Chuong 1 KHAI NIEM CO BAN by smapdi60

VIEWS: 416 PAGES: 9

									                                             6




Chuong 1

        ,          ~                  ?

        .
KHAI NIEM CO BAN


1.1   Do tQPkha vi

Djnh nghja 1.1.1.

       Cho M la khong gian to-po Hausdorff. Neu t~i m6i di~m x E M ton t~i Ian
                    :             la                                  t
c~n U c M cua x va <P U -+ V C JRm dong phoi tu U len t~p mo V cua JRm, hi
                         m-ehie'u.
M duQ'cg9i la mQt da tc;zp

       Khi do, m6i c~p (U, <p)duQ'cg9i Ia mQt ban do (d~a phuong) tren M.

                       i
       T~p A = {(Ui,<Pi), E I} cac bim do cua M duQ'cg9i Ia mQtAtlas khd vi lOp
Ok (k 2: 1) neu:

                 (1) {UihEUIa mQtphil mo cua M.

                                                  v          c                  0
                 (2) Cho hai ban do bat ki (Ui,<Pi) a (Uj,<Pi) ua M ma Uin Uj =I- ,
           <Pi
thi anh X<;1 0 <pj-ll<pj(UinUj) : <Pj(Ui n Uj) -+ <Pi(Uin Uj) la kha vi lOp Ok.

       Hai Atlas kha vi lOp Ok: Al     = {(Ui,<Pi),iE I} va Az = {(Uj,<pj),j E J} tren
M duQ'cg9i la tuang thieh neu Al U Az la mQt Atlas kha vi lOp Ok tren M. Day la
mQt quail h~ tuong duong, m6i lOp tuong duong do duQ'cg9i la mQt edu true khd vi
lOp Ok tren M.

              m
       Da t<;1P chieu, M, cling v6i mQt Cali truc kha vi lOp Ok tren M duQ'Cg9i la
mQt da tc;zpkhd vi lOp Ok. Khi do, m6i ban do (Ui, <Pi) trong Atlas duQ'cg9i Ia mQt
                                                           tran.
ban do kha vi tren M. Neu k = 00, M duQ'cg9i la mQt da tc;zp
                                                        7

Chu    y 1.1.1.
        Trang d!nh nghia lIen, neu thay JRmbbi JRmva cac anh x~ <Pi <Pj
                                                                  0 -1                    I     (
                                                                                              CPjU;nUj)   Ia
                    n                                                      gQi
giai tich lIen <Pj(Ui Uj), thl M cling vm "diu truc gidi tich" lIen M duQ'C la rnQt
       gidi tEch m chilLi.
da tc;zp

        Da t~p giai tich m chi~u, M, duQ'cxern la rnQt da t~p trOll 2m-chi~u th1!c vm
cling Atlas.

D!nh ly 1.1.1.

        Cho M c       JRn.   Cac phat bilu saLt za tlt(Jng dlt(Jng:

                        khd vi lOp Ok trong M c JRn,co so' chilLi d.
        (1) M la da tc;zp

               mbi              ldn
        (2) TC;Zi x E M, ton tC;Zi c~n U c JRncua x va (n - d) ham: {Ii: U                                --+

JRh=I,..,(n-d),   l6p Ok saD cho:

                  {gradh (x'), .., gradln-d(X')} dllCl(tp tuye'n tinh, 'Vx' E U, va:
                               n-l

                  M n U=        n
                                i=1
                                      li-l   (0) = {x E U Ii (x) = 0,i = 1,.., (n - d)}
                                                            I




         (3) TC;Zi bi x
                 m           = ((1,..(n) E M, ton tc;zilan c~n U c JRncua x, mt}t lan c~n
V C JRdcua a = ((1,..(d) va (n - d) ham hi : V --+JR,(i = 1,.., (n - d)), lOpOk saD
cho: M     n V la do thi cua anh xc;z = (hI, .., hn-d) : V
                                    h                                --+ JRn-d.

                mbi
         (4) TC;Zi x E M, ton t{lilan c~n U c JRncua x, mt}t lan c~n n c JRdcua 0
               khd vi 9 : n
va mt}t anh xc;z                      --+ JRn   saD cho:

   .   g(O) = x

   . 9 la mt}t dong phoi        lOp Ok tit n VaGM n U.

   .   dgo : JRd --+ JRn la dan anh.


ChUng minh. Xern ([2], p.56).

D!nh nghia 1.1.2.

