METODE NUMERIK MODUL 11 Integral Numerik Zuhair Jurusan Teknik

Document Sample
METODE NUMERIK MODUL 11 Integral Numerik Zuhair Jurusan Teknik Powered By Docstoc
					   METODE NUMERIK




        MODUL 11
     Integral Numerik



          Zuhair
Jurusan Teknik Informatika
 Universitas Mercu Buana
          Jakarta
    2008年12月28日(日)
                                    Integral Numerik


        Integral tertentu yang pernah kita pelajari pada matakuliah kalkulus dasar,
yang dinyatakan oleh:
                       b
                   I = ∫ f ( x)dx ……………………….......…………………………(11.1)
                       a

adalah bentuk integral yang dapat dipecahkan secara analitik dan pada
umumnya telah dirumuskan sehingga tidak ada kesulitan dalam mencari solusi
numeriknya. Persamaan (11.1) didefinisikan sebagai sebuah limit jumlah
Riemann, dan menurut teorema dasar kalkulus integral persamaan tersebut
dapat dihitung dengan rumus sebagai,

                       b                   b
                   I = ∫ f ( x)dx = F ( x) = F (b) − F (a ) ……………......…………(11.2)
                       a                   a


dimana F (x) adalah anti derivatif dari f (x) , yakni F ' ( x) = f ( x) .
        Banyak integral tertentu dapat dihitung dengan persamaan (11.2), seperti
banyak dijumpai dalam buku-buku kalkulus, tapi tidak sedikit integral tertentu
yang tidak dapat dihitung dengan persamaan tersebut karena integrand f (x)
tidak mempunyai anti derivatif yang dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi-fungsi
elementer.
        Cara yang digunakan untuk mencari solusi integral semacam itu adalah
dengan perhitungan integral secara hampiran atau pendekatan, yang hasilnya
berupa numerik. Pendekatan semacam ini banyak digunakan para ilmuwan dan
insinyur dalam menyelesaikan perhitungan integral yang tidak dapat diselesaikan
secara analitik.
        Sebagai contoh, model Debye untuk menghitung kapasitas panas sebuah
benda pejal memuat fungsi sebagai berikut,
                            x
                               t3
                   Φ ( x) = ∫       dt ………………………………….....…………..(11.3)
                           0 et − 1
      Oleh   karena        Φ (x)   tidak       dapat   dinyatakan   secara   eksplisit   dan
konsekuensinya hasil integrasinya tidak dapat diperoleh secara analitik, maka




                                                                                           2
penyelesaiannya harus menggunakan metode numerik untuk menghasilkan
solusi hampiran dari fungsi Φ (x) .
        Contoh lain integral tertentu yang tidak dapat diperoleh secara analitik
                                                                         x        −t
                                                                                       2
                                                                              e
adalah perhitungan distribusi normal seperti Φ ( x) =                    ∫
                                                                         0        2π
                                                                                           dt . Masih banyak

                                          1            π
                                             −x             π
                                          ∫ e dx ,     ∫x
                                                2
lagi contoh-contoh lain seperti                                 Sin( x )dx dan sebagainya yang
                                           0           0

tidak dapat dihitung secara analitik dan diperlukan perhitungan secara numerik
sebagai solusi hampiran.


11.1.    Metode Segmentasi
        Suatu fungsi        f (x) didefinisikan kontinu pada interval                              [a, b] .    Untuk
                                   b
melakukan perhitungan              ∫ f ( x)dx , kita mencoba membagi interval [a, b] menjadi
                                   a

sub     interval,    yaitu     [x0 , x1 ], [x1 , x 2 ] , [x2 , x3 ],    ...       ,        [xn−1 , xn ] ,     dimana

a = x0 < x1 < x 2 < x3 < ... < x n = b .
        Lebar        setiap            segmen        sama              dengan                   h,            dimana
h = x1 − x0 = x 2 − x1 = ... = x n − x n −1 atau dapat dirumuskan sebagai,

                         x n − x0 b − a
                    h=           =      ……………………………………………...(11.4)
                             n      n
Titik absis setiap segmen dinyatakan sebagai,
                xi = x0 + ih = a + ih ……………………………………..…………(11.5)

dimana i = 0 ,1, 2 , 3 ,..., n dan nilai fungsi pada titik absis segmen adalah,

                f i = f ( xi ) .

