Algebra Lineal Ejercicios de aplicaciones lineales by murplelake82

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									                       EUITA
                        a                     ıstica
   Departamento de Matem´tica Aplicada y Estad´
                    Aplicaciones lineales
                         Ejercicios
                        Luis Sainz de los
                            Terreros




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               ıculo
     Inicio Art´




c 2002 lsainz@euita.upm.es
Actualizado el: 16 de septiembre de 2002
               Tabla de Contenido
1. Aplicaciones lineales
                o
2. Diagonalizaci´n
   Soluciones a los Ejercicios
     o
Secci´n 1: Aplicaciones lineales                                       3

1. Aplicaciones lineales
Ejercicio 1. Sea V un espacio vectorial y f : V → V una aplicaci´n  o
lineal que satisface:
                              f ◦ f = −i
siendo i : V → V la aplicaci´n identidad, v.g., i(x) = x, ∀ x ∈ V .
                            o
                           o
   a) Aplicando la definici´n de autovalor, probar que f no posee
      autovalores reales.
  b) Sea u = 0 un vector no nulo cualquiera de V y H = L{u, f (u)}.
      Probar que todo vector x ∈ H tiene su imagen en el mismo
      subespacio H.
En el caso particular de V = R4 :
                                                  o
  c) Hallar la matriz de f respecto de la base can´nica sabiendo que:
              f (u1 ) = (1, 1, 0, 0)            u1 = (1, 0, 0, 0)
                                       donde
              f (u2 ) = (1, 1, 1, 1)            u2 = (1, 1, 1, 0)

  d) Se definen los subespacios H1 = L{u1 , f (u1 )} y H2 = L{u2 , f (u2 )}.
     o
Secci´n 1: Aplicaciones lineales                                          4

      Probar que H1 ⊕ H2 = R4 , v.g., H1 y H2 son subespacios su-
      plementarios, y determinar la matriz de f respecto de la base
      B = {u1 , f (u1 ), u2 , f (u2 )}.
Ejercicio 2. Sea f : R4 → R4 la aplicaci´n lineal que verifica:
                                        o
                              f (e1 ) = 2e1 − e2
                                 f (e2 ) = 2e2
                              f (e3 ) = e2 + 2e3
                        f (e4 ) = e1 + e2 + e3 + e4
siendo Bc = {e1 , e2 , e3 , e4 } la base can´nica del espacio vectorial R4 .
                                            o
Se pide:
                                       ´
   a) Probar que λ = 1, 2 son los unicos autovalores de f .
  b) Hallar una base del subespacio propio asociado a λ2 = 2, es
     decir: E(2).
     ¿Es f diagonalizable ?
  c) Sea g = f − 2 i siendo i la transformaci´n identidad sobre R4 .
                                             o
     Comprobar que el n´cleo de g est´ contenido en el n´cleo de g 2 :
                         u            a                 u
     N (g) ⊂ N (g 2 ).
     o
Secci´n 1: Aplicaciones lineales                                    5

  d) Demostrar que R4 = N (g 2 )⊕L y hallar la matriz de la aplicaci´n
                                                                    o
     lineal f respecto de una base:
                                   B = B1 ∪ B2
      donde B1 es una base de N (g 2 ) y B2 es una base de E(1).
     o                  o
Secci´n 2: Diagonalizaci´n   6

                o
2. Diagonalizaci´n
Soluciones a los Ejercicios                                                     7

Soluciones a los Ejercicios
Ejercicio 1. a) Supongamos que λ sea un autovalor de f , y x = 0 un
autovector asociado. Entonces, f (f (x)) = −i(x), esto es:
                         f (λx) = −x ⇒ λ2 x = −x
lo cual nos conduce a λ2 = −1 (puesto que x = 0). El autovalor λ, si
existe, no puede ser pues, real.

b) Si y = αu + βf (u) ∈ H, entonces:
              f (y) = αf (u) + βf (f (u)) = αf (u) − βu ∈ H
c) Sean e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1)
Soluciones a los Ejercicios                                       8

los vectores de la base can´nica de R4 . Entonces:
                           o
           e1 = u1 → f (e1 )
              = f (u1 ) = (1, 1, 0, 0)
           e2 = f (u1 ) − u1 → f (e2 )
              = f (f (u1 )) − f (u1 ) = −u1 − f (u1 )
              = (−1, 0, 0, 0) − (1, 1, 0, 0) = (−2, −1, 0, 0)
           e3 = u2 − f (u1 ) → f (e3 )
              = f (u2 ) − f (f (u1 )) = f (u2 ) + u1
              = (1, 1, 1, 1) + (1, 0, 0, 0) = (2, 1, 1, 1)
           e4 = f (u2 ) − u2 → f (e4 )
              = f (f (u2 )) − f (u2 ) = −u2 − f (u2 )
              = −(1, 1, 1, 0) − (1, 1, 1, 1) = (−2, −2, −2, −1)
Soluciones a los Ejercicios                                      9

Resulta por lo tanto:
                                             
                                    1 −2 2 −2
                                   1 −1 1 −2
                  F = M (f, Bc ) = 
                                   0 0 1 −2
                                              

