The Wavelet Tutorial

The Wavelet Tutorial THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS ROBI POLIKAR NR-LAB. Kim Do-Hyeon Contents  PART 1  Overview : Why Wavelet Transform ? Fundamentals: The Fourier Transform and The Short Term Fourier Transform, Resolution Problems Multiresolution Analysis: The Continuous Wavelet Transform  PART 2   PART 3  2 PART 1. Overview Signals  Signal  대부분의 신호는 그것이 변환되 기 전에는 시간-진폭 신호로써 시간의 함수이다.  좌표축으로 그릴 때, 하나는 시 간, 다른 하나는 진폭으로 나타 낸다.  많은 경우에 있어서 가장 두드러 진 정보가 시간의 주파수 성분에 숨겨진다.  신호의 주파수 스펙트럼은 어떤 주파수가 신호에 존재하는지를 보여준다.  Fourier Transform  시간영역에서 신호를 퓨리에 변 환시키면 신호의 주파수-진폭 표현을 얻게 된다.  얼마나 많은 각각의 주파수가 신 호에 존재하는지를 알려준다. 3 PART 1. Overview Stationary Signal  Stationary Signal  시간에 따라 변하지 않는 주파수 성분 신호  이런 신호에서는 모든 시간에 그 주파 수 성분이 존재하므로 ‘언제’ 그 주파 수 성분이 존재하는가에 대해 알 필요 가 없다.  x(t)=cos(2*pi*5*t)+cos(2*pi*10*t)+ cos(2*pi*20*t)+cos(2*pi*50*t)  모든 시간에 5,10,20,50 Hz 주파수 성분 존재 4 PART 1. Overview Non-stationary Signal  Non-stationary Signal  시간에 따라 다른 주파수 성분 존재  각각의 주파수가 다른 시간대 존재  0-250ms: 5 Hz  250-500 : 10 Hz  500-750 : 20 Hz  750-1000 : 50 Hz  대부분의 모든 생물학적 신호가 Non-stationary 신호  전혀 다른 두 신호가 FT 결과 비슷한 결과로 도출 5 PART 1. Overview Why Wavelet ?  Why Wavelet ?  FT는 신호에서 어떤 주파수 성분이 존재하는지를 알려줄 뿐 그 이상도 이하 도 아니다.  스펙트럼 성분들의 정확한 시간이 필요할 때, 신호의 시간-주파수 표현을 알 려주는 변환이 필요하다.  Wavelet Transform(WT), Short Time Fourier Trasnform(STFT)  WT는 STFT의 문제점(고정 window)을 극복 magnitude amplitude FT time amplitude frequency WT 6 time(translation) frequency(scale) PART 2. Fundamentals Fourier Transform  Fourier Transform  FT는 신호를 서로 다른 주파수들의 복잡한 지수 함수로 분석 X ( f )   x(t )e  2ft dt x(t )   X ( f )e    2ft  df      X(f) : 주파수 영역, x(t) : 시간 영역 신호 x(t)는 어떤 특정한 주파수 ‘f’에서 지수적으로 계산되고 모든 시간(∞~∞)에서 적분된다. 적분 결과값  매우 큰값 : 신호 x(t)는 주요 주파수 f로 구성되어 있다  작은 값 : 신호 x(t)가 ‘f’의 주요한 주파수 성분을 가지지 않는다.  0 : 신호 x(t)는 주파수 ‘f’를 전혀 가지지 않는다. 모든 시간(-∞~∞)에 대해서 적분되기 때문에 주파수 ‘f’를 가진 성분이 어 느 시간대에 나타나는지는 문제되지 않으며 그 결과는 시간 t1에서 나타나 건 시간 t2에서 나타나건 같은 효과(결과)를 가진다. FT는 다양한 시간 스펙트럼을 가지는 비정상상태(non-stationary) 신호를 분석하기 위해서는 적당하지 않다. 7 PART 2. Fundamentals Short Time Fourier Transform (STFT)  STFT  ‘Non-stationary’ 신호의 특정부분은 ‘stationary’  신호를 충분히 작은 단위로 나뉘는데 이 신호의 부분들을 ‘stationary’라고 가 정하고 이를 위하여 윈도우 함수 w가 사용된다.  윈도우의 너비는 신호의 고정성이 유지되는 ‘확실한 부분’의 크기와 동일하게 한다. STFT (t ' , f )   [ x(t ) w* (t  t ' )]e  2ft dt cf  X ( f )   x(t )e  8       2ft dt W : 윈도우 함수, t’ : 윈도우의 이동된 길이(translation) STFT는 윈도우 함수에 의해 확장된 FT PART 2. Fundamentals STFT Example (I)  250ms간격의 300,200,100,50Hz 주파수를 가지는 non- stationary 신호와 이 신호의 STFT 9  TFR(Time-frequency Representation : 시간-주파수 표현)  위의 네 개의 피크들은 서로 다른 주파수 성분에 대응한다.  