         Luas daerah yang dibatasi oleh f (x) dalam interval                                    [a, b]      dihampiri
sebagai luas n buah segmen. Metode integrasi numerik yang berbasis pada
pembagian daerah yang dibatasi oleh                     f (x) dalam interval                     [a, b]      menjadi




                                                                                                                   3
segmen-segmen kecil, disebut sebagai metode segmentasi. Perhatikanlah
Gambar 11.1 dan tabel berikut ini,


          i             xi      f i = f ( xi )       y
                                                                                            y=f(x)
          0            x0              f0

          1            x1              f1

          2            x2              f2                                              h
                                                                     h
          …            …               …                       h
        n −1           xn−1         f n−1                                                           x
          n            xn              fn                    Gambar 11.1. Metode Segmentasi



        Metode integrasi numerik yang dapat diturunkan dari metode segmentasi
adalah:            1) Metode segi empat (rectangle rule)
                   2) Metode trapezium (trapezoidal rule)
                   3) Metode titik tengah (midpoint rule)
        Metode segi empat dan trapezium pada hakekatnya identik, hanya cara
penurunan formulanya yang berbeda sedangkan metode titik tengah merupakan
bentuk kompromi untuk memperoleh nilai hampiran yang lebih baik.


11.1.1. Metode Segi Empat
        Untuk merumuskan metode ini, diperlukan hampiran jumlah kiri dan
hampiran jumlah kanan. Perhatikanlah Gambar di bawah ini, dimana a = x0

dan b = x1 , y = f ( x ) .


y                                                        y

                                            y=f(x)                                          y=f(x)


                                    f1                                                 f1
              f0         h                                          f0        h

                                                 x                                              x
              a = x0          b = x1                                a = x0        b = x1
              Fig. 11.2.a                                                Fig. 11.2.b

                                                                                            4
       Gambar 11.2.1a adalah hampiran jumlah sebelah kiri dan gambar 11.2.b
adalah hampiran jumlah sebelah kanan. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f ( x) , garis x = a , garis x = b dan sumbu x menurut jumlah hampiran
sebelah kiri (Gambar 11.2.a ) adalah sebagai berikut,
                           x1

                 L0 =      ∫ f ( x)dx ≈ h f
                           x0
                                                 0   ……………………………………..……(11.6.a)


       Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f ( x) , garis x = a , garis x = b
dan sumbu x menurut jumlah hampiran sebelah kanan (Gambar 11.2.b) adalah
sebagai berikut,
                           x1

                 L1 =      ∫ f ( x)dx ≈ h f
                          x0
                                                 1   ……………………………………...……(11.6.b)

                     x1                 x1                   x1

       L0 + L1 =     ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx = h f
                     x0                 x0                   x0
                                                                                0   + h f1 = h ( f 0 + f1 ) , maka

luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f ( x) , garis x = a , garis x = b dan
sumbu x adalah,
                          x1
                                             h
                 L=       ∫ f ( x) dx ≈ 2 ( f
                          x0
                                                     0   + f1 ) ……………………………………..(11.7)

       Persamaan (11.7) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu
segmen, sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n segmen
merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen sebagai berikut,
            b = xn
                                    h                     h                     h                      h
       L=    ∫ f ( x) dx = 2 ( f
            a= x
                                         0   + f1 ) +
                                                          2
                                                            ( f1 + f 2 ) + ... + ( f n − 2 + f n −1 ) + ( f n −1 + f n )
                                                                                2                      2
                0
                                    h
                                =     ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n )
                                    2
                                    h
                                =     ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n )
                                    2
                                                                                                      n −1
                                    h                                               h
                                =     ( f 0 + 2 f 1 + 2 f 2 ... + 2 f n −1 + f n ) = ( f 0 + f n ) + h∑ f i …
                                    2                                               2                 i =0

                ……………………………………………….….……………..…..(11.8)




                                                                                                                   5
11.1.2. Metode Trapezium
       Metode ini pada hakekatnya sama dengan metode segi empat, hanya
saja penurunan rumusnya yang berbeda, tapi hasil akhirnya sama, yaitu seperti
dalam persamaan (11.8). Perhatikanlah Gambar berikut ini,

                      y
                                                                              y=f(x)



