Algebra 2 (ćwiczenia) definicje i twierdzenia. Ćwiczenia 1 (II

Document Sample
Algebra 2 (ćwiczenia) definicje i twierdzenia. Ćwiczenia 1 (II Powered By Docstoc
					                     Algebra 2 (ćwiczenia): definicje i twierdzenia.

 Ćwiczenia 1 (II tw. o izomorfiźmie).
Definicja 1.1 Grupa — niepusty zbiór G, w którym określone jest działanie o następujacych własnościach:

  1. (łączność)    ∀ a, b, c ∈ G   a(bc) = (ab)c,

  2. (∃ elementu neutralnego)      ∃e∈G      ∀a∈G        ae = ea = a,

  3. (∃ elementu odwrotnego)       ∀a∈G      ∃b∈G        ab = ba = e.

Niech G — grupa (domyślne działanie ·, rzadziej +).

Definicja 1.2 Niech H ⊂ G, H = ∅. H nazywamy podgrupą, gdy

                                            ∀ a, b ∈ H       ab−1 ∈ H .

Piszemy H < G.

Twierdzenie 1.3 Niepusty podzbiór H grupy G jest podgrupą grupy G iff spełnione są wszystkie poniższe
warunki:

  1. e ∈ H,

  2. ∀ a, b ∈ H    ab ∈ H    (zamkniętość podgrupy na działanie),

  3. ∀ a ∈ H      a−1 ∈ H

(a zatem H jest grupą zawartą w grupie G).

Definicja 1.4 Niech H < G. Warstwą lewostronną grupy G wzgl. podgrupy H wyznaczoną przez element a
nazywamy zbiór:

                                              aH = {ah, h ∈ H} .

Warstwą prawostronną . . .

                                              Ha = {ha, h ∈ H} .

Mamy następujące własności:

  1. dwie warstwy lewostronne są albo identyczne albo rozłączne,

  2. suma mnogościowa wszystkich warstw lewostronnych jest równa całej grupie,

  3. dwie warstwy lewostronne aH i bH są równe iff b−1 a ∈ H.

Pkt 3 można wyrazić następująco: a i b wyznaczają tą samą warstwę (należą do tej samej warstwy) iff
b−1 a ∈ H.
Możemy zatem wprowadzieć relację (wyznaczania, nalezenia do tej samej warstwy)

                                            a ≡H b ⇐⇒ b−1 a ∈ H .

≡H jest relacją równoważności, z 1 i 2 wynika, że rozbija nam ona G na klasy abstrakcji.

                                                         1
Definicja 1.5 Podgrupę H grupy G nazywamy dzielnikiem normalnym (H                  G) gdy

                                          ∀x∈G          xHx−1 = H .

Stwierdzenie 1.6 Niech H < G, wówczas:

                                    H   G       if f    ∀a∈G           aH = Ha .

Jesli G jest abelowa to oczywiście aH = Ha dla H < G.
Niech H G, niech G/H — zbiór warstw (H jest podgrupą!). W zbiorze tym wprowadzamy działanie:

                                            (aH) · (bH) = (ab)H

(jeśli H G, to nie jest to poprawnie zdefiniowane działanie). Wówczas G/H tworzy grupę względem tego
działania — nazywamy ją grupą ilorazową G przez H.

Twierdzenie 1.7 (I tw. o izomorfiźmie) Niech f : G → G bedzie homomorfizmem grup,
niech H — jadro tego homomorfizmu (wiadomo, że jądro homomorfizmu określonego na grupie jest dzielni-
kiem normalnym tej grupy):

                                    H = ker f = {a ∈ G : f (a) = 1 } .

Istnieje wówczas jednoznacznie wyznaczony izomorfizm grup:

                                                f ∗ : G/H → imf .

Przypomnijmy, że

                                 imf = {a ∈ G : ∃ a ∈ G : f (a) = a } .

Jeśli G jest grupą to oczywiście imf też jest grupą.

Twierdzenie 1.8 (II tw. o izomorfiźmie) Niech G — grupa, H < G, K < G, takie że

                                          ∀x∈H              xKx−1 = K .                         (1)
Wówczas zbiór KH = {kh : k ∈ K, h ∈ H} jest podgrupą grupy G, oraz

                                            K     KH, (K ∩ H) H

i zachodzi izomorfizm grup:

                                          H/(K ∩ H) ∼ KH/K .
                                                    =

Uwaga: równość (1) nie oznacza jeszcze, że K G. Wiemy bowiem tylko, że równość (1) zachodzi dla
wszystkich x ∈ H — nie musi jednak zachodzić dla wszystkich x ∈ G.


