Modelos para Risco de Cr�dito 2 Credit Risk by crunchy

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									Modelos para Risco
      de Crédito 2:
       Credit Risk +

            Análise de Risco (10)
                       R.Vicente




                                    1
Resumo
 Introdução
 Taxas de default constantes e setor único
   Freqüência de Defaults
   Severidade das Perdas
 Taxas de default variáveis e múltiplo setor
   Freqüência de Defaults
   Severidade das Perdas
 Bibliografia
                                               2
Panorama Geral

   FREQÜÊNCIA     SEVERIDADE
    DE PERDAS     DAS PERDAS




           DISTRIBUIÇÃO
      DE PERDAS POR DEFAULT

                               3
Inputs 1: Rating

        Cre dit            Me a n    S ta nda rd
        Ra ting    De fa ult ra te   De via tio n
          A                1.50%           0.75%
          B                1.60%           0.80%
          C                3.00%           1.50%
          D                5.00%           2.50%
           E               7.50%           3.75%
           F              10.00%           5.00%
          G               15.00%           7.50%
          H               30.00%         15.00%
                                                    4
Inputs 2: Exposições
                                            Cre dit
                       Na me   Ex po sure   Ra ting
                         1        358,475     H
                         2      1,089,819     H
                         3      1,799,710      F
                         4      1,933,116      G
                         5      2,317,327      G
                         6      2,410,929      G
                         7      2,652,184     H
                         8      2,957,685      G
                         9      3,137,989     D
                         10     3,204,044     D
                         11     4,727,724     A
                         12     4,830,517     D
                         13     4,912,097     D
                         14     4,928,989     H
                                                      5
                         15     5,042,312      F
Output: Distribuição de Perdas

                                                 Cre dit Lo s s Dis tributio n                                Cre dit
                         2.50%                                                                                  Loss
                                                                                             Pe rce ntile   Amo unt
                                                                                                Mean       11,162,856
                         2.00%
                                                                                                50.00       9,191,511
                                                                                                75.00      16,114,274
Marg inal Pro bability




                         1.50%
                                                                                                95.00      28,823,669
                                                                                                97.50      33,733,871
                                                                                                99.00     39,946,857
                         1.00%                                                                  99.50      44,482,660
                                                                                                99.75      48,915,922
                                                                                                99.90      54,644,673
                         0.50%




                         0.00%
                                 0   5,000,000      10,000,000   15,000,000   20,000,000   25,000,000   30,000,000
                                                                                                                        6
                                                                  Lo s s
 TAXAS DE DEFAULT
CONSTANTES E SETOR
      ÚNICO



                     7
Freqüência de Defaults
     Suponhamos uma carteira contendo N contrapartes.
 Qual é a probabilidade p ( n) de n defaults em uma janela de
                      tempo especificada ?

                                              N
Introduzamos a função auxiliar     F ( z ) = ∑ p ( n) z n
                                             n=0


Seja q j = Probabilidade de default de j na janela , assumindo que:
        a) defaults são eventos independentes;
        b) taxas não variam no tempo, teremos:
                      N                           N
           F ( z ) = ∏ ⎢⎡(1− q j ) + q j z ⎥⎤ = ∏ ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦
                     j =1
                          ⎣                ⎦ j=1
                                                                        8
 Freqüência de Defaults
                           N
                F ( z ) = ∏ ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦
                          j =1
                                 N
                   ln F ( z ) = ∑ ln ⎡⎣1 + q j ( z −1)⎤⎦
                                 j =1


Assumindo que   0 < qj     1 , utilizamos ln (1 + ε) ≈ ε e obtemos:
                                             N
                      ln F ( z ) = ( z −1) ∑ q j
                                            j =1

                                     ⎡         N     ⎤
                      F ( z ) = exp ⎢⎢( z −1) ∑ q j ⎥⎥
                                     ⎢⎣       j =1   ⎥⎦               9
Freqüência de Defaults
                                                 N

Identificando o número médio de defaults μ =    ∑q
                                                 j =1
                                                        j   :


                           F ( z ) = e−μ e zμ
Expandindo em série de Taylor:
                          ∞
                             e−μ μ n n   ∞
                F ( z) = ∑          z = ∑ p ( n) z n
                         n=0   n!       n=0

Lembrando da definição da função auxiliar.

                                       e−μ μ n
                              p ( n) =
                                         n!                     10
Severidade dos Defaults
Para cada contraparte j.
A exposição a risco de crédito é a perda incorrida em um default.

