Elementos Principais de Geometria Descritiva

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					Elementos Principais de Geometria Descritiva

        Alexandre Kawano        a
                              Jo˜ o Petreche

               13 de Agosto de 2000
PCC 2101                                                                                   Kawano&Petreche




     ´
Conteudo

         ¸˜ `
1 Introducao a Geometria Descritiva                                                                                     1
  1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                             1
                       ¸˜
  1.2 Sistemas de Projecao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                                              1
  1.3 Elementos principais da Geometria Descritiva . . . . . . . . . . .                                                4

2 Pontos e Retas                                                                                                       10
  2.1 Objetivos . . . . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
  2.2 Estudo do ponto . . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
  2.3 Estudo da reta . . . . . . . .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
       2.3.1 Elementos principais      .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   10
            ı
  2.4 Exerc´cios Gerais . . . . . .    .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   15




                                                                                                                        i
PCC 2101                                                         Kawano&Petreche




Lista de Figuras

  1.1                                               ¸˜
         Elementos principais do sistema de projecao. . . . . . . . . . . .        2
  1.2                                                   ¸˜
         Efeito da proximidade com o centro de projecao. . . . . . . . . .         2
  1.3                    ¸˜
         Centro de projecao no infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      3
  1.4               ı                ¸˜
         Sistema cil´ndrico de projecao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     3
  1.5               ı                          ¸˜
         Sistema cil´ndrico ortogonal de projecao. . . . . . . . . . . . . .       4
  1.6                                   e
         O perpendicularismo se mant´ m. . . . . . . . . . . . . . . . . . .       5
  1.7    Sistema de Monge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       6
  1.8          ¸˜
         Projecao de um ponto em dois planos perpendiculares entre si. . .         7
  1.9    Rotacao das figuras contidas em π2 em torno da linha de terra LT.
              ¸˜                                                                   7
  1.10   ´
         Epura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    8
  1.11         a         ¸
         Divis˜ o do espaco em quatro diedros. . . . . . . . . . . . . . . .       8

  2.1    Cota, afastamento e abscissa de um ponto. . . . . . . . . . . . . .      11
  2.2         ¸˜                  ´
         Projecoes de uma reta na epura. . . . . . . . . . . . . . . . . . .      12
  2.3       ¸
         Tracos de uma reta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    13




                                                                                  ii
PCC 2101                                                         Kawano&Petreche




   ı
Cap´tulo 1

        ¸˜ `
Introducao a Geometria
Descritiva

1.1 Objetivos
                     ´
O objetivo principal e apresentar ao leitor os fundamentos da geometria descritiva,
    ´                    a                ¸˜                    e
que e uma ferramenta gr´ fica para a solucao de problemas geom´ tricos no espaco.¸
             e                                             a           ´        ı
Nossa experiˆ ncia indica que o tema, apesar de ser de f´ cil leitura, e de dif´cil
                                                    e   ´               ı
aprendizado. A melhor forma de se aprender a mat´ ria, e fazendo exerc´cios.


                     ¸˜
1.2 Sistemas de Projecao
At´ se aprender multiplicacao de matrizes, era obvio que um ente a multiplicado
   e                        ¸˜                   ´
a outro b, resultaria em um ente a × b, que era igual a b × a. Em outras pala-
                                                           `
                                     o
vras, a propriedade comutativa era “´ bvia”. Depois da primeira mordida na aula
              ¸˜                 ı                                      a ´ ´
de multiplicacao de matrizes, ca´mos na realidade: a comutatividade n˜ o e obvia,
                 ¸˜               a                e a
e temos a sensacao de que o ch˜ o sob nossos p´ s n˜ o nos sustenta firmemente,
        o                                                                a
mas ap´ s algum tempo, percebemos claramente que a nossa compreens˜ o da ma-
     a
tem´ tica aumentou.
                                                                            u
     O mesmo acontece com o desenho e a geometria descritiva. Existem in´ meros
                  ¸˜                                    ı
sistemas de projecao, e depois que se atinge um certo n´vel de maturidade, pode-se
                        e                                    e
formular problemas alg´ bricos, resolver problemas de geod´ sicas (linhas de menor
                     e                                 e
comprimento), ou at´ mesmo projetar elementos geom´ tricos do 4-D para sistemas
         ¸˜                                                      a
de projecao 2-D. Mas paremos por aqui e iniciemos a jornada “` maturidade”.
                                               ¸˜        ı                     o
     Apresentamos agora dois sistemas de projecao, o cil´ndrico ortogonal e o cˆ nico.
                           a e
Em ambos os sistemas, h´ trˆ s elementos principais: o objeto a ser projetado, o
                 ¸˜                     ¸˜         ´
quadro de projecao e o centro de projecao, como e mostrado na figura 1.1.
                                                                                 ¸˜
     Um raio de luz (ou mais tecnicamente raio visual) parte do centro de projecao
O, passa por um ponto gen´ rico P do objeto, e atinge o quadro de projecao π em
                            e                                             ¸˜
Q. Dizemos que o ponto Q e a projecao de P em π. Projetando-se todos os pontos
                             ´       ¸˜
              e                 ¸˜
do objeto, obt´ m-se a sua projecao.