 Ćwiczenia 2 (wolne grupy abelowe).
Definicja 2.1 Mówimy, że grupa przemienna G jest wolną grupą abelową, gdy jest sumą prostą pewnej
ilości swoich nieskończonych podgrup cyklicznych:

                                                       G=         gi
                                                            i∈I



                                                            2
Uwaga: zbiór I, po którym indeksujemy, może być nieprzeliczalny.

    gi oznacza grupę cykliczną generowaną przez element gi , tzn. 0 oraz sumy postaci gi + gi + . . . + gi dają
wszystkie elementy grupy gi .
Ponieważ założyliśmy, że grupy gi są nieskończone, to dla każdego i ∈ I mamy gi ∼ Z — łatwo pokazać
                                                                                    =
odpowiedni izomorfizm, jest to odwzorowanie f takie, że f (gi ) = 1.
Mamy zatem:

                                                     G∼
                                                      =           Z.
                                                             I

Przypomnijmy, co oznacza suma prosta grup przemiennych Gi (niekoniecznie nieskończonych):                i∈I   Gi (by
G była wolna żądamy dopiero, aby Gi nieskończone, cykliczne).
Jest to podzbiór iloczynu kartezjańskiego rodziny grup przemiennych {Gi }i∈I :

                                                          Gi ⊂         Gi
                                                    i∈I          i∈I

taki, że każdy element należący do i∈I Gi ma prawie wszystkie (wszystkie poza skończoną ilością) współ-
rzędne równe 0i (0i — element neutralny grupy Gi ).
Gdy I skończony, to i∈I Gi = i∈I Gi .
Przykładem i∈I Gi może być zbiór wszystkich nieprzeliczalnych ciagów liczb całkowitych, ciągów takich,
że tylko na skończonej liczbie pozycji każdego z ciągów są elementy niezerowe.

Definicja 2.2 (II def. sumy prostej — tym razem tylko skończonej liczby podgrup) Niech G —
grupa abelowa, H1 , H2 , . . . , Hn — jej podgrupy. Mówimy, że G jest sumą prostą podgrup H1 , H2 , . . . , Hn , gdy
homomorfizm

                                          f : H1 ⊕ H2 ⊕ . . . ⊕ Hn → G

dany wzorem
                                    f ((h1 , h2 , . . . , hn )) = h1 + h2 + . . . + hn
jest izomorfizmem grup.
Piszemy wtedy: G = H1 ⊕ H2 ⊕ . . . ⊕ Hn .

Twierdzenie 2.3 G = H1 ⊕ H2 ⊕ . . . ⊕ Hn iff

  1. ∀ g ∈ G     ∃ hi ∈ Hi   t.że   g = h1 + h2 + . . . + hn ,

  2. ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n − 1} mamy

                                          Hi+1 ∩ (H1 + H2 + . . . + Hi ) = {0}.



    Wróćmy do wolnych grup abelowych. elementy gi z zapisu G = i∈I gi nazywamy wolnymi generato-
rami. Moc zbioru wolnych generatorów grupy G nazywamy rangą grupy G i oznaczamy symbolem r(G).
Ponieważ i∈I gi jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego, to żadne dwie grupy gi nie przecinają się
poza 0 (są na różnych ‘współrzędnych’). Zatem każdy element g ∈ G da się przedstawić jednoznacznie
w postaci skończonej (g ma prawie wszystkie współrzędne równe zero) kombinacji liniowej wolnych genera-
torów.

Twierdzenie 2.4 Każda podgrupa wolnej grupy abelowej jest wolną grupą abelową (grupa zerowa — wolna
grupa abelowa o pustym zbiorze wolnych generatorów, tj. grupa rangi zero).


                                                            3
 Ćwiczenia 3 (typ grupy).
Niech F — wolna grupa abelowa, niech r(F ) = n.
Niech H < F (zatem H też jest wolną grupą abelową) i niech r(H) = m.
Istnieją wówczas bazy {x1 , x2 , . . . , xn }, {y1 , y2 , . . . , ym } grup F i H odpowiednio, takie że

                                 y i = ki · x i     dla i = 1, 2, . . . , m,     ki ∈ N \ {0} .

O takich bazach mówimy, że są zgodne.
Może być wiele baz zgodnych dla tych samych F i H, jest jednak dokładnie jedna baza zgodna o własności:

                                                        k1 | k2 | . . . | km .

Twierdzenie 3.1

                                          Zmn ∼ Zm ⊕ Zn
                                              =                       iff   (m, n) = 1 .



Dowód:
(⇒)
Skoro Zm ⊕ Zn jest cykliczna (bo Zmn jest przecież cykliczna), to istnieją g ∈ Zm , h ∈ Zn takie, że

                                                     Zm ⊕ Zn = (g, h) .

Z założenia Zmn ∼ Zm ⊕ Zn wiemy również, że |Zm ⊕ Zn | = m · n. Z drugiej strony:
                =

                                   [m, n] · (g, h) = ([m, n] · g, [m, n] · h) = (0, 0) .

Czyli ord(g, h) [m, n], a ściślej ord(g, h) | [m, n].
Zatem [m, n] = ord(g, h) · K, dla pewnego K ∈ N. Jednocześnie wiemy, że

                                                     [m, n] · (m, n) = mn ,

zatem
                                                  ord(g, h) · K · (m, n) = mn .
Ponieważ ord(g, h) = mn, bo element (g, h) jest generatorem grupy Zmn , to

                                                        K · (m, n) = 1 ,

czyli (m, n) = 1.
(⇐)
Skorzystamy z tw. 2.3. Spełnione są oczywiście izomorfizmy:

                                                       Zm ∼ U1 ⊂ Zmn ,
                                                          =
                                                       Zn ∼ U2 ⊂ Zmn ,
                                                          =

gdzie

                                            U1 = {0, n, 2n, . . . , (m − 1)n} ,
                                            U2 = {0, m, 2m, . . . , (n − 1)m} .

