My Add Maths Modules Form 4 - Quadratic Equations - DOC

Document Sample
My Add Maths Modules Form 4 - Quadratic Equations - DOC Powered By Docstoc
					                  My
   Additional
Mathematics
            Module
            Form 4
              (Version 2010)

             Topic 2:

Quadratic
Equations
                       by

                    NgKL
(M.Ed.,B.Sc.Hons.,Dip.Ed.,Dip.Edu.Mgt.,Cert.NPQH)
2.1   QUADRATIC EQUATION AND ITS ROOTS
      PERSAMAAN KUADRATIK DAN PUNCANYA

      Quadratic Equations in General Form (Bentuk Am Persamaan Kuadratik)

      1.     The general form of a quadratic equation is given by ax 2  bx  c  0 where a, b, and c
             are constants, a  0 and x an unknown.
             Bentuk am bagi persamaan kuadratik adalah ax  bx  c  0 di mana a, b, dan c sebagai pemalar, a  0 dan x
                                                         2

             sebagai anu.

             Examples of quadratic equations in general form
             Contoh-contoh persamaan kuadratik dalam bentuk am ialah:

             3x2 – 12x + 5 = 0;               k2 – 2k = 0;             4m2 – 25 = 0

      2.     Observe the examples, the highest degree (power) of the unknown of the quadratic
             euations is 2.
             Perhatikan contoh di atas, kuasa tertinggi anu persamaan kuadratik ialah 2.

      3.     The roots of a quadratic equation are values of the unknown that satisfy the equation.
             Punca persamaan kuadratik adalah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan itu.

      4.     A quadratic equation can only has the highest of two roots.
             Persamaan kuadratik mempunyai selebih-lebihnya dua punca sahaja.


      5.     The primitive method to determine the roots of a quadratic equation is by substitution or
             trial and error method
             Cara yang paling primitif untuk menentukan punca-punca suatu persamaan kuadratik ialah dengan kaedah penggantian
             dan pemerinyuan (kaedah cuba-cuba).

      Exercise 2.1
      1.     Write each of the following quadratic equation in general form.
             Tuliskan setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.


       (a)     x( 2  x )  5                                          (b)     x( x  4)  3x(2  5x)




       (c)    2( x  3) 2  13                                                        x
                                                                       (d)     x2      6
                                                                                      2




      2.     Write whether the value given in each of the following quadratic equations is the root of
             the quadratic equation.
             Tentukan sama ada nilai yang diberikan ialah punca bagi persamaan kuadratik berikut


       (a)    x 2  5 x  4  0; x  4                                                                   1
                                                                       (b)     3x 2  7 x  2  0; x 
                                                                                                         3




                                         2                                                               1
       (c)   5x 2  17 x  6; x                                       (d)     x(6 x  7)  1; x  
                                         5                                                               6
2.2   SOLUTION of QUADRATIC EQUATIONS
      (PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIK)


      1.    To solve a quadratic equation means to find the roots of the quadratic equation.
            (Menyelesaikan suatu persamaan kuadratik bererti mencari punca-punca bagi persamaan kuadratik itu).
      2.    Generally, there are threes methods to determine the roots of a quadratic equation
             ax 2  bx  c  0 ;
            Secara amnya terdapat tiga cara dalam menentukan punca suatu persamaan kuadratik ax  bx  c  0 ;
                                                                                               2

            (a) Factorisation, (Pemfaktoran)
            (b) Completing the square, (Penyempurnaan Kuasa Dua)
            (c) Quadratic Formula. (Rumus kuadratik)

      (A)       Solution by Factorisation (Penyelesaian secara Pemfaktoran).
      1.    To determine the roots of a quadratic equation ax 2  bx  c  0 , factor completely the
            expression ax 2  bx  c to the form (mx + p)(nx + q) with m, n, p and q are constants.
            (Untuk menentukan punca persamaan kuadratik berbentuk ax  bx  c  0 , faktorkan selengkapnya ungkapan
                                                                    2

                           2
            kuadratik ax        bx  c kepada bentuk (mx  p)(nx  q) dengan m, n, p dan q sebagai pemalar).



