La geometria delle trasformazioni classificazione di triangoli e by mercy2beans118

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									    La Geometria delle trasformazioni: classificazione di triangoli e
                             quadrilateri.

COLLOCAZIONE: Biennio di una scuola superiore.

PREREQUISITI: - Concetto di figura geometrica;
                    - Conoscenza del piano cartesiano;
                    - Conoscenza di elementi di geometria euclidea (scuola media).

OBIETTIVI GENERALI: - Costruire e potenziare il concetto di definizione in
                               matematica;
                             - Potenziamento delle immagini mentali;
                             - Stimolare la creatività e la capacità di immaginazione e
                                previsione;
                             - Favorire il dialogo e il confronto di opinioni.

OBIETTIVI SPECIFICI: - Imparare a gestire le figure geometriche nel piano e le
                               loro proprietà;
                             - Rafforzare il concetto di similitudine tra figure
                               geometriche;
                             - Generare e gestire l’idea di movimento nel piano;
                             - Imparare a valutare una situazione problematica da più
                               punti di vista e cercare di analizzare una questione in
                               relazione al contesto in cui la si considera;
                             - Coinvolgere i ragazzi attivamente in un lavoro di
                               classificazione che metta in evidenza la differenza con
                               l’idea standard di imporre le classificazioni matematiche
                               in modo autoritario.

METODOLOGIA: - Indagini conoscitive iniziali e finali attraverso questionari;
                    - Lezioni interattive a partire dalla proposta di problemi;
                    - Eventuale utilizzo di un software (Cabrì II plus) per la
                      costruzione delle figure;
                    - Verifiche in itinere.

L’utilizzo del questionario all’inizio dell’attività ha lo scopo principale di conoscere lo
“stato di partenza” dei ragazzi; è importante prendere consapevolezza delle
conoscenze effettive dei ragazzi e il questionario è un buon metodo per farli lavorare
con agio e tranquillità, condizioni in cui si esprimono bene i pensieri. Inoltre offre la
possibilità di dare inizio all’attività a partire da una discussione in classe sull’analisi dei
questionari stessi, volta soprattutto alla condivisione dei saperi naturali e questo
favorisce la loro consapevolezza sulle conoscenze.


                                                                                             1
Le lezioni sono pensate in modo interattivo, con la finalità principale di ricostruire
l’idea della definizione e il suo significato in matematica a partire proprio da quelle
definizioni che hanno imparato alla scuola media.

Una definizione ha lo scopo di introdurre in modo chiaro e completo una nozione, che
può essere un oggetto o una proprietà, alla quale viene attribuito un nome e spesso un
simbolo. Ci sono delle definizioni che una volta acquisite restano nel bagaglio di
conoscenze dei matematici. Spesso però nei libri di testo vengono introdotti oggetti e
simboli come convenzioni temporanee, da considerarsi valide solo in quel libro o in una
precisa parte di esso. Molto diverso è il “concetto primitivo”, che è una nozione che
non viene definita, in quanto non esistono oggetti a partire dai quali definirlo.
Ad esempio, punti e rette sono concetti primitivi della geometria euclidea (come è
noto, essi sono legati ai 5 postulati di Euclide), così come l’ ”insieme” è un concetto
primitivo della teoria degli insiemi.
Questo fatto negli studenti non è mai ben evidente; infatti non si riflette mai sul
significato delle definizioni, né sul significato “del definire” in matematica.

Gli esempi e il lavoro diretto sulle figure geometriche porta ad acquisire il senso del
movimento di un oggetto sul piano e di scoprire che cosa cambia e che cosa resta
invariato, quali relazioni possono unire più oggetti diversi, come si possono sistemare
gli oggetti in base al contesto che si sceglie, alle definizioni che si assumono.
La ripresa dell’attività iniziale alla fine del lavoro mira al consolidamento
dell’apprendimento e a rivisitare alcune delle trasformazioni geometriche, le isometrie
e le similitudini, in vista anche di un eventuale studio futuro, negli anni successivi.
Gli esempi proposti di situazioni nuove servono ad ampliare la visione della matematica
da parte dei ragazzi e aiutano la mente a ragionare, a porsi domande; avvicinano alla
realtà, stimolando l’attività, la creatività e l’interesse dei ragazzi che si trovano
coinvolti in prima persona.

SVILUPPO DEI CONTENUTI.

    Richiami di geometria euclidea.