Pokażemy (korzystając z tw. 2.3), że Zmn = U1 ⊕ U2 (∼ Zm ⊕ Zn ).
                                                    =
Pkt. 2 tw.:
Niech dowolny a ∈ U1 ∩ U2 , czyli:

                                                                  4
                                     a=k·n 0          k < m bo a ∈ U1 ,
                                     a=l·m 0          l < n bo a ∈ U2 .
A stąd k · n = l · m, czyli n | l · m. Ale (m, n) = 1, zatem nl. Ponieważ jednak 0       l < n, to l = 0
i w konsekwencji a = 0.
Zatem ostatecznie U1 ∩ U2 = {0}.
Pkt. 1 tw.:
Niech a ∈ Zmn . Bez utraty ogólności rozważań możemy założyć, że m < n.
Ponieważ (m, n) = 1, to Zn = m (wynika to następującego faktu: liczby i·m (mod n), dla i = 0, 1, . . . , n−1
są parami różne, co z kolei łatwo jest udowodnić rozważając kongruencję i · m ≡ j · m (mod n), i mnożąc ją
obustronnie przez m−1 (mod n)).
Ponieważ a ∈ Zmn , to a da się przedstawić w postaci sumy:

                   a=k·n+r        dla k ∈ {0, 1, . . . , m − 1},     r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} = Zn .
Skoro r ∈ Zn = m , to r = q ·n m dla pewnego q ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Tzn. r = q · m − s · n, dla pewnych q, s.
Zatem
                              a = k · n + q · m − s · n = (k − s) · n + q · m .
Biorąc m + (k − s) zamiast k − s, jeśli to ostatnie jest mniejsze od zera (oczywiście |k − s| < m), dostajemy:

                                              a = t · n +mn q · m ,
                                                   ∈U1         ∈U2

co kończy dowód punktu 2.

Twierdzenie 3.2 Jeśli N = k · l oraz (k, l) = 1, to

                                             Φ(N ) ∼ Φ(k) ⊕ Φ(l) ,
                                                   =
gdzie Φ(N ) = {1 n N : (n, N ) = 1} (zbiór ten wraz z mnożeniem modulo N tworzy grupę, tzw. zredu-
kowaną grupę reszt modulo N ).

Dowód:
Rozważmy odwzorowanie

                                           f : Φ(N ) → Φ(k) ⊕ Φ(l)
określone wzorem
                                             f (n) = (rk (n), rl (n)) .
Łatwo pokazać, że jest to homomorfizm grup.
Ponadto, jeśli f (n) = f (m) to na pierwszej współrzędnej występuje ta sama reszta, i na drugiej współrzędnej
występuje ta sama reszta. Zatem k | n − m, l | n − m.
Ale (k, l) = 1, czyli k i l nie mają wspólnego czynnika, stąd kl | n − m, tzn. n ≡ m (mod N ). Zatem f jest
iniekcją.
Z własności ϕ(N ) = ϕ(k) · ϕ(l) dla (k, l) = 1, grupy Φ(N ) i Φ(k) ⊕ Φ(l) mają taki sam rząd, zatem f jest
też z konieczności suriekcją. Stąd f — izomorfizm.

Twierdzenie 3.3 Jeśli k jest liczbą naturalną, i k        3, to Φ(2k ) ∼ C(2) ⊕ C(2k−2 ).
                                                                       =
Zauważmy, że dla k = 1 mamy Φ(2) = {1} — grupa trywialna,
dla k = 2 mamy Φ(22 ) = {1, 3} ∼ C(2) (jak pamiętamy, działaniem w Φ(N ) jest mnożenie).
                               =
A zatem powyższe tw. jest prawdziwe także dla k = 2.

Twierdzenie 3.4 Dla dowolnego naturalnego k grupa Φ(pk ) jest cykliczna, gdzie p jest nieparzystą liczbą
pierwszą.


                                                         5
 Ćwiczenia 4 (rząd elementu grupy skończonej).
Niech g będzie elementem skończonej grupy G, niech:

                                                      pβ1 pβ2 . . . pβm · g = 0 ,
                                                       1 2           m

gdzie liczby pierwsze pi są parami różne, oraz 0 po prawej stronie jest elementem neutralnym działania
grupowego (jak widać, dla G stosujemy zapis addytywny, ale poniższe rozumowanie pozostaje słuszne również
dla grup multyplikatywntch).
Zatem
                                          ordg | pβ1 pβ2 . . . pβm ,
                                                  1 2           m

czyli
                                          ordg = pγ1 pγ2 . . . pm
                                                  1 2
                                                                γm
                                                                           i 0         γi   βi .                                 (2)
Z tw. o jednoznaczności rozkładu skończenie generowalnej grupy abelowej wiemy, że
                                                  α          α                  α
                                           g = C(q1 1 ) ⊕ C(q2 2 ) ⊕ . . . ⊕ C(qn n ) ,

dla pewnych liczb pierwszych qi ;
oraz w konsekwencji:
                                                             α      α              α
                                             ordg = | g | = q1 1 · q2 2 · . . . · qn n .
Ponieważ g jest cykliczna, to qi muszą być parami różne (patrz tw 3.1). Z (2) dostajemy n = m, qi i = pγi ,
                                                                                                α
                                                                                                       i
tzn.
                         g = C(pγ1 ) ⊕ C(pγ2 ) ⊕ . . . ⊕ C(pγm ) i 0 γi βi .
                                  1         2               m

