MAT 105 – Vetores e Geometria Anal´ıtica PROVA 2

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MAT 105 – Vetores e Geometria Anal´ıtica PROVA 2 Powered By Docstoc
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                    MAT 105 – Vetores e Geometria Anal´
                          PROVA 2 — GABARITO
                              Prof. Paolo Piccione
                                  29 de junho de 2005


(1) O plano π que ´ ortogonal ` reta r e passante por P tem equa¸˜o : x − 3y + z + 2 = 0.
                   e           a                                 ca
    A interse¸˜o de π com r ´ o ponto Q = (−1, 0, √
             ca               e                     −1). A distˆncia entre P√e r ´, por
                                                                a    √             e
    defini¸˜o, a distˆncia entre P e Q: dist(P, Q) = 2
         ca         a                                  2 + 22 + 42 =   24 = 2 6.

                                                    e
(2) A reta r passante por P e ortogonal ao plano π2 ´:
                                        
                                         x = 1 + 3t,
                                    r:     y = 2 − t,
                                           z = 3 − t.
                                        

                       e          ca
    O ponto Q desejado ´ a interse¸˜o de r com π1 , dada por Q = (4, 1, 2).

(3) O plano π que passa por A, B e C ´ dado pela equa¸˜o x − 2y + z + 1 = 0. Esse
                                        e                 ca
                                                              a
    plano contem o ponto D, o que prova que A, B, C e D s˜o coplanares. Os vetores
                                        a a
    BA = (1, 1, 1)E e CA = (2, 1, 0)E n˜o s˜o L.D., o que prova que os pontos A, B e
        a a                               a      e                a
    C n˜o s˜o alinhados, e portanto eles s˜o os v´rtices de um triˆngulo. A reta r pelos
                           co         e
    pontos B e C tem equa¸˜es param´tricas:
                                         
                                          x = 1 − t,
                                     r:     y = 1,
                                            z = t.
                                         

    O plano ρ passante por A e ortogonal a r tem equa¸˜o cartesiana ρ : x − z − 1 = 0;
                                                         ca
             ca             e                                              a
    a interse¸˜o de ρ com r ´ o proprio ponto B. Isso quer dizer que o triˆngulo ABC ´  e
       a
    retˆngulo. A√                 a                   e        e       a
                  altura desse triˆngulo relativa ao v´rtice A ´ a distˆncia entre A e B:
    dist(A, B) = 3.

(4) O plano π passante por A, B e C ´ ortogonal ao vetor AB ×AC. A equa¸˜o cartesiana
                                     e                                    ca
    de π ´ calculada facilmente: π : 2x − y + 2z − 6 = 0. A reta pela origem do sistema
         e
                                             co         e
    de coordenadas e ortogonal a π tem equa¸˜es param´tricas:
                                           
                                            x = 2t,
                                       r:    y = −t,
                                              z = 2t,
                                           

                                              4         4
    e a interse¸˜o de r com π ´ o ponto Q = ( 3 , − 2 , 3 ). Este ´ o ponto de π mais pr´ximo
               ca             e                     3             e                     o
    a
    ` origem do sistema de coordenadas.

(5) O plano π1 ´ ortogonal ao vetor N1 = (2, −3, 4)E e o plano π2 ´ ortogonal ao vetor
                e                                                   e
    N2 = (1, −1, −1)E . Os vetores N1 e N2 s˜o L.I., o que prova que π1 e π2 n˜o s˜o
                                              a                                 a a
                                        e             ca    a                    ,
    paralelos. O angulo θ entre π1 e π2 ´, por defini¸˜o, o ˆngulo entre N1 e N2√cujo
    cosseno ´ calculado usando o produto escalar: cos θ = N1 · N2 / N1 N2 = 1/ 87.
            e

				
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