In questa parte si dovrebbero richiamare alla mente dei ragazzi le conoscenze che
hanno appreso alla scuola media, perciò si dovrebbero prendere le definizioni che loro
hanno visto e imparato per rivederle e formalizzarle in modo più chiaro, dopo avere
consolidato i concetti almeno dal punto di vista intuitivo.

                 I CONCETTI DI UGUAGLIANZA E SIMILITUDINE
La congruenza.

Definizione. Due figure si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte in
modo che coincidano punto a punto.


                                                                                     2
Consideriamo i poligoni più semplici, quelli con tre lati, i triangoli.
Indipendentemente dalla posizione occupata nel piano da due triangoli dati, possiamo
sempre pensare di prenderne uno e tentare di sovrapporlo perfettamente all’altro. Se
i due triangoli si sovrappongono, essi sono congruenti. Per sovrapporre i due triangoli
abbiamo bisogno di strumenti opportuni, che non alterino le loro proprietà, che sono
alcune trasformazioni geometriche, ovvero le isometrie e le similitudini.

Osservazione. In questa parte del lavoro l’attenzione è rivolta a richiamare le
conoscenze dei ragazzi, quindi si lascia in sospeso, senza trattare il “come” si possono
operare delle sovrapposizioni. E’ infatti preferibile riprendere quelle trasformazioni
che già dovrebbero essere note dalle scuole precedenti e rivederle bene, con molti
esempi se necessario, cercando di consolidare, almeno a livello intuitivo, il significato
di una trasformazione geometrica.

Cerchiamo di capire se esiste qualche criterio che ci garantisca, senza davvero dovere
effettuare l’operazione di sovrapposizione, che i triangoli dati sono di fatto
sovrapponibili e quindi congruenti. I criteri che abbiamo a disposizione dovrebbero
essere a tutti noti:

   1. Se due triangoli hanno uguali due lati e anche l’angolo compreso tra questi lati,
      allora i due triangoli sono congruenti.
                                    C
                                                          G




                             A               B       E            F

                                              ˆ      ˆ
Se ad esempio risulta: AB  EF ; B C  FG e ABC  EFG allora i due triangoli possono
essere sovrapposti perfettamente e quindi, per definizione, sono congruenti.

   2. Se due triangoli hanno uguali due angoli e un lato qualunque, allora i due triangoli
      sono congruenti.

                                  C
                                                          G




                         A               B       E            F

                        ˆ     ˆ     ˆ     ˆ
Se ad esempio risulta: CAB  GEF , ABC  EFG e infine AB  EF , allora i due triangoli
sono congruenti.

                                                                                        3
Osservazione. Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°,
avere supposto che due angoli sono uguali porta a concludere che anche il terzo angolo
deve essere uguale.
Possiamo perciò enunciare il criterio così:

“Se due triangoli hanno uguali due angoli e il lato tra essi compreso, allora i due
triangoli sono congruenti”.

   3. Se due triangoli hanno i tre lati uguali, allora i due triangoli sono congruenti.

                            C                                   G




                   A                B                E                   F


Se AB  EF , AC  EG e B C  FG , allora i triangoli sono congruenti.

La similitudine.

Possiamo iniziare con un esperimento.
Disegniamo su una lastra di vetro trasparente, appoggiata orizzontalmente ad un
tavolo, un triangolo qualunque, poi prendiamo una lampada e poniamola al di sopra del
tavolo dopo aver posto sotto di esso un foglio bianco. Cosa si vede? Sul foglio c’è
proiettata l’ombra del triangolo a rappresentare un altro triangolo, che nella forma
assomiglia a quello originale disegnato sul vetro ma che non è lo stesso. Possiamo
osservare che c’è una relazione matematica tra i due triangoli, ovvero hanno i lati in
proporzione.

Definizione. Due triangoli si dicono simili quando i loro lati sono in proporzione e gli
angoli sono uguali a due a due. La proporzione tra i lati fornisce una costante che si
chiama rapporto di similitudine e solitamente si indica con la lettera k.

Osserviamo i seguenti triangoli:




                                                                                          4
                                                F
                                                A
                            C




                    A               B


                                  D                       E
                                  A
Essi sono evidentemente non congruenti ma sono “simili” nella forma; è intuitivo che
ingrandendo in modo opportuno il più piccolo si arriverebbe a renderlo congruente al
più grande. Si vede inoltre che nella costruzione del triangolo DEF a partire dal
triangolo ABC restano invariate le caratteristiche “intrinseche” di quest’ ultimo.