Czyli
                                                       g = (g1 , g2 , . . . , gm ) ,
gdzie gi generuje grupę C(pγi ), tzn. gi = C(pγi ).
                             i                i
Nie znamy γi , jeśli je poznamy, to poznamy ordg — patrz (2); wiemy jedynie, że 0                                γi    βi .
Niech
                                                                     m
                                                            Qj =          pβi .
                                                                           i
                                                                    i=1
                                                                    i=j

Mamy
                                                                                                                          γ
            Qj · g = (Qj · g1 , Qj · g2 , . . . , Qj · gj , . . . , Qj · gm ) = (0, 0, . . . , Qj · gj , . . . , 0) ∈ C(pj j )   (3)
                                                  γ
jako do ogólnej grupy cyklicznej rzędu pj j (przypomnijmy, że gj generuje grupę właśne tego rzędu).
                                                                                 γ
Oczywiście Qj i pj są względnie pierwsze (bo pi parami różne), zatem Qj i Pj = pj j są względnie pierwsze.
Z algorytmu Euklidesa można znaleźć uj , vj ∈ Z takie, że

                                                        Qj uj + Pj vj = 1 .

A zatem
                                                   Qj uj · gj + Pj vj · gj = gj ,
                                                   Qj uj · gj + vj Pj · gj = gj .
                                                                          =0

Czyli Qj uj gj = gj , i stąd elementy te generują tą samą grupę: Qj uj gj = gj .
Ponadto
                                            Qj uj gj ⊂ Qj gj ⊂ gj ,
                                                                               γ
czyli Qj · gj = gj . A to oznacza, że ord Qj gj = ordgj = pj j , zatem z (3) mamy:
                                                                                   γ
                                                  ord Qj g = ord Qj gj = pj j .

                                                                    6
                                                                                              γ
Wystarczy więc, kolejno dla j = 1, 2, . . . , m, określić wykładnik γj w liczbie ord Qj g = pj j , by znaleźć
ordg = pγ1 pγ2 . . . pγm .
        1 2           m


   Ponieważ ord a jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita taka, że n · a = 0, zatem by znaleźć γj
wystarczy element Qj · g wymnażać przez pj (patrz (3)) dopóty, dopóki nie otrzymamy 0 — tj. elementu
neutralnego grupy G. Liczba czynników pj będzie równa γj (0 γj βj ).
                                   γ
Jak widać każdy γj (a dokładniej: pj j ) będzie znajdowany w izolacji — tj. niezależnie od pozostałych γi .


 Ćwiczenia 5 (grupy permutacji, ciągi kompozycyjne).
Teoria permutacji okazała się bardzo pomocna do złamania Enigmy w styczniu 1933 roku.

   Powtórzyć: definicję permutacji, co to jest Sn ; zapis permutacji, twierdzenie o reprezentacji permutacji
w postaci iloczynu cykli rozłącznych, w postaci iloczynu transpozycji; co oznacza parzystość, nieparzystość
permutacji, co to jest An .


Definicja 5.1 Dwie permutacje z grupy Sn są nazywane podobnymi, gdy w rozkładzie na cykle rozłączne
mają takie same ilości cykli jednakowej długości.

Lemat 5.2 Permutacje σ, τ ∈ Sn są podobne iff istnieje ρ ∈ Sn takie, że

                                                ρσρ−1 = τ .

O σ, τ mówimy też, że są sprzężone, co oznaczamy σ ∼ τ

   Niech H < G, przypomnijmy, że H G iff xHx−1 = H dla każdego x ∈ G. Jasne jest zatem, że podgru-
pa H grupy Sn jest jej dzielnikiem normalnym iff wraz z każdą permutacją zawiera wszystkie permutacje
podobne.

Definicja 5.3 Rosnący ciąg grup

                                      {e} = G0 ⊂ G1 ⊂ . . . ⊂ Gm = G

taki, że Gi Gi+1 dla i = 0, 1, . . . , m − 1, nazywamy ciągiem normalnym (wieżą normalną) podgrup. Grupy
ilorazowe Gi+1 /Gi nazywamy ilorazami (faktorami) ciągu normalnego.

Definicja 5.4 Ciąg kompozycyjny to ciąg normalny, którego ilorazy są grupami prostymi (grupa G jest
prosta, gdy posiada dokładnie dwa dzielniki normalne — z konieczności są to {e} i G)

Uwaga: grupa {e} nie jest prosta, czyli np. grupa permutacji {id} nie jest prosta.

   Niech G — skończona. Jeśli Gi+1 /Gi nie jest prosta, to istnieje Gi < Gi+1 , taka że Gi ⊂ Gi i Gi Gi+1
oraz Gi+1 /Gi jest prosta (zatem Gi = Gi+1 ).
Ponieważ Gi ⊂ Gi ⊂ Gi+1 i Gi Gi+1 , to Gi Gi (z def. ).
Zatem ciągi normalne grup skończonych można zagęszczać do ciągów kompozycyjnych.

