GEOMETRIA ANALÍTICA I by mercy2beans118

VIEWS: 277 PAGES: 32

									GEOMETRIA ANALÍTICA I




     Departament de Matemàtiques
        IES Miquel Bosch i Jover
CONTINGUTS

Vectors del pla, 3

       Concepte de vector fix, 3
       Components d’un vector fix, 3
       Mòdul i argument d’un vector, 4
       Vector lliure, 5
       Operacions en el conjunt de vectors lliures del pla, 6
       Aplicacions geomètriques dels vectors, 8
       Estructura d’espai vectorial dels vectors lliures del pla, 9

El pla afí, 11

       Determinació d’una recta, 11
       Equacions de la recta, 12
       Posició relativa d’un punt i una recta, 17
       Posició relativa de dues rectes, 17

El pla afí euclidià, 19

       Producte escalar de dos vectors, 19
       Ortogonalitat de vectors, 20
       Angle de dos vectors, 20
       Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector, 21
       Distància entre dos punts del pla, 21
       Distància d’un punt a una recta, 21
       Distància entre dues rectes paral·leles, 22
       Angle de dues rectes no paral·leles, 22




                                       2
Vectors del pla. Concepte de vector fix.

Donats dos punts A i B, s’anomena vector fix d’origen A i extrem B el
                                                
segment orientat AB. Es representa per AB .

                         A                  
                                        AB

                                                        B
Exercici 1.- Representeu gràficament els vectors amb origen i extrem en
els punts que s’indiquen:

                              origen        extrem
                             A(-2,3)        B(4,5)
                              E(1,0)        F(2,4)
                             G(-4,-2)       H(3,-1)
                             M(2,-1)        N(-3,3)
                             P(-3,-2)       Q(4,-1)
                             C(-3,4)        D(-3,6)
                             R(7,-1)        S(2,3)




Components d’un vector fix

                                                    
S’anomenen components del vector fix AB , d’origen A(a1,a2) i extrem
B(b1,b2), la diferència entre les coordenades de l’extrem i les de l’origen.

                                        3
La primera component v1 = b1 - a1
La segona component v2 = b2 - a2
            
Escriurem AB = (v1,v2)

   components = coordenades de l’extrem - coordenades de l’origen


Exercici 2.- Calculeu les components de tots els vectors de l’exercici
anterior.


Es diu que dos vectors fixos són equipol·lents quan tenen les mateixes
components.

Exercici 3.- Indiqueu els vectors de l’exercici 1 que siguin equipol·lents.


Exercici 4.- Escriviu vectors equipol·lents al d’origen A(2,-1) i extrem
B(4,2) amb origen o extrem en el punt que en cada cas s’indica:


                            origen        extrem
                            (-2,3)
                                          (4,-3)
                                          (0,0)
                             (-1,4)
                              (5,2)
                                          (-3,1)


Mòdul i argument d’un vector

                     
Donat un vector fix AB                       B




                             
                A


                                      4
                                                                          
La longitud del segment AB rep el nom de mòdul del vector AB i es
                 
representa per | AB |
                     
                                                             2
                   | AB |  (b1  a1 ) 2  (b 2  a 2 ) 2 = v1  v 2
                                                                   2

                                                          
L’angle  rep el nom d’argument del vector AB

                                            v
                                      tg α  2
                                            v1

Exercici 5.- Trobeu el mòdul i l’argument dels vectors següents:

     a) vector d’origen A(1,2) i extrem B(5,3)
     b) vector d’origen C(1,2) i components (3,-2)
     c) vector d’origen F(-1,1) i components (-3,-2)


Vector lliure

S’anomena vector lliure de components (v1,v2) el conjunt de tots els
vectors fixos de components (v 1,v2). Qualsevol vector amb aquestes
components és un representant del vector lliure.


                                               
Exercici 6.- Donat el vector lliure v = (1, 5), determineu l’origen i
l’extrem de tres representants seus.

Exercici 7.- Donades les components dels vectors lliures de la columna de
l’esquerra, completeu l’origen o l’extrem d’un dels seus representants.