Osservazione. E’ importante fare esempi di questo tipo, con vari tipi di figure
geometriche, per dare maggiore consapevolezza del senso matematico di “simile”, in
particolar modo utilizzando Cabrì per la costruzione delle figure, così da verificare
esplicitamente in “modo grafico” che le caratteristiche della figura in se stessa non
cambiano.

Chiediamoci anche in questo caso se esistono criteri che ci permettano di stabilire se
e quando due figure che si assomigliano sono simili in senso matematico. Se ne
dovrebbero conoscere tre.

   1. Se due triangoli hanno uguali due angoli allora sono simili.

                                                    F
                                                    A



                                C




                        A               B

                                            D                   E
                                            A                   A




                                                                                    5
   2. Se due triangoli hanno due lati in proporzione e hanno uguale               l’angolo
      compreso tra questi lati, allora i due triangoli sono simili.

                                                     F
                                                     A



                                C




                         A           B

                                          D                        E
                                          A                        A

   3. Se due triangoli hanno i tre lati in proporzione, allora i due triangoli sono
      simili.
                                                 F
                                                 A



                                C




                         A           B

                                       D                        E
                                       A                        A
Alcune proprietà che si dovrebbero conoscere ma che è utile e importante riprendere.

             Tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.

Infatti, in un triangolo equilatero gli angoli sono sempre di 60° e quindi presi due
triangoli equilateri questi hanno i tre angoli uguali e perciò per il primo criterio sono
simili.
              Se due triangoli isosceli hanno uguale l’angolo al vertice allora sono
              simili.

Infatti, se l’angolo al vertice vale x, allora gli altri due angoli, y, (che devono essere
uguali perché i triangoli sono isosceli) saranno dati da y  180  x  / 2 e quindi uno
stesso angolo al vertice determina gli stessi angoli alla base. Il primo criterio
determina quindi la similitudine dei due triangoli.


                                                                                        6
Osservazione. Con queste proprietà sappiamo che i triangoli considerati sono simili, ma
non sappiamo quanto vale il rapporto di similitudine. Per saperlo occorre conoscere la
misura di due lati corrispondenti. Questo fatto non influenza il nostro lavoro, volto a
classificare i triangoli in base alla proprietà di essere simili.

             Se due triangoli rettangoli hanno un angolo (escluso ovviamente quello
             di 90°) uguale allora sono simili.

I TEOREMi di EUCLIDE.
Ricorrendo ai criteri di similitudine si dimostrano facilmente i teoremi di Euclide,
validi per un qualsiasi triangolo rettangolo.
                            B     H




                            A                            C

Supponendo che l’angolo di 90° stia in A e che AH sia l’altezza relativa
all’ipotenusa BC si ha:

PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
    (AB)2 = (BC).(BH)
    (AC)2 = (BC).(HC)

In parole possiamo dire che il quadrato costruito su un cateto ha la stessa area
del rettangolo che ha come lati tutta l’ipotenusa e la proiezione del cateto sulla
ipotenusa.

SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
    (AH)2 = (BH).(HC)

In parole possiamo dire che il quadrato costruito sull’altezza relativa alla
ipotenusa ha la stessa area del rettangolo che ha per lati le proiezioni dei cateti
sulla ipotenusa.

Osservazione. Sommando i quadrati dei cateti si ha e ricordando il primo teorema
di Euclide, possiamo scrivere:
    (AB)2 + (AC)2 = (BC).(BH) + (BC).(HC) = (BC):( BH + HC) = (BC).(BC) = (BC)2
In conclusione: (AB)2 + (AC)2 = (BC)2

Questa formula ci ricorda tanto il teorema di PITAGORA.




                                                                                      7
    La classificazione.

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI.
Possiamo classificare i triangoli in molti modi, in relazione all’elemento che si
prende in considerazione. Con i ragazzi, in classe, un’attività molto bella e utile
perché stimolante è quella di considerare il triangolo come figura geometrica e
cercare di scoprire se è possibile costruire degli insiemi in cui mettere solo certi
triangoli, oppure altri… .
Ad esempio:
    1. Distinzione per lati.
    Si distinguono
    - i TRIANGOLI SCALENI, che hanno tre lati le cui lunghezze sono differenti
    tra di loro;
    - i TRIANGOLI ISOCELI, che hanno almeno due lati congruenti;
    - I TRIANGOLI EUQILATERI, che hanno i tre lati tutti congruenti.