Definicja 5.5 Grupę skończoną nazywamy rozwiązalną, gdy posiada przynajmniej jeden ciąg kompozycyjny,
którego faktory są grupami abelowymi.

Dana grupa może mieć więcej niż jeden ciąg kompozycyjny.

                                                     7
 Ćwiczenia 6 (podzielność w pierścieniach przemiennych).
Niech A — dziedzina całkowitości.


Definicja 6.1 Niech a, b ∈ A. Mówimy, że element b jest dzielnikiem elementu a, co oznaczamy b | a, jeśli
istnieje c ∈ A taki, że a = b · c.

Definicja 6.2 a, b ∈ A są stowarzyszone (a ∼ b) jeśli a | b, b | a.

Twierdzenie 6.3 Elementy a, b ∈ A są stowarzyszone iff istnieje element u ∈ U (A) (gdzie U (A) — zbiór
elementów odwracalnych pierścienia A) taki, że b = au

Definicja 6.4 Element a ∈ A \ {0} nazywamy elementem rozkładalnym, jeśli daje się on przedstawić w po-
staci iloczynu dwóch elementów nieodwracalnych pierścienia A.

Definicja 6.5 Nieodwracalny element a ∈ A \ {0} jest nierozkładalny, jeśli dla dowolnych b, c ∈ A mamy:

                         a = bc    =⇒      b lub c jest odwracalny w A (tj. b lub c ∼ 1).

Definicja 6.6 Mówimy, że element nieodwracalny a ∈ A \ {0} ma rozkład jednoznaczny, jeśli spełnione są
warunki
  1. a daje się przedstawić w postaci iloczynu elementów nierozkładalnych (tj. sam jest nierozkładalny, albo
     ma rozkład),

  2. z równości a = p1 · p2 · . . . · pk = q1 · q2 · . . . · q , gdzie pi , qj są elementami nierozkładalnymi, wynika że
     k = oraz istnieje permutacja indeksów j → σ(j) taka, że p1 ∼ qσ(1) , p2 ∼ qσ(2) ,. . . ,pk ∼ qσ(k) .

Uwaga, w punkcie 2 powyższej definicji nie zakładamy, że pi są parami różne. Podobnie qj .

Definicja 6.7 Różny od 0 element nieodwracalny p ∈ A nazywamy elementem pierwszym, jeśli

                                        ∀ a, b ∈ A    p | ab ⇒ p | a ∨ p | b .

Mamy:
                                    p jest pierwszy =⇒ p jest nierozkładalny,
                                    a jest nierozkładalny =⇒ a jest pierwszy.


 Ćwiczenia 7 (ideały).
Definicja 7.1 Mówimy, że podzbiór I pierścienia A jest ideałem, gdy spełnione są warunki:
  1. 0 ∈ I

  2. ∀ x, y ∈ I    x−y ∈I

  3. ∀ a ∈ A      ∀x∈I     ax, xa ∈ I

Np. {0}, A są ideałami pierścienia A — nazywamy je ideałami niewłaściwymi.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym, wówczas zbiór x · A = {xa : a ∈ A}, gdzie x jest ustalonym
elementem pierścienia A, jest ideałem. Nazywamy go ideałem głownym generowanym przez x.

   Z punktu 2 definicji ideału mamy I < A+ , tzn. I jest podgrupą grupy addytywnej pierścienia A. Ponieważ
w pierścieniu dodawanie jest przemienne, to I A+ . Można więc utworzyć grupę ilorazową: A+ /I.
Wprowadzając dodatkowo mnożenie warstw:

                                                          8
                                                  (a + I) · (b + I) = a · b + I

otrzymujemy, że A/I z tak określonym mnożeniem warstw jest pierścieniem (pierścieniem ilorazowym pier-
ścienia A modulo ideał I). Jedynką (o ile jedynka należy do A) jest warstwa 1 + I. Homomorfizm kanoniczny
grup κ : A+ → A+ /I jest homomorfizmem pierścieni.

Twierdzenie 7.2 Jądro homomorfizmu określonego na pierścieniu A jest ideałem tego pierścienia, i na
odwrót — każdy ideał jest jądrem pewnego homomorfizmu.

Twierdzenie 7.3 (o izomorfiźmie) Niech f : A → B będzie homomorfizmem pierścieni. Niech I będzie
jego jądrem (wiemy już, że jest to ideał pierścieia A). Wówczas:

                                                          A/I ∼ imf
                                                              =

Zatem ideał jest tym dla pierścienia, czym dzielnik normalny dla grupy.

    Niech T — podzbiór pierścienia A. Dla dowolnego T istnieje najmniejszy w sensie inkluzji ideał tego
pierścienia zawierający T — nazywamy go ideałem generowanym przez zbiór T i oznaczamy symbolem (T ).
Jeżeli T = {a}, to piszemy (a) zamiast ({a}). Podobnie, jeśli T = {a1 , a2 , . . . , an }, to piszemy (a1 , a2 , . . . , an )
zamiast ({a1 , a2 , . . . , an }).

       Jeśli A jest pierścieniem przemiennym z jedynką, to x · A = (x).

