TD11 Corrigé – Oscillateurs en Régime Libre by bdj93780

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									                                                                                                                                                                      TSI1 – TD11 : Oscillateurs en Régime Libre
             TD11 : Corrigé – Oscillateurs en Régime Libre                                                                                       ⎧ A = x0
                                                                                                                                                 ⎪
                                                                                                                                                 ⎨     σω0 A σ X0
                                                                                                                                                 ⎪B = ω =
                                                                                            z
Exercice 13 : Oscillateur harmonique amorti                                                                x                  On obtient alors : ⎩        P  1−σ 2
                                                                                       O
                                                                                                                                                                          ⎛                σ                ⎞
 1. Equation de l’oscillateur
                                                                                                L      g                                             x ( t ) = x0 e −σω0t ⎜ cos (ωP t ) +       sin (ωP t ) ⎟
  METHODE COMPLETE :                                                             l0                                                                                       ⎝               1−σ 2             ⎠
                                                                                            θ
   Référentiel ℜ G ( 0; e x , e y , e z , t ) supposé galiléen                                                   3. Si T est la période des oscillations, on indique que x ( ( n + 1) T ) = 0.9 × x ( nT ) .
                                                                                                    M(m)
     Système étudié : Point M de masse m                                                                                                            2π           2π
     Bilan des forces :     Poids P = −mg ⋅ ez                                              x
                                                                                                                      Valeur de T :           T=          =
                                                                                                                                                    ωP        ω0 1 − σ 2
                                Tension du fil T f = −T ⋅ er
                                                                                                                      Sans calcul, on évalue Q : x ( ( n + 1) T ) = 0.9 ≈ e− Q , donc Q ≈         −π
                                                                                                                                                                            π
                                Tension du ressort T r = −k ( l − l0 ) ex                                                                                                                                 ≈ 29.8
                                                                                                                                                      x ( nT )                                 ln ( 0.9 )
                                Frottement f = −α v = −α x ⋅ ex
     PFD :             P + T f + T r + f = ma ( M / ℜ )                                                               Calcul précis :            Puisque x ( ( n + 1) T ) = 0.9 × x ( nT ) = e−σω0T x ( nT ) ,

                 ⎡0 ⎤ ⎡ −T sin θ ⎤ ⎡ −k ( l − l0 ) ⎤ ⎡ −α x ⎤                                                                                    alors −σω0T = ln ( 0.9 ) et σ = − ln ( 0.9 ) = − ln ( 0.9 ) 1 − σ
                                                                                                                                                                                                                   2
                                                                  ⎡ x⎤      ⎡ x⎤
                 ⎢ −mg ⎥ + ⎢T cos θ ⎥ + ⎢          ⎥+⎢      ⎥ = m ⎢ z ⎥ = m ⎢0 ⎥                                                                                                           ω0T                   2π
                 ⎣     ⎦ ⎣          ⎦ ⎣0           ⎦ ⎣0 ⎦         ⎣ ⎦       ⎣ ⎦
                                                                                                                                                                                           ⎛ ln ( 0.9 ) ⎞
                                                                                                                                                                                                            2
  Mais on voit, vu la position de O que x = l – l0, ce qui simplifie les expressions
                                                                    ⎧mx + α x + kx + mg tan θ = 0                                                                                          ⎜            ⎟
                                                                                                                                            ⎛ ln ( 0.9 ) ⎞
                                                                                                                                                          2
  On obtient 2 équations : ⎧ mx + α x + T sin θ + kx = 0                                                                                                                                   ⎝ 2π ⎠
                                                                                                                          D’où :
                                                                                                                                                         ⎟ (1 − σ )
                                                                    ⎪                                                                   σ2 =⎜                    2
                                                                                                                                                                           ⇒σ =                                 = 0.0168
                           ⎨                                       ⇔⎨     mg
                           ⎩−mg + T cos θ = 0                       ⎪T = cos θ                                                              ⎝ 2π ⎠                                    ⎛ ⎛ ln ( 0.9 ) ⎞2 ⎞
                                                                    ⎩                                                                                                                 ⎜1 + ⎜            ⎟
                                                                                                                                                                                      ⎜ ⎝ 2π ⎟ ⎟     ⎠ ⎠
                                                                       α      ⎛k g⎞                                                                                                   ⎝
  Et en voyant que tan θ = x , on obtient l’équation :              x+ x+⎜ + ⎟x = 0
                                l                                       m     ⎝m l ⎠                                      La valeur est quasiment la même. L’approximation                 1 − σ 2 ≈ 1 est une très bonne
                                    k g                                                                                   approximation. Cela donne      Q = 29.8 . L’oscillateur est très peu amorti.
  Pulsation propre :     ω0 =        +
                                    m l
  Coefficient d’amortissement : 2σω = α               ⇒σ =
                                                                  α         et Q = 1 = mω0
                                   0
                                              m                  2mω0                 2σ        α               Exercice 14 : modèle simplifié d’une suspension automobile

