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fonction affine, fonction inverse, représentation graphique, tableau de variations, fonctions de référence, sens de variation, fonction cube, fonctions affines, fonctions usuelles, fonction racine carrée, fonctions trigonométriques, fonctions polynômes, fonction exponentielle, second degré, coefficient directeur
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- 2/12/2010
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Fonctions: fonction affine, fonction carré, fonction inverse
Ref:Fonctions_exercices type
1. Les fonctions affines.
a et b sont deux réels. Lorsqu’à chaque réel x on associe le réel ax + b, on définit la fonction affine f(x) = ax + b.
Exercice 1 Représenter une fonction affine
Dans le repère ci contre, représentez les fonctions
affines f, g, h et p définies sur IR par :
1
f ( x ) = −2 x + 4 g ( x) = x
2
h( x ) = 3
p vérifie p (3) = −1 et son ordonnée à l'
origine est 4
A savoir
Toute représentation graphique d’une fonction affine
est une ………..… j
oi
Exercice 2 Reconnaître une fonction affine
Dans le repère ci contre, on a tracé les droites d1, d2
d
1 d
et d3 3
Donnez les fonctions affines f, g, h qui
correspondent à chacune:
4
d : f ( x ) = ....
1
d : g ( x ) = ....
2 2
d : h ( x ) = ....
3
A savoir
Toute droite ………….……………. à l’axe des j
ordonnées est la représentation graphique d’une -5 oi 5
fonction affine.
On dit que y = ax + b est une ……………………
d
2
……….………………………… -2
Exercice 3 Une fonction affine, sa représentation en situation
A savoir Arthur a acheté un téléphone portable. Dans sa formule
Si f(x) = ax + b est une fonction affine, le point B(0;b) d’abonnement, il a une somme fixe pour deux heures de
est un point de la droite représentative. communications auquel s’ajoute un supplément par minute au-delà
On dit que b est ………………………………. des 2h de forfait.
On dit que a est ………………………………. Ce mois, Arthur a consommé 2h20min : il paye 30 .
Le mois dernier, il n’avait payé que 25 pour 2h10min
Si f(x) = ax + b est une fonction affine, alors pour tous 1. Tracer la courbe qui represente le coût total à payer en fonction
f(u) – f(v) de la durée au-delà de deux heures (1 cm pour 5min, 1cm
réels u et v , =a
u–v pour 5 )
Autrement dit a est le coefficient de
proportionnalité entre l’accroissement des images et 2. Donner le coût du forfait et le coût de la minute supplémentaire
l’accroissement des antécédents 3. Donner la fonction affine f(x) qui à x associe la dépense, si x
désigne le nombre de minutes au-delà de deux heures
G. Rozand Page 1 sur 5 Lycée Jean Prévost. Villard de Lans
Exercice 4 Définir une fonction affine par morceaux
d
La courbe ci contre en rouge est celle d’une 2
fonction f définie sur IR. On se propose de trouver
les expressions algébriques qui permettent de 4 d
calculer f(x) selon les valeurs de x A 1
1. Donnez les fonctions affines g, h et p,qui C
correspondent aux droites d1, d2 et d3:
2
d : g ( x ) = ....
1
d : h ( x ) = ....
2
j
d : p ( x ) = .... -5 oi 5
3
2. Donnez les expressions de f(x) selon les valeurs
de x dans le tableau B
x –∞ – 1 +∞ d
3-2
2
f(x)
Exercice 5 En situation, deux fonctions affines restreintes à un intervalle,
H G ABCDEFGH est un pavé droit. AB=4 ; BC=3 ; CG=6
S est un point mobile sur l’arête [AE].
E F On pose AS=x et l’on note f la fonction qui à x associe le volume
de la pyramide SABCD et g celle qui à x associe le volume de la
pyramide SEFH.
1. Calculez f(x) et g(x) en fonction de x avec 0 ≤ x ≤ 6
2. Tracer dans le même repère, les courbes de chaque fonction
S
3. Trouver x pour que les volumes soient égaux. Proposez une
solution graphique et une solution algébrique.