                                                   representant
             components del
               vector lliure           origen                 extrem
                  (2,3)                (5,-1)
                  (-3,5)                (7,0)
                  (4,-1)                                          (2,3)
                  (3,-2)                (4,-3)
                  (0,-2)                                          (4,3)
                  (4,3)                 (5,4)


                                           5
Operacions en el conjunt de vectors lliures del pla
                                                
Donats dos vectors lliures v  (v1, v 2 ) i w  (w1, w 2 ) , s’anomena vector
                                   
suma, i és representat per v  w , el vector lliure de components
 
v  w = (v1  w1, v 2  w 2 ) .
La suma de vectors lliures té les propietats següents:
                                                
        Associativa: v + ( w + u ) = ( v + w ) + u
                                     
        Commutativa: v + w = w + v                           
        Existeix l’element neutre, 0 , tal que v + 0 = 0 + v = v 
                                                               
        Tot element v té un element oposat (- v ) tal que v + (- v ) = 0

Per a sumar gràficament vectors lliures cal situar a continuació d’un
representant del primer vector un representant del segon vector. Unint
l’origen del primer vector amb l’extrem del segon s’obté un representant
del vector suma.

                                                       
                                 vw                     w


                                     
                                     v
Exercici 8.- Sumeu gràficament els vectors lliures següents situant
l’origen del representant del primer vector en el punt que s’indica:
                    
     a) v = (2,-1) , w = (5, 7)
                      
                                         origen (4, 2)
        
     b) s = (-3,-5) , t = (3, 0)         origen (-1,3)




                                         6
                                      
Donat un vector lliure v = ( v1, v2) i un nombre real k, s’anomena
                                                       
producte del vector lliure pel nombre real el vector k v = ( kv1, kv2).
                          
Els vectors v i k v , representats gràficament amb origen en el mateix punt,
                                                                  
estan situats sobre una mateixa recta i la longitud del vector k v és la del
                                                                    
vector v multiplicada per k. Es diu també que els vectors v i k v són
linealment dependents.

Les operacions de suma de vectors i de producte per un nombre poden
combinar-se entre elles complint les propietats següents:
                                       
            k (v +w) = k v + k w
                               
            (k+h) v =k v +h v
                            
            (kh) v =h(k v )

                                                                                    
Exercici 9.- Donat el vector v = ( 3 , -2 ), calculeu els vectors 2 v , 3 v ,
    1 
-2 v , v . Representeu-los tots amb origen en el punt ( 1 , 3 ) . Comproveu
         2
que tots els extrems estan sobre una mateixa recta.




Exercici 10.- Efectueu les operacions que s’indiquen amb els vectors
lliures següents:
                                                                    
    u = ( 2, -3),                  v = ( 0, 4),       w = ( -4, 2 ),   s = ( 3, -2)



                                                  7
                            
                   a) u + v
                              
                   b) u + w + s
                       
                   c) v - s
                        
                   d) 2 u
                                
                   e) v + 3 w - 4 s
                           
                   f) s - 4 u
                        1    3        
                   g) u  v  w
                        2     5

Aplicacions geomètriques dels vectors

El punt mitjà, M, d’un segment AB, on A té per coordenades (a1,a2) i
B (b1,b2) ve donat per l’expressió

                                   a1  b1 a2  b2
                             M(           ,        )
                                      2       2

Exercici 11.- Calculeu el punt mitjà dels parells de punts següents:

                   A( 3, 7 )                B( -4, 2 )
                   C( 4, -1)                D( 5, 8 )
                   E( -4, 3)                F( 9, 4 )


Per calcular les coordenades dels punts que divideixen el segment,
d’extrems A i B, en n parts iguals, procedim de la manera següent:
                                                                      
        Determinem el vector v que té com a representant el vector AB .
                                             
        Dividim les components del vector v per n, així obtenim el vector
         
         u.
                                                               
        Determinem l’extrem M1 del representant del vector u que té per
         origen el punt A.
        Repetim el procés anterior prenent com a origen del representant
                     
         del vector u el punt M1, d’aquesta manera determinem el punt M2.
        Continuarem repetint el procés fins a determinar les coordenades
         de tots els punts.
                                                                         B
                                            
                                            v
                                                         M3
                    
                                            M2
                    u       M1
            A



                                            8
Exercici 12.- Calculeu els punts que divideixen el segment d’extrems
A(-1,2) i B(9,-2) en quatre parts iguals.


Exercici 13.- Calculeu els punts que divideixen el segment d’extrems
A(-5,-2) i B(0,8) en cinc parts iguals.