   Zauważmy, że (Z, +, ·) jest dziedziną1 ideałów głównych — tzn. każdy ideał tego pierścienia jest ideałem
głownym. Aby uzasadnić ten fakt, przypomnijmy sobie, że jedyne podgrupy grupy Z + to podgrupy postaci
kZ, a z punktu 2 definicji ideału wynika, że ideałów pierścienia A należy szukać wśród podgrup grupy A+ .
Wystarczy teraz sprawdzić punkt 3 definicji ideału:
Weźmy dowolne a ∈ Z, oraz dowolne x ∈ kZ — tzn. istnieje b ∈ Z, takie że x = k · b. Wówczas:

                                                 a · kb = kb · a = k · ba ∈ kZ ,

czyli kZ jest ideałem. Ponieważ Z — pierścień przemienny z jedynką, to kZ = (k).

       Poniżej zakładamy, że A — pierścień przemienny z jedynką.
Definicja 7.4 Ideał P pierścienia A nazywamy ideałem pierwszym, gdy P = A oraz

                                   ∀ x, y ∈ A     (xy ∈ P     ⇒     x∈P       ∨    y ∈ P) .

Jeśli A jest dziedziną całkowitości, to a ∈ A jest elementem pierwszym iff (a) jest niezerowym ideałem
pierwszym.

Twierdzenie 7.5 P — ideał pierwszy iff A/P — dziedzina całkowitości.

Definicja 7.6 Ideał M pierścienia A nazywamy ideałem maksymalnym, gdy M = A oraz

                                   ∀ I − ideał    (M ⊂ I      ⇒     I=M       ∨    I = A) .

Twierdzenie 7.7 M jest maksymalny iff A/M jest ciałem.

Każde ciało jest dziedziną całkowitości, ale nie każda dziedzina całkowitości jest ciałem, zatem:
                                M jest maksymalny =⇒ M jest pierwszy,
                                 P jest pierwszy =⇒ P jest maksymalny.
   1
       piszemy „dziedziną” gdy dany pierścień jest dziedziną całkowitości, w przeciwnym przypadku pisalibyśmy „pierścieniem”


                                                               9
 Ćwiczenia 8 (pierścienie noetherowskie).
Definicja 8.1 Pierścień przemienny A nazywamy pierścieniem noetherowskim, jeśli każdy ideał I tego pier-
ścienia ma skończony zbiór generatorów, tzn. I = (T ), gdzie T = {a1 , a2 , . . . , an } — skończony podzbiór
pierścienia A.
Równoważnie możemy zapisać:
                                                                                   n
                 I = (a1 , a2 , . . . , an ) = (a1 ) + (a2 ) + . . . + (an ) = {         xi ai : xi ∈ A ∪ Z} .
                                                                                   i=1

Twierdzenie 8.2 Niech A — pierścień przemienny.
Następujące warunki są równoważne:

  1. A jest p. noetherowskim,

  2. każdy wstępujący ciąg ideałów:
                                                       I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . .
     stabilizuje się, tzn. istnieje k ∈ N, takie że

                                                    Ik = Ik+1 = Ik+2 = . . .

  3. w każdej niepustej rodzinie ideałów istnieje ideał maksymalny w tej rodzinie (w sensie inkluzji, a nie
     w sensie definicji ideału maksymalnego) — tzn. ideał nie zawarty w żadnym innym ideale tej rdziny.

Stwierdzenie 8.3 Klasa pierścieni noetherowskich jest dziedziczna ze względu na obrazy homomorficzne

Stwierdzenie 8.4 Niech A — pierścień noetherowski. Niech S ⊂ A będzie podzbiorem multyplikatywnym
pierścienia A. Wówczas pierścień ułamków S −1 A także jest noetherowski.

Przypomnijmy, że podzbiór multyplikatywny S to podzbiór pierścienia przemiennego z jedynką, spełniający
warunki:

  1. 0 ∈ S

  2. 1 ∈ S

  3. s, t ∈ S ⇒ s · t ∈ S

Zauważmy, że S może zawierać dzielniki zera, ale nie oba jednocześnie, np. {1} ∪ 2 jest podzbiorem
multyplikatywnym pierścienia Z6 .

Twierdzenie 8.5 (Hilberta o bazie) Niech A — pierścień noetherowski, wówczas A[X] też jest noethe-
rowski.

Fakt 8.6 Iloczyn kartezjański dwóch pierścieni noetherowskich, z których co najmniej jeden zawiera jedynkę,
jest pierścieniem noetherowskim.

Uzasadnienie:
Niech A, B — pierścienie noetherowskie, i niech I — dowolny ideał pierścienia A × B.
Zdefiniujmy:
                                IA = {a ∈ A : ∃ b ∈ B (a, b ) ∈ I} ,
                                IB = {b ∈ B : ∃ a ∈ A (a , b) ∈ I} .
IA jest ideałem pierścienia A, podobnie IB jest ideałem pierścienia B — pokażmy dla IA punkt 3 definicji
ideału:



