Què és la Geometria

Document Sample
Què és la Geometria Powered By Docstoc
					Què és la Geometria?
Brian Bolt
Universitat d'Exeter, Regne Unit




Aquest article és la traducció al català1 d'un extracte de la conferència que l’autor va realitzar la
primavera de 1998 durant el Trimestre Intensiu en Educació Matemàtica (TIEM98) que va
organitzar el Centre de Recerca Matemàtica. L'autor qüestiona el paper tradicional de la
Geometria en a l'ensenyament obligatori, i proposa com a alternativa un ensenyament d'aquesta
disciplina que ajudi l'alumne a una millor comprensió de l'espai i de l'entorn en el qual viu.
Mostra la manera de fer-ho a partir de la manipulació de poliedres, figures planes i mecanismes
articulats.




     M'agradaria començar explicant breument               exercicis que venien després. Però, quin
les meves experiències relatives a l'aprenentage           percentatge de la població es trobava en la
i l'ensenyament de la geometria. Al llarg de               mateixa situació? La meva germana bessona
tota la meva educació secundària, em van                   no trobava que fos fàcil aprendre la
ensenyar la Geometria com una matèria                      demostració d'un teorema de geometria per a
separada de l'Aritmètica i l'Àlgebra, amb                  l'examen de l'endemà! El mètode que utilitzava
professors diferents, i no pas en un conjunt               era, com el de molts altres estudiants, el
integrat anomenat Matemàtiques. Cal fer                    d'aprendre de memòria cada pas de la
esment que, a finals del segle passat, es va               demostració.
crear a Anglaterra una associació anomenada                    La veritat és que la Geometria Euclidiana,
The Mathematical Association, amb la finalitat             tal com s'ensenyava aleshores, era una matèria
de millorar l'ensenyament de la Geometria. En              molt sofisticada. Per a algú que estava fent les
aquella època, igual que en la meva etapa                  primeres passes com a matemàtic i que podia
escolar, Geometria volia dir essencialment els             apreciar l'estructura d'aquella disciplina i la
teoremes d'Euclides i tot el que es podia                  manera com, a partir d'un petit nombre
demostrar a partir d'ells. Jo havia de conèixer            d'axiomes, mitjançant un raonament precís, es
al voltant de setanta teoremes amb les seves               desenvolupava un gran conjunt de propietats
demostracions, però la meva mare afirmava                  sobre línies i triangles, allò era molt bonic.
que en la seva època eren més aviat cent-                  Però quina rellevància tenia la Geometria
quaranta teoremes. Sortosament per a mi, jo                Euclidiana a la “vida real”?
entenia fàcilment les demostracions i                          Un petit bloc de Trigonometria que, en
m'agradava el desafiament que suposava fer els             aquell moment, formava part de l'Aritmètica


1
 La traducció de l'anglès ha estat realitzada pel professor Jaume Soler, del Departament d’Informàtica i Matemàtica
Aplicada de la Universitat de Girona.

      2 Biaix 12 maig 1998
tenia molt més sentit i molt més interès.                    originalment (tal i com suggereix el nom) de la
    En els dos últims anys de secundària la                  Terra. Els grecs van desenvolupar la
Geometria va canviar d'orientació i va passar a              geometria sobre un model lògic a partir de
dir-se Geometria Analítica2 . Aleshores vam                  l'any 300 a.C. i molts dels primers resultats