         Cho M la da t~p kha vi trong JRn.Vec-tO'v E JRnduQ'cgQi la tilp xuc vm M t~i
Xo E M     neu ton t~i duang conga(t) lap 01 lIen M qua xo,a : 1--+M, I c JRchua 0,
sao cho:
                                             a(O) = Xo va d(O) = v
                                           8

      T~p tat ea cae vee-ta trong JRn    tier xue v6i M      t~i Xo I~p thanh kh6ng gian
                            M,                                  X
vec-ta trong JRn,kf hi~u Txo gQila kh6ng gian tilp xuc WYiM tc;zi o.                    0

      Cho M la da t~p kha vi lap Ck trong JRn,codimM = p. Neu t~i Xo EM, ton t~i
Ian e~n U E JRneua Xo va p ham {Ii: U -+ JRh=I,..,plap Ck sao cho:

             {gradh (xo), .., gradlp(xo)} d<)eI~p tuyen tfnh, va:
                         p
             M     n U = n li-I(O)
                        i=1
                                       X
      Thi kh6ng gian tilp xuc WYiM tc;zi o la:


            TxoM = {v = (VI,..,vn) E JRnl   t
                                            j=1
                                                  ;~i. (xo).Vj
                                                    J
                                                                 = O,i = 1,..,p}
Djnh nghia 1.1.3.

                   h
      Cho M va N 13. ai da t~p trail trong JRn,va di~m x E M n N. Ta n6i, M hoanh
          x
vai N tc;zi neu:

                    codim(TxM   n TxN) = codimTxM + codimTxN

                                                       m
      Neu M va N hoanh nhau t~i x E M n N, thi M n N 13. <)tda t~p trail, va:

                        codim(M n N) = codimM + codimN

Djnh nghia 1.1.4.

      Cho M va N la hai da t~p kha vi, va anh x~ kha vi I : M -+ N. T~i m6i x EM,
                               xae
anh x~ Txl : TxM -+ Tf(x)N duQ'C dinh bm:

                         Cho v E TxM, 3p : I -+ M

                                               t H p(t) saD cho:

                         v = p'(to), p(to) = x


      Khi d6, Txl(v) = Txl(p'(to)) = (J 0 p)'(to).
Djnh nghia 1.1.5.

      Cho M 13.da t~p kha vi trong JRnva anh x~ kha vi            I   : M -+ R Di~m Xo E M
duQ'cgQi 13.diem t6i h(;mcua I neu:

                              Txol : TxoM -+ JR

                                         v H Txol(v) = 0
                                                      9

         Khi do, f(xo) E JRduqc gQi la giG trf t6i h(;m cua f.

         Nguqc l~i, Xo va f(xo) HinluQt la diim chinh qui va giGtrf chinh qui cua f.
Ta cling co dinh nghia tuang duang sau:

                                             va
         Cho M la da t~pkha vi m chi~utrongJRn f : M ---+JRkha vi. T~imoi di~m
                                                       cua
x E M, ton t~i Ian c~n U c JRcua x, m(>tIan c~n D c JRm 0 va anh x~ 9 : D ---+ JRn
saG cho: g(O)     =   x   va 9 la dong phoi giii'a D va Un M.
                                                                                                ~



                                          cua
      Di~m Xo E M duqc gQila diim t6'ih{;m f lieU0 la di~m kl di cua f = fog,
nghla la:                              ~                    ~




                                     ~(O)
                                     OXI
                                                      of
                                              = .. = OXm (0) = 0
Dinh nghja 1.1.6.

         Cho M va N la hai da t~p kha vi lOpCk. anh x~ p : M                    ---+ N   lOp Ck duqc gQi
la m(>t phil cua N lieU:

                   (1) p la toan anh.

                   (2) T~i moi di~m YEN, ton t~i Ian c~n U E N cua y saGcho:

                                            p-I(U)    =U~
                                                          iEI



         vai   ~ la t~pma trong M ma ply; : ~             ---+ U la   m(>tvi phoi, mQi i E I.

         Ll!c luqng cua t~p p-I( {y}), YEN, lieUhii'uh~n, la m(>thang dia phuang va p
duqc gQila m(>tphil hitu hc;m.

         Neu ton t~i di~m yEN ma t~p di~m p-I ({y }), yEN                      co nhfing di~m ma b(>i
                                                                    p
100han 1, thl p duqc gQila m(>tphil re nhanh. Nguqc l~i, gQip la m(>t hil kh6ng re
nhanh.

M~nh de 1.1.1.