                                    0 0 1 −1
d) El conjunto B = {a1 = u1 , a2 = f (u1 ), a3 = u2 , a4 = f (u2 )}
es linealmente independiente como se comprueba con la matriz de
                                   o
coordenadas (respecto a la base can´nica):
                                      
                            1 0 0 0
                          1 1 0 0
                      Rg 1 1 1 0 = 4
                                       

                            1 1 1 1
Los vectores de B forman pues, una base de R4 , de donde se deduce
el resultado:
                         H1 ⊕ H 2 = R 4
Soluciones a los Ejercicios                                            10

    a                                       a
Adem´s se tiene el siguiente cuadro de im´genes:
         
         
                   a1 = u1 → f (a1 ) = f (u1 ) = a2
         a2 = f (u1 ) → f (a2 ) = f (f (u1 )) = −u1 = −a1
         
         
                   a3 = u2 → f (a3 ) = f (u2 ) = a4
         a4 = f (u2 ) → f (a4 ) = f (f (u2 )) = −u2 = −a3
                        o
La matriz de la aplicaci´n lineal f respecto   de la base B es pues:
                                                     
                                    0 −1       0 0
                                  1 0         0 0
                F = M (f, B) =                       
                                  0 0         0 −1
                                    0 0        1 0
                                                             Ejercicio 1
Soluciones a los Ejercicios                                        11

Ejercicio 2.
                                  o                             o
  a) La matriz de la aplicaci´n lineal f respecto de la base can´nica
     Bc = {e1 , e2 , e3 , e4 }es:
                                                     
                                         2 0 0 1
                                      −1 2 1 1
                     A = M (f, Bc ) = 
                                       0 0 2 1
                                                      

                                         0 0 0 1
      Sus autovalores se siguen del desarrollo del determinante carac-
         ıstico:
      ter´
                            2−λ       0       0       1
                             −1     2−λ       1       1
                 |A − λI| =                               =
                              0       0     2−λ       1
                              0       0       0     1−λ
Soluciones a los Ejercicios                                             12


                     2−λ       0      0
           (1 − λ)    −1      2−λ     1  = (1 − λ)(2 − λ)3 = 0 ⇒
                      0        0     2−λ
                           λ = 1(m = 1), λ = 2(m = 3)
  b) Una base de E(2) se obtiene resolviendo el sistema:
                                (A − 2I)X = 0 →
                                          
                         0     0 0 1        u   0
                       −1     0 1 1   v  0
                                         =  
                       0      0 0 1  w 0
                         0     0 0 −1       z   0
      por tanto:
        −u + w + z = 0
                              =⇒ Base de E(1)= {(0, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0)}
        z=0
                o
      La dimensi´n de E(2) es 2, y es menor que la multiplicidad del
Soluciones a los Ejercicios                                          13

                                                                 o
      valor propio correspondiente (m = 3). Por tanto la aplicaci´n
      lineal no es diagonalizable.
   c) Determinamos las matrices:
                                               
                                        0 0 0 1
                                      −1 0 1 1 
                     G = M (g, Bc ) = 
                                      0 0 0 1
                                                

                                        0 0 0 −1
                                                           
                               0 0 0 1       0 0          0 1
                             −1 0 1 1  −1 0            1 1
        G2 = M (g 2 , Bc ) =             
                              0 0 0 1  0 0
                                                              =
                                                          0 1
                               0 0 0 −1      0 0          0 −1
                                         
                                0 0 0 −1
                               0 0 0 −1
                                         
                               0 0 0 −1
                                0 0 0 1
      Las ecuaciones cartesianas de N (g) = E(1), ya se han calculado
      en el apartado anterior; las de N (g 2 ), se reducen a la ecuaci´n
                                                                      o
Soluciones a los Ejercicios                                           14

      z = 0:
                          −u + w + z = 0
                N (g) :                        ,   N (g 2 ) : z = 0
                          z=0
      Es claro que todo vector de N (g) satisface z = 0, que es la
      ecuaci´n cartesiana de N (g 2 ). Por tanto N (g) ⊂ N (g 2 ).
            o
  d) Las ecuaciones cartesianas de E(1) se obtienen inmediatamente:
                
                u + z = 0
                
          E(1) : −u + v + w + z = 0 ⇒ u = v = w = −z ⇒
                
                  w+z =0
                

                              Base : {(−1, −1, −1, 1)}
      Reuniendo una base de N (g 2 ) y la base anterior de E(1), se
Soluciones a los Ejercicios                                                   15

      forma una base de R4 :
            B = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (−1 − 1 − 1, 1)}
                                    
                   1 0 0 −1
                 0 1 0 −1                             2              4
                 0 0 1 −1 = 4 ⇒ N (g ) ⊕ E(1) = R
              Rg                    

                   0 0 0 1
      Por otro lado, para el cuarto vector de esta base, se tiene f (u) =
      u, as´ pues, siendo B = {e1 , e2 , e3 , u}:
           ı
                                                      
                                              1 0 0 0
                                         −1 2 0 0
                      A = M (f, B) =     0 0 2 0
                                                       

                                              0 0 0 1
                                                                    Ejercicio 2

								
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