KONVEX GEOMETRIA . TÉTEL 1. Helly-tétel Kulcsszavak 1.1. konvex

							                 KONVEX GEOMETRIA  . TÉTEL

                           NASZÓDI MÁRTON



                           1. Helly-tétel
Kulcsszavak 1.1. konvex/an/lineáris                            kombiná-
ció/burok/összefügg®ség, an altér, hipersík.
Denició 1.2. A, B ⊂ Rn halmazok (szigorúan) elválaszthatók, ha
van egy H hipersík, amire A a H álttal határolt egyik zárt (illetve nyílt)
féltérbe esik, B a másikba.
Állítás 1.3. A ⊂ Rn zárt konvex, B ⊂ Rn kompakt konvex, A∩B = ∅.
Ekkor A és B szigorúan elválaszthatók.
Állítás 1.4. Két diszjunkt konvex halmaz elválasztható.
Denició 1.5. Az A ⊂ Rn -nek a H hipersík támaszhipersíkja, ha met-
szi cl(A)-t és A a H által határolt valamelyik féltérbe esik.
Következmény 1.6. A ⊂ Rn konvex.
Ekkor bármely határpontján át halad támaszhipersík.
Következmény 1.7. A ⊂ Rn zárt konvex.
Ekkor A az A-t tartalmazó zárt félterek metszete.
                                   ***
Tétel 1.8 (Helly). K1 , ..., Km ⊂ Rn konvex halmazok, n + 1 ≤ m,
bármely (n + 1)-nek van közös pontja.
        m
Ekkor         Kl = ∅.
        l=1

  Fontos a végesség: Példa: párhuzamos nyílt félterek.
Tétel 1.9 (Helly). {ki }i∈I Rn -beli zárt konvex halmazok, és K1 kom-
pakt és bármely (n + 1) metszete nem üres, n + 1 ≤ |I|.
Ekkor     Ki = ∅.
        i∈I

Következmény 1.10 (Kircheberg). A, B ⊂ Rn véges halmazok. Tet-
sz®leges C ⊂ A ∪ B , |C| = n + 2, C ∩ A = ∅,C ∩ B = ∅ halmazra C ∩ A
és C ∩ B szigorúan elválaszthatók.
Ekkor A és B szigorúan elválaszthatók.
                                    1
2                               NASZÓDI MÁRTON

Tétel 1.11 (Caratheodory). A ⊂ Rn r-dimenziós.
                                                 r
Ekkor conv(A) = {y ∈ Rn : y =                         λi xi ; x1 , ..., xr ∈ Rn , λi >
                                                i=1
           r
0 (∀i),         λi = 1}.
          i=1

Tétel 1.12 (A Helly-tétel Klee-féle változata). {ki }i∈I Rn -beli kom-
pakt konvex halmazok, K kompakt konvex és bármely (n + 1) metszete
tartalmazza K egy eltoltját.
Ekkor létezik r ∈ Rn , amire K + r ⊆ Ki .
                                          i∈I

                                   2. Lapok
    (x, y) a nyílt szakasz.
Denició 2.1. Az A ⊆ Rn konvex halmaznak a B ⊆ A konvex halmaz
lapja, ha
                     (x, y ∈ A, (x, y) ∩ B = ∅) =⇒ x, y ∈ B.
  Halmaz dimeziója: az an burkának a dimenziója.
Extremális pont: a 0-dim. lap.
Állítás 2.2. A ⊆ Rn konvex.
Ekkor
  • {Fi }i∈I az A lapjainak egy családja. Ekkor                   Fi is lap.
                                                            i∈I
    • B az A lapja, C a B lapja, akkor C az A lapja.
    • H támaszhipersík, akkor H ∩ A laja A-nak.
Tétel 2.3 (Krein-milman). A ⊂ Rn kompakt, konvex.
Ekkor A = conv(extr(A)).
Denició 2.4. A ⊂ Rn konvex, H egy támaszhipersíkja. Ekkor H ∩ A
az A egy exponenciális lapja.
A 0-dim. exponenciális lapok az exponenciális pontok, halmazuk:
exp(A).
    Persze exp(A) ⊆ extr(A).
Tétel 2.5 (Straszewich). A ⊂ Rn kompakt, konvex.
Ekkor A = cl(conv(exp(A))).
                                3. Politópok
  Politóp: Véges sok pont konvex burka.
Poliéder: Véges sok zárt féltér metszete.
Tétel 3.1. Korlátos poliéderek = politópok.
                        KONVEX GEOMETRIA  . TÉTEL                       3

  i dim. lapok száma: fi .
f−1 := 1, f0 = csúcsok száma, fr = 1, ha r-dimenziós.
Az A, B ⊆ Rn halmazok Minkowski-összege: A + B := {a + b : a ∈
A, b ∈ B}.