                                                                                   1
PCC 2101                                                                               Kawano&Petreche


                                                   O
              Objeto a
              ser projetado                                          Centro de projeção

                                                       P



                                                                                   o   π
                                                  Q
                                                                         roj   eçã
                                                                        p
                                                                     de
                                                              adro
                                                           Qu

                                    Raio Visual
                                                                      ¸˜
                  Figura 1.1: Elementos principais do sistema de projecao.


    Quando o centro de projecao P est´ a uma distˆ ncia finita (cuidado com os
                               ¸˜        a           a
conceitos de finito e infinito 1), aqueles objetos que est˜ o mais pr´ ximos do cen-
                                                        a          o
            ¸˜           ¸˜
tro de projecao tem projecao mais ampliada do que aqueles mais distantes, como
mostrado na figura 1.2.
               Quadro de projeção




                                                                                       Centro de
                                                                                       projeção




                                                  Dois objetos de exatamente
                                                  o mesmo tamanho


                                                                    ¸˜
             Figura 1.2: Efeito da proximidade com o centro de projecao.

                           ¸˜                          ¸˜ `          a
    Usando agora a abstracao, coloque o centro de projecao a uma distˆ ncia infinita
                    ¸˜                              a                         ´
do quadro de projecao, mantendo o objeto a uma distˆ ncia finita. O resultado e que
      a                                  ¸˜
a distˆ ncia do objeto ao quadro de projecao (note que agora, devido ao conceito
              a a                               a                         ¸˜    a
de infinito, n˜ o h´ sentido em falarmos em distˆ ncia ao centro de projecao) n˜ o
   1
            e                                           a                            a         a      ´
     Se vocˆ consegue dar um valor limitante para distˆ ncia, por maior que seja, ent˜ o a distˆ ncia e
                                         a            e       e              ´
finita. Por exemplo, se digo que a distˆ ncia entre vocˆ e o pr´ dio do IFUSP e menor que um milh˜ o a
                a            a      ´
de anos luz, ent˜ o essa distˆ ncia e finita


                                                                                                     2
PCC 2101                                                                                 Kawano&Petreche


                       ¸˜          ¸˜          ¸˜
influencia mais a ampliacao da projecao com relacao ao objeto sendo projetado
(ver figura 1.3).




                   Quadro de projeção
                                                                             Centro de projeção
                                                                             "no infinito"


                                                       Dois objetos de exatamente
                                                       o mesmo tamanho



                                                                   ¸˜
                                        Figura 1.3: Centro de projecao no infinito.

                             ¸˜       a         a                              o
     Quando o centro de projecao est´ a uma distˆ ncia finita, temos o sistema cˆ nico
         ¸˜                             a            a
de projecao (figura 1.1), e quando est´ a uma distˆ ncia infinita, temos o sistema
cil´ndrico de projecao (figura 1.4)2 .
   ı               ¸˜

                                                             Centro de projeção
                                                             no infinito




                                                                      Raios Visuais
                                                                      paralelos entre si

                                                                                         π
                                                                                   ção
                                                                             pr oje
                                                                         e
                                                                     rod
                                                                 ad
                                                              Qu


                                                               ı               ¸˜
                                        Figura 1.4: Sistema cil´ndrico de projecao.