                                                             10
        Niech a ∈ IA , x ∈ A. Z definicji IA istnieje b ∈ B taki, że (a, b ) ∈ I. I jest ideałem pierścienia
        A × B, zatem (a, b ) · (x, y) ∈ I. Stąd (ax, b y) ∈ I, czyli ax ∈ IA , a ponieważ A jest przemienny
                               ∈A×B
        (bo noetherowski) to xa = ax ∈ IA .
Z określenia IA , IB wiemy, że I ⊂ IA × IB — dla (a, b) ∈ I mamy bowiem a ∈ IA (b = b), b ∈ IB (a = a),
tzn. (a, b) ∈ IA × IB .
Pokażemy, że IA × IB ⊂ I, tzn. IA × IB = I.
Ponieważ IA jest ideałem pierścienia A, oraz A jest noetherowski, to IA = (a1 , a2 , . . . , am ) przy pewnych
ai ∈ IA dla i = 1, 2, . . . , m. Zatem:

                                       ∀ i ∈ {1, 2, . . . , m} ∃ bi      (ai , bi ) ∈ I .                          (4)
Podobnie IB = (b1 , b2 , . . . , bn ).
Niech dowolne (a, b) ∈ IA × IB , stąd a ∈ IA , czyli a = x1 a1 + x2 a2 + . . . + xm am przy pewnych xi ∈ A ∪ Z
dla i = 1, 2, . . . , m.
Jeśli dane xi ∈ A, to z (4) mamy (ai , bi ) · (xi , 0) ∈ I, bo (xi , 0) ∈ A × B — czyli. (ai xi , 0) ∈ I.
Jeśli jednak xi ∈ A (tzn. 1 ∈ A), to z założenia o pierścieniach A i B mamy 1 ∈ B, stąd (ai , bi ) · (0, 1) =
(0, bi ) ∈ I. A zatem (ai , bi ) − (0, bi ) = (ai , 0) ∈ I, i w konsekwencji (0, 0) − (ai , 0) = (−ai , 0) ∈ I.
Stąd:
                                       (ai , 0) − (−ai , 0) = (2ai , 0) ∈ I ,
                                       (2ai , 0) − (−ai , 0) = (3ai , 0) ∈ I ,
                                       ...,
                                       ((xi − 1) · ai , 0) − (−ai , 0) = (xi ai , 0) ∈ I .
Ostatecznie:

            (a, 0) = (x1 a1 + x2 a2 + . . . + xm am , 0) = (x1 a1 , 0) + (x2 a2 , 0) + . . . + (xm am , 0) ∈ I .
                                                                  ∈I             ∈I               ∈I

Podobnie pokazujemy, że (0, b) ∈ I. Zatem (a, b) = (a, 0) + (0, b) ∈ I, i z dowolności (a, b) mamy IA × IB ⊂ I.
                                                            ∈I          ∈I

    Czyli każdy ideał pierścienia A × B można opisać jako iloczyn kartezjański ideałów odpowiednich pier-
ścieni. Niech teraz I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . . będzie dowolnym wstępującym ciągiem ideałów pierścienia A × B.
Wykażemy, że ciąg ten się stabilizuje. Mamy Ij = IA,j ×IB,j , gdzie IA,j jest ideałem pierścienia A, zaś IB,j —
ideałem pierścienia B. Oczywiście IA,1 ⊂ IA,2 ⊂ IA,3 ⊂ . . . , ale ponieważ A jest pierścieniem noetherowskim,
to ten ostatni ciąg stabilizuje się, tzn.:

                                        ∃ kA ∈ N      ∀n     kA        IA,n = IA,kA .

Podobnie stabilizuje sie ciąg ideałów IB,1 ⊂ IB,2 ⊂ IB,3 ⊂ . . . :

                                       ∃ kB ∈ N ∀ n          kB        IB,n = IB,kB .

Obierając k = max(kA , kB ) mamy Ik = Ik+1 = Ik+2 = . . . i nasz ciąg ideałów stabilizuje się. Zatem pierścień
A × B jest noetherowski.


 Ćwiczenia 9 (ciała skończone).
Twierdzenie 9.1 Niech K — dowolne ciało. Pierścień K[X] jest pierścieniem euklidesowym.
Normę określamy wzorem:
                                       N (f ) = 2deg(f ) .



                                                            11
Wiemy, że pierścień euklidesowy jest dziedziną ideałów głównych, a w dziedzinie ideałów głównych element x
jest nierozkładalny iff ideał (x) jest ideałem maksymalnym (patrz ćwiczenia). Zatem z twierdzenia 9.1
wnosimy, że dla dowolnego wielomianu nierozkładalnego f ∈ K[X] pierścień K[X]/(f ) jest ciałem.
Niech f ∈ K[X] będzie wielomianem nierozkładalnym. Istnieje wówczas ciało L zawierające K jako podciało,
w którym f ma pierwiastek (okazuje się, że f ma pierwiastek właśnie w K[X]/(f )).

Twierdzenie 9.2 Liczba elementów dowolnego ciała skończonego jest dodatnią potęgą liczby pierwszej.
Dla każdego q = pn , gdzie n ∈ N \ {0}, p — liczba pierwsza, istnieje (z dokładnością do izomorfizmu)
dokładnie jedno ciało q-elementowe.

q-elementowe ciało skończone oznacza się często symbolem Fq .
Niech f ∈ Fq [X] będzie dowolnym wielomianem nierozkładalnym stopnia m oraz niech α będzie pierwiast-
kiem tego wielomianu (tzn. f (α) = 0 — oczywiście α ∈ Fq , bo f jest nierozkładalny w Fq [X]). Pokażemy,
jak wygodnie reprezentować ciało Fq (α), tj. najmniejsze w sensie inkluzji ciało zawierające jednocześnie
ciało Fq i pierwiastek α.