         Cho melt phil hitu hc;mp : M       ---+ N,   va diem YEN. M9i dUO'ngcong ,\ C N,'\
xac dfnh tren [0,1] ma '\(0) = '\(1) = y, co thi du(Yc nang thanh melt duO'ng di ,\* c M
thoa,'

                          po,\* = ,\ saDcho: '\*(0) =XI E p-I( {y}) c M

                                            va '\*(1) =Xi E p-I({y})         eM
                                                   10

Chung minh. Xem ([5], p.56).



1.2 TQp dQi so

D!nh nghja 1.2.1.

         Cho K Ia m9t truOng,d~t A = K[XI' ..., xn] Ia vanh da thuc theo n bien tren K.
M9t t~p X c Kn duQ'cg9i Ia t(lp d(li so'neu t6n t~i m9t t~p con T ~ A SaGcho:

                           x = Z(T) = {P E        Knlf(P)   = 0,Vf E A}

       Khi T chi co m9t phan tir khac khong, T = {I}, thi X = Z(T) = Z(J) duQ'c
g9i Ia m9t sieu m(lt d(li so:

         M9t t~p d~i so khac trong X c Kn duQ'cg9i Ia khd qui neu t6n t~i cac t~p d~i
so khac trong Xl ~ X va X2 ~ X saG cho: X = Xl U X2. NguQ'c I~i, X duQ'c g9i Ia
t(lp d(li so'bat khd qui. T~p r6ng khong Ia t~p bat kha qui.

D!nh nghja 1.2.2.

         Cho t~p d~i so X c Kn, duQ'cxac dinh b6i hi'i'uh~n da thuc: iI, .., Jr' D~t,
p   = maxrank(~(x))
      xEX        XJ

         Di~m XO E    X duQ'cg9i Ia diemchinh qui cua X neu:
                                                 oj-
                                       rank    (OX2.(XO)) = P
                                                   J


         NguQ'c I~i, g9i   XO   Ia diem kl di cua X.

         D~t ~(X) Ia t~p cac di~m ki di cua X, thi t~p cac di~m chinh qui cua X, M =
X   -   ~(X), I~p thanh m9t da t~p tran doi chi~u p trong Kn.

      Di~m XO E X duQ'cg9i Ia dilm kl di co l(lp cua X neu t6n t~i Ian c~n U c Kn
cua XO saG cho:

                           rank(*(XO)) < p
                       { rank(*(x))           = p, Vx E X n U va x   =I XO


D!nhly 1.2.1.     (Whitney)
                                              11

       Cha hai t(LpdqzisO-V va W, v6'i W c V. Khi do, t(LpV - W chi co m(Jt so' hitu
hqznthanh lien thong.
Chung minh. Xem ([4], p.ll).



1.3 TQpgiai tich

D!nh nghia 1.3.1.

       T~p con X cua t~p ma U c en duqc g9i la t(Lpgidi rich trang U neu t'ilidi~m
bat kl P E U, ton t'iliIan c~n V c U cua P va t~p hiiu h'ilnT = {iI,.., Ir}, cae ham Ii
giiii tich tren V sao cho:

                           X n V = {z E VIiI (z) = .. = Ir(z) = O}

       Diftcbi~t, t~p T chi co mQtphan tv khac khong, thl X duqc g9i la sieu m(it gidi
rich trang U.

      T~p giiii tich X trong U c en la khd qui neu ton t'ilicae t~p con giiii tich trong
U khac r6ng: Xl    ~   X   va X2 ~   X sao cho: X   =   Xl U X2. Nguqc l'ili, X duQ'c g9i la
t(Lpgidi tich bat khd qui.

D!nh nghia 1.3.2.

      Cho t~p giiii tich X trong U c en, di~m x E X la chinh qui cua X neu ton t'ili
Ian c~n V c U cua x sao cho: X       n V la mQt da t~p giiii tich. Nguqc l'ili,x la diem ki
dj cua X.                                                                                  D

      Cho sieu mifttgiiii tich X trong U c en, xac dinh bOiham            I giai tich tren U.
B(Jicua I tqzix EX, multx (J), la bQi cua nghi~m x cua thanh phan khac khong co
b~c nho nhat trong khai tri~n Taylor cua I t'ilix. De thay rang, di~m x E X la chinh
qui cua X neu multx(J) = 1. Nguqc l'ili,multx(J) > 1, x la di~m kl di cua X.
                                                                  r""---
                                                                             ,TlJ NHIEN
                                                                  ~1:.1H. J.<H

                              diem
1.4 Mom cuo tQP giai tich tc;1i

D!nh nghia 1.4.1.                                                 t T~6i~'~ci
      Cho I   va g la hai   ham giiii tich trong Ian c~n di~m xOE en. Ta noi I r'.jg neu
                                             12

ton t~i Ian e~n U c en eua   XO   saDeho:

                                          flu = glu

      LOp tuang duang eua ham        1 t~i XO E en duQ'egQi Ia mQt mdm ham gidi rich
t(li XOxac dtnh b6i   I.
      T~p tat clt cae mam eua cae ham gilti tich XO E en I~p thanh mQt vanh, Oen,xO
                                                                                  ,
gQi Ia vanh CClemdm cua CCleham gidi rich t(li xo.