                                                                                                                A fons
deixar de parlar d'Euclides i el nou paradigma               estan recopilats en els Elements d'Euclides.
va passar a ser Descartes. Cada pas d'una                        Realment Euclides era responsable de
demostració es va convertir en una equació                   moltes coses!
algebraica on la idea d'espai quedava perduda                    El que aquella enciclopèdia no deia era que
dins de la manipulació algebraica. Una el·lipse              aquestes idees van sorgir de l'experiència que
ja no era tant una forma bonica com una                      havien anat acumulant els antics egipcis per la
equació de segon ordre que necessitava una                   seva necessitat de mesurar les terres de les
manipulació algebraica considerable.                         planes que inundava el Nil. Molts dels resultats
    A la universitat la geometria es va convertir            de la Geometria Euclidiana pel que fa a
en una cosa encara més allunyada del “món                    congruència de triangles estan relacionats amb
real” pel fet de ser tractada a través de l'estudi           el problema de determinar les posicions d'uns
de les formes quadràtiques i de les                          punts respecte a uns altres sobre un pla. Per
transformacions afins. Si bé és cert que una                 tant, per què no fem servir això com a mètode
assignatura de teoria de grups em va                         per a ensenyar geometria?
proporcionar noves intuicions, també ho va fer                   Sortosament per a mi, l'any 1962 em van
una assignatura de cristal·lografia... i fins i tot          convidar a incorporar-me a un equip de
vaig escriure una xerrada sobre mosaics                      professors de matemàtiques molt competents
bidimensionals, basada en l'estudi de llibres de             per tal d'intentar dissenyar un temari per a
mostres de paper d'empaperar parets. Si hagués               escoles, juntament amb textos de suport, amb
estat vivint en aquesta part del món no dubto                la intenció de reconduir el tema novament dins
que l'hauria escrita sobre els fascinants models             del segle XX. Això es va conèixer com el
de mosaic de l'Alhambra.                                     projecte SMP (School Mathematics Project) i
    Després de la universitat vaig anar a fer                potser ha arribat a ser un dels projectes més
classes a una escola de nois i vaig trobar que               influents dins del seu àmbit.
res no havia canviat de quan jo era estudiant,                   Ens vam proveir d'un full de paper en blanc
excepte que en els cursos més alts em van                    i vam començar a intentar donar resposta a
encarregar la preparació dels alumnes que                    preguntes de l'estil de:
volien sol·licitar beques per a Oxford i
                                                                 Quines matemàtiques cal que enseyem als
Cambridge, i això incloïa coses de Geometria
                                                             nostres fills?
Projectiva. Aquest era un tema nou per a mi, i
vaig haver de fer mans i mànigues per sortir                     Amb quin propòsit s'ensenyen matemà-
endavant. Però, per més bonic que fos el tema,               tiques als nens?
jo em veia obligat a qüestionar-ne l'interès,                    Hi havia molts temes que hauríem volgut
perquè no semblava tenir cap relació amb el                  incloure, com ara Estadística, Programació
món de fora de l'aula.                                       Lineal, Topologia, Vectors, Matrius, Grups...
   Suposo que a hores d'ara ja deveu estar                   Què en podíem deixar fora?
començant a entendre perquè qüestionava                          La veritat és que el 90% dels alumnes
                                                             opinaven que el pitjor tema d'entre tots era el
tantes de les coses que jo estava ensenyant.
                                                             de la Geometria Euclidiana, que utilitzava com
Segons la Cambridge Paperback Encyclopedia,
                                                             a mínim el 40% de tot el temps disponible per
Geometria és:                                                a les matemàtiques i que, deixant de banda
   La branca de les matemàtiques que estudia                 alguns resultats bàsics, semblava el menys
les propietats de les figures i de l'espai,                  rellevant de tots els temes existents.

2
    Adaptació de l’expressió anglesa Co-ordinate Geometry.

                                                                                 maig 1998 Biaix 12 3
    Després de moltes discussions es va decidir
d'introduir la geometria utilitzant les
transformacions: reflexions, rotacions,
homotècies, transformacions afins, etc. Ens
vam inspirar en la conferència de Klein de
1872 que suggeria que la Geometria s'hauria
d'explicar a partir dels invariants de les
                                                                            D
transformacions de l'espai. Això encaixava bé
dins de la nostra visió global de les                                                     C
                                                                    A
matemàtiques i també encaixava amb l'estudi
de l'àlgebra matricial com a eina per a
descriure les transformacions. Però realment                                 B