                             L j = Lν j

A perda esperada é a perda agregada esperada dada por:

                   λ j = L j μ j = Lν j μ j = Lε j

                                       Probabilidade de
                                       default de acordo
                                             com a
                                        classificação de
                                            crédito                 11
Severidade dos Defaults

As exposições são agrupadas em bandas:


 Lν1      Lν2       Lν3      Lν4              ...   Lνm   νa ∈

Cada banda com uma perda esperada associada:

                  εa = ν a μa 1 ≤ a ≤ m
O número esperado de defaults em cada banda dado por :

                                              εj
                          μa =    ∑
                                 j:ν j =ν a   νj                 12
Severidade dos Defaults

Introduzindo uma função geratriz para as perdas agregadas:
                              ∞
                   G ( z ) = ∑ p (nL) z n
                           n=0
Assumindo as bandas são independentes (as exposições são
independentes):
                                  m
                    G ( z ) = ∏ Ga ( z )
                                  a=1

Tratando cada banda como uma carteira :
               ∞
                                   e−μa μa nνa
                                      ∞  n
    Ga ( z ) = ∑ p(n) z nνa   =∑           z =e−μa +μa z ν a

              n=1              n=1   n!                        13
Severidade dos Defaults

         ∞                    ∞     −μa
                                    e     μ nνan
Ga ( z ) = ∑ p(n) z   nν a
                             =∑             z =e
                                               a−μa +μa z ν a

         n=1                  n=1        n!

                  m                      m
         G ( z ) = ∏ Ga ( z ) = ∏ e            −μa +μa z ν a

                 a =1                   a =1

                     ⎡ m       m       ⎤
               = exp ⎢−∑ μa + ∑ μa z ⎥
                                    νa
                     ⎢⎣ a=1   a =1
                                       ⎥⎦
                                                                14
 Severidade dos Defaults
Derivadas n-ésimas da função geratriz em z=0 fornecem as
probabilidades p(n)         ∞                      n
                                                              1 d G( z)
                      G ( z ) = ∑ p(lL) z     l
                                                                     n
                                                                             = p (nL)
                                  l =0                        n ! dz    z =0


1 d nG ( z )        1 dn                  ⎡ m       m       ⎤
                  =                   exp ⎢−∑ μa + ∑ μa z ⎥
                                                         νa

n ! dz n
                    n ! dz n              ⎢⎣ a=1   a =1
                                                            ⎥⎦
             z =0              z =0

                   1 d n−1                   d          m
                 =
                   n ! dz n−1
                                       G( z)
                                             dz
                                                      ∑ μa z νa
                                  z =0            z =0 a =1

                  1 n−1 ⎛n −1⎞ d n−k −1
                               ⎟                              d k +1         m
                 = ∑⎜      ⎜   ⎟
                               ⎟                       G ( z ) k +1        ∑ μa z νa
                           ⎜ k ⎠ dz n−k −1
                  n ! k =0 ⎝   ⎟                              dz
                                                  z =0                 z =0 a =1
                                                                                   15
Severidade dos Defaults

        d n−k −1G ( z )
              n−k −1
                             = (n − k −1)! p ((n − k −1)! L)
          dz            z =0



      d k +1         m           ⎧μa (k + 1)!, se ∃a : ν a = k + 1
                                 ⎪
                     ∑    μa z = ⎪
                                νa
                                 ⎨
      dz k +1   z =0 a =1
                                 ⎪
                                 ⎪
                                 ⎩              0, cc

         1 n−1              ⎛n −1⎞
                                 ⎟
                            ⎜
p (nL) =        ∑
         n ! k =0
                            ⎜
                            ⎜ k ⎠
                            ⎝
                                 ⎟(n − k −1)!(k + 1)!μa p((n − k −1) L)
                                 ⎟
                                 ⎟
            ∃a:ν a = k +1
                                                                    16
 Severidade dos Defaults

                           ⎛    ⎞
         1 n−1             ⎜n −1⎟(n − k −1)!(k + 1)!μ p ((n − k −1) L)
                                ⎟
p (nL) =        ∑
         n ! k =0
                           ⎜
                           ⎜ k ⎠
                           ⎝    ⎟
                                ⎟                    a

           ∃a:ν a = k +1




                    ν a μa                           εa
   p (nL) = ∑              p((n − ν a ) L) = ∑ p ((n − ν a ) L)
           a:ν a ≤n    n                    a:ν a ≤n n