Estructura d’espai vectorial dels vectors lliures del pla

El conjunt dels vectors lliures del pla, amb les dues operacions definides,
suma ( operació interna ) i producte per un nombre real ( operació externa
) satisfà les propietats:

Suma ( operació interna ):
                                                                   
        Associativa: v + ( w + u ) = ( v + w ) + u
                                     
        Commutativa: v + w = w + v
                                                              
        Existeix l’element neutre, 0 , tal que v + 0 = 0 + v = v       
                                                               
        Tot element v té un element oposat (- v ) tal que v + (- v ) = 0

Producte per un nombre real ( operació externa ):
                                 
        k (v +w ) = k v + k w
                           
        (k+h) v =k v +h v
                        
        (kh) v =h(k v )
               
        1· v = v

Es diu que el conjunt dels vectors lliures del pla té estructura d’espai
vectorial.
                                                                       
Donats dos vectors lliures del pla, v  (v1, v 2 ) i w  (w1, w 2 ) , i dos nombres
reals, k i h, es diu que el vector
                                           
                               k v +h w
                                                                   
és una combinació lineal dels vectors v i w . Amb dos vectors es poden
fer infinites combinacions lineals.




                                                    9
Si donats dos vectors, és impossible trobar dos nombres k i h, diferents de
                                                                       
zero, tals que facin que l'expressió k v + h w valgui zero, és diu que v i
 
w són linealment independents. En cas contrari

                                          
                          k v +h w = 0

i un vector es pot escriure com l’altre multiplicat per un nombre,

                              h 
                          v =  w
                               k

 
v i w seran linealment dependents.



Es pot demostrar que qualsevol vector lliure del pla es pot escriure com a
combinació lineal de dos vectors lliures linealment independents. En
aquesta situació es diu que els vectors lliures linealment independents
formen una base de l’espai vectorial dels vectors lliures del pla.
Dos vectors lliures linealment independents formaran sempre una base i no
hi haurà bases amb més ni amb menys de dos vectors. Del fet que totes les
bases de l’espai vectorial dels vectors lliures del pla tinguin dos vectors es
diu que és un espai vectorial de dimensió dos.

                                                    
Exercici 14.- A partir dels vectors v = (4, -2) i w = (5, 3), calculeu les
combinacions lineals següents:
                        
               a) 2 v - 3 w
                          
               b) 5 v + 2 w
                          
               c) -4 v - 3 w
                         
               d) 6 v - 2 w


Exercici 15.- Indiqueu quina és la combinació lineal que permet escriure
                          
                                                                  
els vectors a = (13, 0) i b = (3, -14 ) com a combinació lineal de v = (3, -
     
1) i w = (4,3).


Exercici 16.- Indiqueu quina és la combinació lineal que permet escriure
                                       
els vectors a = (3, 3) , b = (-1, 8 ) , c = (2, 11) com a combinació lineal de
              
v = (-4, 5) i w = (7,-2).



                                       10
El pla afí. Determinació d’una recta.

Una recta queda determinada si coneixem dos punts, A i B, d’aquesta
recta.
També es pot determinar una recta si coneixem un punt, A, i un vector,
anomenat vector director, tal que el seu representant d’origen A estigui
situat sobre la recta.

Exercici 17.- Representeu gràficament la recta que passa pels punts A(2,3)
i B(-3,-2). Calculeu-ne un vector director.




Exercici 18.- Dibuixeu la recta que passa per A(-2,1) i té de vector
         
director c = (3, 2).




Exercici 19.- Calculeu un vector director de la recta que passa per l’origen
de coordenades i pel punt mitjà del segment AB, on A(2,5) i B(-4, 7).

                                    11
Exercici 20.- Calculeu un vector director d’una recta paral·lela a l’eix
d’abscisses i que passa pel punt (4, 3).

                                                           
Exercici 21.- Dibuixeu dues rectes de vector director c = ( 3, -4) i que
passin per A(-4,2) i B(0,3).




Exercici 22.- Calculeu un vector director de la recta que talla els eixos de
coordenades en els punts (4, 0) i (0,-3).


Exercici 23.- Calculeu un vector director de la mitjana que surt de A en el
triangle de vèrtex A(2, 3), B(5, -1) i C(4,2).


Exercici 24.- Calculeu els vectors directors de les rectes que contenen els
costats del triangle de vèrtexs A(2, 3), B(5, -1) i C(4,2).