Djnh nghia 1.4.2.

      Cho hai t~p giai tich X va Y trong Ian c~n di~m xOE en. Ta noi X        rv   Y neu
ton t~i Ian c~n U c en cua XOsaDcho:

                                     xnu=Ynu

      LOptuang duang cua t~p gilti tich X t~i di~m XO duQ'cgQila mdm cua t(lp gidi
            xac
tich t(li XO dtnh bm X.

      D~c bi~t, X la sieu m~t gilti tich trong Ian c~n di~m XO E en, lOp tuang duang
cua X t~i XOcon duQ'e gQi la mdm cua sieu m(lt gidi rich X t(li xo.

      Mam cua t~p gilti tich X t~i XO E en, ki hi~u (X, xO), la khlt qui neu ton t~i hai
mam cua t~p giai tich khac r6ng (Xl,XO) va (X2,XO)saD cho: Xl ~ X, X2 ~ X va
X = Xl UX2. NguQ'C ta noi (X, XO)a mam cua t~p gilti tich t~i xO la bat khltqui.
                 l~i,           l

Djnh nghia 1.4.3.

      Cac mam cua t~p gilti tich t~i XO E en, (X, XO)va (Y,XO),duQ'cgQi la cung kiiu
to-po neu ton t~i Ian e~n U c en eua XOva dong phoi h : U -+ U saD cho:

                                    h(U n X) = Y n U

Djnh nghia 1.4.4.

      Ideal cua mam t~p gilti tich X t~i XOE en, ki hi~u Ixo(X), la:

        Ixo(X) b. {I E Oen,xolX n U = 1-1(0), U c en Iii m(JtIan c(m cua XO}

      Khi do, mam cac ham gilti tich tren X t~i XO duQ'cdtnh nghla nhu vanh thuang:
                                     b.
                                  Ox,xo   = Oen,xo/lxo(X)
                                                       13

D!nh Iy 1.4.1.

        Cho X fa t(tp gidi tich trong U c en, xac dfnh bat cac ham gidi tich iI, ..,IT
tren   U. D(lt p   = rnaxrank(~(x)).
                     xEX         XJ           Cho xO EX, cac phat biiu sau fa t!tO'ngd!tO'ng:

                   (1) (X, XO) chinh qui.

                   (2) (X, XO) ~ (en-p,o)         c (en, 0), tuc fa ton tc;ziV c en va ddng cau
gidi tich q;: en    --t   en, q;(0)= 0, saD cho: q;(U n X) =          en-p   n q;(U).
                   (3) Ox,xo ~ e{Zl,",        zn-p}.

                   (4) rank(~(x))
                                J          = p,Vx EVe            en, V fa m()t fan c(tn cua XO trong
en.

ChUng minh. Xem ([3], p.364).




1.5 Non tiep xuc cue mom cue sieu mQt

D!nh nghia     1.5.1.

        Cho X Ia mall cua sieu m(lt giiH tich t(;li XO E en. Non tie'pxuc cua mall
(X, xO), ki hi~u Cxo(X),        duqc dinh nghia Ia:

                               Cxo(X) = {l c enll = x'-+xo Xi, xi E X}
                                                     lirn


        Trang do,     Xi --t   XO, Xi   Ia duang thing qua XOva Xi, gioi h(;lnlirn Xi duqc hi~u
nhu Ia gioi h(;lncua day di~m trang eJP'n-l.

D!nh nghia 1.5.2.

        Kh6ng mat tinh t6ng quat, gift su, di~m             XO     0 E en. Cho X Ia mall sieu m(lt
Z(f) t(;li0, vOi I Ia ham giai tich trong Ian c~mcua 0, duqc viet a d(;lng:
                                                       00


                                               I =L       Ik
                                                       k=m

        Trang do, Ik Ia da thuc thuan nhat b~c k.

        Non tie'p xuc dqziso' cua X t(;li0 Ia t~p:

                                   C(X,O) = {x E enllm(x) = O}
                                       14

Dinh ly   1.5.1.
                                Cxo(X) = C(X, XO).

Chitng minh. Xem ([5], p.34).

								
To top