érem presoners del passat. Semblava molt
                                                         Figura 1. Diferents alternatives per situar els vèrtex
bonic d'introduir les transformacions de             d’un quadrilàter
manera pràctica, movent figures dins d'un
paper però ens vam trobar demostrant tots els
resultats de la Geometria Euclidiana que ens             1. Mesurar els quatre costats i una diagonal;
eren familiars. L'experiència va demostrar molt          2. Mesurar tres costats i dues diagonals;
aviat que aquest nou mètode, tot i que fascinant         3. Mesurar AB, BC i CD, i els angles a B i C;
per a l'equip, era tan difícil per als alumnes
                                                         4. Mesurar AB i BC, i els angles a A, B i C.
com l'antic. Probablement encara era més
sofisticat. Va ser a partir d'aquests fonaments          Convé observar que en cada cas és
que vaig anar veient la importància del              necessari fer cinc mesures per tal de situar
moviment en la comprensió de l'espai. Vaig           quatre punts. A la pràctica es fan altres
acabar interpretant la paraula Geometria no pas      mesures amb la finalitat de fer comprovacions,
com "la mesura de la Terra" sino com a "trobar       però teòricament amb cinc mesures n'hi ha
el sentit de l'espai". És a dir, "la comprensió de   prou. Quan vaig fer això a l'escola vaig
les relacions espacials". Encara més, crec que       convèncer el professor de geografia perquè s'hi
per a la majoria dels nens de l'escola, seria bo     afegís, de manera que totes dues assignatures
d'establir conscientment, sempre que fos             es van abocar en un projecte valuós.
possible, lligams entre les matemàtiques i el            Basant-me en aquesta experiència, vaig
món en què viuen.                                    escriure un llarg capítol sobre topografia per a
    Com a resultat d'això, vaig treure els           alumnes d'11 anys en un llibre de la SMP, i
alumnes d’11 anys fora de l'aula per a mesurar       vaig veure que era el punt de partida ideal per a
els terrenys de l'escola. Això els va ajudar molt    un treball més abstracte. Tanmateix, molts
a veure quin tipus de mesures es necessitaven        mestres que després van utilitzar aquest llibre
per tal de posicionar punts acuradament.             se saltaven precisament aquest capítol perquè
Suposem per exemple que una part del terreny         no volien veure's involucrats en qualsevol
és aproximadament un quadrilater ABCD tal            activitat pràctica. A l'hora de la veritat
com mostra la fig. 1. De fet, és fàcil de clavar     trobaven moltes excuses, la més freqüent de les
unes quantes canyes en un camp d'esports a fi        quals era dir que no disposaven de prou
de representar qualsevol figura que vulguem          material! De fet, jo vaig descobrir que la
mesurar. El problema per als estudiants és           longitud d'una passa d'una persona és una bona
decidir quines longituds i quins angles han de       mesura de longitud, i vaig organitzar la classe
mesurar per tal de fer un dibuix a escala de la      en grups petits per a fer topografia, fent servir
figura, que sigui prou acurat.                       com a mesura estàndar a cada grup la longitud
                                                     de la passa d'un individu concret. Més
    Hi ha moltes alternatives possibles a fi de      endavant, la necessitat d'una unitat de mesura
situar els vèrtexs d'un quadrilàter. Per exemple:    comuna podia generar una discussió molt

     4 Biaix 12 maig 1998
interessant que es podia resoldre mirant                      sempre ha estat a partir d'una figura amb forma
quantes passes es necessitaven per a cobrir 100               de creu. És tot un descobriment adonar-se que
metres. Per tal de mesurar els angles feiem                   es pot fer a partir d'altres figures. La
servir un full de paper sobre un tauler de dibuix             investigació per tal de trobar tots els
col·locat damunt d'un tamboret de laboratori,                 hexominós3 possibles i el subconjunt dels que
que se situava en un vèrtex. Es dibuixaven                    es poden plegar per proporcionar un cub és
dues línies sobre el paper en les direccions dels             molt instructiva. A la fig.2 podem veure
altres vèrtexs i es mesurava l'angle amb un                   algunes de les 11 configuracions a partir de les
transportador. Després de fer aquest tipus de                 quals es pot construir un cub.
pràctiques era molt fàcil de motivar els
alumnes per a fer els exercicis tradicionals de
classe de dibuixar polígons donats alguns dels
seus costats i angles.
    Aquest projecte es va enllaçar amb una
pràctica d'orientació en el camp, en la qual una
persona havia de seguir una ruta, anant per
ordre d'un punt a un altre, coneixent l'azimut i
la distància de cada punt des de l'anterior. En
aquests temes hi ha moltes possibilitats, que
només estan limitades per les ganes que tingui                    Figura 2. Alguns hexominós que permeten la
un mateix de sortir fora de les parets de l'aula.             construcció d’un cub
Amb els meus estudiants de magisteri, he fet                      Una proposta que vaig utilitzar sovint amb
aixecaments topogràfics d'estanys, basses                     els meus alumnes que estaven estudiant per ser
d'aigua, jaciments arqueològics, pedreres, vies               professors de matemàtiques era trobar maneres
de tren abandonades, i també els he fet                       originals de tallar un cub en dues parts i
dissenyar els plànols d'un aparcament en un                   construir les peces corresponents (fig. 3). Cal
solar.                                                        remarcar que aquesta activitat va ser tan
    Un cop vaig haver decidit que el paper                    valuosa amb els estudiants de magisteri com
tradicional de la Geometria ja no era                         amb els alumnes d'escola primària. No hi ha
sostenible, vaig començar a adonar-me que el                  res com fer i manipular objectes reals.
que necessitaven els meus alumnes eren
activitats que els ajudessin en la seva
comprensió de l'espai, de l'entorn en el qual
vivien. En el que queda de conferència
mostraré unes quantes de les idees que vaig
utilitzar per a això.