                                        f0                           f1
                                                       h


                                                                                   x
                                        a = x0                 b = x1

                                 Fig. 11.3. Metode trapezium

       Bangun trapezium yang dibentuk dari kurva y = f (x) , lebar trapezium

sama dengan h , sisi-sisi yang sejajar adalah f 0 dan f 1 , maka luas trapezium

                    h
LT = ( f 0 + f 1 ) × . Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) , garis x = a ,
                    2
garis x = b dan sumbu x adalah sama dengan luas trapezium (daerah yang
diarsir) sehingga,
              x1
                            h
        L=    ∫ f ( x) dx ≈ 2 ( f
             x0
                                    0   + f1 ) ……………………………………………….(11.9)

     Persamaan (11.9) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu
segmen trapezium sedangkan rumusan luas daerah yang dibagi menjadi n
segmen trapezium merupakan jumlahan dari luas masing-masing segmen
sebagai berikut:
           b = xn
                           h                       h                     h                      h
      L=    ∫ f ( x) dx = 2 ( f
           a= x
                                  0     + f1 ) +
                                                   2
                                                     ( f1 + f 2 ) + ... + ( f n − 2 + f n −1 ) + ( f n −1 + f n )
                                                                         2                      2
               0
                               h
                          =      ( f 0 + f 1 + f 1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n )
                               2




                                                                                                               6
                                 h
                             =     ( f 0 + f1 + f1 + f 2 + f 2 ... + f n −1 + f n −1 + f n )
                                 2
                                                                                                  n −1
                                 h                                              h
                             =     ( f 0 + 2 f1 + 2 f 2 ... + 2 f n −1 + f n ) = ( f 0 + f n ) + h∑ f i …
                                 2                                              2                 i =0

                  ………...................................................................................(11.10)
       Persamaan (11.10) sama persis seperti persamaan (11.8). Jadi metode
segi empat sama persis seperti metode trapezium.


11.1.3. Metode Titik Tengah


                                                                         y=f(x)


                                              f1 2
                                               12

                                                     h
                                                                                       x
                                  a = x0            x1 2          b = x1
                             Fig. 11.4. Metode titik tengah

       Pandanglah sebuah segmen berbentuk empat persegi panjang x = x0

                                                                             1
sampai x = x1 dan titik tengah absis x = x0 +                                  h (Gambar 11.4). Luas satu
                                                                             2
segmen dapat dinyatakan oleh,
                        x1
                                                   h
                  L=    ∫    f ( x) dx ≈ h f ( x0 + ) ≈ h f ( x1 2 ) ……………………..(11.11)
                        x                          2
                         0

     Persamaan (11.11) adalah rumusan perhitungan luas daerah untuk satu
segmen seperti tertera dalam Gambar 11.4 sedangkan rumusan luas daerah
yang dibagi menjadi n segmen merupakan jumlahan dari luas masing-masing
segmen sebagai berikut,
            b = xn               x2                 x3                  x4                       xn
       L=     ∫
            a = x0
                  f ( x) dx =    ∫
                                 x1
                                      f ( x) dx +   ∫
                                                    x2
                                                         f ( x ) dx +   ∫
                                                                        x3
                                                                             f ( x) dx + ... +    ∫ f ( x) dx
                                                                                                 xn−1




                                                                                                                7
                              = h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( x n −1 2 )
                                                                                   n −1
                              = h ( f1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h∑ f i +1 2 ….……(11.12)
                                                                                   i =0

       dimana xi +1 2 = x0 + h(i + 1 2) dan f i +1 2 = f ( xi +1 2 ) , i = 0 ,1, 2,..., (n − 1) .