4. Pour quelles valeurs de f (x), le volume de SEFH est-il supérieur
à celui de SABCD ?
D C
A B
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2. La fonction carrée
Etudier très précisément le document « Deux fonctions dites de référence ». (Faire au besoin une fiche personnelle)
Exercice 1 Utiliser la parabole d’équation y = x2
On a tracé la parabole P d’équation y = x2. Un point M quelconque
de P a pour coordonnées (x ; x2)
1. x est un réel de l’intervalle I = [–1 ; 3]. On va trouver
graphiquement un encadrement de x2
a. Coloriez l’intervalle I sur l’axe des abscisses.
b. Coloriez la partie de P décrite par M lorsque x décrit I. 4
c. Coloriez l’intervalle décrit par l’ordonnée de M sur l’axe des
ordonnées.
d. En déduire un encadrement de x2.
2. On se propose de trouver tous les réels x tel que 1 ≤ x2 < 3.
Utiliser une autre parabole P d’équation y = x2 2
a. Coloriez l’intervalle J = [1 ; 3[ décrit par l’ordonnée de M.
b. Coloriez la partie de P décrite par M lorsque son ordonnée
décrit J.
c. Coloriez l’ensemble x des abscisses de M lorsque son j
ordonnée décrit J. oi
d. En déduire l’ensemble des réels x tels que 1 ≤ x2 < 3.
-2 2
Exercice 2 Utiliser les variations de la fonction f(x) = x2
a et b sont deux réels qui sont tels que 1 < a < b. On veut comparer A = 3 – 2(a – 1)2 et B = 3 – 2(b – 1)2
Compléter pour cela le tableau suivant
1<a<b Justification
ère
1 étape 0<a–1<b–1
2ème étape 0 < (a – 1)2 < (b – 1)2
3ème étape –2(a – 1)2 …. –2 (b – 1)2
4ème étape A …… B
Application : comparer 3 – 2( 17 – 1)2 et –29 = 3 – 2(5 – 1)2 sans calcul !!!
Exercice 3 Utiliser une représentation pour contrôler un résultat
ABCD est un carré de côté 4 et M est un point quelconque du
10
segment [AB]. On pose AM =x et I =[0 ;4]
On note f la fonction qui à x associe l’aire du carré AMNP et g
celle qui à x associe l’aire du trapèze MBCN.
1. Pourquoi les fonctions f et g sont-elles définies sur I ?
2. Pour tout x de I, donner f(x) et g(x).
3. Dans la figure ci-contre, on a tracé les courbes P1 et P2
1
d’équations respectives y = x2 et y = 8 – x2
2
Tracez en couleur la courbe de f et celle de g. Expliquer. 5
4. Justifiez qu’il n’existe qu’un seul réel x0 pour lequel les deux
aires sont égales
5. Trouver par le calcul la valeur exacte de x0
D C
N
P
j
A B -5 oi 5
M
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3. La fonction inverse
Exercice 1 Utiliser la représentation graphique de la fonction inverse
1. x est un réel non nul dans l’intervalle I = [–1 ;3].
1
Un point M quelconque de H a pour coordonnées (x ; ).
x
On va déterminer graphiquement à quel ensemble appartient
1 2
un encadrement de
x
a. Coloriez l’intervalle I puis la partie de H décrite par M
lorsque x décrit I. j
1
b. En déduire que appartient à la réunion de deux i
x
intervalles que vous préciserez. o 2
1
2. On se propose de trouver tous les réels x tel que –1 ≤ < 2.
x
Utiliser une autre hyperbole H d’équation y = 1/x
a. Coloriez l’intervalle J = [–1 ; 2[ décrit par l’ordonnée de
M puis la partie de H décrite par M lorsque son ordonnée
décrit J. -2
b. Coloriez l’ensemble x des abscisses de M et en déduire
1
l’ensemble des réels x tels que –1 ≤ < 2.
x
1
Exercice 2 Utiliser les variations de la fonction f(x) =
x
–2 2
On pose A = défini sur I = [–2 ; 1]. On se propose de démontrer que si x ∈ I alors A ≤ –
x+6 7
Vous disposez des trois règles suivantes.
