Contingent Claims

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Portfolio replicante Suponha que o fluxo de lucros dependa da variável de estado x (o preço de um produto por exemplo). Consideremos que x seja uma variável aleatória que segue um Movimento Geométrico Browniano (MGB), uma vez que estamos usando taxas de retorno proporcionais: dx = α x dt + σ x dz Onde α é o parâmetro de taxa de crescimento (drift), σ é o parâmetro de variância proporcional, e dz = ε√dt o incremento de processo de Wiener. Assumiremos que a produção da firma pode ser negociada no mercado financeiro. Este é o caso de uma firma que produz petróleo, estanho ouro ou cobre. Então, o risco de x pode ser observado diretamente no mercado através de séries históricas. Como qualquer ativo, o produto será mantido por investidores apenas se ele oferecer um retorno suficientemente atraente. Parte do retorno será dada pela taxa de apreciação do ativo (α), ou ganho de capital, outra parte será na forma de taxa dividendos. Estes dividendos podem ser auferidos de forma direta, como no caso do crescimento do volume de madeira devido ao crescimento das árvores, ou nascimento de mais cabeças de gado, ou indiretamente, pela vantagem de se manter estoques estratégicos de algum insumo (convenience yield). Retorno total esperado (µ) = dividendo (δ) + ganho de capital (α) Esse retorno esperado deve ser suficiente para compensar os riscos não diversificáveis do ativo.

Pelo CAPM temos:

µ = r + β E[ Rm ] − r
Mas β =

ρ xm =

σ xm é o coeficiente de correlação entre os retornos do ativo x e da carteira de σ xσ m σ x σ xm E[ Rm ] − r σx σ2 m

σ xm , σ2 m

onde σxm = Cov(Rx, Rm) e σ2m = Var (Rm) e

mercado m. Multiplicando em cima e embaixo por σx e rearranjando:

µ=r+

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µ=r+

LM E[ R ] − r OPσ LM σ OP N σ Q Nσ σ Q
m xm x m x m

Mas Então:

Φ=

E[ Rm ] − r

σm

=

preço de risco do mercado

µ = r + Φ ρ xm σ x

Montagem do Portfólio

Para achar o valor de F(x,t) para uma firma com fluxo de lucros π(x,t), montamos um portfólio que replique o seu retorno e o seu risco. Este portfólio será o seguinte: ♦ Investe $1 em ativo sem risco ♦ Compra n unidades do ativo produzido pela empresa ao preço x ($nx) ♦ O custo deste portfólio é $(1 + nx). ♦ Mantém por um período dt.

Neste tempo, o retorno deste portfólio será: ♦ valor $1 investido a taxa livre de risco r durante dt r dt ♦ valor $nx investido nos produtos durante dt renderá dividendos mais um ganho de capital: - Dividendos nx δ dt ndx, onde dx = α x dt + σ x dz. - Ganho de capital - Então, ndx = nα x dt + nσ x dz pois o preço x do ativo varia aleatoriamente de acordo com um MGB dx = αx dt + σx dz

Assim o retorno total será o retorno do investimento em ativo sem risco mais o retorno sobre o investimento nos produtos da empresa: Retorno Total = r dt + nx δ dt + ndx = r dt + nx δ dt + nαx dt + nσx dz = (r + n( α + δ ) x )dt + nσx dz Dividindo pelo investimento inicial, temos a taxa de retorno do portfólio: Taxa de Retorno =

r + nx (α + δ ) dt 1 + nx
sem risco

+

σ nx
1 + nx

dz

estocástico

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Vamos comparar isso a um investimento na aquisição da empresa. Temos: Custo do investimento: Retorno do investimento: Dividendo de um período dt: π (x,t) dt Ganho de Capital: dF(x,t) sem risco (determinístico) pois x é conhecido no instante do investimento com risco (estocástico) $F(x,t)

Pelo Lema de Ito, temos que, para uma MGB:
dF =

LM ∂F + ∂F α x + N ∂t ∂x

1 2

∂2 F 2 2 ∂F σ x dt + σ xdz 2 ∂x ∂x

OP Q

O retorno total do investimento na firma por unidade investida é: Retorno = Dividendo + Ganho de Capital F(x,t) Retorno =

π ( x , t )dt + dF ( x, t )
F ( x, t )
∂F ∂2 F 2 2 σ x dt + σ xdz 2 ∂x ∂x F ( x, t )
1 2

L ∂F ∂F α x + π ( x , t )dt + M + N ∂t ∂x Retorno =

OP Q

Separando a parcela sem risco da parcela com risco (estocástica) e mudando a notação:
Retorno =
1 π ( x , t ) + Ft + Fx α x + 2 Fxxσ 2 x 2

F ( x, t )
sem risco

dt

+

Fx σ x dz F ( x, t )
com risco

Um portfólio replicante deve apresentar o mesmo risco e o mesmo retorno que o ativo que queremos valorar. Nesse caso, para que ambos investimentos tenham o mesmo risco, a parcela com risco tem que ser igual nos dois casos.

nσ x Fσx dz = x dz 1 + nx F ( x, t )
(A)

nx Fx = x 1 + nx F ( x , t )