                                      ⎡ m     ⎤
                           p(0) = exp ⎢−∑ μa ⎥
                                      ⎢⎣ a=1 ⎥⎦                    17
  TAXAS DE DEFAULT
VARIÁVEIS E MÚLTIPLOS
      SETORES



                        18
Setores
                   SETOR = FATOR DE RISCO

      S1                S2              Sk               Sn

                                xk ~ p (μk , σk )
   Número médio de defaults
     por unidade de tempo
                                  μk = xk
                                  σ = ( xk − μk )
                                    2                   2
    Variância de defaults por
                                    k
        unidade de tempo



  Número de defaults por unidade de tempo = variável aleatória

                                                                 19
Volatilidades
Volatilidades e taxas de default dependem primordialmente da qualidade da
contraparte. Volatilidades e taxas de cada setor são obtidas a partir de dados
para cada rating.
                            μa FATOR DE
                      x =
                       a        x RISCO μ =
                                μk
                                     k                k   μ  ∑a
                                                                   a



                                                          ( xa − μa )
  Cre dit             Me a n     S ta nda rd                           2
  Ra ting     De fa ult ra te    De via tio n   σ =
                                                2
                                                a
    A                 1.50%            0.75%
                                                      ⎛ μa xk      ⎞             ⎛ μa ⎞ 2
    B                 1.60%            0.80%                               2           2
    C                 3.00%            1.50%          ⎜
                                                    = ⎜
                                                      ⎜ μ     − μa ⎟
                                                                   ⎟
                                                                   ⎟           = ⎜ ⎟ σk
                                                                                 ⎜ ⎟
                                                                                 ⎜μ ⎠ ⎟
    D                 5.00%            2.50%
                                                      ⎝       k
                                                                   ⎟
                                                                   ⎠             ⎝ ⎟
                                                                                   k
     E                7.50%            3.75%
     F               10.00%            5.00%
    G                15.00%            7.50%
                                                         σk
    H                30.00%          15.00%          σa = μa
                                                         μk                            20
Volatilidades
                                                μa                    σk
μk = ∑ μa                                  xa =    xk             σa = μa
                                                μk                    μk
          a

                                                       σk
                                                ∑ σa = μ        ∑μ
Cre dit           Me a n    S ta ndard
Ra ting   De fa ult ra te   De via tio n
                                                                      a   = σk
  A               1.50%           0.75%         a                 a
                                                        k
  B               1.60%           0.80%
  C               3.00%           1.50%
  D               5.00%           2.50%         Ex: SETOR = A+B+H
   E              7.50%           3.75%
   F             10.00%           5.00%       μsetor = μ A + μB + μH
  G              15.00%           7.50%
  H              30.00%         15.00%                  = 1,5% + 1, 6% + 30% = 33, 2%
                                              σ setor   = σ A + σB + σH
                                                        = 0, 75% + 0,8% + 15 = 16,55%
                                                                                        21
Número de Defaults com Taxa de
Defaults Estocástica
                               n
                F ( z ) = ∏ Fk ( z )                        SETORES
                              k =1                        INDEPENDENTES


              Fk ( z xk = x) = e
                                                x( z−1)



                     ∞

        Fk ( z ) =   ∫     dx Fk ( z xk = x ) f ( x )
                     x=0
                     ∞
                                  x( z −1)
               =     ∫     dx e              f ( x)
                     x=0
                                                                          22
          Taxa de Defaults Estocástica:
          Distribuição Gama            ∞

                             Fk ( z )= ∫ dx e ( ) f ( x)
                                             x z −1


                                     −
                                         x                                    x=0
                      1
           f ( x) = α      e xα−1        β

                   β Γ(α )                                                                      ∞


          μ = αβ                σ 2 = αβ 2
                                                                             Γ(α ) =            ∫        dx e− x x α−1
                                                                                                x =0
 1                                            0.2                                      0.045


0.9


0.8
                                             0.18


                                             0.16
                                                                        α=5             0.04


                                                                                       0.035
                                                                                                                        α = 100
0.7



                                                                        β =1                                            β =1
                                             0.14
                                                                                        0.03
0.6
                                             0.12




                α = β =1
                                                                                       0.025
0.5
                                              0.1
                                                                                        0.02
0.4
                                             0.08

