TP DE TRAITEMENT DU SIGNAL CALCUL NUMERIQUE DE DENSITE

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					 TP DE TRAITEMENT DU SIGNAL : CALCUL NUMERIQUE DE
         DENSITE SPECTRALE D’ENERGIE (DSE)

Travail Préparatoire :

On considère la fonction  T (t ) = A si t  [0,T], 0 ailleurs.

1) L’autocorrélation R(τ) de  T (t ) est A²(T-|τ|) si |τ| < T, 0 sinon.

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2) Si on prend la fonction s(t) =   
                                    k 0
                                           T   (t  kTR ) , avec TR < T, puisqu’une fonction périodique

a une autocorrélation de même période, et qu’il n’y a pas de recouvrement, on aura
l’autocorrélation R(τ) périodique de période TR , mais le signal n’étant pas infini, il y aura
dégradation lorsqu’on s’éloigne de 0.

3) La transformée de Fourier S(ν)de  T (t ) est AT sinc(πνT) e  i T (une impulsion
rectangulaire avec une translation de T/2).

4) |S(ν)|² vaut donc A²T² sinc²(πνT), l’exponentielle ayant une norme de 1. Sa valeur en 0 est
A²T², et ses premiers zéros sont pour πνT = kπ → ν = k/T, k  Z*


Autocorrélation :

1) Première approche

Le signal carré de la fonction s s’étend sur les points de l’intervalle M. De ce fait, pour avoir
une durée T, la durée entre deux points doit être T/M (ici, 0.5).

L’autocorrélation prédéfinie de la fonction est de forme correcte, mais l’échelle n’est pas la
bonne(amplitude et abscisse).

2) Mise au point du programme

En comparant la formule de Matlab avec celle de l’autocorrélation discrète, on peut voir que
pour corriger l’amplitude, il faut multiplier la formule par dt. On retombe bien sur A²xT = 0.2
à τ = 0.

R, l’autocorrélation de s, a une taille de 39, au lieu des 20 de s. La véritable abscisse de R est
en fait de dt x (1-N) à dt*(N-1), pour un total de 2N-1 points.

3) Validation du programme

Théoriquement comme sur le programme, on vérifie les conséquences des changements
suivant :

Sur a : change l’amplitude de l’autocorrélation, telle que R(0) = a² x T
Sur T : change également l’amplitude, suivant la même formule. Change également l’étendu
du signal triangulaire qu’est l’autocorrélation, linéairement (de –T à T).
Sur L : ne change pas le résultat (ne fait que décaler le signal carré, et l’autocorrélation ne
change pas par translation).
Sur M : change l’étendue de l’autocorrélation (puisque c’est M et T qui détermine l’étendue
du signal carré), de façon inversement proportionnelle.
Sur N : ne change le résultat (si N>15, sinon le programme ne peut pas fonctionner), puisqu’il
ne rajoute que des zéros à la suite de la fonction.

4) Autocorrélation d’un signal pédiodique

Pour le recouvrement, on a N = TR - T, d’où 1/η = ( TR - T + T)/T = (N + T)/T = N/T + 1.

Le recouvrement des pics de l’autocorrélation commence lorsque N<20, soit 1/η < 20/T + 1,
ou encore η > 0.2 (si on garde T = 5).

Transformée de Fourier :

Pour corriger l’amplitude, il faut encore une fois multiplier par dt (la différence entre 1.7 et
1.8), pour retrouver 2.5 (T x a). Pour dν, on utilise le théorème de Shannon :
                                              1
                                                  2 max
                                             Te
Ici, la transformée de Fourier a 256(=N) points, dont seule la moitié est utilisable – le reste est
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un artefact de l’étendue finie de la fonction, d’où 2 max = N dν, soit dν ~      , Te =dt.
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Le vecteur pour stf est donc de 0 à  max , soit de 0 à dν N/2, avec des pas de dν.

En faisant varier a, on obtient bien le résultat théorique : l’amplitude de la transformée de
Fourier est proportionnelle à a. M fait varier  max linéairement, puisque celui-ci est défini par
  1              M
     , qui vaut       . Le théorème est simplement celui de Shannon, qui avait été utilisé pour
 NTe            NT
définir dν.

DSE :

1) Signal carré

Les deux méthodes semblent donner la même courbe.

2) Signal carré modulé

La densité spectrale d’énergie du signal modulé semble être la même que celle du signal non-
modulé, mais translaté de 1. Ce qui peut s’expliquer par le fait que sin(2π 0 t) x f(t) a pour
transformée de Fourier 0.5 x [δ(ν- 0 ) + δ(ν+ 0 )] * F(t) = 0.5 [F(t- 0 ) +F(t+ 0 )].

Si Ts =1.8*dt, on peut voir que le signal commence à se déformer.