                                     ¸˜                      a
   Continuando com a especializacao, se os raios visuais s˜ o perpendiculares ao
                ¸˜                        ¸˜    a`         a
quadro de projecao, e o centro de projecao est´ a uma distˆ ncia infinita do quadro
                a                       ı
(figura 1.5), ent˜ o, temos o sistema cil´ndrico ortogonal.
   2
                   a                ¸˜
       trata-se ent˜ o de uma abstracao, certo?


                                                                                                       3
PCC 2101                                                                Kawano&Petreche



                                     Centro de projeção
                                     no infinito




                                                       Raios Visuais
                                                   paralelos entre si,
                                                   e perpendiculares
                                                                  àπ

                                                                   ão
                                                                        π
                                                            ro jeç
                                                    d     ep
                                               adro
                                           Qu


                                     ı                         ¸˜
              Figura 1.5: Sistema cil´ndrico ortogonal de projecao.

                      a                             ı
   Duas propriedades s˜ o importantes no sistema cil´ndrico ortogonal:
                                                      ¸˜ ´
   1. Um segmento de reta paralelo ao quadro de projecao e projetado em verda-
                           ´                        ¸˜ ´
      deira grandeza, isto e, o comprimento da projecao e igual ao comprimento
           o
      do pr´ prio segmento.
   2. Sejam duas retas concorrentes e ortogonais entre si. Se (pelo menos) uma
            ´                            ¸˜      a           ¸˜                   a
      delas e paralela ao quadro de projecao, ent˜ o as projecoes das duas retas s˜ o
      perpendiculares entre si. Veja figura 1.6.
     Passamos agora a estudar os elementos principais da Geometria Descritiva, que
 a
s˜ o: pontos, retas e planos.


1.3 Elementos principais da Geometria Descritiva
A Geometria Descritiva, foi criada por Gaspar Monge (1746-1818), um matem´ tico  a
     e                       a
francˆ s que serviu Napole˜ o em sua campanha pelo Egito, foi seu Ministro da Ma-
                    a                               a               ı          ı
rinha, e que tinha v´ rios interesses tanto na Matem´ tica como na F´sica e Qu´mica.
                                                           e         ¸       ı
Foi amigo de Lavoisier e Fourier. Para termos uma id´ ia do avanco cient´fico da
´                                          e
epoca, em 1800 Volta inventa a pilha el´ trica!
               ¸˜               ¸˜
    A motivacao para a criacao da Geometria Descritiva foi o projeto de fortes
                                                         e
militares, que naturalmente envolvia problemas geom´ tricos tridimensionais com-
             o             ¸˜
plexos. Ap´ s sua invencao, ela foi conservada como segredo militar por v´ rios  a

                                                                                      4
PCC 2101                                                        Kawano&Petreche




                                                                 Retos!




                                                          e
                   Figura 1.6: O perpendicularismo se mant´ m.


              o             a                                        a       o
anos pelo pr´ prio Napole˜ o. Certamente, a Geometria Descritiva n˜ o era “´ bvia”,
como hoje pode parecer.
                                                                               a
     E, afinal, qual era o grande “segredo” de Gaspar Monge? Era o uso simultˆ neo
                           ¸˜     ı
de dois sistemas de projecao cil´ndricos ortogonais, ortogonais entre si, como mos-
trado na figura 1.7.
                e a                                             ¸ ´
     Como vocˆ j´ deve ser capaz de intuir, um ponto no espaco e representado no
sistema mongeano como na figura 1.8.
     Falando um pouco mais formalmente, um ponto P no espaco tridimensional e
                                                                  ¸                ´
localizado por trˆ s coordenadas, x, y e z. Atrav´ s da projecao em dois planos π1 e
                  e                               e          ¸˜
π2 , e poss´vel se especificar as trˆ s coordenadas de P ,.
     ´     ı                        e
     A reta resultante da interseccao dos planos π1 e π2 e denominada linha de terra
                                   ¸˜                     ´
(L.T.).
     Tanto o plano π2 como as figuras nele resultantes s˜ o rotacionados em torno da
                                                         a
L.T. de modo a ficarem coplanares com π1 , como e indicado na figura 1.9.
                                                     ´
                    ¸˜
     Assim, a posicao de um dado ponto P pode ser totalmente descrita por suas
projecoes em π1 e π2 , dispostos em um unico plano (figura 1.10), denominado
       ¸˜                                    ´


                                                                                  5
PCC 2101                                                                  Kawano&Petreche




                                      ção
                                            π2
                                pr oje
                       o   de                                   Triângulo
                   adr
                 Qu                                             no espaço




                       ra
                   Ter
                 a
                                                                      π
                       ra


               h
                      r



           Lin
                   Te




                                                                      1
                                                                 ão
                   a




                                                             jeç
             nh




                                                          ro
           Li




                                                      dep
                                                 adro
                                            Qu


                            Figura 1.7: Sistema de Monge.