Poliedres

   Les classes de matemàtiques sobre l'espai
són, massa sovint, bidimensionals i estàtiques.
Només són dibuixos de línies. Crec fermament
que convé sostenir i manipular objectes reals
per tal de comprendre'ls bé. La majoria
d'alumnes han construït un cub en algun
moment de la seva carrera escolar i quasi                          Figura 3. Diferents maneres de tallar un cub

3
 Figures formades per sis quadrats de manera que dos quadrats adjacents tinguin un costat comú.

                                                                                        maig 1998 Biaix 12 5
    Un model que sempre tenia molt d'èxit, en
qualsevol grup d'edat, era el de fer dues meitats
d'un tetraedre (veure fig. 4), i desafiar els
amics a posar les peces juntes un altre cop. Els
millors alumnes eren capaços de dissenyar la
seva pròpia figura, i per als menys espabilats jo
tenia la figura dibuixada en una cartolina de tal
manera que també poguessin aconseguir algun
èxit.
                                                        Figura 5. Acoblament de 3 piràmides idèntiques per a
                                                    formar un cub
                                                        Un altre procediment que jo tenia per a fer
                                                    poliedres era utilitzar canyetes de beure per a
                                                    construir triangles articulats, amb una goma
                                                    elàstica que passava per dintre, prèviament
                                                    tensada abans de fer-hi un nus a l'extrem (fig.
                                                    6). Això ho vaig desenvolupar en un projecte
                                                    lligat a l'estudi d'estructures de l'estil de ponts,
                                                    grues, bastides i cúpules geodèsiques, que
                                                    mantenen la rigidesa gràcies a triangles i
                                                    tetraedres. L'estructura tridimensional més
                                                    simple que es pot construir d'aquesta manera és
                                                    un tetraedre, que es pot complicar afegint més
                                                    tetraedres sobre una o diverses cares. Un cub
                                                    només es pot fer rígid si es col·loca una barra
                                                    diagonal a cada una de les cares, però
                                                    l'octaedre i l'icosaedre són rígids sense més
                                                    complicació perquè cada cara és un triangle.
                                                    Aquest mètode de construcció, en el qual les
                                                    articulacions en els vèrtexs no són rígides, fa
                                                    veure la importància del triangle en les
                                                    estructures que apareixen en enginyeria. Un
                                                    model que m'agradava de fer consistia a
                                                    començar amb un octaedre i construir un
   Figura 4. Divisió d’un tetraedre en dues parts   tetraedre regular sobre cada cara. El model
                                                    resultant es pot imaginar com a dos tetraedres
                                                    grans que s'intersequen o com un octaedre
    De tots els conceptes possibles, la fórmula
                                                    estrellat. Encara més, resulta que les punxes
del volum d'una piràmide no és precisament el
                                                    d'aquesta estrella són els vèrtexs d'un cub (Fig
més senzill de comprendre, però el copsaven
                                                    7).
de seguida fent un model en el qual sis
piràmides idèntiques, o bé tres piràmides
idèntiques, s'acoblaven per a formar un cub
(fig. 5). La veritat és que necessitava temps,
però l'esforç pagava la pena perquè els alumnes
tenien un model del que estava passant i no
només una fórmula apresa de memòria com un              Figura 6. Costrucció d’un triangle articulat a partir de
lloro!                                              canyetes i goma elàstica


     6 Biaix 12 maig 1998
     Figura 7. Diverses construccions a partir de triangles
articulats



                                                              maig 1998 Biaix 12 7
Perímetres i àrees sobre el geoplà                       n'havien trobat a centenars! Una mica més
                                                         endavant, els nens aconsegueixen trobar l'àrea
    Els alumnes confonen moltes vegades les              de qualsevol polígon dibuixat en un geoplà de
idees d'àrea i perímetre i vaig inventar un
exercici per tal d'ajudar-los a superar aquesta
dificultat. L'exercici consistia a donar un
geoplà i demanar totes les figures possibles que
tinguessin un perímetre de 12 unitats (fig. 8).
Els resultats es dibuixaven en un paper que
tenia marcats els punts de coordenades enteres
i moltes vegades jo mirava de motivar els
alumnes donant bona nota a qui trobés una
solució nova, que encara no hagués trobat
ningú. Després de trobar unes quantes figures
amb aquesta condició es demanava als alumnes
que les classifiquessin per àrees.

