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Nom Prénom CONDITIONNEMENT DU SIGNAL Date _

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CONDITIONNEMENT DU SIGNAL

Date :

LES FILTRES

AGIR

Conditionnement du Signal filtrage L’objectif du conditionnement du signal est de Traiter les informations généralement issues des capteurs. Cette fonction permet donc :  Adapter le signal électrique pour lui donner la forme la plus appropriée pour son traitement;  Amplifier le signal;  Filtrer les signaux (suppression du bruit et des fréquences indésirables);  Linéariser les signaux sur une étendue de mesure;  Convertir en signaux numériques les grandeurs électriques analogiques;

Introduction sur le filtrage
Filtrage passif Filtre passif du premier ordre Filtre passif du second ordre Mise en cascade de cellules élémentaires du 1er ordre Filtrage actif Filtre actif du premier ordre Filtre actif du second ordre L’opération de filtrage permet :  d’éliminer ou d’affaiblir des fréquences indésirables;  d’isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences utiles. Les applications sont très variées :  Systèmes de communications (téléphonie, réseaux, …);  Systèmes d’acquisition et traitement des données;  Alimentation électrique;  … familles de filtre :  Filtrage analogique (avec composants linéaires R, L,C, AOP);  Filtrage numérique (avec composant programmable);  Filtrage à capacités commutées (avec condensateur + interrupteur) Dans la famille des filtres analogiques, on distingue :  Les filtres passifs (Composants discrets R, L et C);  Les filtres actifs (Composants discrets R, L et C + ALI). La transmittance ou fonction de transfert T(jω) d’un quadripôle Q est défini par :

V e

Quadripôle Q

V s
1

La transmittance T(jω) représente un nombre complexe, qui possède un module et un argument qui dépendent de la pulsation ω. Le module est appelé Amplification noté T(ω) (sans unité) et l’argument φ(ω) est appelé phase (en ° ou rad). Au lieu de travailler avec l’amplification, on préfère travailler avec le gain exprimé en décibel (dB). Le gain G s’exprime par :

Le diagramme de Bode est une représentation graphique permettant de tracer les variations du gain G(ω) et de la phase φ(ω) en fonction de la pulsation ω. Il est constitué par 2 graphiques. DIAGRAMME DE BODE

1 décade
L’axe des abscisses est gradué est échelle logarithmique pour rapprocher les hautes fréquences et les très basses fréquences sur un même graphique. La bande passante d’un filtre caractérise la bande de fréquence qui n’est pas éliminer en sortie d’un filtre. Elle est définit par une borne inférieure et une borne supérieure. Définition de la bande passante à -3dB La bande passante à -3dB, est la zone de fréquence pour laquelle on a un gain G supérieur ou égal à Gmax-3dB ou bien, un module de la transmittance T tels que T > Tmax/√2. L’objectif du filtrage étant de sélectionner une fréquence ou une bande de fréquence, on distingue donc 4 types de filtre idéal (gabarit) :  Filtre passe bas : Filtre laissant passer les basses fréquences et élimine les hautes

fréquences.



Filtre passe haut : Filtre laissant passer les hautes fréquences et élimine les basses fréquences.

2



Filtre passe bande : Filtre laissant passer une bande de fréquence et élimine celles en dehors ce celle-ci.



Filtre réjecteur de bande (coupe bande) : Filtre laissant passer toutes les fréquences sauf une bande de

fréquence.

Dans la réalité, il est impossible de réaliser des filtres idéaux. Par conséquent, les gabarits des filtres sont modifiés tels que :

FILTRAGE ANALOGIQUE
Tous les filtres du premier ordre, ont une fonction de transfert (transmittance) T(jω) de la forme :

T0 est appelé amplification statique, ω0 la pulsation de coupure. Avec cette fonction de transfert, il n’est possible de réaliser que des filtres du type passe bas et passe haut, en fonction du coefficient a. Fonction de transfert d’un filtre passe bas :

Fonction de transfert du type passe haut :

ETUDE D’UN FILTRE PASSIF PASSE BAS DU 1er ORDRE Considérons le montage ci-contre.

On applique le diviseur de tension, car le courant de sortie est supposé nul.

Donc : En comparaison avec la forme générale d’un filtre du premier ordre du type passe bas, on obtient : Calcul de G(ω) Calcul de φ(ω) : La bande passante est définit par la zone de fréquence telle que G(ω)=Gmax-3dB, donc pour :

3

Donc, il faut résoudre :

Cette équation est vérifiée uniquement pour :

Soit, donc pour : La bande passante BP est donc : BP = [0 ω0]. Parfois, il n’est pas nécessaire de tracer précisément le diagramme de Bode. On ne tracera donc que le diagramme de Bode asymptotique. On décompose l’ensemble des fréquences (ou pulsations) en 3 zones : - fréquence f << f0 ; - fréquence f >> f0; - fréquence f = f0. Etude pour f << f0 : La transmittance T(jω) peut se simplifier par :

Donc :

G    20.log T  j   20.log 1  0 BF   0     arctan    arctan  0   0 1 

Etude pour f >> f0 : La transmittance T(jω) peut se simplifier par : Donc : Dans le diagramme de Bode, l’axe X des abscisses est gradué en X=log(ω), donc le gain en hautes fréquences, est une droite du type -20X+log(ω0) Etude pour f = f0 : La transmittance T(jω) peut se simplifier par :

Pente de -20dB / décade

ω0 4

ETUDE D’UN FILTRE PASSIF PASSE HAUT DU 1er ORDRE
Considérons le montage ci-contre.