1. Si a < b alors a + c < b + c 2. Si a < b et c positif alors ac < bc 3. Si a, b et x sont de même signe et
1 1 1
Si a < b et c positif alors ac > bc a < x < b alors < <
b x a
1. A quelle propriété de la fonction inverse est liée la règle 3 ?
2. Complétez le schéma de démonstration ci-dessous en précisant chaque fois la règle utilisée :
1
–2 ≤ x ≤ 3 → règle .. → .. ≤ x + 6 ≤ .. → règle .. → .. ≤ ≤ .. → règle .. → .. ≤ A ≤ ..
x+6
3. En vous aidant de votre calculatrice, avec GRAPH et TABLE, tracez dans un repère orthogonal (unité 2 cm pour les
–2
abscisses, 4 cm pour les ordonnées) la courbe H2 de la fonction x → sur I = [–2 ; 1].
x+6
Contrôlez la vraisemblance du résultat obtenu en 2.
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Exercice 3 Utiliser la représentation graphique de la fonction inverse (bis)
On se propose de résoudre graphiquement, puis par le
1
calcul, l’inéquation [I] : ≤x–1
x+1
2
Solution graphique.
1
On a tracé la courbe H3 de la fonction f : x →
x+1 j
1. Tracez la droite D d’équation y = x – 1.
2. La droite D coupe H3 en deux points A et B (A
d’abscisse positive) o i
a. Coloriez la partie de H3 en dessous de D, puis
l’ensemble des abscisses des points de cette partie.
b. Donnez une valeur approchée des abscisses de A et B.
c. Quelle solution de [I] pouvez-vous lire ainsi sur le
graphique ?
-2
Solution algébrique.
La solution graphique ne donne qu’une idée des solutions
de (I). x –∞ – 2 –1 2 +∞
1. Démontrez que pour tout réel x ≠ –1, l’inéquation (I) 2+x
( 2 + x)( 2 – x) 2–x
est équivalente à ≤ 0.
x+1
2. Complétez le tableau de signes ci contre et concluez x+1
alors pour la résolution de [I]? Q(x)
Exercice 4 Résolution d’une situation géométrique avec la fonction inverse.
ABCD est un carré de côté 1. Une droite d passant par C,
extérieure au carré, coupe (AB) en M et (AD) en N.
On pose BM = x et on note f(x) la fonction qui à x associe
l’aire du triangle NDC et g(x) celle qui à x associe l’aire du
trapèze rectangle AMCD.
1. Pourquoi les fonctions f et g sont-elles définies sur
l’intervalle I = [0 ;+∞[? N
1 C
2. On pose DN = y. Démontrez que y = . D
x
3. Pour tout x de I, donner f(x) et g(x).
4. En vous aidant de votre calculatrice, avec GRAPH et
TABLE, tracez dans un repère orthonormé (unité 2 cm
pour les abscisses comme pour les ordonnées)
1 A B M
la courbe H4 d équation y =
2x
1
la droite ∆ d équation y = x + 1.
2
Lorsque x ∈ I, tracez en vert sur cette figure la courbe
représentative de f et en rouge celle de g.
5. Justifiez graphiquement qu’il n’existe qu’un seul réel x0 pour lequel les deux aires sont égales. Donnez une valeur
approchée de x0.
6. On se propose de trouver la valeur exacte de x0.
a. Justifier l’affirmation suivante « Dire que f(x) = g(x) équivaut à dire que aire( NAM) = 2 × aire(NDC) »
b. Le triangle NAM est un agrandissement du triangle NDC (ils sont semblables).
Montrer que le rapport d’agrandissement est (x + 1).
c. Déduisez-en que x0 est solution de l’équation (x + 1)2 = 2. Résoudre cette équation pour trouver la valeur exacte de x0
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