Examen de doctorado ´Algebra Lineal Numérica

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					                 Examen de doctorado
               ´                 e
               Algebra Lineal Num´rica


                          20 de febrero de 2008

1. Decidir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifi-
   carlo.

    a) Sea A = (aij ) ∈ Rn×n ,
                                n
                   |aii | >             |aij |, i = 1...n =⇒ A es no singular
                              j=1 j=i

    b) Sea A ∈ Rm×n , m < n, de rango completo y b ∈ Rm entonces el
                                                        o
       conjunto {x : minimiza||Ax − b||2 } es de dimensi´n n − m.
    c) Existe L matriz triangular inferior con unos sobre la diagonal y U
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       triangular superior tal que A = LU donde A =               .
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    d ) Sea A ∈ Rn×n , invertible y que tiene una descomposici´n LU
                                                                 o
        entonces todos los menores principales de A son no singulares.

2. Probar que cualquier matriz A ∈ Rm×n con m > n, es el l´
                                                          ımite de una
         o
   sucesi´n de matrices de rango completo.
3. Sea la matriz

                                              A11 A12
                                    A=                    ,
                                              A21 A22

  donde A11 ∈ Rk×k , es no singular. Sea S = A22 − A21 A−1 A12 , mostrar
                                                         11
           e
  que despu´s de k iteraciones del algoritmo LU , el bloque A22 ha sido
  reemplazado por S.

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4. Sea A ∈ C n×n una matriz no singular.

      a) Enunciar el algoritmo QR para calcular los autovalores de A y dar
                                     o
         un bosquejo de la demostraci´n de convergencia.
      b) Demostrar que el algoritmo QR preserva la forma de una matriz
         de Hessenberg, donde la matriz de Hessenberg H queda definida
         de manera tal que hi,j = 0, si i − j > 1.

5.                     e
      a) Enunciar el m´todo del gradiente conjugado para resolver el sis-
         tema lineal de ecuaciones Ax = b.
                          e
      b) Mostrar que el m´todo del gradiente conjugado converge en un
          u
         n´mero finito de pasos.

                                               o
6. Probar que existe una matriz de permutaci´n P tal que si A es una
   matriz sim´trica y semidefinida positiva (xt Ax ≥ 0 ∀x = 0) entonces
             e
     P T AP = RRT donde

                                    R11 R12
                             R=                 .
                                     0   0




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