On applique le diviseur de tension, car le courant de sortie est supposé nul.

5

ETUDE DES FILTRES DU 2nd ORDRE Tous les filtres du second ordre, ont une fonction de transfert T(jω) de la forme :

T0 est appelé amplification statique, ω0 la pulsation propre et m le coefficient d’amortissement. Parfois, on utilise la notion de facteur de qualité Q, par conséquent, il est intéressant de pouvoir mettre les FT sous la forme :

Avec cette fonction de transfert, il est possible de réaliser les 4 types de filtres, en fonction des coefficients a1 et a2.

Fonction de transfert d’un filtre passe bas :

Fonction de transfert du type passe haut :

Fonction de transfert d’un filtre passe bande :

Fonction de transfert du type coupe bande :

ETUDE D’UN FILTRE PASSIF PASSE BAS DU 2nd ORDRE Considérons le montage ci-contre. On applique le diviseur de tension, car le courant de sortie est supposé nul.

Donc :

En comparaison avec la forme générale d’un filtre du second ordre du type passe bas, on obtient :

ou

6

Ces 4 cas sont déterminés en fonction du dénominateur de la transmittance. Le dénominateur s’écrit de façon générale sous la forme : On pose X  j On appelle Xi les 2 pôles les racines de ce polynôme. 2 X  X  1  2.m.  Donc les pôles sont définis par :  0  0  0  Calcul du discriminant

4m2 4 4   2  2  2 .  m2  1 0 0 0
1 m  1   0   j  X 1  .  j  X 2  avec X 2  m0  0 . m 2  1

4 cas de figure :

m  1    0   j  X 1  avec X 1  m0
2 1 0  m  1   0  X 2  m0  j0 . 1  m 2

m  0  Filtre instable  INTERDIT
Donc, seul 3 cas sont intéressant. La pulsation est appelée pulsation de résonance.

Cas où m > 1 Dans ce cas de figure, la fonction de transfert peut s’écrire :

Avec : On s’aperçoit que cette fonction de transfert s’écrit comme le produit de 3 termes dont 2 sont des fonctions de transfert du premier ordre.

Pente à -40dB par décade Pente à -20dB par décade

ω2

ω1

7

  1 Cas où m = 1 1 T  j   T0 .  T0 .  Dans ce cas de figure, la fonction de transfert peut s’écrire : 2  1  j j  j   1  2m   1 Avec : 1  0  0  0 
On s’aperçoit que cette fonction de transfert s’écrit comme le produit de 3 termes dont 2 sont des fonctions de transfert du premier ordre identiques.

     

2

Pente à -40dB par décade

Cas où 0 < m < 1 Calcul de G(ω) :

ω1

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Dans le cas où 0 < m < 1; il apparaît une résonance à la pulsation ωr. Cette résonance est d’autant plus importante que le facteur d’amortissement m est petit devant 1, ou que le facteur de qualité Q est grand devant 1.

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LES FILTRES ACTIFS
GENERALITES Les filtres actifs sont composés d’éléments discrets, tels que les résistances, les condensateurs et les inductances, mais aussi d’un ou plusieurs ALI (AOP). Pour simplifier les études, on considèrera toujours que ces ALI sont idéaux et qu’ils fonctionnent en régime linéaire. Rappel sur les ALI : ALI = Amplificateur Linéaire Intégré. Appelé aussi AOP Norme française Norme américaine
+ +V cc +
S

-

+Vcc -Vcc S

Vc On omet généralement de placer les bornes d’alimentation. c

+ Vc
E
+

Symbole d’Amplification

Tension différentielle : L’ALI se comporte comme un amplificateur

i
+

E
V
+

ε i
-

+

c

A
vd

Valeur d’Amplification

-

Vc
c

S
V
s

V
-

A vd = amplification en mode différentiel (ex : 105) A vc = amplification en mode commun (environ 1) Donc :

La tension de sortie est limitée en théorie à l’intervalle [+Vcc;-Vcc]. En réalité, à [+Vsat;-Vsat]. +Vcc - Vsat est appelée tension de déchet (de l’ordre de 1 à 2 V) sauf pour les ALI dit « rail to rail » (qqs millivolts).
Zone linéaire Vs

+Vcc

 

Vcc 15   150 V Avd 105

ε

Cette tension est très faible. Un ALI n’est donc jamais utilisé en boucle ouverte pour amplifier un signal. Nécessité d’une boucle de réaction

-Vcc

ε
Zone non linéaire

+ -

A
v d

S

V e
R
1

R
0

V
s

On peut donc modéliser le fonctionnement du montage ci-dessus par : La loi d’entrée/sortie est donnée par la relation de Black :
V e + V
-