                                                              Figura 9. Altres figures de perímetre 12 a partir del
                                                         triangle de costats 3, 4 i 5



                                                         manera intuïtiva independentment de les
                                                         fórmules subjacents. Tanmateix, hi ha una
                                                         fórmula que sempre és interessant d'investigar i
                                                         és l'anomenat Teorema de Pick (fig. 10):

                                                             L'àrea A d'un polígon en un geoplà és
                                                             A = i + b/2 -1, essent i el nombre de punts
                                                         interiors, i b el nombre de punts sobre la vora.
    Figura 8. Diverses figures de perímetre 12 unitats
sobre un tauler quadriculat


    El fet que el triangle rectangle de costats 3,
4 i 5 tingui perímetre 12 fa que siguin possibles
tot un seguit de figures a més de les simples
formes rectangulars (fig. 9). Es donen a
continuació unes quantes d'aquestes figures.
    Vaig descobrir que el geoplà és una eina
valuosa, tant per a qui ensenya com per a qui
aprèn. Un altre exercici senzill és el de                    Figura 10. Exemples del Teorema de Pick
demanar als alumnes que trobin tantes figures
com puguin de 3 unitats d'àrea. Quan ho vaig
proposar a un grup de graduats en                            M'agradaria ara proposar-vos un test molt
matemàtiques que estudiaven per a mestres,               senzill. Si disposeu d'un full de paper, si us
alguns d'ells només van poder trobar dues                plau, dibuixeu-hi: (i) un quadrat, (ii) un
figures i van quedar ben sorpresos quan els              triangle isòscel·les, (iii) un triangle rectangle.
vaig dir que el dissabte anterior, al club de            Alceu la mà els que hagiu dibuixat aquestes
matemàtiques, els meus alumnes més petits                figures tal com es mostra a la fig. 11.

      8 Biaix 12 maig 1998
                                                                totes les formes possibles sense indicació! De
                                                                quadrats recolzats sobre la base se'n poden
                                                                trobar 30: 16 quadrats 2x2, 9 quadrats 3x3, 4
                                                                quadrats 4x4 i 1 quadrat 5x5. Però a més n'hi
                                                                ha 10 que els alumnes anomenen “rombes”4, 9
                                                                de petits i 1 de gran. Però és que encara se'n
                                                                poden trobar 10 més si considerem quadrats
                                                                amb inclinacions diferents. El moviment del
                                                                cavall en el joc d'escacs és la clau per a
                                                                generar-ne 8.
                                                                    Quan aquest experiment s'ha completat, es
     Figura 11. Un quadrat, un triangle isòscel·les i un        poden reforçar les idees a base de:
triangle rectangle                                                  a) desafiar els alumnes a trobar el
                                                                màxim nombre possible de fitxes que es poden
                                                                posar en un tauler de manera que mai quatre
Més figures                                                     formin un quadrat;
                                                                    b) proposar un joc per a dues persones
   Al Regne Unit, l'anomenada unitat de                         en el qual, alternativament, cada una posa una
valoració de resultats (Assessment of                           fitxa en un tauler. Perd la primera persona que
Performance Unit, APU) va estudiar milers de                    posa una fitxa que forma un quadrat.
nens de diferents edats i va trobar, entre d'altres                 Hi ha molts passatemps matemàtics que
coses, que molt sovint tenien dificultat per                    necessiten pensar en tres dimensions i sempre
reconèixer una figura a menys que no estigués                   n'he fet ús en les meves classes a qualsevol
“ben posada”. Qui en té la culpa? Com a                         nivell. En proposo uns quants per fer veure tot
mestres que som, quantes vegades hem                            el ventall de possibilitats.
dibuixat una figura fent un angle respecte a
l'horitzontal? Per ajudar a corregir això,                          • Elimineu quatre llumins de la fig. 13 i
proposo el següent problema: trobeu de                          deixeu exactament quatre triangles equilàters
quantes maneres es poden posar quatre fitxes                    idèntics
sobre un tauler quadriculat 5x5 de tal manera
que formin un quadrat (fig. 12).