   A partire da questa classificazione, scoperta dai ragazzi attraverso
   l’osservazione delle figure, si possono costruire dei diagrammi di Venn e
   ragionando scoprire che, ad esempio, un triangolo equilatero è anche isoscele,
   ma non è vero il contrario; oppure che un triangolo scaleno non può essere
   isoscele e viceversa.

   2. Distinzione per angoli.
   Si distinguono
   - i TRIANGOLI ACUTANGOLI, che hanno tre angoli acuti;
   - i TRIANGOLI OTTUSANGOLI, che hanno uno solo degli angoli ottusi;
   - i TRIANGOLI RETTANGOLI, che hanno uno solo dei tre angoli retto.

   Anche in questo caso ragionare su tante figure è un ottimo lavoro e si
   favorisce la scoperta per osservazione.
   Alcuni problemi da porre su cui i ragazzi possono lavorare:
   Può esistere un triangolo equilatero-ottusangolo? E un triangolo equilatero-
   rettangolo? Quali situazioni sono possibili?

   CLASSIFICAZIONE DEI QUADRILATERI.
   Anche per i quadrilateri si possono costruire diverse classificazioni, sempre in
   base alle definizione che decidiamo di assumere di volta in volta.
   Consideriamo le figure geometriche di quattro lati, in particolare pensando ai
   trapezi, possiamo dividere tutti i quadrilateri in TRAPEZI e NON-TRAPEZI.

   Definizione. Definiamo TRAPEZIO un quadrilatero con almeno due lati
   paralleli (Figura sotto).


                                                                                       8
Data questa definizione si possono osservare molti tipi di trapezi e
considerare cosa succede al variare degli altri due lati; si avranno quindi:
-TRAPEZI SCALENI quelli con i lati obliqui diversi;
-TRAPEZI RETTANGOLI quelli con uno dei lati obliqui perpendicolare ai lati
paralleli;
-TRAPEZI ISOCELI quelli con i lati obliqui congruenti.
Che cosa succede se anche gli altri due lati sono paralleli?




Il trapezio è diventato un parallelogrammo. Ma come è possibile questo? Noi
sappiamo che un trapezio non è un parallelogrammo!! Portando l’attenzione alla
definizione che insieme abbiamo dato del trapezio viene naturale non trovare
strana questa scoperta: adesso un parallelogrammo è un trapezio, perché
almeno due lati sono paralleli. Ma è un trapezio particolare, perché ha anche
gli altri due lati paralleli… potremmo dire che è un parallelogrammo
privilegiato!!

Nel nostro schema mentale abbiamo raggiunto a questo punto una
configurazione di questo tipo:


                                        quadrilateri


                                        trapezi

                           Parallelo
                           grammi




Osservando i parallelogrammi, ci potremmo chiedere con i ragazzi che cosa
succede se uno di loro ha tutti gli angoli retti?



                                                                                 9
Abbiamo trovato un rettangolo. Ci stupisce questo? No, infatti un rettangolo,
secondo il nostro modello, è un caso particolare di parallelogrammo; quindi
possiamo concludere che esso è un trapezio che ha in più le proprietà di avere
i lati paralleli a 2 a 2 e tutti gli angoli retti.
Ma un parallelogrammo può avere anche tutti i lati congruenti. Che cosa
succede in questo caso? Vediamo.




E’ diventato un rombo. Allora possiamo definire un rombo come un
parallelogramma che ha tutti i lati uguali e, più in generale, esso è un trapezio
che ha i lati a 2 a 2 paralleli e tutti congruenti.
Possiamo chiederci poi che cosa succede ad un rombo se lo prendiamo con
tutti gli angoli retti:




Abbiamo ritrovato il quadrato, la figura perfetta!! E’ la figura che ha “più
proprietà di tutti”:
- è un rettangolo, perché è un parallelogrammo con 4 angoli retti;
- è un rombo perché è un parallelogrammo con 4 lati congruenti;
- è un parallelogrammo, perché ha due coppie di lati paralleli;
- è un trapezio, perché ha almeno 2 lati paralleli;
- è un quadrilatero perché ha 4 lati.

Dunque il nostro schema mentale è diventato, a questo punto:



                                                                                    10
    quadrati

                                                           quadrilateri


                                                           trapezi
                                        parallelogrammi



                             rombi            rettangoli




Problema: E i non trapezi? Nel diagramma sono i quadrilateri fuori dall’insieme
dei trapezi, ma come possiamo classificarli? C’è un modo per classificare
anche loro, insieme con gli altri, o sono destinati a restare solo quadrilateri,
nemmeno citati?