ε

Avd

Vs

Donc

k

Or A vd est très grand, donc :

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Étude de la stabilité :
Ve

+
V-

ε

Avd

Vs

k
Il y a donc compensation. Un point d’équilibre est possible. On dit que le montage est stable. Le montage est dit en fonctionnement linéaire. Impédance d’entrée différentielle infinie Ze : → i + = i - = 0 Impédance de sortie nulle Zs : → Vs indépendant du courant de sortie Amplification différentielle Avd infinie : → En régime linéaire ε = 0 → V+ = VOn a donc pour chaque ALI :

ETUDE DES FILTRES DU 1er ORDRE Les structures générales des filtres actifs du premier ordre sont données ci-dessous. Elles diffèrent selon le type de montage de l’ALI (montage inverseur, non inverseur ou suiveur). Montage suiveur Diviseur de tension car i+=0.
Z1

+

唴 _ S

Z2

Donc :
Vs

Ve

Montage non inverseur
+ 唴 _ S

Z1

Ve Z2 R1 R0 Vs

Montage inverseur
Z1 ε=0 Ve

Z2

-

唴

+

_
Vs

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C ÉTUDE DE FILTRES ACTIFS
FILTRE PASSE-BAS DU PREMIER ORDRE L’entrée inverseuse de l’AO est masse virtuelle, son potentiel est nul. Appliquons lui le théorème de Millman : Ve 1 1  (  jC ).Vs  0 soit H  Vs   R1 R Ve 1 

 R 1 .  jC   R 

Pulsation de coupure ………………………………………………………………… AN : R = 1k C = 220 nF ………………………………………………………………… Diagramme de bode F (hz ) | Av | 20 log | Av| φ

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ETUDE DES FILTRES DU 2nd ORDRE

Ecrire les 2 lois des nœuds en A et B. Exprimer les différents courants en fonction des différentes tensions et des impédances (ou admittances). Supprimer les tensions inintéressantes.

Vs Ve



Y1.Y3 1  Z1.Z 3 Z1 Z1 Z 3 Z1.Z 3 Y1.Y5  Y2 .Y5  Y3 .Y4  Y3 .Y5  Y4 .Y5     Z 4 Z 5 Z 5 Z 2 .Z 5 Z 4 .Z 5

FILTRE PASSE-BAS DU SECOND ORDRE

AO idéal donc VA = VA’ D’autre part VA’ = VA = Vs Théorème de Millman en A

VA  Vs 

VB R 1  jC  R

soit

VB  Vs .(1  jRC )

Théorème de Millman en B

Ve Vs  2 jC .Vs  R R VB  2  2 jC  R

En égalant les deux expressions de VB : Ve  1 1    2 jC   .Vs  2.Vs .(1  jRC ).  jC   R  R R  soit H 
1 1  2 jRC   2(RC ) 2

Pulsation de coupure Posons x = RC pour alléger l’écriture Gain
H 1 1  2x 2  2 jx G MAX soit x tel que 2

G

1 (1  2x 2 ) 2  4.x 2

pulsation de coupure pour x tel que G  1 + 4.x4 = 2 soit

(GMAX étant égal à 1) (1  2x 2 ) 2  4.x 2  2 ou Finalement
0  1 et 2RC C = 10 nF f0 

x0 

1 2

A .N. R = 33 k

1 2 2RC 0 = 2142 rad/s

f0 = 341 Hz

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Diagram me de bode F (hz ) | Av | 20 log | Av| φ

FILTRE PASSE BANDE

Théorème de Millman en A
Ve  jC .Vs 1 R VA  1 2  jC  R

Théorème de Millman en B, en tenant compte du fait que B est masse virtuelle ou
VA   Vs jRC 
Ve  jRC .Vs  2.Vs . 1  jRC  jRC 

Vs  jC .VA  0 R

En égalant les deux expressions de VA : soit H  
 jRC  2  (RC ) 2  2 jRC 

Gain :
H

Posons encore x = RC

 jx 2  ( x ) 2  2 jx

G

x (2  x 2 ) 2  4.x 2



x 4  x4

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

Gain maximal
dG 4  x4  qui s’annule pour x m  2 dx (4  x 4 ) 3 / 2 1  G( x m )  2

Calculons la dérivée du gain par rapport à x Et la valeur du gain maximal est G MAX Pulsations de coupure xC 1 XC telles que  4 4  x C 2. 2 

ou

x4 – 8.x2 + 4 = 0 dont les racines sont

2 x C  4  12 toutes deux positives d’où les deux pulsations de coupure (positives) 0,732 0,732 x C1  4  12  4  2 3 = 0,732 1  f1  RC 2RC 2,732 2,732 x C 2  4  12  4  2 3 =2,732 2  f2  RC 2RC Bande passante 2 1   f  RC RC A.N. R = 100 k C 2,2 nF 1 = 3327 rad/s f1 = 529 Hz  = 9090 rad/s 2 = 12418 rad/s f2 = 1976 Hz f = 1447 Hz Diagram me de bode

F (hz ) | Av | 20 log | Av| φ

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