Slepian Functions - the best thing since sliced bread

							Reconstruction of bandlimited data 
           on a sphere 
     using Slepian functions


Ciarán Beggan1, Frederik Simons2, Kathy Whaler3


1 British Geological Survey, Edinburgh, UK
2 Princeton University,  Princeton, USA

3 University of Edinburgh, UK
Background
• Spherical Harmonics:
  – Orthogonal basis functions on a sphere
  – Represent data on a sphere in a globally 
    continuous manner
  – Well understood; e.g. useful for spectral analysis
 Why Slepian functions?

• Spherical Harmonic functions can be limited by:
   – Data gaps
   – Very high degrees have small valued coefficients
   – Differing survey data sampling density


• Slepian functions:
   – Concentrate energy into a region of interest (minimise effects 
     of data gaps)
   – Allow a trade‐off between spatial and/or spectral fidelity
   – Locally and globally orthogonal
Relation to Spherical Harmonics (SH)
• For positions (θ,φ) on the unit 
                           ˆ
                           r
  sphere, we have data d(  ) with 
  structure to maximum degree L

• SH basis functions (Ylm):
   – globally orthogonal basis to 
     represent real functions on a 
     sphere
   – Requires (L+1)2 coefficients (flm)                 L
                                             d r    f lmYlm r 
                                                ^
                                                                 ˆ
                                                       lm
• Slepian basis functions (Gα):                        ( L 1) 2
   – locally and globally orthogonal
   – Optimal # of coefficients (sα) given 
                                                        s G rˆ 
                                                           1
     by the Shannon Number:
Slepian basis functions
• Example: Circular region
   – centred on θ = 20°; φ= 15°; 
   – radius = 15°; 
   – rotation (from north) = 10°; 


• Shannon Number: 
   – Ns = (L+1)2 ∙ f     where f is fractional area of sphere


• Basis functions optimally contained in region until Shannon 
  number (Ns = 23 for L=36)  

• Trade‐off between energy concentration in region and 
  leakage outwith
 Basis functions concentrated within region




                                              Concentrated
                                              on boundary




Basis functions concentrated outside region
Computing Slepian coefficients 
• Similar to deducing SH coefficients except: 
   – Do not need to estimate all (L+1)2 coefficients
   – Only solve for α coefficients using Singular Value 
     Decomposition (SVD) – a least squares inversion 
     with truncation
                     
                   g lm
• Calculate the        matrix and then solve for sα
   – i.e.
                   L
       G r    g lmYlm r 
                     
                                  d  YT  f  G T  s
                   lm

        s   g lm f lm
                 
                                        s  G T  d
              lm
Approximation of data using Slepian coefficients
       Reconstructing a sparsely sampled function
•    Example:
      – Randomly sample a function in space
      – Simple case 
          • a random combination of Slepian functions of degree L= 1‐36 

•    Reconstruct using just 91 coefficients (not 1368)
•    Examine RMS error between input and reconstruction




Sample function at discrete   Generate Slepian basis functions   Generate Slepian coefficients for   Reconstruct the input function in a
  points within a region          within circular region          the region using discrete data      least squares manner using the
                                                                                                        Slepian basis functions and
                                                                                                                coefficients
Reconstruction of a sparsely sampled Slepian function
Reconstruction of a sparsely sampled Slepian function
Reconstruction using Slepian functions with real data

• POMME Model – Z component of the field
   – L = 17‐72
   – ≈800 randomly sampled points in each region
   – 0.5° grid resolution


                    1




 Bangui Anomaly
    ± 300nT
Region 1
• Leakage of energy out of region
Region 1
• Leakage of energy out of region
Increasing truncation level




                           Shannon Number




 • Improves approximation within the region 
    – but induces severe leakage outside
Observations

 • Reconstruction using 91 coefficients (SN = 
   91) not perfect – plenty of remaining 
   structure in the error
 • Leakage of signal outside region is minimal
 • Increasing grid resolution does not improve 
   RMS error (e.g. 0.1° lat/lon)
 • However, increasing the truncation level 
   does improve the reconstruction – but with 
   leakage outside the region
Conclusions

 • Allows trade‐off of spatial and 
   spectral energy in a orthogonal 
   spherical basis
 • Compact coefficient representation 
 • Reconstruction using real data 
   appears to require N > Shannon 
   number (depends on Signal‐to‐Noise 
   ratio)
Future Work

• Estimation of specta in separate regions
   – Ocean/continent power spectra


• Exclusion/down‐weighting of noisy data
   – Use region selection to remove electro‐jet and/or auroral
     regions
Acknowledgements
• Thanks to NERC (GEOSPACE)

• References:
   – Dahlen, F.A. & F.J. Simons, Spectral estimation on a sphere in geophysics and 
     cosmology, Geophys. J. Int., 2008, 174 (3), 774–807
   – Simons, F.J. & F.A. Dahlen, A spatiospectral localization approach to 
     estimating potential fields on the surface of a sphere from noisy, incomplete 
     data taken at satellite altitudes, Proc. of SPIE, 2007, 6701 (670117)
   – Simons, F.J. & F.A. Dahlen, Spherical Slepian functions and the polar gap in 
     geodesy, Geophys. J. Int., 2006, 166
   – Simons, F.J., F.A. Dahlen & M.A. Wieczorek, Spatiospectral concentration on a 
     sphere, SIAM Review, 2006, 48 (3), 504–53