      Example 1.
      Solve each of the following quadratics equations.
      (Selesaikan setiap persamaan kuadratik yang berikut)

      (a)        x 2  3x  18
      (b)        ( x  1)(2 x  3)  12

      Solution: (Penyelesaian)
                                                                                    x                            +3   +3x
      (a)                x  3x  18
                               2


                   x 2  3x  18  0
                 ( x  3)( x  6)  0
                                                                                    x                            -6   -6x

                                                                                  x2                            -18   -3x


                Therefore, (Maka),              x3  0              or          x6  0
                                                      x  3                            x6



      Solution: (Penyelesaian)
                                                                                    x                           -3    -6x
      (b)        ( x  1)(2 x  3)  12
                     2 x 2  x  3  12
                    2 x 2  x  15  0                                            2x                            +5    +5x
                 ( x  3)(2 x  5)  0
                                                                                  2x 2                          -15   -x



                Therefore, (Maka),             x 3  0              or         2x  5  0
                                                                                               5
                                                    x3                                  x
                                                                                               2
   Exercise 2.2:

Solve each of the following quadratic equation by factorization.
(Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan keadah pemfaktoran).


 (a)    x2  x  6  0                                                (b) x 2  13x  40  0




 (c)    x 2  8x  15  0                                             (d) 2 x 2  7 x  4  0




 (e)    15x 2  7 x  4  0                                           (f)    8x 2  10 x  3  0




 (g)     21x 2  2 x  3  0                                          (h) 6x 2  41x  7  0




 (i)    8x 2  2 x  3  0                                            (j)   10 x 2  21x  2  0
(B)        Solution by Completing the Square Method
           (Penyelesaian secara Penyempurnaan Kuasa Dua)


1.         Completing the square method is most suitable to be used if factorization method cannot
           be employed or when the values of a, b and c are large.
           (Kaedah amat sesuai digunakan jika keadah pemfaktoran tidak dapat difaktorkan atau nilai a, b dan c dalam persamaan
           kuadratik agak besar).

                                                                                                                                  2
                                                                                        b 
2.         (a) To do a completing the square to the expression of ax 2  bx , the term                                              is
                                                                                        2a 
               added up to the expression ax2 + bx.
                                                                                                                     2
                                 2                                                                        b
                [Ungkapan   ax        bx   boleh dijadikan kuasa dua sempurna dengan menambahkan sebutan      ].
                                                                                                           2a 

                                                                    b
                                      ax 2  bx  x 2                x
                                                                    a
                                                                                   2            2
                                                          b   b   b 
                                                      x  x   
                                                           2

                                                          a   2a   2a 
                                                                          2            2
                                                    b   b 
                                      ax  bx   x     
                                            2

                                                    2a   2a 

           (b) Similarly, to do a completing the square to the expression ax2 + bx + c , the term
                      2
                b 
                 is added up to the expression ax + bx + c
                                                    2

                2a 
                [ Keadaan yang sama, ungkapan              ax 2  bx  c        boleh dijadikan kuasa dua sempurna dengan menambahkan
                                2
                         b
                sebuatan      ]
                          2a 
                                                                       b    c
                                      ax 2  bx  c  x 2               x
                                                                       a    a
                                                                                   2            2
                                                                     b    b   b    c
                                                           x2        x    
                                                                     a    2a   2a  a
                                                                           2                2
                                                               b    c  b 
                                                          x        
                                                               2a   a  2a 

Example 2:
Express the following quadratic expression in the form of completing the square.
(Ungkapkan ungkapan kuadratik berikut dalam bentuk kuasa dua sempurna).

(a)          x 2  4x                               (b)            2 x 2  3x

Solution: (Penyelesaian):

                                                2              2
                                    4 4                               (b) 2 x 2  3 x  x 2 
                                                                                                    3
     (a)    x 2  4x  x 2  4x                                                                 x
                                    2 2                                                         2          2              2
                    x 2  4 x  ( 2) 2  ( 2) 2                                                3      3              3
                                                                                            x2  x                
                    ( x  2) 2  4                                                             2      4              4
                                                                                                   2
                                                                                               3     9
                                                                                           x   
                                                                                               4  16
Example 3:
Solve the following quadratic equation by completing the square.
(Selesaikan persamaan kuadratik berikut secara penyempurnaan kuasa dua).