                                          1
                                              1
CONTOH 1. Hitunglah                       ∫ x + 1 dx
                                          0
                                                         bila h = 0,05 menggunakan metode a)

Trapezium b) Titik Tengah.
Penyelesaian:
                              1
                                      1                  x1 − x 0 1 − 0
                              ∫ x + 1 dx ,
                              0
                                                   h=
                                                            n
                                                                 =
                                                                   25
                                                                        = 0,04

a) Metode Trapezium
                                                                                    1
Perhatikanlah Tabel (11.1). Tabel ini dihitung dari f ( x) =                           , xi = x0 + ih .
                                                                                  x +1
                                      Tabel 11.1. Metode Trapezium

            i            xi                   f i = f ( xi )     i           xi            f i = f ( xi )
            0     0.000000                    1.000000          11      0.550000           0.645161
            1     0.050000                    0.952381          12      0.600000           0.625000
            2     0.100000                    0.909091          13      0.650000           0.606061
            3     0.150000                    0.869565          14      0.700000           0.588235
            4     0.200000                    0.833333          15      0.750000           0.571429
            5     0.250000                    0.800000          16      0.800000           0.555556
            6     0.300000                    0.769231          17      0.850000           0.540541
            7     0.350000                    0.740741          18      0.900000           0.526316
            8     0.400000                    0.714286          19      0.950000           0.512821
            9     0.450000                    0.689655          20      1.000000           0.500000
            10    0.500000                    0.666667
        1
            1          h                           h                    h                 h
        ∫ x + 1 dx = 2 ( f        0   + f 20 ) +
                                                   2
                                                     ( f1 + f1 ) + ... + ( f 18 + f 18 ) + ( f 19 + f 19 )
                                                                        2                 2
        0

                     h                 h
                 =     ( f 0 + f 20 ) + (2 f 1 + 2 f 2 + 2 f 3 + ... + 2 f 18 + 2 f 19 )
                     2                 2




                                                                                                             8
                                         19
                     h
                 =     ( f 0 + f 20 ) + h∑ f i
                     2                   i =1

                     h
                 =     ( f 0 + f 20 ) + h( f1 + f 2 + f 3 + ... + f18 + f19 )
                     2
                     0,05
                 =        (1,000000 + 0,500000) + 0,05(0,952381 + 909091 + ... + 0,512821)
                       2
                 = 0.0375 + 0.655803382 = 0.693303382
b) Metode Titik Tengah
       1               x2                 x3            x4                 x20
           1
       ∫ x + 1 dx =
       0
                       ∫ f ( x) dx + x∫ f ( x) dx + x∫ f ( x) dx + ... + x∫ f ( x) dx
                       x1                  2             3                  19

           = h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( x n −1 2 )
                                                              19
           = h ( f 1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h∑ f i +1 2
                                                              i =0

           = 0.05(0.975610 + 0.930232 + 888889 + ... + 0.506329) = 0.693069098
                             Tabel 11.2. Metode Titik Tengah

  i         xi                x1 2               f1 2         i            xi           x1 2        f1 2
  0     0.0000000 0.0250000 0.9756098                        10      0.5000000 0.5250000 0.6557377
  1     0.0500000 0.0750000 0.9302326                        11      0.5500000 0.5750000 0.6349206
  2     0.1000000 0.1250000 0.8888889                        12      0.6000000 0.6250000 0.6153846
  3     0.1500000 0.1750000 0.8510638                        13      0.6500000 0.6750000 0.5970149
  4     0.2000000 0.2250000 0.8163265                        14      0.7000000 0.7250000 0.5797101
  5     0.2500000 0.2750000 0.7843137                        15      0.7500000 0.7750000 0.5633803
  6     0.3000000 0.3250000 0.7547170                        16      0.8000000 0.8250000 0.5479452
  7     0.3500000 0.3750000 0.7272727                        17      0.8500000 0.8750000 0.5333333
  8     0.4000000 0.4250000 0.7017544                        18      0.9000000 0.9250000 0.5194805
  9     0.4500000 0.4750000 0.6779661                        19      0.9500000 0.9750000 0.5063291
                                                                                               0.6930691
                             1

                             ∫e
                                     x
CONTOH 2. Hitunglah                      dx , bila n = 25 menggunakan metode a) Trapezium
                             0

b) Titik Tengah.
Penyelesaian:




                                                                                                9
                          1
                                                                  x1 − x0 1 − 0
                          ∫e           dx , bila n = 25 , h =            =      = 0.04
                                   x

                          0
                                                                     n     25
a) Metode Trapezium