                                                                      Figura 13. Joc dels llumins

     Figura 12. Algunes maneres de posar 4 fitxes en un
tauler 5x5 formant un quadrat                                      • Dividiu les peces X i Y de la fig. 14 en
                                                                dues parts idèntiques
    Jo sempre dic que hi ha tres nivells de                         • Dibuixeu acuradament les cinc figures del
resposta a partir dels quals puc descobrir quin                 paper quadriculat de la fig. 15. Retalleu-les i
grau de capacitat de reconèixer quadrats han                    formeu un quadrat utilitzant: (i) les peces A, B,
aconseguit. Molt poca gent és capaç de trobar                   C i D; (ii) totes les peces.

4
 Adaptació lliure del mot anglès diamond, en relació al joc de cartes de pocker

                                                                                         maig 1998 Biaix 12 9
                                                     manera que l'últim moviment el porta a la
                                                     casella original. Aquests recorreguts es diuen
                                                     re-entrants.




    Figura 14




                                                        Figura 17




                                                     Mecanismes articulats
   Figura 15
                                                         Hi ha molts temes que tenen a veure amb la
    • Vuit cubs de costat unitat s'ajunten per tal   noció d'espai i que m'agradaria incloure: corbes
de formar un cub 2x2x2 (fig. 16). Demostreu          de persecució, seccions còniques, envolvents
que els cubs individuals es poden pintar de          de corbes i superfícies reglades, simetria,
manera que és possible reagrupar-los i fer que       mosaics, empaquetament d'esferes en dimensió
el cub gran sigui o bé tot blau o bé tot vermell.    2 i 3, corbes d'amplada constant, xarxes i teoria
És fàcil? Doncs ara proveu-ho amb 27 cubs            de grafs, etc. No voldria acabar, però, sense
petits per a muntar un cub 3x3x3 blau, vermell       exposar algunes idees sobre la geometria dels
o groc.                                              mecanismes articulats.
                                                         Aquesta és una idea que he estat
                                                     desenvolupant des d'aproximadament l'any
                                                     1966. Tot va començar quan vaig passar de
                                                     treballar en una escola de nens a fer classe a
                                                     mestres de tots els nivells. La geometria que
                                                     havia desenvolupat amb l'equip del SMP em va
                                                     semblar poc apropiada quan em vaig trobar a
                                                     mi mateix treballant un cop per setmana amb
                                                     un grup de 40 nens de 12 anys, poc avançats,
                                                     juntament amb un grup del meus estudiants
    Figura 16
                                                     grans. Va ser aleshores que vaig pensar de
                                                     mirar quines matemàtiques podia trobar en
    • Durant centenars d'anys s'han estat            objectes com ara bicicletes, màquines de cosir i
investigant successsions de moviments del            cadires plegables. Al principi molt a poc a poc,
cavall en un tauler d'escacs. I si provem de         però després vaig trobar davant meu una
trobar un circuit del cavall en taulers amb les      riquesa d'idees que motivaven els alumnes i
formes de la fig. 17? Sobre cada una d'elles és      que els feien més conscients del món en què
possible trobar un recorregut del cavall que         vivien. L'ensenyament ha de servir per a això, i
passa només un cop per cada casella i de             no simplement per a passar exàmens!

    10 Biaix 12 maig 1998
    Molt aviat em va cridar l'atenció la manera     els enquadernadors es posen de manera que
com en moltes situacions es fan servir quatre       formin quadrilàters amb els costats oposats de
barres articulades. Un mecanisme de quatre          la mateixa longitud.
barres, en la seva versió més simple, està
constituït per quatre barres amb una unió als
extrems de tal manera que les barres poden
girar (fig. 18).




