Docstoc

menentukan suku ke-n

Document Sample
menentukan suku ke-n Powered By Docstoc
					         Menentukan Suku Ke – n Dari Suatu Barisan Bilangan

I.   Menentukan rumus suku ke-n dengan cara korespondensi atau perkawanan satu-satu
     antara bilangan asli yang menyatakan urutan suku-suku dengan bilangan-bilangan
     pada barisan tersebut.
     Contoh 1.
     Jika ditentukan barisan 2,4,6,8,... , tentukanlah suku ke-53 dan suku ke-105!
     Perhatikan tabel


              Bilangan asli                  Suku ke-n                      Barisan
                    1                           U1                          2=2x1
                   2                             U2                         4=2x2
                   3                             U3                         6=2x3
                   4                             U4                         8=2x4
                   5                             U5                         10 = 2 x 5
                   6                             U6                         12 = 2 x 6
                    .                             .                             .
                    .                             .                             .
                   n                             Un                          =2xn



     Akhirnya rumus suku ke-n diperoleh, yaitu Un = 2 x n = 2n.
     Setelah rumus suku ke-n diperoleh, maka dengan mudah ditentukan suku ke-53 (U53)
     dan suku ke-105 (U105), yaitu :
     Jika U53, maka diperoleh U53 = 2 x 53 = 106 dan U105 = 2 x 105 = 210


     Contoh 2.
     Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : 2,6,12,20,30,...
     Untuk menentukan suku ke-n dari barisan 2,6,12,20,30,..., terlebih dahulu harus bisa
     menentukan aturannya, yaitu :
     U1 = 2
     U2 = 6 berarti ditambah 4
     U3 = 12 berarti ditambah 6
     U4 = 20 berarti ditambah 8
     U5 = 30 berarti ditambah 10
          Karena aturan barisannya tidak tetap atau berlainan, maka untuk menentukan
      rumus suku ke-n mempergunakan teori coba-coba dari pemetaan pada bilangan asli,
      seperti berikut ini :
      Perhatikan tabel 2

              Bilangan asli                 Suku ke-n                        Barisan
                    1                          U1                           2 = 1 (1+1)
                    2                           U2                          6 = 2 (2+1)
                    3                           U3                         12 = 3 (3+1)
                    4                           U4                         20 = 4 (4+1)
                    5                           U5                         30 = 5 (5+1)
                    6                           U6                         ... = ... (...+1)
                     .                           .                                .
                     .                           .                                .
                    n                           Un                         ... = n (n+1)




      Dari hasil uraian di atas diperoleh rumus suku ke-n barisan : 2,6,12,20,30,...

      Yaitu : Un = n (n+1) = n2 + n


II.   Menentukan suku ke-n dengan cara menyubstitusikan urutan suku barisan kebentuk
      umum :
      Un = an + b                  untuk barisan derajat satu
      Un = an2 + bn + c            untuk barisan derajat dua
      Un = an3 + bn2 + cn + d      untuk barisan derajat tiga dan seterusnya
          Apabila dalam satu tingkat pengerjaan mencari selisih suku-suku yang berurutan
      tersebut belum diperoleh selisih yang tetap maka pengerjaan diteruskan ketingkat-
      tingkat berikutnya hingga diperoleh suatu selisih tetapnya. Suatu barisan dikatakan
      berbentuk linier (berderajat satu) apabila selisih tetapnya dicapai pada satu tingkat
      pengerjaan, dikatakan berderajat dua (kuadrat) apabila dalam selisih tetapnya dicapai
      pada dua tingkat pengerjaan, dikatakan berderajat tiga apabila selisih tetapnya dicapai
      pada tiga tingkat demikian seterusnya.
Contoh 3.
Ditentukan barisan bilangan 1,5,9,13,...
Tentukan rumus suku ke-n barisan tersebut!
Penyelesaian
Barisan 1,5,9,13,... adalah barisan berderajat satu sebab selisih tetapnya diperoleh pada
tingkat satu penyelidikan saja, yaitu :
1            5                       9                   13,...
         4                 4                    4                 Selisih tetap = 4
U1 = 1, maka diperoleh U1 = a (1) + b = 1 atau U1 = a + b = 1
U2 = 5, maka diperoleh U1 = a (2) + b = 1 atau U1 = 2a + b = 5
Didapat sistem persamaan linier :
a + b = 1...(1)
2a + b = 5...(2)
-   a=-4
a = 4 dan b = - 3
Jadi rumus suku ke-n barisan 1,5,9,13,... adalah Un=4n-3 Un = an + b