Equacions de la recta
                         
Sigui A(p,q) un punt i v = (v1, v2) un vector director d’una recta r. Es
tracta de trobar les relacions existents entre les coordenades del punt A, les
components del vector director i les coordenades d’un punt qualsevol de la
recta B(x, y). Fixeu-vos en el gràfic següent


                                     12
                                
Es compleix que OA  AB  OB , ara bé, si ens fixem en les components
                                                    
d’aquests vectors: OA = (p , q), OB = (x , y) i AB = k v = k (v1, v2), és a
dir:


      (x, y) = ( p,q ) + k (v1, v2)          equació vectorial de la recta


igualant les components, trobem les relacions:


      x = p + kv1
                               equacions paramètriques de la recta
      y = q + kv2


aïllant en totes dues equacions el paràmetre k i igualant obtenim:


      xp yq
                              equació contínua de la recta
       v1   v2



Si es coneixen dos punts de la recta A(a1, a2) i B(b1, b2), com que el vector

AB és un representant d’un vector director de la recta, l’equació contínua
és de la forma:

                                 x  a1   y  a2
                                        
                                 b1  a1 b 2  a 2


                                        13
i si els dos punts que es coneixen són els punts en què la recta talla els
eixos de coordenades, A(a,0) i B(0,b), en resulta:

                                     xa y
                                        
                                     a   b

i, d’aquí

             x y
               1                 equació canònica de la recta
             a b


De l’equació contínua, eliminant denominadors i agrupant termes, s’obté:

      v2x - v1 y + v1q - v2p = 0

expressió de la forma:


      Ax + By + C = 0               equació implícita o general de la recta


on A = v2, B = -v1, i C = v1q - v2p

Observeu que, coneguda l’equació implícita o general de la recta, un
                             
vector director ve donat per v = ( -B, A )

Tota recta no paral·lela a l’eix d’abscisses el talla i determina un angle  .
A la tangent d’aquest angle tg  , se li dóna el nom de pendent de la
recta, el representarem per m.
Conegut un vector director de la recta, també es coneix el seu pendent.




                                                                          v2
                                                α    v2      m = tg  =
                                                                          v1
                                               v1
                  α




                                       14
De l’equació contínua de la recta:

                                   xp yq
                                       
                                    v1   v2

                                v2
                                   (x-p)=y-q
                                v1

                v2
com que m =        ,
                v1

            y - q = m(x - p )           equació punt-pendent


que traient parèntesi i agrupant


            y = mx + b             equació explícita


on b = q - mp


Exercici 25.- Comproveu si el punt B(2,7) pertany a la recta que passa per
                                   
A(4,2) i que té de vector director v = ( 1, 3).


Exercici 26.- Escriviu en totes les seves formes la recta que passa per
A(2,-1) i B(4,5).


Exercici 27.- Comproveu si els següents punts estan situats en la mateixa
recta:

            A(2,-1)      B(5,4)         C(11,14)

Exercici 28.- Donada la recta s: 2x - 3y + 6 = 0:

     a) Calculeu-ne tres punts.
     b) Calculeu-ne un vector director.
     c) Escriviu-la en forma paramètrica.


                                       15
Exercici 29.- Escriviu en totes les altres formes cadascuna de les rectes:

     a) 4x + y - 2 = 0

     b) y = 2x - 4

          x  2  3k
     c) 
          y  5  k

          x2 y
     d)      
           4   6

Exercici 30.- Indiqueu un punt i un vector director de cada una de les
rectes:

     a) 3x + 5y - 2 = 0

          x  2  3k
     b) 
           y  5k  2

          x2 y2
     c)      
           3   5

     d) y = 3x -3

Exercici 31.- Donada la recta d’equacions paramètriques:

                 x  3  2k
                 
                  y  6  4k

Calculeu els punts que corresponen als valors del paràmetre: k = 0, k = -2,
          1
k = 5, k = .
             4

Exercici 32.- Calculeu l’equació de la recta que passa pels punts indicats i
en la forma que en cada cas s’indica:

      a) A(2,3) i B(5,-1)       equació contínua
      b) A(0,-2) i B(4,5)       equació general
      c) A(-2,0) i B(-4,5)      equacions paramètriques
      d) A(-2,4) i B(0,-3)      equació explícita
      e) A(0,4) i B(-5,0)       equació canònica

                                     16
Exercici 33.- Calculeu l’equació general de les mitjanes del triangle de
vèrtexs A(4,2), B(0,6) i C(8,4).


Exercici 34.- Calculeu l’equació general dels costats i de les diagonals del
quadrilàter de vèrtexs A(2,3), B(5,7), C(6,2), D(3,-2).



