Documents
Resources
Learning Center
Upload
Plans & pricing Sign in
Sign Out

Persamaan Linier Tak Homogen

VIEWS: 3,599 PAGES: 5

									Persamaan Linier Tak-Homogen
Persamaan differensial linier orde pertama dan orde kedua masing-masing dapat dinyatakan dalam bentuk

du = k (t )u + f (t ) dt
dan

d 2u (t ) du + p(t )u = f (t ) +k dt 2 dt
Jika f(t) bernilai 0, atau jika fungsi u(t) = 0 merupakan penyelesaian dari persamaan di atas, maka persamaan tersebut adalah persamaan differensial homogen. Jika tidak demikian, maka persamaan differensial yang bersangkutan dinamakan persamaan differensial linier tak-homogen.

du + k (t )u = 0 dt
dan

d 2u du + k (t ) + p (t )u = 0 dt 2 dt
Bentuk umum dari sebuah persamaan homogen berorde satu adalah

du = k (t )u dt
Penyelesaian umum persamaan ini dapat dilakukan dengan mengelompokkan variable yang sejenis, kemudian mengintegralkan masing-masing kelompok.

du = k (t )dt u du = ∫ k (t )dt ∫ u ln u = ∫ k (t )dt + C u (t ) = e ∫
k ( t ) dt +C k ( t ) dt

= e∫

k ( t ) dt

eC

u (t ) = ce ∫

Bentuk penyelesaian umum dari persamaan differensial linier tak-homogen sangat ditentukan oleh bentuk fungsi f(t) pada persamaan di atas. Persamaan differensial linier tak-homogen dengan koefisien konstan a, b, dan c, yang berbentuk

d2y dy a 2 + b + cy = f ( x ) dx dx
dapat ditentukan sebagai jumlahan dari penyelesaian umum persamaan differensial linier homogen yang bersesuaian:

d2y dy a 2 + b + cy = 0 dx dx
dengan penyelesaian khusus dari persamaan differensial linier tak homogen. Jika penyelesaian khusus untuk persamaan differensial linier tak-homogen dinyatakan sebagai y1(x) dan penyelesaian umum persamaan differensial linier homogen (penyelesaian komplementer) dinyatakan sebagai y2(x), maka penyelesaian umum dari sebuah persamaan differensial linier tak homogen dapat dirumuskan sebagai berikut

y(x) = y1(x) + y2(x)

Contoh:

Carilah penyelesaian dari persamaan differensial tak-homogen berikut ini:

d2y + 4 y = e3x dx 2
Penyelesaian: Bentuk persamaan differensial tersebut di atas adalah persamaan differensial linier tak-homogen. Untuk mencari penyelesaian persaaman differensial linier tak-homogen tersebut, harus pula diketahui penyelesaian umum dari persamaan differensial linier homogen (persamaan komplementer) yang berbentuk:

d2y + 4y = 0 2 dx
Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah

y = ke mx dy = mke mx dx d2y = m 2 ke mx dx 2
Jika fungsi y(x) dan turunan-turunannya disubtitusi ke dalam persamaan differensial homogen, diperoleh

m 2 ke mx + 4ke mx = 0 ke mx (m 2 + 4 ) = 0 m2 + 4 = 0 m 2 = −4 m = ± −4 m = ±2i Jadi y1 ( x) = k1e 2 ix + k 2 e −2 ix atau y1 ( x ) = k1 cos(2 x ) + k 2 sin (2 x )
Persamaan differensial linier tak-homogen

d2y + 4 y = e3x dx 2
Memiliki penyelesaian

y = Ae 3 x dy = 3 Ae 3 x dx d2y = 9 Ae 3 x 2 dx
Setelah disubtitusi ke dalam persamaan di atas, didapatkan

9 Ae 3 x + 4 Ae 3 x = e 3 x 13 Ae 3 x = e 3 x 13 A = 1 1 A= 13
penyelesaian khusus untuk persamaannya adalah

y2 (x ) =

1 3x e 13

Dan penyelesaian umum yang dicari adalah

y ( x ) = y1 ( x ) + y 2 ( x ) y ( x ) = k1 cos(2 x ) + k 2 sin (2 x ) + 1 3x e 13


								
To top