(a)        x 2  3x  5  0
(b)        2 x 2  3x  4

Solution: (Penyelesaian):

(a)              x2 – 3x – 5 = 0                                  (b)          2x2 + 3x = 4

                        x2- 3x = 5                                                     3    4
                                                                                x2      x
                                                                                       2    2
                             2                  2
                     3        3
       x2 − 3x +       5                                                       2             2
                     2        2                                           3     3     3
                                                                                       2 
                                                                           2
                                                                           x + x+
                              2                  2
                                                                              2     4     4
                       3       3
                    x   = 5+                                                      2                2
                       2       2                                             3       3
                                                                               x  = 2 +  
                                                                                 4       4
                                      20  9
                                  =
                                        4                                                       32  9
                                                                                            =
                                                                                                 16
                                      29
                                  =
                                      4                                                         41
                                                                                            =
                                                                                                16
                    3     29
                  x   
                    2     4                                                     3     41
                                                                                x   
                                                                                  4     16
                                      3   29
                            x          
                                      2    4                                              3  41
                                                                                       x 
                                                                                          4  16

                                  3   29
                            x      
                                  2    4                                                  3  41
                                                                                       x 
                                                                                          4  16
                            x  4.193 #
                                                                                        x  0.8508 #
                              3  29
                   or       x 
                              2   4                                                        3  41
                                                                                or      x 
                                                                                           4  16
                            x  1.193 #
                                                                                        x  2.3508

                                                                                        x  2.351 #
  Exercise 2.3

Solve the following quadratic equation by completing the square method.
(Selesaikan persamaan kuadratik berikut dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua).


(a). x 2  6 x  4  0                                        (b). x 2  10 x  3  0




(c). 2x 2  4x  1  0                                        (d). 2 x 2  3( x  1)




(e). 3x 2  5  4 x                                          (f). 2( x  2)  4  3x( x  1)
    (C)       Solution by Quadratic Formula
              (Penyelesaian secara rumus kuadratik)

    1.        Beside factorisation and completing the square methods, quadratic equation can be solved
              by using quadratic formula.
              (Selain daripada kaedah pemfaktoran dan penyempurnaan kuasa dua, sesuatu persamaan kuadratik boleh juga
              diselesaikan secara rumus kuadratik).

    2.        The quadratic formula is obtained by completing the square method as shown below.
              (Rumus kuadratik diperolehi dengan kaedah penyempurnaan kuasa dua persamaan kuadratik seperti ditunjukkan di
              bawah).


              ax 2  bx  c  0                                           Example 4:
                                                                          Solve the quadratic equation 4x2 – 8x + 1 = 0
                            b   c
                     x2      x 0                                       using quadratic formula.
                            a   a                                         (Selesaikan persamaan kuadratik 4 x  8x  1  0 secara
                                                                                                             2

                                                                          rumus kuadratik).

                                 b     c
                        x2        x                                    Solution: (Penyelesaian).
                                 a     a
                                                                          4 x 2  8x  1  0
                     b    b 
                                   2
                                c  b 
                                                             2
                                                                          a  4,      b  8,          c 1
              x2      x     
                     a    2a  a  2a 
                                                                                                                b  b 2  4ac
                                                                          Using quadratic formula, x 
                                  2                                                                                  2a
                         b  b2 c
                       x   2 
                       2a  4a a
                                                                                            (8)  (8) 2  4(4)(1)
                                                                                     x
                                                                                                        2(4)
                                         b 2  4ac
                                       
                                            4a 2
                                                                                           8  64  16
                                                                                       
                                 b     b  4ac     2
                                                                                               8
                            x      
                                 2a      2a
                                                                                           8  48
                                                                                       
                                                b  b  4ac
                                                         2
                                                                                              8
                                 x
                                                     2a
                                                                                                      8  48 8  6.928
                                                                              Therefore,       x           
                                                                                                         8       8

                            b  b 2  4ac                                                            8  6.928
3. Quadratic formula x                                                                        x
                                 2a                                                                       8
  can be use to solve any quadratic equation
  even though the equation can be solve by                                                          14.928
                                                                                                
  either factorisation or completing the square                                                        8
  methods.
                                           2
                            b        b        4 ac                                          x  1.866
  (Rumus Kuadratik x                                   boleh digunakan
                               2a
   untuk menyelesaikan sebarang persamaan kuadratik tanpa                             or
   mengira sama ada persamaan itu boleh diselesaikan dengan                                           8  6.928
   menggunakan kaedah pemfaktoran dan penyempurnaan                                            x
                                                                                                          8
   kuasa dua atau tidak).

