SELECTIVIDAD GEOMETRIA

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SELECTIVIDAD GEOMETRIA Powered By Docstoc
					       I.E.S. “Virgen de la Paz”.
          Alcobendas                                    DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



       SELECCIÓN DE PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD Y GEOMETRÍA


1. Estudiar la posición relativa de las rectas
                        x −1 y − 3 z              x−3           z −1
                     r:       =       =      y s:        =y=
                          2       4      5          2             3
2. Sean P = (1,1,0) , Q = (0,1,1) y R un punto arbitrario de la recta r : x − 2 = y − 1 = z − 2 .
    De todos los triángulos PQR así obtenidos:
   (a) ¿Hay alguno rectángulo?
   (b) ¿Cuál es el que tiene área mínima?
                                                            mx − 2 y + 6 − m = 0
3. Calcula m y n de forma que sean paralelas las rectas r :                      y
                                                            2 x − z + 3 = 0
      x y      z
   s: = =
      n 3 −1
4. Demuestra que, para todo número real α, los tetraedros con vértices
    A = (α ,1 + α ,1 − 2α ) , B = (1 + α , α ,1 − 2α ) y C = (1 + α ,1 + α ,−2α ) y un punto de la
             x − y = 0
   recta r :                 tienen el mismo volumen.
             2 y + z = 0
                                                                  (1 − λ ) x − 2 y − 2 z = −4
5. Se dan el plano π : x + 3 y + (2 + λ ) z = 7 y la recta r :                                .
                                                                   x + (2 − λ ) y + z = 3
    Determina la posición relativa entre r y π según los valores del parámetro λ.


                         x − 2 y = −1     x − 2z = 5
6. Dadas las rectas r ≡               y s≡              comprueba:
                        y − z = 1         x − y − z = 1
   (a) Las dos rectas son paralelas.
   (b) Determinar la ecuación del plano π que las contiene.
                                                                          2 x − y = 0
7. Determina los valores de los parámetros a y b, para que las rectas r ≡             y
                                                                          ax − z = 0
        x + by = 3
   s≡              se corten ortogonalmente. Calcular las coordenadas del punto de
       y + z = 3
   intersección.
8. Halla la intersección de la recta r, determinado por los punto A = (1,6,3) y B = (2,6,0)
    con el plano π ≡ x − y + 3 z = 2 .
9. Estudia la posición relativa de los planos siguientes, según los valores de m:
       I.E.S. “Virgen de la Paz”.
          Alcobendas                                     DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS



                             π ≡ mx + y + z = 1
                             π ′ ≡ x + my + z = 1
                             π ′′ ≡ x + y + mz = 1
                        x − y + 2z + 1 = 0      2 x + y − 3 z − 4 = 0
9. Dadas las rectas r ≡                     y s≡                      , halla la ecuación
                        3 x + y − z − 1 = 0     x + y + z = 0
   del plano que contiene a r y es paralelo a s.
                                              x + y − z + 3 = 0              y −3 z
10. Consideremos las rectas de ecuaciones r ≡                   y s ≡ x +1 =     =
                                              − 2 x + z − 1 = 0                n   2
   (a) Halla n para que r y s sean paralelas.
   (b)Para el valor de n obtenido en el apartado anterior, determina la ecuación del plano
       que contiene ambas rectas.
                                         x y −1 z − 3      x − 2 y z +1
10. Se consideran las rectas r: r :        =    =     ; s:      = =
                                         1   −2   2          3   1  −1
       a. Hallar unas ecuaaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y a s y
             que corta a ambas.
       b. Halla unas ecuacones cartesianas de la recta que corta a r y a s y pasa por el
             punto P(1, 0, 0) .
                                                            x = 1+ λ
                        x − 2 y −1 z +1                    
11. Sean las rectas r :      =    =                  y s : y = 2 − λ
                          1    k    −2                      z = 2λ
                                                           
       a. Hallar k para que r y s sean coplanarias.
       b. Para el valor de k obtenido, hallar la ecuación del plano que contiene a ambas
             rectas.
       c. Para el anterior valor de k, hallar la ecuación de la recta perpendicular común a
             las dos rectas dadas.
12. Sean los puntos P (8, 13, 8) y Q(-4, -11,-8). Se considera el plano π, perpendicular al
    segmento PQ por su punto medio.
        a. Obtener la ecuación del plano π.
        b. Calcular la proyección ortogonal del punto O sobre π.
        c. Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que π corta a
           los ejes de coordenadas.
                                                    x −1 y z +1
13. Se consideran el plano π : x + y – 2z = 6 ; r :     = =          .
                                                      2   3     −1
        a. Hallar las coordenadas del punto simétrico de M (1, 1, 1 ) respecto del plano π
        b. Hallar las coordenadas del punto simétrico de M (1, 1, 1 ) respecto de r.