Contoh 4.
Barisan 1,8,17,28,41,... adalah barisan berderajat dua sebab selisih tetapnya diperoleh
pada tingkat dua penyelidikan, yaitu :
1            8           17          28        41,....            Un = an2 + bn + c
         7           9         11         13
             2           2           2                   maka selisih tetap yang dimaksud = 2
U1 = 1, maka diperoleh U1 = a (1)2 + b (1) + c = 1 atau u1 = a + b + c = 1
U2 = 8, maka diperoleh U2 = a (2)2 + b (2) + c = 8 atau U2 = 4a + 2b + c = 8
U3 = 17, maka diperoleh U3 = a (3)2 + b (3) + c = 17 atau U3 = 9a + 3b + c = 17
Didapat sistem persamaan linier tiga peubah sebagai berikut :
U1 = a + b + c = 1       ......(1)
U2 = 4a + 2b + c = 8 ......(2)
U3 = 9a + 3b + c = 17......(3)
Dari :
(3) - (2) diperoleh 5a + b = 9 ....(4)
(2) - (1) diperoleh 3a + b = 7 ....(5)
(4) - (5) diperoleh 2a = 2
       a= 1
       a = 1 disubstitusikan pada (5) Diperoleh nilai b = 4
       a = 1 dan b = 4 disubstitusikan pada (1) diperoleh nilai c = - 4
       Sehingga rumus suku ke-n barisan bilangan 1,8,17,28,41,... adalah
       Un = an2 + bn + c
       =n2 + 4n - 4 atau ( n + 2)2 – 8


III.   Menentukan suku ke-n dengan cara mengidentifikasi selisih tetapnya.
       Un=an+b                              untuk barisan derajat satu
       Un=an2+bn+c                          untuk barisan derajat dua
       Un=an3+bn2+cn+d                      untuk barisan derajat tiga dan seterusnya
       1. Barisan linier (berderajat satu)
           Bentuk umumnya adalah Un = an + b, dengan demikian untuk
           n = 1 → U1 = a + b
           n = 2 → U2 = 2a + b
           n = 3 → U3 = 3a + b
           n = 4 → U4 = 4a + b dan seterusnya
           Identifikasi selisih tetapnya adalah :
           ( i) a + b , 2a + b , 3a + b , 4a + b,.....

                 ( ii )     a       a          a

       2. Barisan kuadrat (berderajat dua)
           Bentuk umumnya adalah Un = an2 + bn + c, dengan demikian untuk
           n = 1 → U1 = a + b + c
           n = 2 → U2 = 4a + 2b + c
           n = 3 → U3 = 9a + 3b + c
           n = 4 → U4 = 16a + 4b + c dan seterusnya
           Identifikasi selisih tetapnya adalah sebagai berikut
           (i)            a + b +c ,4a + 2b + c , 9a + 3b + c , 16a + 4b +c , ...
           ( ii )                3a + b        5a + b        7a + b
           ( iii )                        2a            2a
Contoh 5.
Rumus umum untuk barisan 1,4,7,10,... dicari dengan analisis sebagai berikut
1         4           7            10 , ....
      3          3            3


Dari (ii) a = 3 →
(i)       a+b=1
          3+b=1
                 b=-2

Sehingga Un = 3n - 2

Contoh 6.
Rumus umum 1,8,17,28,41,... dicari dengan analisis sebagai berikut
1         8           17           28          41       karena ( i ) a + b + c ....
      7           9           11            13                   ( ii ) 3a + b .....
            2             2             2                         ( iii ) 2a
Maka untuk memudahkan pengerjaan penyelesaian dimulai dari bawah terus naik-
naik menuju persamaan (i) yaitu persamaan teratas. Caranya sebagai berikut :
( iii ) 2a = 2
       a = 1 → (ii) 3a + b = 7
                      3 (1) + b = 7
                                  B = 4 → (i) a + b + c = 1
                                                    1 +4 +c=1
                                                          C=-4
Sehingga rumus umum yang dimaksud adalah :
Un = an2 + bn + c
Un = n2 = 4n - 4 atau
Un = (n + 2)2 – 8

				
DOCUMENT INFO