Exercici 35.- Calculeu el pendent de cadascuna de les rectes següents, i
també l’angle que determinen amb l’eix de les abscisses.

     a) 2x + 3y + 4 = 0

          x 2 y5
     b)       
            3   4

          x  2  3k
     c) 
           y  5  k

          x y
     d)     1
          4 5




Posició relativa d’un punt i una recta

Donat un punt A i una recta r, per saber si el punt A pertany o no a la recta
r cal comprovar si les coordenades del punt compleixen l’equació de la
recta. En cas afirmatiu el punt és de la recta, en cas negatiu el punt no és
de la recta.



Posició relativa de dues rectes

Donades les equacions de dues rectes r i s, per saber la posició relativa
entre aquestes seguim els passos següents:
Primer comprovem si els vectors directors són linealment dependents. En
cas negatiu les rectes es tallen en un punt. En cas afirmatiu les rectes o són

                                     17
paral·leles, o són coincidents. Per diferenciar aquests últims casos
comprovem si les coordenades d’un punt d’una de les rectes compleixen
l’equació de l’altra recta. En cas negatiu les rectes són paral·leles, en cas
afirmatiu les rectes són coincidents.



Exercici 36.- Calculeu el valor de m perquè la recta (m-2)x - 2y + 1 = 0
passi pel punt (3, 2).


Exercici 37.- Indiqueu en cada cas si totes dues rectes són paral·leles.

          x  2  4k             x  5  2k
     a)                          
           y  3  6k             y  4  3k

                                  x  4  k
     b) y  2x  3                
                                   y  5  2k

     c) y = 3x -2                 6x - 2y + 5 = 0

          x y                     x 1 y  3
     d)     1                       
          3 6                      6    8



Exercici 38.- Calculeu el valor de t perquè les rectes següents siguin
paral·leles a la recta 3x - 5y + 4 = 0.

     a) tx + 10y - 3 = 0

          x2 y4
     b)      
           t   3

          x  4  10k
     c) 
           y  6  tk

Exercici 39.- Escriviu l’equació contínua de la recta que passa per A(4,7) i
és paral·lela a la recta que passa pels punts B(2, -5) i C(4, 2).


Exercici 40.- En el triangle de vèrtexs A(3,3), B(4,6) i C(2,-6), calculeu-
hi:

                                     18
     a) les equacions dels costats.
     b) les equacions de les tres mitjanes.
     c) el baricentre com a intersecció de dues de les mitjanes.
     d) comproveu que la tercera mitjana també passa pel punt calculat a
        l’apartat c).


Exercici 41.- Calculeu el valor de k perquè les rectes x + y - 2 = 0, 2x - 3y
+1 = 0 i (k + 1)x -ky +2k + 3 = 0 es tallin en un mateix punt.


Exercici 42.- Calculeu els punts d’intersecció dels parells de rectes
següents:

     a) 2x - 3y + 5 = 0;                6x -2y + 4 = 0

          x 1 y  2
     b)                                 x  3y  6  0
            3    5

          x  5  2t                    x  4  t
     c)                                 
          y  6  t                      y  5  3t

     d) y =2x + 4;                      x + 3y - 2 = 0




El pla afí euclidià. Producte escalar de dos vectors.
                                             
Donats dos vectors v = (v1, v2) i w = (w1, w2 ) s’anomena producte
                                        
escalar de v i w , que es representa per v · w , el nombre real:


                                     
                                    v · w = v1w1 + v2w2



Les propietats del producte escalar de vectors són les següents:
                                     
         Commutativa: v · w = w · v
                                                         
         Distributiva respecte a la suma: u · (v  w) = u · v  u · w

                                            19
        Associativa amb la multiplicació per un nombre
                    
real: (k v) · w = k (v · w)
                                                
       Si v · w = 0 per tot vector v , llavors w = 0


El mòdul d’un vector també es podrà escriure com:

                                            
                                  2
                             v  v1  v 2  v · v
                                        2




Ortogonalitat de vectors
                  
Dos vectors v i w no nuls són ortogonals si el seu producte escalar és
zero.
                   