0.3                                                                                    0.015
                                             0.06

0.2                                                                                     0.01
                                             0.04

0.1
                                             0.02                                      0.005

 0
      0     1   2   3   4   5    6
                                               0                                          0
                                                    0   2   4   6   8   10   12   14       70       80     90   100   110   120   130   140




                                         μk
                                          2
                                                                             σk
                                                                              2
          PARA O SETOR k             αk = 2                             βk =
                                         σk                                  μk                                                         23
 Taxa de Defaults Estocástica
             ∞                                    ∞                                         x
                                                                               1        −
                          x( z −1)                               x( z−1)
Fk ( z ) =   ∫     dx e              f ( x) =     ∫       dx e                       e x α−1β

             x=0                                  x =0
                                                                           β α Γ(α )
                            ∞                     x
          1                             xz − x−

               ∫ dx e                                 x α−1
                                                  β
      = α                                                              =
       β Γ(α ) x=0                                                     ⎛  1⎞
                                                              y =− x⎜ z−1− ⎟
                                                                    ⎜
                                                                    ⎜
                                                                           ⎟
                                                                           ⎟
                                                                           ⎟
                                                                    ⎝     β⎠
                                                      ∞
                             1                                                                  1
                                                      ∫
                                                                  −y       α−1
      =                                      α
                                                             dy e y              =                       α
                     ⎛   1    ⎞                                                        ⎛   1    ⎞
             β Γ(α ) ⎜1 + − z ⎟
              α
                     ⎜        ⎟
                              ⎟
                                                      y =0
                                                                                     β ⎜1 + − z ⎟
                                                                                      α⎜
                                                                                                ⎟
                                                                                                ⎟
                     ⎜ β
                     ⎝        ⎠                               Γ (α )                   ⎜
                                                                                       ⎝ β      ⎠

                                                                                                    24
Taxa de Defaults Estocástica
                                                αk
                            1         ⎛ 1− λk ⎞
                                              ⎟
  Fk ( z ) =                    = ⎜   ⎜       ⎟
                                              ⎟
                           ⎞ λk = ββ ⎜1− λk z ⎠
                                              ⎟
                            αk
                  ⎛                   ⎝
             βk k ⎜1 + − z ⎟
                                   k
               α      1
                  ⎜        ⎟
                           ⎟
                                 1+ k
                  ⎜ β
                  ⎝        ⎟
                           ⎠
                       k
                       αk
            ⎛ 1− λk ⎞
                    ⎟
 Fk ( z ) = ⎜
            ⎜       ⎟
                    ⎟
            ⎜1− λ z ⎠
            ⎝     k
                    ⎟

                  αk
                    ⎡             αk (αk −1) 2 2     ⎤
       = (1− λk ) ⎢1 + zαk λk +             λk z +   ⎥
                    ⎢                  2!            ⎥
                    ⎣                                ⎦
                      ∞ ⎛
                        ⎜ n + αk −1⎞ n n
                                   ⎟
       = (1− λk ) ∑ ⎜
                 αk
                                   ⎟λk z
                                   ⎟
                    n=0
                        ⎜
                        ⎝     n    ⎟
                                   ⎠                     25
Frequência de Defaults
                                               ∞
                               Fk ( z ) = ∑ p (n) z         n

                                               n=0


 0.2
                                                              ⎛n + αk −1⎞ n
                                                                        ⎟λ (1− λ )αk
                                                              ⎜
                                                     p ( n) = ⎜         ⎟ k
                                                                        ⎟
0.18


0.16
                                                              ⎜
                                                              ⎝    n    ⎟
                                                                        ⎠
                                                                                k
0.14


0.12


 0.1
                                                      Distribuição Binomial Negativa
0.08                                                            (Pascal)
0.06


0.04


0.02


  0
       0   1   2   3   4   5   6   7   8   9    10

                                                                                       26
                                               Bibliografia

•Crouhy M. Galai D. e Mark R., A comparative analysis of current credit risk
models, Journal of Banking and Finance 24 (2000) 59-117.
•Jorion P., Value at Risk, Irwin, 1997.

• Saunders A., Credit Risk Measurement, John Wiley, 1999
•CreditRisk+,CSFB,1997 (http://www.csfb.com/creditrisk/)

                          Leitura Complementar
Basle Committee on Banking Supervision, Credit Risk Modelling:
Current Practices and Applications, April 1999. (www.bis.org)

                                                                               27

								
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