´          ´                                                a
epura. Na epura, logo acima e abaixo da linha de terra s˜ o escritos os algarismos
                                  a
correspondentes aos planos que d˜ o origem a ela (figura 1.10).
    O segmento que une as projecoes do ponto P , P1 e P2 , e denominada linha
                                   ¸˜                            ´
                                                        `
de chamada. Perceba que ela deve ser perpendicular a linha de terra. Convencio-
naremos neste curso, designar o plano π1 , que cont´ m os eixos x e y, de plano
                                                       e
horizontal de projecao e o plano π2 , que cont´ m os eixos x e z, de plano vertical de
                   ¸˜                         e
     ¸˜           ¸˜                                               ¸˜ ´
projecao. A projecao de um ponto no plano horizontal de projecao e denominada
     ¸˜                       ¸˜                                   ¸˜
projecao horizontal, e a projecao sobre o plano vertical, de projecao vertical.
                                                          ¸
    Em resumo, pode-se perceber que um ponto no espaco pode ser completamente
                                  ¸˜
especificado dadas as suas projecoes ortogonais em dois planos perpendiculares
(afinal de contas, temos as trˆ s coordenadas x, y, z de cada ponto), designados
                               e
                          ¸˜                            ¸˜
plano horizontal de projecao, e plano vertical de projecao.
                                             ¸˜                    ¸
    Os planos vertical e horizontal de projecao, dividem o espaco em quatro die-
           ´
dros como e mostrado na figura 1.11.




                                                                                        6
PCC 2101                                                                                                                                      Kawano&Petreche




                                                      o 2                    π
                                               roj eçã
                                       dep
                          a        dro                         P2
                       Qu                                                                  P


                                            ra
                                         Ter a
               z                      ha Terr
                                   Lin nha



                                                                                            1
                                                                                           P
                                      Li
                                                                                                                     ão
                                                                                                                                         π1
                    y x




                                                                                                              ro jeç
                                                                                                  e       p
                                                                                            r  od
                                                                                    ad
                                                                                 Qu


                    ¸˜
   Figura 1.8: Projecao de um ponto em dois planos perpendiculares entre si.


                                                                                                                                        ão
                                                                                                                                             π2
                                                                                                                                  jeç
                                                                                                                        e   pro
                                                                                                               adr
                                                                                                                     od                 P2
                                                                                                          Qu                                      P


                                                                                ão
                                                                                     π2                                  ra
                                                                       j   eç                                         Ter rra
                                                                   pro                                             ha
                                                                                     P2              z                    e
                                                                                                                                                   1




                                                                                                                Lin nha T
                                                                                                                                              P




                                                              de                                                    i
                                                                                                                                                                π
                                                         ro                                                        L
                                                    ad
                                                                                                                                                                1




                                               Qu
                                                                                                                                                           ão
                                                                                                                                                        eç




                                                                                                          y
                                                                                                                                                        oj
                                                                                                                                                      pr
                                                                                                                                                  de
                                                                                                                                                  o
                                                                                                                                              dr




                                                                                     rra
                                                                                                                                             ua




                                                                                Te rra
                                                                                                                                         Q




                                                                            ha
                                                                                                     1




                                                                                   Te
                                                                                                P




                                                                       Lin      ha
                                                z
                       2




                                                                             Lin
                    π




                                                                                                                       π
                  ão
               eç



                               2




                                                                   x
                                                                                                                       1
                       P




                                                                                                                                                                    rra
               oj
              pr




                                                                                                             ão
          de




                                                                                                          eç




                                                                                                                                                                te




                                                               y
                                                                                                         oj
          o




                                                                                                         pr
        dr




                                                                                                                                                             de
     ua




                                                                                                 de
    Q




                                                                                                 o
                                                                                                dr