                                                                                                    1.072
                                                                                                
                                                                                                      8

                                                                                               x  0.134
  Exercise 2.4

1. Solve each of the following quadratic equations by using the quadratic formula.
    (Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan menggunakan kaedah rumu)


 (a).   2 x 2  5x  4                                          (b). − 3x 2  4 x  11  0




 (c).   x 2  8x  3                                           (d). 3( x 2  1)  7 x




              4                                                 (f). ( x  2) 2  3( x  9)
 (e). 2 x      3
              x
2.3   FORMING QUADRATIC EQUATIONS FROM ROOTS
      PEMBENTUKAN PERSAMAAN KUADRATIK DARIPADA PUNCA-PUNCANYA


      1.   If ( x   )( x   )  0 , then x    0 or x    0 and the roots are  and  .
           Jika ( x   )( x   )  0 , maka x    0 atau x    0 dan punca-puncanya ialah  dan  .

      2.   On the other hand, if given  dan  as the roots of a quadratic equation, then,
           Sebaliknya, jika diberi  dan  ialah punca-punca persamaan kuadratik, maka,

           Method 1: Step to form a quadratic equation is,
                          (langkah membentuk persamaan kuadratik ialah)

                                     ( x   )( x   )  0
                              x  (   ) x    0
                                2




           where,                   is the product of roots (POR) (ialah Hasil Tambah Punca [(HTP)]
                                    is the sum of roots(SOR) (ialah Hasil Darab Punca [(HDP)]
      3.   Method 2: Steps to form a quadratic equation are;
                          (Langkah-langkah untuk membentuk persamaan kuadratik daripada punca-punca ialah;)

           (i) Determine the POR, (Hitungkan HTP),
           (ii) Determine the SOR, and (Hitungkan HDP, dan),
           (iii) Form the quadratic equation by, (Bentukkan persamaan kuadratik yang dikehendaki iaitu)
                              x2 – (SOR)x + POR = 0                                     x
                                                                                            2
                                                                                                 ( HTP) x  HDP  0

           If given the equation as ax 2  bx  c  0 , then the x coefficient need to be expressed into the
           value of 1.
           (Jika diberi ax  bx  c  0 , perlu diungkapkan dahulu pekali x supaya menjadi satu, iaitu)
                          2                                                2


                                                 b   c
                                     x2           x 0
                                                 a   a
                                                   b                                       b
           Then, (maka), Sum of roots, SOR       (Hasil tambah Punca, HTP       )
                                                   a                                       a
                                                  c                                      c
                 Product of roots, POR             (Hasil darab Punca, HDP    )
                                                  a                                     a

      4. ATTENTION:      2   2  (   ) 2  2 is an important and useful indentity
                                        2        2                2
           PERHATIAN :                             (   )        2 ialah satu identiti penting yang berguna.


      Example 4:
      Form the quadratic equation in the form of ax 2  bx  c  0 which has the following roots;
                                                                                                      2
      (Bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca berikut dalam bentuk ax                    bx  c  0 ).


      (a) 4 dan – 9                 (b)      -3 only.
      Solution:

       (a) Given 4 and 9 as the roots of the quadratic                         (b) Given -3 as the only root of the
           equation;                                                               quadratic equation;
           Then, SOR = 4 + (−9) = −5                                               Then SOR = (−3) + (−3) = −6
                  POR = 4(−9) = −36                                                       POR = (−3)(−3) = 9
           Then, the quadratic equation,                                           Then, the quadratic equation,
                   x 2  ( SOR ) x  POR  0                                                x 2  ( SOR ) x  POR  0
                         x 2  ( 5) x  ( 36)  0                                                         x 2  ( 6) x  9  0
                             x 2  5 x  36  0                                                            x 2  6x  9  0
Example 5.
If  and  are the roots of the quadratic equation 3x 2  2x  5  0 , form the quadratic equation
which has the following roots.
        2         2
(a)         and                                        (b)  2 and  2
                 
Solution:
Given the quadratic equation, 3x 2  2x  5  0
                   Then,      a  3, b  2 and                    c  5
The roots of the quadratic equation are  dan 
                                   b     2 2
Then,                 SOR          
                                   a     3 3
                                c    5
                      POR     
                                a    3

                                    2            2
(a)         The new roots are            and
                                                
                           2        2       2   2                  2  2 
            Then, SOR                                      POR       
                                                                     
                                2(   )                                4
                                                                   
                                                                       
                               2                                    4
                             2                                    
                              
                                3                                      5
                                5                                    
                                                                       3
                                 3
                               4                                       12
                                                                  
                               5                                        5
             The new quadratic equation formed,
                                x 2  ( SOR ) x  POR  0
                                      4   12 
                               x 2    x      0
                                      5  5 
                                        5 x 2  4 x  12  0