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Da mesma forma, dois ativos que tem o mesmo risco devem comandar o mesmo retorno, e então podemos igualar as parcelas referentes ao retornos sem risco.
r + nx (α + δ ) π ( x , t ) + Ft + Fxαx + 1 Fxxσ 2 x 2 2 dt dt = F ( x, t ) 1 + nx

(B)

Mas:

r + nx (α + δ ) r (1 + nx − nx ) + nx (α + δ ) r (1 + nx ) − rnx nx (α + δ ) = + = 1 + nx 1 + nx 1 + nx 1 + nx r (1 + nx ) rnx nx (α + δ ) nx (α + δ )nx + − + = r 1− 1 + nx 1 + nx 1 + nx 1 + nx 1 + nx

FG H

IJ K

Substituindo a igualdade (A) na expressão acima, ficamos com: r 1−

FG H

nx (α + δ )nx Fx Fx + = r 1− x + (α + δ ) x 1 + nx 1 + nx F ( x, t ) F ( x, t )

IJ K

FG H

IJ K

Substituindo na igualdade (B) dos termos sem risco, temos: r + nx (α + δ ) Fx x Fx x π ( x , t ) + Ft + Fxαx + 1 Fxxσ 2 x 2 2 + (α + δ ) = = r 1− 1 + nx F ( x, t ) F ( x, t ) F ( x, t ) r 1−

FG H

IJ K

FG H

Fx x Fx π ( x, t ) + Ft + Fxαx + 1 Fxxσ 2 x 2 2 + (α + δ ) x = F ( x, t ) F ( x, t ) F ( x, t )

IJ K

rF ( x , t ) − rFx x + (α + δ ) Fx x = π ( x , t ) + Ft + Fxαx + 1 Fxxσ 2 x 2 2

1 2

σ 2 x 2 Fxx + (r − δ ) xFx ( x , t ) + Ft ( x , t ) − rF ( x , t ) + π ( x , t ) = 0

Equação 20.

onde dx = α x dt + σ x dz Se a firma tiver uma vida útil infinita, podemos desprezar a variável tempo, e a equação 20, que é uma equação diferencial parcial (EDP) de F(x,t) se simplifica para uma equação diferencial ordinária (EDO): 2 2 1 2 σ x Fxx + ( r − δ ) xFx − rF ( x ) + π ( x ) = 0

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Portfólio livre de risco

Uma outra maneira de fazer é com portfólio livre de risco, composto da firma e na venda a curto de n unidades do ativo produzido pela empresa, e que tem um preço x. A premissa é de que o ativo x produzido pela empresa é negociado diretamente no mercado, e portanto, tem um preço de mercado. Escolhemos n de forma a obrigar este portfólio a não ter risco.

φ0 = F - nx
dφ = dF – n dx

φ1+ = F1+ - nx1+ φ1- = F1- - nx1-

Lembre-se que x segue um MGB, e portanto dx = αx dt + σx dz. Pelo Lema de Ito, temos que, para uma MGB:
dF =

LM ∂F + ∂F α x + 1 ∂ F σ x OPdt + ∂F σ xdz N ∂t ∂x 2 ∂x Q ∂x
2 2 2 2

Usando a notação equivalente, mais compacta:

dF = Ft + Fxα x +

LM N

1 Fxxσ 2 x 2 dt + Fxσ xdz 2

OP Q

Substituindo na equação de dφ, ficamos com: 1 O LM F σ x P dt + F σ xdz − n(α xdt + σ xdz ) 2 Q N 1 O L dφ = M F + F α x + F σ x − nα x P dt + b F − ngσ xdz 2 Q N com risco − estocástico dφ = Ft + Fxα x +
2 2 xx x 2 2 t x xx x

sem risco − determinístico

A parcela estocástica em dz, com risco, tem que ser igual a zero, para que o portfólio seja livre de risco. Assim, Fx − n = 0 n = Fx

Substituindo o valor de n na equação de dφ: 1 LM F σ x 2 N O L 1 dφ = M F + F σ x P dt Q N 2

dφ = Ft + Fxα x +

2

2

xx

− Fx α x dt

OP Q

2

2

t

xx

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Como este portfólio é livre de risco, o seu retorno livre de risco tem que ser igual ao seu retorno total. Retorno livre de risco = Retorno Total Retorno livre de risco do portfólio φ num espaço de tempo dt = rf φ dt Retorno total do portfólio φ num espaço de tempo dt : φ1 - φ Ganho de capital = π (x,t) dt Ganho de dividendos = δ posição curta = δ n x dt = δ Fx x dt Custo incorridos = Então:

rf φ dt = (φ1 - φ) + π (x,t) dt - δ Fx x dt

Mas:

φ = F - nx = F - xFx φ1 - φ = dφ = [Ft + ½ Fxx σ 2 x 2] dt
rf = r r [F - xFx ]dt = [Ft + ½ Fxx σ 2 x 2] dt + π (x,t) dt - δ Fx x dt r F -r xFx = Ft + ½ Fxx σ 2 x 2 + π (x,t) - δ Fx x
1 rF − r x Fx = Ft + 2 Fxxσ 2 x 2 + π ( x , t ) − δ x Fx

Então:

1 2

Fxxσ 2 x 2 + (r − δ ) x Fx + Ft − r F + π ( x , t ) = 0

Verificamos que é a mesma equação (20).

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