 2. Expression de x(t) avec les CI : ⎧ x ( 0 ) = x0 . On résoud dans le cas où les oscillations sont
                                     ⎪
                                     ⎨                                                                             On étudie un modèle de suspension constituée de :                                 Véhicule
                                     ⎪ x ( 0) = 0
                                     ⎩                                                                                   Ressort : k = 1,8.104N/m / L0.
                         ⎧ω = ω 1 − σ 2                                                                                  Amortisseur : h = 1660Ns/m
                         ⎪ P         0
                                                                                                                                                                                       L
    pseudo-périodiques : ⎪ x ( t ) = e − σ ω 0 t ( A c o s ( ω P t ) + B s in ( ω P t ) )                          Masse véhicule : M = 375kg.
                         ⎨                                                                                                                                                                                             z(t)
                         ⎪             C I1          x (0 ) = x0 = A                                               Référentiel lié au sol supposé galiléen.
                         ⎪                                                                                         Le pneu est supposé complètement rigide
                         ⎪
                         ⎩             CI 2          x (0 ) = 0 = −σ ω 0 A + ω P B
                                                                                                                                                                                       R                    C              O

                                                                                                       HECKEL - 1/2
                                                                                                                                                              TSI1 – TD11 : Oscillateurs en Régime Libre
Correction rapide – non détaillée :
                                                                                                                  z(cm)
Partie A : Etude statique
                                                                                                                                       Pseudo périodique                z(cm)            Critique
A l’équilibre, la réaction du ressort compense le poids, l’amortissement fluide est nul :
                                                                                                                      20                                                  20
                                Mg                                            Mg
−k ( l − L0 ) = Mg , leq = L0 −            et ainsi   z0 = R + leq = R + L0 −
                                 k                                             k
                                                                                                                      15                                     t(s)         15                                 t(s)
Partie B : Etude dynamique                                                                                                        1                                                 1
Dans la suite du problème, z0 sera pris égal à 20cm. Le véhicule est à l’arrêt. Lors d’un essai          4.   Fréquence du mouvement de la question précédente : T = 2π =                       2π
                                                                                                                                                                                                          ≈ 0.96s .
dynamique à vide, le châssis est abaissé d’une hauteur H = 5cm, puis brusquement libéré sans                                                                                            ωP   ω0 1 − σ 2
vitesse initiale. La voiture est animée d’un mouvement de translation vertical.
                                                                                                              On est très poche de la seconde, le corps humain va très bien supporter ces
1.   PFD dans R galiléen projet sur z :     −k ( l − L0 ) − Mg − hz = Mz                                      oscillations.
                                                                                                         5.   On a besoin de ressort pour absorber les chocs de la route, sinon le dos des passagers et
                                                              h  k    k
     On injecte la relation de l’étude statique :           z+ z+ z =   z0                                    la carrosserie souffrirait (essayer de voyager dans une voiture sans suspension…).
                                                              M  M    M                                       L’amortisseur est là pour empêcher les ressorts d’osciller indéfiniment, et les ramener
                                                                                                              assez rapidement en position d’équilibre pour le confort des passagers.
2.   La pesanteur n’intervient pas, car son influence est cachée dans la position d’équilibre z0.
     En effet, elle n’influe pas sur le comportement de l’oscillateur, mais seulement sur
                                                                                                         Certains systèmes de suspension sont conçus de telle sorte que la valeur du coefficient
     l’endroit où il doit s’arrêter (son équilibre)
                                                                                                         d’amortissement vérifier la relation h0 =           kM .
3.   Caractéristique du mouvement :
                                                                                                         6.   ON VOULAIT PLUTOT DIRE DANS L’ENONCE : h0 =                          4kM
         Pulsation propre ω =       k
                           0            = 6.93rad .s −1 , c’est la pulsation à laquelle oscillerait la
                                   M                                                                                          h0      kM           M
                                                                                                              Alors σ =            =                 =1             Mouvement apériodique critique, qui a
             suspension si elle n’était pas amortie. (fréquence correspondante 1.1Hz )
                                                                                                                             2M ω0   2M            k
          Coefficient d’amortissement : 2σω = h                      h
                                                                  ⇒σ =   = 0.32 , caractérise
                                                                                                              l’avantage de ne pas osciller du tout, mais de revenir le plus rapidement à la position
                                           0
                                                  M               2M ω0                                                                  ⎧ z ( t ) = z0 + ( At + B ) ⋅ e−σω0t
             l’influence des frottements sur le système. Ici, σ < 1 , donc le mouvement est                                              ⎪                                                    ⎧B = −H
                                                                                                              d’équilibre. Solution z(t)
                                                                                                                                         ⎨            CI1_ z ( 0) = z0 − H = z0 + B          ⇒⎨
             pseudo-périodique                                                                                                           ⎪                                                    ⎩A = −σω0 H
                                                                                                                                         ⎩            CI 2 _ z ( 0) = 0 = A + Br
                      ⎧ω = ω 1 − σ 2
                      ⎪ P         0
                                                                                                                           z ( t ) = z0 − H (1 + σω0t ) ⋅ e−σω0t
        Solution z(t) ⎪ z ( t ) = z 0 + e − σ ω 0 t ( A co s ( ω P t ) + B sin ( ω P t ) )
                                                                                                              Ainsi                                                    (allure générale ci-dessus).
                      ⎨
                      ⎪             C I1         z (0 ) = z 0 − H = z 0 + A
                      ⎪                                                                                  Partie C : Analogie électromécanique
                      ⎪
                      ⎩             CI 2         z (0 ) = 0 = −σ ω 0 A + ω P B
                                                                                                         Voir cours :      Suspension simple + position d’éq z0           RLC série + consigne U0
                                            ⎛                 σ                 ⎞
                z ( t ) = z 0 − He − σω 0 t ⎜ cos (ω P t ) +       sin (ω P t ) ⎟
                                                                                                                           Suspension +roue élastique                     rajout d’un C2 en parallèle sur R+C

                                            ⎝                1−σ 2              ⎠
                                                                                              HECKEL - 2/2

								
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