Donat un vector v = (v1, v2) és molt senzill determinar vectors que li
                                                                        
siguin ortogonals, n’hi haurà prou amb considerar vectors de la forma k w ,
        
en què w = (- v2, v1 ).



Angle de dos vectors
                                                       
Tenint en compte les components dels vectors v i w




                                                                
                                            v1 = v cos β    w1= w cos δ

                                                                 
                                            v2 = v sin β    w2 = w sin δ




el producte escalar es pot escriure com:
                                       
                              v · w  v w cos α




                                       20
Projecció ortogonal d’un vector sobre un altre vector
                                                                                
Donats dos vectors v i w , s’anomena projecció ortogonal de v sobre w
el nombre real:
                                                         
                                                       v·w
                                         v   v cos α  
                                                         w
on α és l’angle format pels dos vectors.


                                
                                v
                                    α                 
                                                      w
                                    v´

Exercici 43.- Calculeu l’angle de les parelles de vectors següents:
                           
       a) v = (-3, 5 ) , w = (7, 2)
          
       b) s = (4, -1) , t = (2, 3)


Distància entre dos punts del pla

La distància entre dos punts A i B del pla ve donada pel mòdul del vector

AB .
                  
                  AB                     B
                                                                     
                                                          d(A, B)  | AB |
        A

Distància d’un punt a una recta

Donat un punt S(p,q) i una recta r: Ax + By + C = 0 del pla, la distància
del punt S a la recta r ve donada pel valor absolut de la projecció ortogonal
                                            
del vector RS sobre un vector u ortogonal a r, on R és un punt qualsevol
de la recta.
                                          S(p,q)
                                                          r: Ax + By + C = 0
              
              u


                   R(a,b)
                                                 21
                                      
                                  | RS · u | | Ap  Bq  C |
                         d(S, r)   
                                     |u|         A 2  B2

Distància entre dues rectes paral·leles

Per trobar la distància entre dues rectes paral·leles r i s, prenem un punt Q
qualsevol d’una de les rectes i calculem la distància d’aquest punt a l’altra
recta.
                                r
                                           s
             Q
                                                                   d(r,s)  d(Q,s)




Angle de dues rectes no paral·leles

Dues rectes secants del pla determinen quatre angles. Podem trobar
aquests angles a partir de l’angle que formen els vectors directors
d’aquestes rectes.
Dues rectes són perpendiculars quan l’angle que formen és recte o, el que
és equivalent, quan els seus vectors directors són ortogonals.
Condició de perpendicularitat:

         A partir de l’equació general: AA´ + BB´= 0
         A partir de l’equació explícita: m m´= -1


                                                               
Exercici 44.- Trobeu tres vectors ortogonals al vector u = (-1, 4).


Exercici 45.- Determineu la distància entre els punts A(-1,3) i B(0,3)


Exercici 46.- Calculeu la distància del punt P(1,1) a la recta r: y = -2x +3

Exercici 47.- Calculeu la distància entre les rectes r i s

         r: y = -x + 2            s: y = -x + 4

                                         22
Exercici 48.- Trobeu els angles que determinen les rectes r i s

      r: 3x + 2y - 4 = 0                    s: 2x - 3y + 4 = 0


Exercici 49.- Determineu l’equació general de la recta que passa per
                                   x2 y
P(1,2) i és perpendicular a r:         .
                                    2  3

Exercici 50.- Completeu la taula:

                             components    origen   extrem
                                (2,1)      (-2,4)
                                           (3,-5)    (0,-3)
                               (-2,7)                (-3,4)
                               (1,-3)       (5,2)

Exercici 51.- Trobeu m i n en la igualtat de vectors següent:

              (2m - 3 , m + n ) = ( 1 - n , 3 )


Exercici 52.- Calculeu les components dels vectors:

          2 1      
     a)      ,3 2 
          3 5      
     b) 3  2,2  2   ,   0,4
                           1 1
                              
                        3    2

Exercici 53.- Calculeu les coordenades dels punts que divideixen el
segment AB en tres parts iguals, sent A(1,2) i B(4,-2).


