                                                                        ∂ ( ∆ψ * )           1 ~2 *           ∂T * +           1              ~           2 ∂ψ * ~ *
                                                                                                                                                                 =          ∆ ψ − r * Ri                         J (ψ * , ∆ ψ * ) −            ∆ψ
                                                                                                                                                      ∂t *               Re               ∂r *             r*                       r *2 ∂ z *
résonances du réseau et de la résonance conductrice, et                                                                                               ∂T *                     1                             1
                                                                                                                                                                 =                 ∇ 2T *      −                   J (ψ , T )
                                                                                                                                                                                                                        *    *
l’autre, au dessus d’un certain seuil de ce paramètre, est basé                                                                                       ∂t *                   Re Pr                          r*
sur l’existence de connections hétéroclines entre objets                                                                              Après une seconde réduction de ce système, linéarisé au
hyperboliques issus de résonances distinctes du réseau (Cas                                                                           voisinage de la solution stationnaire, en un système
                                            I = −mΩ         I = qI
2). I = −(m +1)Ω I = −mΩ I
          1          1     I = nΩ
                                  2
                                                1
                                                    I                             1
                                                                                                    2
                                                                                                                    1   2
                                                                                                                                      d’équations d’amplitude de la forme:
                                                      I1 = qI2
                                                                                                                                                                                 dX p
                                                                                                                                                                                         = B µ , p X p + q( X p , X p )
                                                                                                                        γ (T ) ∈ O'
                                                                                                                                                                                  dt *
                                                                                                                                      on montre que les valeurs propres de l’opérateur linéaire Bµ,p
                                                                 γ (0) ∈ O
                                                                                                                                      ont une partie réelle négative indépendante de Ri donc la
                                                                                                                                      solution stationnaire étudiée ne présente pas de
                                                      I1                                                                    I1
                                                                                                                                      bifurcation et reste stable lorsque Ri varie.

         Cas 1: Diffusion d’Arnold                                Cas 2 : Diffusion modulationnelle                                   CONCLUSION - PERSPECTIVES : Le résultat
                                                                                                                                      conforte ceux de Nguyen et al. obtenus en 1995 par une
CONCLUSION - PERSPECTIVES: Ce régime                                                                                                  approche numérique en micro gravité. Un prolongement
d’instabilité modulationnelle est observé dans de nombreux                                                                            par une méthode d’analyse locale non linéaire [2] dans un
systèmes physiques. Il conviendra donc de donner des                                                                                  cadre tridimensionnel pour lequel des bifurcations ont été
estimations quantitatives des temps d’instabilité pour les                                                                            observées, est envisagé.
scénarii envisagés à partir des résultats obtenus dans [1], [2].
                                                                                                                                      PUBLICATIONS:
                                                                                                                                      GUILLET C., MARE T., NGUYEN C.T., Analyse de stabilité d’un écoulement laminaire en régime de
PUBLICATIONS:                                                                                                                         convection mixte en présence d’un champ de vitesse bidimensionnel axisymétrique, Actes du Colloque
                                                                                                                                      Interuniversitaire Franco Québécois « Thermique des Systèmes », Montréal (28-30 Mai 2007)
[1] CRESSON J., GUILLET C., Periodic orbits and Arnold diffusion, Discrete and Continuous dynamical
                 2
Systems, Vol 9, n° (2003), 451-470
                                                                                                                                      GUILLET C., MARE T., NGUYEN C.T., Application of a non-linear local analysis method for the
                                                                                                                                      problem of mixed convection instability, International Journal of Non-Linear Mechanics, 42, (2007), 981 -
[2] CRESSON J., GUILLET C., Hyperbolicity versus partial hyperbolicity and the transversality-torsion                                 988
phenomenon, J. Differential Equations 244 (2008), 2123-2132

CONTACT : christophe.guillet@u-bourgogne.fr                                                                                                                                                tél : +33 (0) 3 85 42 43 15
                                               IUT Chalon sur Saône – 1, allée des Granges Forestier – 71100 Chalon sur Saône

								
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