Newton en Pascal by hcw25539

VIEWS: 43 PAGES: 3

									Newton en Pascal

Opgave 1
                   a                        b




                    a²                       …               a




                  …                             …             b




Hierboven zie je een vierkant met zijden met lengte (a+b).
De oppervlakte van dit vierkant bereken je met lengte keer breedte. Dat is (a+b)².
Bereken de oppervlakte van het vierkant hierboven.
(a+b)² = a² + … + … + …= a² + … + …
(Als je dit moeilijk vindt kun je eerst getallen invullen voor a en b)

(Om te oefenen met dit soort sommen kun je naar http://www.fi.uu.nl/wisweb/
Onder applets kies je voor oppervlaktealgebra.)

Opgave 2
   a) Als je (a+b)³ moet berekenen kan dit niet met behulp van een oppervlakte.
      Wat voor figuur zou je wel kunnen gebruiken?
   b) Bereken (a+b)³.

Opgave 3
   Van (a+b)4 is moeilijk nog een ruimtelijke voorstelling te maken. Je kunt het
                                   
   berekenen door het te zien als (ab) .   
                                           2 2


   Als je dit berekent kom je tot: (a+b)4= a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4

   Er zijn een aantal manieren om te kijken of de formule die je gevonden hebt goed
   kan zijn.
   a) Voer de volgende 4 tests uit op (a+b)4.

   1) Verwissel a en b

    (a+b)4                      = a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4

                gelijkwaardig                                          gelijkwaardig

    (b+a)4                      =………………………………….

   2) Stel b = 0
      Dan: (a+b)4 =………          en    a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4 =……….

   3) Stel b = a
      Dan: (a+b)4 =………          en    a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4 =……….

   4) Stel b = 10a
      Dan: (a+b)4 =………          en    a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4 =……….

   Dit is allemaal nog geen garantie dat de formule goed is, maar het geeft wel veel
   vertrouwen.

   b) Nu weet je hoe je formules kunt controleren.
      Voer nu twee van de bovenstaande tests uit voor (a+b)³ en het antwoord
      dat je gevonden hebt bij opgave 2b.



Newton en Pascal
Isaac Newton leefde van 4 januari 1643 tot 31 maart 1727. Hij
was een Britse natuurkundige, filosoof, wiskundige,
sterrenkundige, theoloog en alchemist.
Zijn ontdekkingen waren een belangrijke aanzet tot de
wetenschappelijke revolutie.

Een van zijn ontdekkingen op wiskundig gebied wordt het
binomium van Newton genoemd.
Dit was een manier om de getallen voor de termen te kunnen
berekenen van (x+y) n. Bijvoorbeeld bij (a+b)4 zijn die getallen
1, 4, 6, 4, 1.                                                         (Isaac Newton)
Newton had hier een ingewikkelde formule voor gemaakt.




                    Later heeft de Fransman Blaise Pascal de driehoek van Pascal
                    gemaakt waarin gemakkelijk af te lezen is wat deze waarden zijn. In
                    de volgende opdracht ga je onderzoeken wat voor regelmaat er te
vinden is in de antwoorden van de vorige opdrachten. Die regelmaat is ook duidelijk te
zien in de driehoek van Pascal.




(Blaise Pascal)



Opgave 4
   a) Kijk nu eens naar de getallen die je ziet in de antwoorden
      van opdracht 1, 2b en in a4 + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b4. Zit hier een
      regelmaat of systeem in?
      (tip: zet ze eens handig onder elkaar)
   b) Geef met behulp van de regelmaat die je gevonden hebt nu ook eens de
      uitwerking van (a+b)5 en (a+b)6. Als het goed is hoef je daar niet veel voor
      te rekenen.



Opgave 5 (extra)
De eerste vijf rijen van de driehoek van Pascal zien er zo uit:




   a) Maak hem op ruitjespapier verder tot en met de zestiende rij.
   b) De natuurlijke getallen zijn 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc. Waar in de driehoek van Pascal
      kun je de natuurlijke getallen vinden?
   c) Hoe vind je alle machten van 2?
   d) Schrijf de machten van 11 op.
      Wat valt je op?
      Probeer dit te verklaren door 11 te schrijven als (10+1).
   e) Kleur in jouw zelf gemaakte driehoek van Pascal alle oneven getallen rood.
   f) Waardoor ontstaat dit patroon?

								
To top