Exercici 54.- Si el baricentre d’un triangle és el punt (1,4), determineu el
tercer vèrtex del triangle sabent que els altres dos són A(-1,2) i B(0,7).


Exercici 55.- Digueu si els següents vectors són linealment dependents o
independents:

     a) (-2,0) i (4,0)
     b) (-3,1) i (6,-2)

                                           23
     c) (6,0) i (0,3)
     d) (-2,-6) i (1,3)


Exercici 56.- Expresseu el vector (2,1) com a combinació lineal dels
vectors (-3,4) i (1,-1).


Exercici 57.- Escriviu cinc punts de la recta que té per equacions
paramètriques:

               x  3t
              
                   2
              y  3 t
              



Exercici 58.- Completeu la taula:

paramètriques             contínua        canònica         punt-pendent

                                                         y - 2 = 5( x + 1 )



Exercici 59.- Determineu quines sèries de punts estan alineats:

      a) (0,0) , (1,1) , (7,7)
      b) (2,3) , (-4,-6) , (8,12)
      c) (3,4) , (1,2) , (5,1)
                            3
      d) (3,-1) , (-6,2) , ( , 1)
                             2

Exercici 60.- Trobeu l’equació de la recta paral·lela a 4x - y + 2 = 0 que
passi pel punt ( 5 , -1 ).

Exercici 61.- Trobeu els coeficients m i n de les rectes 3x - my = 2 i
nx + 4y = 5 sabent que són paral·lels i que la primera passa pel punt
(2,2 ).

Exercici 62.- Trobeu l’equació general de la recta que passa pel punt
d’intersecció de les rectes 3x - 2y + 10 = 0 i 4x + 3y -15 = 0 i pel punt
(2,1).

                                     24
Exercici 63.- Calculeu els productes escalars següents:

      a) (0,1)·(-2,1)
      b) (3,-3)·(3,3)
          1      1 1
      c) ( ,1)·( , )
          2         6 3


Exercici 64.- Trobeu l’angle que formen els vectors:

      a) (1,-1) i (3,4)
      b) (0,1) i (2,-3)
      c) (0,3) i (-1,-2)


Exercici 65.- Determineu si el punt P pertany a la recta r

                                           x 1 y
      a) P(-1, 0)                       r:       
                                             4     5
                                               3
      b) P(2,3)                         r: y  x  1
                                               2



Exercici 66.- Calculeu la distància del punt P a la recta r

      a) P(1,1)                         r: y = -2x + 3
                                             x 1 y 1
      b) P(0,0)                         r:       
                                               3    4



Exercici 67.- Calculeu la distància entre les rectes r i s

      a) r: (x,y) = (-1,3) + k(3,5)             s: x - y + 3 = 0

              x 2 y3
      b) r:                                    s: y = x - 1
                1   1




Exercici 68.- Trobeu els angles que determinen les rectes r i s

      a) r: 3x + 2y - 4 = 0                     s: 2x - 3y + 4 = 0


                                      25
              x2 y                               x 3 y3
      b) r:                                 s:       
               1   3                                2   1



Exercici 69.- Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt (2,-1) i forma
un angle de 60º amb la recta -x + y - 4 = 0


Exercici 70.- Determineu l’equació de la recta que passa per P(-2,-1) i és
perpendicular a r: 4x + 5y - 1 = 0


Exercici 71.- Calculeu el valor de m perquè les rectes r i s siguin
perpendiculars

      r: mx + (2m - 1)y + 3 = 0
      s: (4m - 7)x - (m + 2)y - 8 = 0


Exercici 72.- Donat el triangle:

      A(3,-1) ,            B(6,2) ,          C(2,6)

Determineu:

                           
      a) els vectors AB i AC .
                                
      b) el mòdul del vector BC .
                                     
      c) l’angle que formen AB i AC .


Exercici 73.- Sigui r la recta que passa pels punts (2, -3) i (5, 4) i un punt
P(4, 6). Calculeu:

     a) l’equació general de la recta que passa per P i és perpendicular a la
        recta r.
     b) l’equació vectorial de la recta que passa per P i és paral·lela a la
        recta r.
     c) distància del punt P a la recta r.