   Figura 18 Quatre barres articulades


    Per tal d'estudiar aquest mecanisme és
necessari fer un model i manipular-lo. Quants
graus gira BC quan AD en gira 30? Què es pot
dir sobre la longitud de les barres per tal que
formin un quadrilàter? En quines                       Figura 19. Gronxador i caixa d’eines
circumstàncies AD pot fer una revolució
completa al voltant de A? S’utilitza aquest fet a
la pràctica? A mesura que el quadrilàter es             La balança de cuina, les balances de
mou, la seva àrea canvia. Quin moment és            laboratori, i els pesacartes fan servir tots un
màxima?                                             paral·lelogram articulat. En aquest cas és per
                                                    tal d'assegurar que els plats de la balança es
    Deixeu-me, però, que em concentri en un         mantinguin horitzontals quan es mouen amunt
paral·lelogram articulat i que veiem quan i per     i avall. Però per què autocars, camions i avions
a què es fa servir.                                 tenen, molt sovint, els netejaparabrises muntats
    Un tipus de gronxador que es troba en parcs     sobre un paral·lelogram articulat? Per què la
per a infants d'Anglaterra (fig. 19) està           suspensió d'un cotxe de carreres consisteix en
clarament basat en un paral·lelogram, i a           un paral·lelogram articulat? En tots els casos és
mesura que es mou endavant i endarrere el           per fer que una part del mecanisme es mogui
tauló de fusta que constitueix el seient es         paral·lela a una altra part, habitualment fixa.
manté paral·lel a terra, tot i que un punt          Els llibres desplegables també fan servir
qualsevol del tauló descriu un arc de cercle. La    paral.lelograms i és molt interessant, amb els
caixa de cosir o la caixa d'eines de la fig. 19     alumnes més petits, fer targetes d'aniversari o
tenen paral·lelograms articulats formats pels       de Nadal desplegables. La “galleda” que hi ha
calaixos i per les barres de metall que els         a l'extrem del braç articulat que s'utilitza per a
uneixen, de manera que quan els calaixos            reparar els fanals del carrer no es tomba perquè
s'obren, sempre queden horitzontals. He fet que     fa servir un paral·lelogram articulat.
els nens construeixin models d'aquest estil         Independentment de la posició que tingui el
utilitzant cartró per a les barres i                braç, la galleda sempre es manté dreta. La
enquadernadors per ajuntar els extrems. De          millor manera de veure què passa és fer models
seguida aprenen per experiència que els             que es puguin moure, com els que es mostren a
calaixos només es mouen paral·lels a la base si     les fig. 20 i 21.

                                                                           maig 1998 Biaix 12 11
                                                       construïts sobre unes barres curvades o bé fan
                                                       servir una articulació de quatre barres tal com
                                                       es mostra a la fig. 22. En el model de cavall
                                                       balancí de jardí infantil, el mecanisme està
                                                       amagat sota el cos. Els extrems A i B de les
                                                       barres són fixos a l'espai i les barres curtes AD
                                                       i BC estan unides al cos del cavall. Quan
                                                       s'empeny el cavall de dreta a esquerra, C es
                                                       mou sobre un arc ascendent al voltant de B
                                                       mentre que D es mou seguint un arc
                                                       descendent al voltant de A. El resultat és que
                                                       DC es "gronxa" i per tant també ho fa el cavall.




    Figura 20. Diferents estris i enginys basats en
paral·lelograms articulats




                                                           Figura 22. Trapezi articulat d’un balcancí en forma de
                                                       cavall


                                                           Pensat només com a mecanisme per a
                                                       cavall balancí, el trapezi articulat no seria gaire
                                                       interessant, però l'any 1818 un enginyer
                                                       alemany el va utilitzar com a solució del
                                                       problema de guiar cotxes tirats per cavalls, i
     Figura 21. Grua mòbil basada en paralel·lograms   avui dia encara es fa servir en quasi tots els
articulats                                             vehicles de rodes, des d'un cotxe de joguina
                                                       fins un tractor, un automòbil, un camió o un
                                                       autobus. El problema que cal resoldre és el
    Considerem ara tots plegats el trapezi             d'aconseguir que, en girar, les rodes de davant
articulat. Realment és un nom mal triat perquè         es moguin en angle recte amb el radi de gir. Si
només és un trapezi en la posició d'equilibri.         això no fos així, les rodes estarien sotmeses a
Me'n vaig adonar tot observant el disseny dels         una fricció lateral i els pneumàtics es
balancins en forma de cavall. O bé estan               desgastarien ràpidament. És possible que ja ho

    12 Biaix 12 maig 1998
hàgiu experimentat si la direcció del vostre                       aquesta articulació va ser àmpliament utilitzada
cotxe no està ben ajustada. El que passa és que                    a les màquines de vapor de tot el món durant
quan es gira a la dreta la roda frontal dreta s'ha                 almenys dos segles.
de desviar a un angle més gran que la roda
frontal esquerra. Com més petit sigui el radi de
la circumferència de gir, més gran serà la
diferència entre els angles de les rodes frontals
(vegeu fig. 23).