Niech w ∈ Fq [X]. Wykonajmy dzielenie z resztą wielomianu w przez wielomian f :
                         w = q · f + r,   gdzie q, r ∈ Fq [X],   deg(r) < deg(f ) .
Mamy:
     w(α) = q(α) · f (α) + r(α) = q(α) · 0 + r(α) = r(α) = rm−1 αm−1 + rm−2 αm−2 + . . . + r1 α1 + r0 ,
gdzie ri ∈ Fq dla i ∈ {m − 1, m − 2, . . . , 1, 0}.
Czyli Fq (α) = {ak αk + ak−1 αk−1 + . . . + a1 α + a0 : k ∈ N ∪ {0}, ai ∈ Fq dla i ∈ {0, 1, . . . , k}}=
= {w(α) : w ∈ Fq [X]} ma co najwyżej q m = (pn )m = pnm elementów: mamy m współczynników ri , a na
każdy z nich po q możliwości.
Okazuje się, że Fq (α) ma dokładnie q m elementów. Wynika to z faktu, że różne reszty r, s opisują różne
elementy ciała Fq (α) — zachodzi bowiem implikacja:
                                          w(α) = v(α) ⇒ r = s ,
gdzie w, v ∈ Fq [X], w = q1 · f + r, v = q2 · f + s oraz deg(r), deg(s) < deg(f ).
Aby ową implikację uzasadnić, zauważmy, że prawdziwy jest ciąg poniższych równości:
                                             w(α) = v(α) ,
                                             r(α) = s(α) ,
                                             r(α) − s(α) = 0 ,
                                             (r − s)(α) = 0 ,
gdzie wielomian r − s jest różnicą wielomianów r, s i ma stopień mniejszy od deg(f ).
Niech teraz d = N W D(f, r − s). Oczywiście d ∈ Fq [X], i będzie to albo niezerowy element ciała Fq (wie-
lomian stopnia zerowego) — wówczas d ∼ 1, albo wielomian stopnia dodatniego. Ponieważ jednak f (α) = 0
oraz (r − s)(α) = 0, to d(α) = 0 (z rozszerzonego algorytmu Euklidesa mamy, że istnieją u, v ∈ Fq [X],
takie że N W D(f, r − s) = u · f + v · (r − s), czyli d(α) = u(α) · f (α) + v(α) · (r − s)(α) = 0) i d nie
może być niezerową stałą — stąd deg(d) > 0. Ponadto d (jako nwd) spełnia warunek d | f . Ponieważ f jest
nierozkładalny w Fq [X], to musi zachodzić d = f (a raczej d ∼ f ). Oczywiście d | r − s (jako nwd) oraz
deg(r − s) < deg(f ), zatem dla d ∼ f mamy r − s ≡ 0. Ostatecznie r = s.

    Widzimy więc, że każdy element ciała Fq (α) jest jednoznacznie opisany przez pewien wielomian r ∈
Fq [X] stopnia mniejszego od deg(f ). Podobnie, każdy element ciała Fq [X]/(f ) jest jednoznacznie reprezen-
towany przez taki wielomian r:
                          Fq [X]/(f ) = {w + (f ) : w ∈ Fq [X]} =
                          = {q · f + r + (f ) : q, r ∈ Fq [X], deg(r) < deg(f )} =
                          = {r + (f ) : r ∈ Fq [X], deg(r) < deg(f )} .

                                                    12
Łatwo pokazać, że Fq [X]/(f ) ∼ Fq (α) — izomorfizmem jest odwzorowanie T : w + (f ) → w(α).
                                 =
Zatem ciało Fq (α) możemy reprezentować za pomocą zbioru warstw Fq [X]/(f ). Wynikiem dodawania dwóch
warstw w + (f ), v + (f ) jest warstwa w + v + (f ) = (w + v) (mod f ) + (f ), zaś wynikiem mnożenia — warstwa
w · v + (f ) = w · v (mod f ) + (f ). Mamy więc arytmetykę modularną (modulo wielomian f ) — sytuacja
analogiczna do ciał postaci Z/pZ oraz Zp .
Aby więc opisać elementy ciała q m elementowego i operacje w tym ciele, wystarczy znaleźć w Fq [X] dowolny
wielomian nierozkładalny stopnia m. Jednak współczynnikami tego wielomianu mają być elementy ciała Fq
(q = pn ), tj. warstwy reprezentowane przez wielomiany z Fp [Y ] (Y — zmienna niezależna od X) stopnia
mniejszego od n. Ponieważ jednak zachodzi tw. 9.2, to ciało q m = pm·n elementowe można ‘zbudować’ przy
wykorzystaniu nierozkładalnego wielomianu stopnia m · n o współczynnikach z Fp (tutaj arytmetyka będzie
łatwiejsza, bo wielomian jednej zmiennej).
Jako pewne uzupełnienie twierdzenia 9.2 podajmy:

Twierdzenie 9.3 Dla każdego ciała skończonego Fq i każdej dodatniej liczby naturalnej m istnieje wielo-
mian f ∈ Fq [X] stopnia m, nierozkładalny w Fq [X].




                                                     13