                                        26
Exercici 74.- Els punts A(0,2) , B(0, -1) i C(3, 2 ) són els vèrtexs del
paral·lelogram ABCD. Calculeu les coordenades del quart vèrtex i l’àrea
del paral·lelogram.
                                          D


                            A(0,2)

                                           C(3,2)

                            B(0,-1)

Exercici 75.- Agrupeu els vectors de la figura següent que tinguin el
mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit. Determineu també, el
mòdul i l’argument de tots aquests vectors.




Exercici 76.- Representeu gràficament i en components les operacions de
vectors següents:

                   
   a) u  v
                
   b)  w
                       
   c) 2w  u

        1 
   d)     w
        2

                       
   e) 2v  3w



                                      27
Exercici 77.- Expresseu tots els vectors com a combinació lineal dels
         
vectors u i v .




Exercici 78.- Per cada una de les rectes representades determineu
l’equació general, el pendent, i l’angle que formen amb l’eix d’abscisses.




Exercici 79.- Determineu l’àrea del triangle ABC.




                                   28
Exercici 80.- Donat el triangle de vèrtexs A(0,0), B(8,0) i C(4,6):

       a) Trobeu les coordenades del baricentre, del circumcentre i de
l’ortocentre.
       b) Comproveu que aquests tres punts estan alineats.
       c) Comproveu que la distància entre el baricentre i l’ortocentre és el
doble de la distància que hi ha del circumcentre al baricentre.


Exercici 81.- Trobeu l’equació de la recta que passa pel punt P(6,-2) i
dista dues unitats de l’origen de coordenades.


Exercici 82.- El triangle ABC té àrea 6 u.a. Els vèrtexs són A(1,-3), B(2,1)
i C, que és sobre la recta x + y + 3 = 0. Trobeu les coordenades del vèrtex
C.


Exercici 83.- Trobeu l’equació d’una recta perpendicular a x + 3y - 5 = 0
que disti cinc unitats del punt (1,-1). Quantes rectes ho compleixen ?


Exercici 84.- Trobeu el punt simètric de A(5,2) respecte de la recta
x + y - 5 = 0.


                                                     
Exercici 85.- Escriviu vectors ortogonals al vector u = (-3,5), tals que:

      a) la primera component sigui 12
      b) la segona component sigui - 1
      c) el mòdul sigui 1


                                                            
Exercici 86.- Determineu l’angle que formen el vector v = (5,12) i un
                                                    
vector desconegut w , sabent que la projecció v sobre w és 8.


Exercici 87.- Demostreu que els angles inscrits en un circumferència, que
abracen un diàmetre, són rectes. Sigui r el radi de la circumferència.

      1. Agafeu un sistema de referència centrat en el centre de la
circumferència.

                                     29
      2. Trieu un punt A(x,y) qualsevol de la circumferència.
             a) Es compleix que x2 + y2 = r2 ? Per què ?
             b) Siguin C(r,0) i B(-r,0), els punts de tall de la circumferència
amb l’eix d’abscisses. Busqueu les components dels vectors AB i AC.
             c) Demostreu que els vectors AB i AC són ortogonals.



                                             A

                            B
                                                 C




Exercici 88.- Els costats d’un triangle es troben sobre les rectes
d’equacions:

    x-y+1=0;                    x+y+5=0;                  5x - 2y -10 = 0

Calculeu:

      a) les coordenades dels vèrtexs
      b) les longituds dels costats
      c) els tres angles
      d) l’àrea


Exercici 89.- Determineu el valor que ha de tenir a perquè les rectes:

      x + ay - 3 = 0
      ( a + 2 )x - ay + ( a - 2 ) = 0

siguin:
      a) paral·leles
      b) perpendiculars

En el cas a), calculeu quina distància les separa.


                                        30
Exercici 90.- Des del punt F(5,10) surt un raig de llum que es reflecteix en
la recta d’equació 3x + 4y = 30, i després de la reflexió arriba al punt
A(13,4). Determineu el punt de la recta on es reflectirà el raig.




Exercici 91.- Busqueu un punt P de la recta x - y = 4, de manera que
l’angle APB sigui recte.




                                    31
Exercici 92.- Sigui P un punt de la recta y = 2x + 4. Expresseu en funció
de l’abscissa del punt P: la distància de P a A, la distància de P a B i l’àrea
del triangle que determinen aquests tres punts.




Exercici 93.- Determineu el perímetre i l’àrea del quadrilàter de vèrtexs
A(-4,0), B(0,3), C(6,1) i D(5,-2).




                                      32

								
To top