Algebra Lineal (Eng.Industrial)

							`
Algebra Lineal (Eng.Industrial)                                                                       Codi: 21701    A
Temps: 1 hora                                                                                           9 de juny de 2008


                                                  I - Test    (8 punts)




1. Essent els complexos z1 = eiπ/3 , z2 = 1, calculeu la seva suma z1 + z2 .
      √                  √
   (a) 3eiπ/6 .      (b) 3eiπ/4 .        (c) 3e−iπ/6 .     (d) 3eiπ/3 .   (e) Cap de les anteriors.


2. Considerem, per a cada α ∈ R, α = 0, les aplicacions lineals f : R2 −→ R1 [x] i g : R1 [x] −→ R2 definides per
   f (1, 3) = 1 + x, f (1, −1) = 1 − αx, g(1) = (1, 2), g(1 + αx) = (1, 5). Assenyaleu per a quins valors de α ∈ R s´n
                                                                                                                    o
   bijectives i f −1 = g.
   (a) α = 2.        (b) α = −4.      (c) α = 3.      (d) α = 1.     (e) Cap de les anteriors.

                                                                                         
                                                                              1    1 α
3. Assenyaleu per a quins valors de α ∈ R ´s diagonalitzable la matriu A =  0
                                           e                                       0 2 
                                                                              0 −1 3
   (a) α = 0.     (b) Per a cap α.      (c) α = 2.     (d) α = −2.       (e) Cap de les anteriors.

                                                                 
                                                          a −1 −1
4. Assenyaleu per a quins valors a, b ∈ R la matriu A =  1 −1  0  verifica Ak = 0 per a algun k ∈ N.
                                                          b  1  1
    (a) Per a cap a, b.              (b) a = b = 0.                    (c) Per a tots a, b.
    (d) a = 0, b qualsevol.          (e) Cap de els anteriors.


5. Essent f : E −→ F lineal, considerem vectors z1 , . . . , zk ∈ E amb f (z1 ), . . . , f (zk ) linealment independents.
   Aleshores es pot assegurar que
                     o
    (a) z1 . . . zk s´n linealment independents.                  o
                                                 (b) z1 . . . zk s´n linealment dependents.
    (c) z1 . . . zk no generen E.                (d) z1 . . . zk generen E.
    (e) Cap de les anteriors.


6. Essent E = M4 (R) i F ⊂ E els subconjunt format per les matrius que tenen les dues primeres columnes iguals.
                                         u     e
   Assenyaleu quina de les afirmacions seg¨ents ´s certa.
    (a)   Si A ∈ F i B ∈ E, aleshores BA ∈ F .
    (b)      e                                 o
          F ´s un subespai vectorial de dimensi´ 3.
    (c)        e
          F no ´s subespai vectorial.
    (d)   Si A ∈ F i B ∈ E, aleshores AB ∈ F .
    (e)   Cap de les anteriors.


7. Essent F, G ⊂ R3 [x] els subespais vectorials definits per
                   F = {P (x) : P (−1) = P ′ (−1) = 0}, G = {P (x) : P (x) = P (0) + P ′ (0)x + P (0)x2 }.
   Aleshores:
    (a) F ∩ G = [1 − x2 ].         (b) La suma F + G ´s directa.
                                                        e                 (c) F ∩ G = [(x + 1)2 ].
    (d) F + G = R3 [x].            (e) Cap de les anteriors.


8. Sigui P (x) ∈ R4 [x] un polinomi tal que: el seu terme independent ´s 10; 1 + 2i n’´s arrel; P (1) = P ′ (1) = 0.
                                                                            e         e
                                                e
   Aleshores, el residu de dividir-lo per x − 2 ´s:
   (a) 0.    (b) 2.      (c) 10.       (d) 5.     (e) Cap de les anteriors.