                                                                                                                                                      ha
                                                                                            ua
                                                                                           Q




                                                                                                                                                  lin
                                                    1
                                               P




                                                                                                                                             da




               z
                                                                             π
                                                                                                                                    o




                           x
                                                                                1




                                                                                                                             rn
                                                                  ão




                                                                                                                       to
                                                               eç




                       y
                                                              oj




                                                                                                              em
                                                         pr
                                                de
                                                o




                                                                                                         to
                                               dr
                                           ua




                                                                                                 en
                                           Q




                                                                                            im
                                                                                           at
                                                                                       eb
                                                                                 R




 Figura 1.9: Rotacao das figuras contidas em π2 em torno da linha de terra LT.
                 ¸˜


                                                                                                                                                                          7
PCC 2101                                                                                                       Kawano&Petreche




                                                                              P2




                                                           Linha de chamada
                           z

                                                                              Linha terra 2
                                      x                                                               1
                           y

                                                                              P1
                               Estes números
                               representam π1 e π2

                                                         ´
                                            Figura 1.10: Epura.




                                 d   ro
                             Die
                      n do
                S egu                                                          P2
                                                                                                                 iedro
                                                                                            P
                                                                                                          eiro D
                                                                                                    Prim
                                de projeção π 2




                                                                                         a
                                                                                      err
                                                                                    aT
                                                                                            ra




                                                                                   h
                                                                               Lin
                                                                                            r
                                                                                         Te
                                                                                        a




                                                       z
                                                                                   nh
                                                                                   Li


                                                                                                1
                                                                                            P
                                                                 y x
                     Q
                          ua
                           dr




                     dro
                               o
                               de




                   ie
                                     pr




              ro D
                                          oj
                                      Quadro
                                               eç




           ei
                                                  ão




          c                                            1
                                                    π




      Ter


                                                                                              ie    dro
                                                                                    ar   to D
                                                                              Qu
                                   a          ¸
                 Figura 1.11: Divis˜ o do espaco em quatro diedros.


                                                                                                                             8
PCC 2101                                                   Kawano&Petreche




         ı
   Exerc´cio 1: Um ponto pode estar em qualquer um dos quatro diedros. Faca  ¸
         ´                      ¸˜
  quatro epuras indicando a posicao de pontos nos quatro diedros diferentes.




        ı                                                             ¸˜
   Exerc´cio 2: Escreva uma justificativa simples para o fato das projecoes de um
                                             `
  ponto estarem sobre uma reta perpendicular a linha de terra.




                                                                            9
   ı
Cap´tulo 2

Pontos e Retas

2.1 Objetivos
                     e                             ¸˜
Os elementos geom´ tricos principais para a resolucao de qualquer problema espa-
      a                            ı
cial s˜ o pontos e retas. Neste cap´tulo, examinaremos esses entes, procurando no
                                                              e
processo de aprendizado, fomentar o amadurecimentos de id´ ias relacionadas ao
     ¸        e
espaco geom´ trico representado no sistema de Monge.


2.2 Estudo do ponto
A distˆ ncia z de um ponto P ao plano horizontal de projecao e denominada cota,
       a                                                     ¸˜ ´
                                      e a
como na geometria cotada, que vocˆ j´ estudou no primeiro semestre. Na epura,  ´
        ´      a                                e         ¸˜
a cota e a distˆ ncia acima da linha de terra at´ a projecao vertical do ponto, como
´
e mostrado na figura 2.1. Um ponto pertencente ao plano horizontal de projecao     ¸˜
                                 ´                ¸˜
tem cota nula, e portanto, na epura, sua projecao vertical deve estar na linha de
terra. A coordenada y de um ponto P e denominada afastamento. Na epura, o
                                           ´                                 ´
              ´        a                                   e        ¸˜
afastamento e a distˆ ncia abaixo da linha de terra at´ a projecao horizontal do
ponto. A coordenada x, fixada a partir de uma origem arbitr´ ria, e denominada
                                                                  a    ´
abscissa.
    Um ponto pertencente ao plano vertical de projecao tem coordenada y nula, e
                                                        ¸˜
                     ¸˜                                                  ´
portanto, sua projecao horizontal deve estar sobre a linha de terra. E importante
           ´      ı          e
notar que e poss´vel a existˆ ncia de cotas e afastamentos negativos. Por exemplo,
um ponto no segundo diedro tem cota positiva, mas afastamento negativo. Um
ponto no quarto diedro tem cota e afastamento negativos.


