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Corso di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
assegnato il 21 dicembre 2005
Esercizio 1
Se S e S due sottospazi affini sghembi di dimensione 3 di uno spazio affine A di dimensione
5, che dimensione ha S ∨ S ?
Costruisci un esempio di due sottospazi affini di A5 (R) aventi i requisiti di S e S .
Esercizio 2
In A5 (R) sono assegnati i punti
O = (0, 0, 0, 0, 0) , A = (0, 0, 1, 0, 0) , B = (3, 2, 0, 1, h − 1) , C = (k, 2, 1, 1, 0) ,
D = (h − 1, 2, 2, 1, 2h + 3) , E = (0, 1, 2, 1, 0) , h, k ∈ R .
Trova i valori di h e k per i quali:
a) O, A, B, C sono complanari e per tali valori trova equazioni della retta r parallela a OABC
e all’iperpiano x1 + x2 + x3 − 4 = 0, contenente E;
b) B, C, D sono allineati e per tali valori decidi se la retta BC e la retta r trovata in a) sono
parallele e calcola dim(r ∨ BC).
`
E possibile trovare un’affinit` f di A5 (R) che lascia fissi i punti O e A, tale che f (E) =
a
(0, 0, 2, 0, 0)?
Esercizio 3
In R3 ` assegnata la forma bilineare simmetrica la cui matrice rispetto alla base canonica
e
e
`
2 0 1
0 0 k , k∈R.
1 k 2
Determina, al variare di k,
a) una base del radicale di R3 ;
b) una base del sottospazio ortogonale a W = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0, 2y − z = 0}.
Trova i valori di k per cui risulta W ⊕ W ⊥ = R3 .
e
Ci sono valori di k per cui la forma bilineare ` un prodotto scalare?
Corso di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
assegnato il 30 gennaio 2006
Esercizio 1
In R3 sono assegnati la forma quadratica
q(x, y, z) = 2x2 + y 2 + 2kz 2 + 4xz − 4yz ,
la sua forma bilineare polare b, il sottospazio V = {(x, y, z) : z = 0}.
Diagonalizza q determinando il relativo cambiamento di coordinate, una base diagonaliz-
zante e la segnatura di q al variare di k ∈ R.
Per quali k ∈ R la forma bilineare b induce un prodotto scalare su V ?
Per ciascuno dei casi k = 0, k = 3, k = 5 determina, se esiste, un vettore non nullo di R3
isotropo rispetto a b.
Esercizio 2
In P4 (R) sono assegnati i punti A[5, 0, 0, 2, 0], B[3, 4, 0, 0, 1] e il sottospazio proiettivo π
dei punti P [x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ] tali che x1 + x2 + x4 = 0, x3 = 0. Sia r = L(A, B).
Determina
a) r ∩ π, L(r, π) e specificane la dimensione;
b) un piano π tale che L(r, π ) = P4 (R);
c) gli isomorfismi ϕ di R5 che inducono una proiettivit` tale che siano uniti i punti di r e di
a
π. I punti di L(r, π) sono uniti?
Rispondi al quesito che si ottiene da c) sostituendo π al posto di π.
Corsi di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
20 novembre 2006
Esercizio 1
Siano S2 e S3 due sottospazi affini di A5 (R) rispettivamente di dimensione 2 e 3 e di
giacitura M e N , tali che S2 ∨ S2 sia un iperpiano .
o
1.1. Determina i valori che pu` assumere dim M ∩ N ; in corrispondenza di essi cosa si pu` o
dire di S2 ∩ S3 ?
1.2. Prova che se esistono due rette incidenti, parallele sia a S2 sia a S3 , allora S2 e S3
sono paralleli.
Esercizio 2
In A4 (R) sono assegnati i seguenti sottospazi affini:
x1 + x2 − x4 = 1
x2 + (1 − h)x3 − x4 = 1
r : (1 − h)x3 − x4 = 0 π :
x1 + x2 − x4 = 2
x2 = h
2.1. Calcola dim r e dim π.
2.2. Prova che r e π sono paralleli per ogni h ∈ R .
2.3. Trova dimensione ed equazioni di r ∨ π al variare di h ∈ R.
2.4. Per h = 1 trova un vettore v ∈ R4 tale che, detta tv la traslazione da esso individuata,
si abbia
tv (π) = π , r ∩ tv (r) = ∅
.
Corsi di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
20 gennaio 2007
Esercizio 1
Siano
1 0 0 1 0 0 0 0
e1 = , e2 = , e3 = , e4 =
0 0 0 0 1 0 0 1
i vettori della base canonica di M2 (R) e sia b la forma bilineare simmetrica di M2 (R) la
e
cui restrizione al sottospazio V delle matrici simmetriche ` nulla, tale che e3 sia isotropo
e inoltre
b(e1 , e3 ) = 2 , b(e2 , e3 ) = 1 , b(e4 , e3 ) = 0 .