              P                         Q




        θ                                     θ                        Figura 24. Trapezi articulat dissenyat per Watt per

                                                         O
                                                                   guiar la biela d’un pistó
                                                    Centre de la
                                           circumferència de gir

                                                                       L'any 1850 un matemàtic rus, Tchebycheff,
                                                                   va crear una versió diferent del mecanisme de
                                                                   quatre barres amb el mateix propòsit. A la seva
                                                                   solució, les longituds estaven en relació 5:4:2.
                                                                   L'any 1860, Richard Roberts, un altre britànic,
                                                                   va dissenyar una aproximació encara millor
                                                                   basada també en el mecanisme de quatre
                                                                   barres, però quan es dibuixa completament el
                                                                   lloc geomètric del vèrtex del triangle es veu de
                               Figura 23. Trapezi articulat        seguida la desviació respecte a la línia recta
del sistema de direcció d’Ackermann                                (vegeu fig. 25).
                                                                       En moltes situacions es troben quadrilàters
    Fins i tot abans d'això, l'any 1784,                           més generals, més o menys disfressats, formant
l'enginyer britànic James Watt va utilitzar                        sistemes articulats. A casa tinc un parell de
aquest tipus d'articulació per aproximar un                        tisores per esporgar que estan basades en una
moviment rectilini. El problema que intentava                      articulació de quatre barres, de tal manera que
resoldre era el de guiar la biela d'un pistó en                    quan s'ajunten els mànecs es produeix,
línia recta, de manera que no desgastés el lloc                    simultàniament amb l'aproximació de les fulles
per on entra i surt del cilindre degut al fet que                  que tallen, un moviment de desplaçament al
la manovella que el connecta amb el volant                         llarg del tall, amb la qual cosa s'obtenen talls
d'inèrcia l'estira cap a un costat (fig. 24). La                   molt nets. Els cotxets de nen plegables fan
solució de Watt sembla molt simple i si es fa                      servir, molt sovint, articulacions combinades
un model es veu que el punt mig de la barra                        com la que es mostra a la fig. 26. Cada
central curta dibuixa una línia que sembla una                     fabricant té un model diferent i gairebé es
recta, però que en realitat té forma de vuit molt                  podria escriure una tesi sobre cotxets de nen
aixafat quan es dibuixa completa. Tanmateix                        plegables.

                                                                                          maig 1998 Biaix 12 13
                                                             Si capgiro el model potser podreu veure que
                                                             representa un ciclista pedalejant. Dues de les
                                                             barres són ara la cama del ciclista. Si es
                                                             connectés un motor a la barra que fa rotacions
                                                             completes, aleshores la barra oposada
                                                             oscil·laria i serviria per accionar un neteja-
                                                             parabrises.


    Figura 25. Articulacions de Tchebycheff (esquerra) i
de Roberts (dreta)                                           Conclusió

                                                                Només he tocat algun aspecte de la
                                                             geometria de mecanismes però hi ha moltes
                                                             coses que són accessibles a nivell d'escola i




    Figura 26. Tisores per a esporgar. Diferents models de
cotxets


    Moltes vegades, però, l'interès ve quan una
barra del sistema articulat creua per damunt de                 Figura 28. Galleda d’escombraries. Pedal d’una
                                                             màquina de cosir. Cama d’un ciclista pedalejant
la barra oposada i fa una revolució completa al
voltant d'un dels extrems (fig. 27).
                                                             que tenen a veure amb el món real. En aquesta
                                                             xerrada no he intentat construir una teoria
                                                             geomètrica tal com tradicionalment s'ha
                                                             explicat a classe, ni tan sols he mencionat la
                                                             paraula demostració. Des del meu punt de
                                                             vista, geometria és entendre relacions en
    Figura 27. Revolució completa d’una de les barres        l'espai. És l'àrea on majoritàriament es
d’un trapezi articulat                                       desenvolupa el nostre pensament creatiu.
    Un bon exemple n'és una galleda                          Espero haver-vos estimulat a preguntar-vos
d'escombraries de pedal (fig. 29). Cal pensar                sobre la geometria que heu estat ensenyant i la
on són els punts d'articulació i veure per què               que podríeu arribar a ensenyar. A mi no em
això és equivalent a un mecanisme de quatre                  preocupen els futurs graduats en matemàtiques,
barres. També la màquina de cosir de pedal és                sino la gran majoria d'alumnes que normalment
un bon exemple de situació en la qual una                    no estudien geometria a partir dels 16 anys.
barra, fixada al volant, fa revolucions senceres.            Havent dit això, he vist els graduats en
És interessant considerar per a quines longituds             matemàtiques que han vingut a preparar-se per
relatives de les barres això és possible, tot                a mestres realment molt motivats per la manera
restringint l'angle recorregut pel pedal a un                de fer continguda en les idees que us he estat
valor compatible amb el moviment del turmell.                exposant.

     14 Biaix 12 maig 1998