2.3 Estudo da reta
2.3.1   Elementos principais
                                           ´
Uma forma de se especificar uma reta r e fornecendo dois pontos por onde ela
passa. Uma outra seria atrav´ s de suas projecoes em π1 e π2 como e mostrado na
                            e                ¸˜                   ´


                                        10
PCC 2101                                                          Kawano&Petreche




                                                                (P tem
                                               P2
                                                                abscissa,
                                                              P afastamento
                                                      err
                                                         a      e cota
                    1
                Q                                   aT




                                                            rra
                                                 inh




                                                         Te
                                                L               positivos)




                                                      a
                                                    nh
                                    ta)




                                                 Li
                                   o
                              z (c




                                          en sa)



                                                             1
                                                          P
                                        am is

                                              )
                                            to
                                      st c
                                    fa bs
                                  (a (a
                                 y x

      (Q tem Q
      afastamento
                                          Q2
      e cota
      negativos)


              Figura 2.1: Cota, afastamento e abscissa de um ponto.


                          a                                      e
figura 2.2. Perceba que j´ estamos usando a nova ferramenta (´ pura) que acabamos
                   a
de apresentar. H´ quatro pontos e dois segmentos de reta no desenho, mas eles
representam apenas um segmento de reta e dois pontos.
                 ¸˜            ¸˜                         ı           u
    Na designacao das projecoes da reta, usa-se como ´ndice o n´ mero do plano
de projecao correspondente. Assim, por exemplo, a projecao em π2 e designada
          ¸˜                                                  ¸˜         ´
por r2 . Os tracos de uma reta s˜ o pontos resultantes das interseccoes da reta com
               ¸                  a                                  ¸˜
                    ¸˜                 ´                           ´
os planos de projecao. Um exemplo e mostrado na figura 2.3. E muito importante
                 ´
compreender a epura associada.
    O traco de uma reta r no plano π1 e designada por r ∩ π1 e no plano π2 , r ∩ π2 .
           ¸                             ´
                     ¸                                                       ´
    Veja que o traco no plano horizontal tem cota nula, e portanto, na epura, a
      ¸˜                    ¸                                           ı      a
projecao vertical de tal traco deve estar sobre a linha de terra. Racioc´nio an´ logo
                         ¸                               e
pode ser feito para o traco no plano vertical. Note tamb´ m que as linhas de chama-
    a                             `
da s˜ o sempre perpendiculares a linha de terra.




                                                                                  11
PCC 2101                                                               Kawano&Petreche




                   π2
                                                                                                 A2
                       A2
                             A




                                                                              Linha de chamada
                                                   B2
                                                                                                       2




                                                    Linha de chamada
                    A
                        1
                                                                                                       1
   B2                                                                                            A1
                   B                   π1

                                                    B1
                       1
                  B




                                  ¸˜                  ´
                 Figura 2.2: Projecoes de uma reta na epura.




       ı                              a            ´
  Exerc´cio 1: Os pontos A, B, C e D s˜ o dados em epura. Determinar:

               ¸˜                          e                         ¸˜
    1. as projecoes dos pontos A’ e B’, sim´ tricos de A e B com relacao ao plano
                          ¸˜
       horizontal de projecao.

                ¸˜                         e                         ¸˜
    2. as projecoes dos pontos C’ e D’, sim´ tricos de C e D com relacao ao plano
                        ¸˜
       vertical de projecao.

                            B2                                              D1
           A2                                 C1
                            B1                                              D2
                                   2                                                              2
                                   1                                                              1
           A1                                  C2




                                                                                                  12
PCC 2101                                                                               Kawano&Petreche




  Exerc´cio 2: S˜ o dados uma reta r e um ponto P ∈ r , representados em epura.
        ı         a                                                      ´
  Determinar a projecao do ponto P em π1.
                    ¸˜

                                                                                  r2
                                                      P2




                                                                                             2

                                                                                             1

                                                                                  r1




                                π2          )2
                                   ∩   π2
                                (r                                                                            (r ∩ π2 )2
                                                                                                        Linha de chamada




                                                                                  (r ∩ πLinha Terra
                                                                                        1 )2                                    2
                                                             Linha de chamada
                                          1
                                        2)
                                     π




                         rra                                                                                   1
                                    ∩




               )i2 ha Te                                                                              (r ∩ π2 )1
                                (r




            π1 L n
       r∩
   (
                                                 π1
                                                                                (r ∩ π1 )1
                                         1
                                       1)
                                    π
                                ∩
                               (r




                                                   ¸
                                    Figura 2.3: Tracos de uma reta.