1.0. Trova una base di V .
1.1. Determina la matrice di b rispetto alla base canonica.
1.2. Prova che c’` un solo vettore ei della base canonica per cui M2 (R) = ei ⊕ e⊥ .
e i
1.3. Trova una base di M2 (R) ortogonale per b.
1.4. Prova che ogni base ortogonale per b contiene esattamente due vettori isotropi.
Esercizio 2
Nello spazio proiettivo P4 (R) sono assegnati il punto Q[1, 2, 0, 2, 1] e i sottospazi
2x2 − x3 + x5 = 0
x1 − x3 = 0
S : T : x3 + x5 = 0
x3 − x5 = 0
x1 − x2 = 0
2.1. Determina i sottospazi S ∩ T, L(S, T ), L(T, Q), specificandone la dimensione .
2.2. Detta π la proiezione di centro Q sull’iperpiano x3 + x4 = 0, trova π(S ∩ T ) e π(T ).
Corsi di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
26 novembre 2007
Esercizio 1
In A5 (R) sono assegnati l’iperpiano β di equazione x1 + x2 = 2 e il sottospazio T generato
dai punti
P1 (1, 1, 0, 1, 0), P2 (k, 1, 0, 3, 0), P3 (1, 2, k − 2, 1, k), P4 (2, 2, 0, k + 1, 2).
1.1. Determina un insieme di punti contenente P1 che genera β.
1.2. Prova che non ci sono valori di k ∈ R per cui T e β sono paralleli.
e
1.3. Determina i valori di k ∈ R per cui T ` un piano e scrivi le sue equazioni.
1.4. Posto k = 1, trova equazioni delle rette P1 P2 , P3 P4 e del loro congiungente.
1.5. Determina l’affinit` f di A5 (R) per la quale ` vero che:
a e
e
• P1 ` un punto unito,
e a
• la restrizione alla giacitura di β dell’isomorfismo φ associato a f ` l’identit`,
• φ(1, 0, 0, 0, 0) = (5, 4, 3, 2, 1).
a
Prova inoltre che per tale affinit` i punti di β sono uniti.
Esercizio 2
Siano A uno spazio affine con dim A ≥ 3, π un piano e α un iperpiano di A.
2.1. Prova che α e π non sono sghembi.
`
2.2. E possibile trovare un sottospazio S di A di dimensione maggiore di zero tale che α
e S siano sghembi?
Corsi di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
21 gennaio 2008
Esercizio 1
In R3 ` assegnato il sottospazio V = {(x, y, z) : x − 2y − 2z = 0}.
e
1.1. Determina la matrice rispetto alla base canonica della forma bilineare simmetrica b
su R3 per la quale
e
◦ e3 ` isotropo,
◦ b(e1 , e2 ) = 2,
◦ e⊥ = V ,
1
◦ e1 + e2 ∈ e⊥ ∩ e⊥ .
2 3
1.2. Trova una base di R3 diagonalizzante per b.
1.3. Determina la segnatura di b.
Esercizio 2
In P4 (R) sono assegnati i punti
P1 [1, 0, h, 0, 1], P2 [0, 1, 2h, 0, 0], P3 [h, −1, 0, 0, 2], P4 [3, 1, h, 0, −1].
2.1. Determina dimensione ed equazioni di Sh = L(P1 , P2 , P3 ) al variare di h ∈ R.
2.2. Per quali h ∈ R i punti P1 , P2 , P3 , P4 sono complanari?
2.3. Sia f la proiettivit` di P4 (R) indotta da un isomorfismo φ di R5 tale che
a
φ(e1 ) = −e1 + e2 + 4e3 − 2e4 , φ(e2 ) = e1 + e2 + 6e3 − 4e4 + e5 , φ(e3 ) = e4 , φ(e5 ) = e1 .
e
Prova che Sh ` un sottospazio unito per f solamente se h = 2.
Corsi di studio in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Compito di Geometria II
16 dicembre 2009
Esercizio 1
In A5 (R) sono assegnati il punto P (5, 4, 3, 2, 1) e i sottospazi che rispetto al riferimento
affine standard hanno equazioni
x2 = 2
x1 = 0
x = 0
3
π : x2 = k , r :
x4 = 0
x3 + x4 = 0
x5 = k + 1
Determina π ∩ r e π ∨ r al variare di k ∈ R.
Per ciascuno dei valori k = 2, k = 3 determina, se possibile,
a. una retta di π incidente r;
b. due distinti sottospazi di dimensione 3 contenenti P e paralleli a π ∨ r;
c. due distinti iperpiani contenenti P e paralleli a π ∨ r.
Esercizio 2
Verifica che vi ` una sola affinit` f di A4 (R) per la quale i punti O(0, 0, 0, 0), A(1, 0, 0, 0),
e a
B(1, 1, 0, 0) sono uniti e che fa corrispondere ai punti C(0, 0, 1, 1) e D(0, 0, 2, 1) rispettiva-
mente i punti C (1, 0, 0, 1), D (1, 1, 1, 0).
Sia α l’iperpiano che rispetto al riferimento affine standard ha equazione x2 + x3 = 0.
Determina l’iperpiano β tale che f (β) = α.
a
Trova i punti uniti dell’affinit` f .
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