        Una proposta di attività originale: “La libertà dei quadrilateri”.

Questa attività permette, dando una nuova definizione di avere una
classificazione alternativa dei quadrilateri, che questa volta li comprende
tutti, un punto di vista diverso da cui è possibile partire.

Definizione. Diciamo che un punto nel piano ha due gradi di libertà se esso p
libero di muoversi in tutte le direzioni del piano, ha un grado di libertà se è
vincolato a muoversi su di una retta o, più in generale, su una curva, ha zero
gradi di libertà se non può muoversi.

Data questa definizione, cerchiamo di definire i quadrilateri.
E’ naturale iniziare considerando un quadrilatero qualunque. Per disegnarlo sul
piano abbiamo bisogno di 4 punti, ma come si possono muovere questi punti?

Prendiamo un punto nel piano. Esso può muoversi liberamente in tutte le
direzioni del piano. Ha dunque 2 gradi di libertà. Prendiamo ora un altro punto
e tracciamo il segmento che unisce questi due punti. Il secondo punto è ancora
libero di muoversi in tutte le direzioni, quindi anche lui ha 2 gradi di libertà. Ci
serve un terzo punto sul piano; congiungendo questo con il secondo non cambia
nulla, nel senso che ai fini della costruzione di un quadrilatero il punto può
muoversi in ogni direzione si scelga. E così il quarto punto. Concludiamo
                                                                                       11
facilmente che ogni punto ha 2 gradi di libertà, pertanto un quadrilatero
qualunque ha 8 gradi di libertà.

Qual è un altro quadrilatero che ci viene in mente? Il quadrato? Benissimo,
vediamo che cosa succede. Prendendo un punto nel piano, esso ha 2 gradi di
libertà: siamo tutti d’accordo. Prendiamo anche il secondo. Unendoli ho un
segmento, ma posso muovere anche questo secondo punto come voglio, quindi
ho ancora un punto con 2 gradi di libertà. In tutto ha 4 gradi di libertà.
Andiamo avanti. Prendiamo un altro punto. Attenzione, vogliamo costruire un
quadrato; ci chiediamo come si può muovere questo ultimo punto? Deve stare
su una retta perpendicolare al segmento che unisce i primi due punti; inoltre
deve essere ad una distanza pari a quella che c’è fra gli altri due punti. Allora
non si può muovere! Allora ha 0 gradi di libertà. E il quarto? Anche lui non si
po’ muovere. Si può concludere che per un quadrato i gradi di libertà sono 4.
Per ogni quadrilatero noi si consideri si trova un numero che, si scopre, è
compreso fra questi due valori, in accordo con il fatto che la figura più
generale con 4 lati è un quadrilatero qualunque e quella più particolare è il
quadrato!

Si può anche fare una tabella o un diagramma di questa classificazione. Ad
esempio:


      8                 7                   6                      5         4

                                                                             Q
                                     Trapezi isosceli
                                                                             u
                                                             Rettangoli
                                         Trapezi                             a
                     Trapezi
                                        rettangoli                           d
 Quadrilateri
                                                                             r
                                     Parallelogrammi
                                                                             a
                                                                  Rombi
                                                                             t
                         ?               Deltoidi
                                                                             o

Osservando la tabella costruita e ragionando sulle proprietà delle figure
inserite potremmo, ad esempio, chiederci se e che cosa potremmo inserire
dove abbiamo messo il punto interrogativo.


Si possono studiare altre situazioni problematiche:
- quadrilateri inscritti e/o circoscritti in una circonferenza;
- quadrilateri con due angoli opposti retti;
- quadrilateri isoperimetrici;
- quadrilateri equivalenti;


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- quadrilateri nei quali la somma di due lati consecutivi è uguale alla somma
degli altri due lati;
-….

Questo è solo un esempio di attività che si può pensare per lavorare con l’idea
della definizione in matematica e consolidare le immagini mentali dei ragazzi,
che sono molto importanti per acquisire le conoscenze geometriche in
particolare, ma anche matematiche più in larga visione. Credo sia anche una
buona occasione per lavorare con la mente e ragionare, in virtù dell’elasticità a
cui la matematica dovrebbe abituare!



BIBILIOGRAFIA e SITOGRAFIA




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