(b)         The new roots are  2 dan  2

            SOR   2   2  (   ) 2  2                   POR  ( 2 )(  2 )
                      2                                              (  ) 2
                  2       5  4 10
                    2                                                2
                  3       3 9 3                                        5   25
                                                                         -  
                      34                                                   3   9
                  
                   9
             The new quadratic equation formed;
                       x 2  ( SOR ) x  POR  0
                                    34           25
                           x2            0x
                                 9      9
                           9x2 – 34x + 25 = 0
  Exercise 2.5

1. Form the quadratic equation from the given roots as shown in the table:

                                                     Quadratic Equation
                 Roots
                                        Method 1                             Method 2



    a.       2 and -3




    b.        3 and 4




    c.       -2 and -5




    d.           3
                  and 6
                 4




            2       1
    e.        and -
            3       5




    f.       2k and -4




              h
    g.          and 5
              5
2. Find the value of m and k for each of the following quadratic equations with the roots given.
       (Cari nilai m dan nilai k bagi setiap persamaan kuadratik dengan puncanya diberi).


                                                            1                                                          1
 (a)      3x 2  mx  k  0 with roots -5 dan                 .            (b) 2 x 2  mx  k  0 with roots 1 dan      .
                                                            3                                                          2




                                                             m
 (c) 2 x 2  9  (k  1) x with roots -3 and                  .           (d) 3x 2  3  5x with roots m  2 and k  1 .
                                                             2
3. Find the value of p for each of the following quadratic equations.
        (Cari nilai p bagi setiap persamaan kuadratik berikut ).


  (a) One of the roots of the quadratic equation 3x2 (b) One of the roots of the quadratic equation
      – px + 54 = 0 is twice of the other root.          x2- px + 12 = 0 is thrice of the other root.
                                           2                                                                2
      (Satu daripada punca persamaan 3 x        px  54  0 ialah       (Satu daripada punca persamaan x        px  12  0 ialah
      dua kali punc yang satu lagi).                                     tiga kali punc yang satu lagi).




  (c) One of the roots of the quadratic equation                     (d) One of the roots of the quadratic
      27x2 + px – 8 = 0 is square root of the other                      equation 2x2 + 12x = 2p – 9 is square of
      root.                                                              the other root.
     (Satu daripada punca persamaan 27x2 + px – 8 = 0                    (Satu daripada punca persamaan 2x2 + 12x = 2p - 9
      ialah kuasa dua punca yang satu lagi).                              ialah dua kali punca
                                                                          yang satu lagi.
3.2   CONDITION FOR TYPES OF ROOTS OF QUADRATIC EQUATIONS
      (SYARAT UNTUK JENIS PUNCA PERSAMAAN KUADRATIK)

      1.    Types of roots of Quadratic Equations ax2+ bx + c = 0 depend to the value of b2- 4ac which
                                     b  b 2  4ac
            derived from x 
                                             2a
            (Jenis punca persamaan kuadratik ax  bx  c  0                                       b 2  4ac
                                                2
                                                                         bergantung kepada nilai               yang wujud daripada rumus
                                        2
                              b   b        4 ac
            kuadratik , x                           ).
                                    2a
      2.    The foolowing table shows the types of roots of quadratic equations.
            (Jadual di bawah menunjukkan sifat punca persamaan kuadratik).


                     b 2  4ac  0                                    b 2  4ac  0                             b 2  4ac  0
                  Two different roots                                Two equal roots                               No root
                     (Dua punca berbeza)                              (Dua punca sama)                         (Tiada punca nyta)




                                                        tangen
             Straight line intersects the
             curve at two different Straight line meet the curve at
             points.                      point.                               Straight line does not
             (Garis lurus menyilang garis (Garis lurus menyentuh lengkung pada
             lengkung pada dua titik yang satu titik sahaja).
                                                                               intersect, touch or meet the
             berlainan).                                                       curve.
                                                                                                      (Garis lurus tidak menyilang atau
                                                     b 2  4ac  0                                    menyentuh lengkung).

                               Two distinctive roots (Dua punca nyata)

      3.    When the condition of roots of a quadratic equation is known, the value or range of values
            of unknown of the quadratic equations could be determined.
            (Apabila syarat untuk keadaan punca persamaan kuadratik diberi, maka nilai atau julat nilai anu dalam persamaan kuadratik itu
            dapat ditentukan).


      Example 6
      Determine the type of roots of each of the following quadratic equations without solving the
      equation.
      (Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut tanpa menyelesaikan persamaan itu).