위의 네 개의 피크들은 서로 다른 시간축에 위치한다.  FT와는 다르게, 이들 네 개의 피크들은 시간축에서 서로 다른 영역에 위치 PART 2. Fundamentals FT, STFT Dilemma  FT와 STFT의 딜레마   무한 길이의 창(window) 사용 (FT)  완벽한 주파수 분해능  시간 분해능 0 ‘stationary’ 신호를 얻기 위해 충분히 작은 창 사용(STFT)  시간 분해능 향상  주파수 분해능 저조 10 PART 2. Fundamentals STFT Example (II)  윈도우 창의 길이에 따른 주파수 성분 분석 실험  윈도우 함수(w) : 가우시안(Gaussian) 함수 w(t )  ‘a’ 윈도우 길이 결정, ‘t’ 시간 e  at 2 2 11 [Gaussian 함수] [a=0.01일때 STFT] PART 2. Fundamentals STFT Example (III) [a=0.001일때 STFT] [a=0.0001일때 STFT]  윈도우 길이 좁으면  좋은 시간 해상도  나쁜 주파수 해상도 12  윈도우 길이 넓으면  좋은 주파수 해상도  나쁜 시간 해상도 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT MRA(Multi-Resoultion Analysis)  MRA(Multi-Resoultion Analysis)  고주파수에서는 시간해상도는 좋게, 주파수 해상도는 좀 떨어지게, 저 주파수에서는 시간해상도는 떨어지지만 주파수 해상도는 좋은 정보를 제공하기 위해 디자인되었다.  주어진 신호가 짧은 구간에 대해서는 고주파 성분을, 긴 구간에서는 저주파수 성분을 가졌을 때 의미가 있다.  Scale  신호의 팽창 정도를 나타낸다. 축소 ( s<1 ) 팽창( s>1 )  주파수와 역의 관계  높은 스케일(high scale)은 저주파수에, 낮은 스케일(low scale) 은 고주파수에 대응 13 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT CWT(Continuous Wavelet Transform) 1 * t  CWT x ( , s )  x ( , s )   x(t ) ( s )dt |s|   translation    scale mother wavelet  Translation : 신호를 통과하여 이동된 창의 위치 (시간 정보) Scale : mother wavelet의 팽창정도 (주파수 정보), 1/frequency Mother wavelet : 모든 창들에 대한 원형 wavelet  이 wavelet이 translation되고 scale(dilation)된다. 에너지의 표준화를 위해서 1/sqrt{s}가 곱해진다.  변환된 신호는 모든 스케일에서 같은 에너지를 가지게 된다. 14 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT CWT Operation (I) 15 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT CWT Operation (II) 16 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT CWT Operation (III) 17 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT CWT Example 30,20,10,5 Hz 18 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT Time & Frequency Resolution  Wavelet에서 시간과 주파수 해상도의 해석 너비 작다 → 시간 해상도 향상된다. 높이크다 → 주파수 해상도 떨어진다. STFT 높이 작다 → 주파수 해상도 향상된다. 너비 크다 → 시간 해상도 떨어진다. FT  각각의 박스의 넓이는 같다.  시간-주파수 평면에서 모든 점들은 WT의 하나의 값에 의해 대표되는 박 스와 대응된다.  각각의 박스는 시간-주파수 평면의 같은 영역을 대표하지만, 시간과 주 파수에 대해서 다른 부분들을 제공해준다. 19 PART 3. Mutiresoultion Analysis : CWT vs DWT CWT vs DWT  CWT  분석창(window)의 스케일이 변함에 따라, 시간에 따라 창을 쉬프팅(shifting)하고, 신호 를 곱하고, 모든 시간에 걸쳐 적분하여 계산 DWT는 다른 해상도를 가진 다른 주파수 대역에서, 신호를 대강의 근사치 (approximation)와 상세한 정보(detail)로 분석(Decomposition)함으로써 신호를 해석  DWT  20