                                                                                                                           13
PCC 2101                                                      Kawano&Petreche




  Exerc´cio 3: Determinar os tracos da reta r no plano horizontal π1 e vertical π2 .
        ı                         ¸
  Se vocˆ acertou, deve ter marcado no papel quatro pontos.
        e



                                  r2




                                                                       2
                                                                       1
                                   r1




   Exerc´cio 4: Determinar os tracos da reta r com os planos de projecao. Obter na
         ı                        ¸                                  ¸˜
  reta r o ponto A de afastamento igual ao comprimento d e o ponto B de cota d .
                                                                             2



                 r2

                                                                           d

                                                             2

                                                             1
                 r1




                                                                               14
PCC 2101                                                                     Kawano&Petreche


     ¸                ı                a                      a
   Faca todos os exerc´cios que agora s˜ o propostos. Alguns s˜ o desafios.


         ı
2.4 Exerc´cios Gerais

   Exerc´cio 5: Completar as projecoes que faltam, sabendo-se que as retas r e s
         ı                             ¸˜
  s˜ o concorrentes entre si e o ponto O pertence a s.
   a                                              `


                              r2
                                                                       s2


                                                                                  2

                                                                                  1
                                                                  r1
                                    O1




   Exerc´cio 6:
         ı                                           ˆ
                         Convenca-se de que o angulo A (pense no espaco) mostrado na
                               ¸              ˆ                      ¸
  epura e retoa .
  ´     ´




                                       A2                                               2

                                         A1                                             1



     a
                ´                                         e a                  a ´
         Parece obvio, mas nessa altura do campeonato, vocˆ j´ deve saber que n˜ o e!




                                                                                            15
PCC 2101                                                  Kawano&Petreche



                                           ˆ
  Exerc´cio 7: Convenca-se de que o angulo A mostrado na epura n˜ o tem 60 deg.
       ı             ¸              ˆ                    ´      a




                                      60 deg




                           A2

                                                                2
                                                                1


                           A1




   Exerc´cio 8: Quantas retas no espaco formam um angulo de 60 graus com π1 e
          ı                          ¸            ˆ
   a
  s˜ o frontais?




                                                                          16
PCC 2101                                                   Kawano&Petreche




        ı                      ´       e                      ˆ
   Exerc´cio 9: Representar em epura trˆ s retas que fazem um angulo de 60 graus
  com π1 .




   Exerc´cio 10: Tracar por A as retas paralelas a π2 que fazem um angulo de
        ı              ¸                         `                 ˆ
  60 deg com π1 e obter seus tracos.
                                ¸




                                                                           17
PCC 2101                                                       Kawano&Petreche




   Exerc´cio 11: Os pontos A e B definem uma reta s paralela a reta r . Determine
         ı                                                  `
  as projecoes de s.
           ¸˜


                   r2

                                                                         d
                    A2
                                                             2

                                                             1
                   r1                             B1




         ı
   Exerc´cio 12:    Determinar a reta s paralela a π1 que passa por A e que se ap´ ia
                                                 `                               o
  na reta r .


                         r2


                              A2
                                                                   2

                                                                   1
                         r1




                              A1




                                                                               18
PCC 2101                                                      Kawano&Petreche




  Exerc´cio 13: Determinar a reta perpendicular a π2 que se ap´ ia nas retas r e s.
       ı                                        `             o


                                    r2




                              s2
                                                               2
                                                               1

                   r1




                         s1




   Exerc´cio 14: Determinar as retas que passam por A, fazem um angulo de 60
         ı                                                      ˆ
  graus com π1 , e que se ap´ iam em r .
                            o


                                                  A2
                               r2



                                                              2
                                                              1


                    r1                            A1




                                                                              19