      (a)      2x 2  7 x  4  0                                      (b)    x 2  3x  5  0
      Solution:
       (a) Given 2 x 2  7 x  4  0                                         (b) Given x 2  3x  5  0
           Then, a  2, b  7, c  4                                            Then, a  1, b  3, c  5
             Then, b 2  4ac  (7) 2  4(2)(4)                                    Then, b 2  4ac  (3) 2  4(1)(5)
                               49  32                                                             9  20
                               17                                                                  11
             Since b 2  4ac  0 ,                                                 Since b 2  4ac  0 ,
             The equation has two different roots.                                 The equation does not have any root.
              (Persamaan itu mempunyai dua punya nyata yang                        (Persamaan itu tidak mempunyai punya nyata).
               berbeza).
Example 6:

Find the possible values of m if a straight line y = mx – 1 is the tangent to a curve y = x2 – 7x +
7m.
(Carikan nilai-nilai yang mungkin bagi m jika garis lurus y  mx  1 ialah tangen kepada lengkung y  x  7 x  7 m. )
                                                                                                       2



Solution:

                                                              y  x 2  7 x  7m.


                                                              y  mx  1



Given,                y  mx  1 ……………..(1)
                      y  x 2  7 x  7m. ………(2)

Subtitute (2) dalam (1)
Then,                         x 2  7 x  7m  mx  1
                   x 2  7 x  mx  7m  1  0
                  x 2  (7  m) x  7m  1  0

And then,             a  1, b  7  m, c  7m  1

Since the straight line is a tangent which meet the curve only at a point, therefore the condition
of the solution is b2 – 4ac = 0.
                                                                                                2
(Oleh kerana tangen garis lurus hanya menyentuh lengkung pada satu titik, maka penyelesaian b        4 ac  0 ).


                                      b 2  4ac  0
                      (7  m)  4(1)(7m  1)  0
                                  2

                      49  14m  m 2  28m  4  0
                               m 3  14m  45  0
                               (m  5)(m  9)  0
                                m = 5 or m = 9

Therefore, the possible values of m are m = 5 or m = 9
(Maka, nilai m yang mungkin ialah, m = 5 atau 9)
  Exercise 2.6

1. State the condition of the roots for each of the following quadratic equations
    (Tentukan keadaan punca bagi setiap persamaan kuadratik berikut).


     Quadratic Equation                          Value of b 2  4ac       Condition of the Roots




   a. x 2  2 x  5  0




   b. x 2  6 x  9  0




   c. x 2  3x  6




   d. 3x 2  8x  3




   e. (2x  1)( x  1)  2  0




   f. x( x  5)  5(3x  5)
 g. x(1  4x)  3




2. If the following quadratic equations have two equal roots, determine the possible value of p.
   Jika persamaan kuadratik berikut mempunyai dua punca yang sama, cari nilai yang mungkin bagi p.

 (a)      px 2  2 x  p  0                                              (b)   px 2  8 x  2  0




3. Determine the range of p values if the following quadratic equations that have two distinctive
   different roots.
   Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik berikut mempunyai dua punca yang berbeza.

 (a) x 2  4 x  1  p  0                                                (b) x 2  2 x  p  2  0




4. Find the range of k values if the following quadratic equations do not have any distinctive root.
       Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik berikut tiada punca.


 (a) x 2  3x  k  0                                                     (b) 2 x 2  4 x  3  k  0
5. Express a relationship between p and q if the following quadratic equations have two equal roots.
       (Terbitkan suatu perkaitan antara p dengan q jika persamaan kuadratik berikut mempunyai dua punca yang sama).

 (a)       px 2  9qx  4 p  0                                     (b)     px 2  5qx  9 p  0




6. Express a relationship between hand k if the following quadratic equations have two distinctive
   different roots.
       (Terbitkan suatu perkaitan antara p dengan q jika persamaan kuadratik berikut mempunyai dua punca yang berbeza).

 (a)      4hx 2  2kx  h  0                                       (b) 5kx2  hx  5k  0




7. Express a relationship between p and q if the following quadratic equations do not have any root.
       (Terbitkan suatu perkaitan antara p dengan q jika persamaan kuadratik berikut tidak mempunyai punca yang nyata).

 (a) 2 px 2  2( p  q) x  q  0                                   (b)     px 2  (2 p  q) x  2 p  q  0

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Stats:
views:5485
posted:2/11/2010
language:Malay
pages:19