  Zonotóp : Adott vége sok szakasz: I1 , ..., Ik , ezek összege.
r-dimenziós szimplex : (r + 1) darab an független pont konvex burka.
Gúla : Q ⊂ Rn r − 1 dimenziós politóp, x ∈ Rn \Af f (Q). A Q alapú
gúla: conv({x} ∪ Q).
Állítás 3.2. fk (Gúla) = fk (Alap) + fk−1 (Alap)
Következmény 3.3. fk (r-dimenziós szimplex) =                r+1
                                                             k+1

Denició 3.4. Momentumgörbe:
                                R → Rn
                           Γ:                           .
                                 t → (t, t2 , ..., tn )
Denició 3.5. Az n + 1 ≤ v pont által generált ciklikus politóp: Adott
t1 < ... < tv . C(v, n) := conv{Γ(tk ) : k = 1, ..., v}.
Állítás 3.6. C(v, n) lapjai szimplexek.
Állítás 3.7. 1 ≤ k ≤ n/2.
Ekkor C(v, n) bármely k generáló pontjának konvex burka lap.
Tétel 3.8 (Euler-Poincaré). P ⊂ Rn egy r-dimenziós politóp.
         r
Ekkor          (−1)k fk (P ) = 0.
        k=−1

Bizonyítás. Van egy szép geometriai. Másképp: abból is bizonyítható,
hogy az S r−1 gömb Euler-karakterisztikája 0 illetve 2, ha r páros illetve
páratlan.

                            4. Térfogat, felszín
Denició 4.1 (A felszín Minkowski-féle deníciója). A ⊂ Rn konvex.
                                    V ol(A+B(0,ρ))−V ol(A)
Felszíne: Ar(A) := lim inf                    ρ
                         ρ→0+

Tétel 4.2 (A Brunn-Minkowski egyenl®tlenség). A, B ⊂ Rn konve-
xek.
Ekkor (V ol(A + B))1/n ≥ (V ol(A))1/n + (V ol(B))1/n
és egyenl®ség pontosan akkor áll fenn, ha homotetikusak, azaz A =
λB + t.
  A gömb a vele azonos térfogatú halmazok közül a legkisebb felszin¶:
4                          NASZÓDI MÁRTON

Következmény 4.3 (Izoperimetrikus egyenl®tlenség). K ⊆ Rn kom-
pakt, konvex halmaz.
                 n               n
Ekkor (V(Ar(K)) ≥ (V(Ar(B(0,1)))
         ol(K)) n−1  ol(B(0,1)))n−1

                     5. Geometriai számelmélet
   Típusprobléma: F : Rn → R, F (0) = 0 adott. Milyen λ-ra lesz az
F (x) ≤ λ egyel®tlenségnek a 0-n kívül egész megoldása?
Tétel 5.1 (Minkowski). K origóra szimmetrikus konvex test, int(K)
nem üres. K ⊂ Rn , V ol(K) > 2n .
Ekkor K ∩ Zn \{0} = ∅.
Bizonyítás. Blichfeldt-tétele: M ⊂ Rn korlátos Jordan-mérhet®,
V ol(M ) > 1.
Ekkor ∃x, y ∈ M, x = y : x − y ∈ Zn .
Tétel 5.2 (Blichfeldt-tétel általánosan). M ⊂ Rn korlátos, Jordan-
mérhet®, V ol(M ) > k , k ∈ Z.
Ekkor ∃x0 , x1 , ..., xk ∈ M páronként különböz®ek, amikre:
                        xi − xj ∈ Zn (∀i = j).
Következmény 5.3 (Minkowski tétel általánosan). K                     0-
szimmetrikus, konvex test, int(K) nem üres, V ol(K)           >     2 k,
                                                                     n

k ∈ Z.
Ekkor létezik k különböz® pár: ±u1 , ..., ±uk :
                           ui ∈ M ∩ Zn \{0}.
Ez éles: K := (0, 1)n . Alkalmazások:
  1. Alkalmazás:
Denició 5.4. n-edrend¶ Farey-sorozat: azon p/q alakú racionális
számok növekv® sorrendben, melyekre 0 < p < q ≤ n, (p, q) = 1.
Jele: Fn
Tétel 5.5. a/b és c/d az Fn egymás utáni tagjai.
Ekkor bc − ad = 1
    2. Alkalmazás:
Denició 5.6. α ∈ R-et p/q jól approximálja, ha |α − p/q| ≤ 1/q 2 .
(p, q ∈ Z).
Tétel 5.7. α > 0 irracionális szám.
Ekkor ∀ε > 0∃p, q jó approximációja, amire |α − p/q| ≤ 1/q 2 < ε.
    3. Alkalmazás:
                   KONVEX GEOMETRIA  . TÉTEL                        5

Tétel 5.8. Bármely Q(x) = (a11 x1 +a12 x2 +...+a1nxn )2 +...+(an1 x1 +
... + ann xn )2 kvadratikus formához det(A) = 0 esetén ∃x∗ ∈ Zn \{0},
amire
                                     |det(A)| n
                                              2
                          Q(x∗ ) ≤ 4
                                        ωn
,ahol ωn = V ol(B(0, 1/2)).
  4. Alkalmazás:
Tétel 5.9 (Lagrange). Minden nemnegatív egész szám el®áll, mint 4
négyzetszám összege.