       Perhatikanlah Tabel (11.3) yang dibuat dari hasil perhitungan f ( x ) = e                            x
                                                                                                                ,

xi = x0 + ih .
                                          Tabel 11.3. Metode Trapezium

            i                 xi             f i = f ( xi )   i          xi            f i = f ( xi )
            0        0.0000000              1.0000000         13     0.5200000         2.0567154
            1        0.0400000              1.2214028         14     0.5600000         2.1134707
            2        0.0800000              1.3268964         15     0.6000000         2.1697168
            3        0.1200000              1.4139825         16     0.6400000         2.2255409
            4        0.1600000              1.4918247         17     0.6800000         2.2810164
            5        0.2000000              1.5639483         18     0.7200000         2.3362057
            6        0.2400000              1.6321496         19     0.7600000         2.3911628
            7        0.2800000              1.6974893         20     0.8000000         2.4459343
            8        0.3200000              1.7606542         21     0.8400000         2.5005611
            9        0.3600000              1.8221188         22     0.8800000         2.5550790
            10       0.4000000              1.8822268         23     0.9200000         2.6095200
            11       0.4400000              1.9412361         24     0.9600000         2.6639125
            12       0.4800000              1.9993464         25     1.0000000         2.7182818
                                                                                       1.9984501

        1
                              h                 h               h                     h                 h
        ∫e           dx =       ( f 0 + f 25 ) + ( f 1 + f 1 ) + ( f 2 + f 2 ) + ... + ( f 23 + f 23 ) + ( f 24 + f 24 )
                 x

                              2                 2               2                     2                 2
        0
                          h                 h
                      =     ( f 0 + f 25 ) + (2 f 1 + 2 f 2 + 2 f 3 + ... + 2 f 23 + 2 f 24 )
                          2                 2
                                               24
                          h
                      =     ( f 0 + f 25 ) + h∑ f i
                          2                   i =1

                          h
                      =     ( f 0 + f 25 ) + h( f1 + f 2 + f 3 + ... + f 23 + f 24 )
                          2




                                                                                                           10
           0,04
       =        (1,000000 + 2,7182818) + 0,04(1,2214028 + 1,3268964 + ... + 2,6639125)
             2

      =1,9984501

a) Metode Titik Tengah
                                Tabel 11.4. Metode Titik Tengah
 i          xi                  x1 2             f1 2          i             xi               x1 2        f1 2
 0   0.0000000               0.0200000      1.1519099         12     0.4800000             0.5000000   2.0281150
 1   0.0400000               0.0600000      1.2775561         13     0.5200000             0.5400000   2.0851628
 2   0.0800000               0.1000000      1.3719427         14     0.5600000             0.5800000   2.1416516
 3   0.1200000               0.1400000      1.4537781         15     0.6000000             0.6200000   2.1976768
 4   0.1600000               0.1800000      1.5284652         16     0.6400000             0.6600000   2.2533181
 5   0.2000000               0.2200000      1.5984615         17     0.6800000             0.7000000   2.3086433
 6   0.2400000               0.2600000      1.6651279         18     0.7200000             0.7400000   2.3637103
 7   0.2800000               0.3000000      1.7293101         19     0.7600000             0.7800000   2.4185691
 8   0.3200000               0.3400000      1.7915751         20     0.8000000             0.8200000   2.4732635
 9   0.3600000               0.3800000      1.8523246         21     0.8400000             0.8600000   2.5278316
10   0.4000000               0.4200000      1.9118552         22     0.8800000             0.9000000   2.5823073
11   0.4400000               0.4600000      1.9703930         23     0.9200000             0.9400000   2.6367207
                                                              24     0.9600000             0.9800000   2.6910986
                                                                                                       2.0004307

       1                x2             x3               x4                   x25

       ∫e        dx =   ∫ f ( x) dx + x∫ f ( x) dx + x∫ f ( x) dx + ... + ∫ f ( x) dx
            x

       0                x1              2                3                   24


                   = h f ( x1 2 ) + h f ( x3 2 ) + h f ( x5 2 ) + ... + h f ( x n −1 2 )
                                                                      24
                   = h ( f 1 2 + f 3 2 + f 5 2 + ... + f n −1 2 ) = h∑ f i +1 2
                                                                      i =0

                   = 0.04(1,1519099 + 1,2775561 + 1,3719427 + ... + 2,6910986) =
                        2.0004307




                                                                                                        11

				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:4179
posted:2/8/2010
language:Indonesian
pages:11