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- 1/1/2010
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- German
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Algebra 1 (basics) – Overview
1. Grundlagen
Definition ‘Halbgruppe’; ‘neutrales Element’; ‘Monoid’; ‘inverses Element’; ‘Gruppe’,
‘kommutativ/ Abelsch’
N0 , ist Monoid.
Z / nZ; ist Gruppe.
Z / nZ; heißt die zyklische Gruppe der Ordnung n.
Definition ‘ Abb M, M ’: Abb M, M : f : M M Abbildung ; ‘ BijM, M ’:
BijM, M : f : M M Bijektion
einfache Eigenschaften von Gruppen:
Das neutrale Element e ist eindeutig bestimmt.
Zu jedem a ist das inverse Element a 1 eindeutig besimmt.
a b b 1 a 1
1
Kürzungregeln:
ab ac b c
ba c a b c
G G G G
Die Rechtstranslation a : und die Linkstranslation a : sind
b ba b ab
bijektiv.
Darstellung endlicher Gruppen via Gruppentafel
Definition ‘Untergruppe U G ’: a, b U a b U a U a 1 U ;
‘Homomorphismus von Gruppen f : G H ’: f a b f a * f b ; ‘Isomorphismus
f : G H ’: bijektiver Homomorphismus von Gruppen; ‘G und H sind isomorph’: Es gibt
einen Isomorphismus f : G H .; ‘Automorphismus’: ein Isomorphismus f : G G ;
‘triviale Untergruppe’: e,
R, und R , sind isomorph.
R R
Beweis: exp : x e x ist der gesuchte Isomorphismus, denn
Euler' s Zahl
expx y e e e expx expy .
xy x y
Eigenschaften von Untergruppen und Homomorphismen von Gruppen:
f eG eH
U G Untergrupp e f U H Untergrupp e
V H Untergrupp e f 1 V G Untergrupp e
f a 1 f a 1
f injektiv ker f eG , wobei ker f f 1 eH
f : G H Isomorphis mus f 1 : H G Isomorphis mus
Definition ‘n-te symmetrische Gruppe/ n-te Permutationgruppe S n ’:
Sn : Bij ,, n ,, n ; ‘Permutationen’: die Elemente von S n
1 1
# Sn n!
Page: 1
S n ist für n 3 ist nicht kommutativ.
Defnition ‘Transposition’: Permutation, die nur genau 2 Elemente vertauscht
Jede Permutation lässt sich als Komposition von Transpositionen darstellen (allerdings
nicht eindeutig).
Definition ‘gerade Permutation’: Die Permutation lässt sich als Komposition von gerade
vielen Transpositionen darstellen.; ‘ungerade Permutation’: analog; ‘Signum einer
Sn 11
,
Permutation sign : 1 falls ungerade; ‘n-te alternierende Gruppe An ’:
,
1 falls gerade
,
An : ker sign Sn
Definition ‘Ordnung von a G ord G a ’: ord G a
min i 0 a i e , falls dies existiert
;
sonst
‘Ordnung einer endlichen Gruppe G ord G ’: ordG :# G
kleiner Fermat’s Satz: G endliche Gruppe, dann:
U : e, a, a 2 , e, a, a 2 ,, a ordG a 1 : a ist kommutative Untergruppe von G,
Beweis: a i a j a i j U und a i 1
a ordG a i
ord G a | ord G
Beweis:
s
G bi U für gewisse b i , weil:
i 1
: a
bi U b j U a k , a l U : bi a k b j a l bi b j a l k bi b j U
U
bi U b j UU b j U
Weil bi bijektiv ist, ist # bi U # U ord G a .
daher: # G s ord G a
Definition ‘ Fp ’ (p Primzahl):
*
Fp : Z / pZ \ 0 ; ‘primitive Restklasse modulo p
*
*
a pZ Fp , ’: a pZ erzeugt Fp ,
*
a pZ erzeugt Fp , ordF* a pZ p 1
*
p
Definition ‘zyklische Gruppe G’: a G : G i ; ‘primitives/ erzeugendes Element a
a
von G’: G a ; ‘ G a ’: G a
i i
Zyklische Gruppen sind kommutativ.
Eigenschaften zyklischer Gruppen: G zyklische Gruppe mit primitivem Element a.
Z G
ord G a : ist ein Isomorphis mus von Gruppen.
i ai
Beweis: ist Homomorphismus von Gruppen, surjektiv (nach Definition) und
injektiv, weil ker Z i eG 0 (wegen ord G a )
i
Z / nZ G
n : ord G a : ist ein Isomorphis mus von Gruppen.
i nZ a i
Beweis: ist offensichtlich Homomorphismus von Gruppen und bijektiv.
U G n : ord G U 0 nU, m nZ,2m nZ,
Page: 2
ˆ
Beweisidee: 0 nU, m nZ,2m nZ, e, a m , a m ,
2
a 2 m
G zyklisch U G zyklisch
n : ord G b : m nZ a m ist primitives Element von G. ggT m, n 1
Beweisidee: ggT m, n 1 kgV m, n mn Erst mn Z / nZ ist wieder gleich
0 , d. h. erst a mn a m
n
eG , d. h. ord G a m n , d. h. G a m .
n : ord G G besitzt genau n : # 0 m n ggT m, n 1primitive Elemente.
Euler' s -Funktion
Beweis: Folgt aus
‘
n : ord G b : m nZ a m ist primitives Element von G. ggT m, n 1
’.
n : ord G m Z : ggT m, n 1 ord G a m ord G a n
Beweis: Folgt aus
‘
n : ord G b : m nZ a m ist primitives Element von G. ggT m, n 1
’.
2. Kristallographie
left out
3. Restklassengruppen
3.1 Operationen von Gruppen auf Mengen
GM M
Definition ‘Operation von G auf M’ (M Menge): : mit:
g, m g m
em m
g 2 g 1 m g 2 g 1 m
Definition ‘treue Operation’: g1 m g 2 m m M g1 g 2 , d. h. injektiv
G G G
Definition ‘Operation auf sich durch Linkstranslation’: : ; ‘Operation
g1, g 2 g1 g 2
G G G
auf sich durch Rechtstranslation’: : ; ‘Operation auf sich durch
g1, g 2 g 2 g11
G G G
Konjugation’: : ; ‘Operation von G auf der Menge der
g1, g 2 g1 g 2 g11
G U U
Untergruppen von G U durch Konjugation’: : g , u g u g 1
1 1 1
Untergrupp e
Definition ‘Isotropiegruppe von N M GN ’ ( : G M M ):
Page: 3
GN : G g n nn N; ‘Fixpunkt von m’: g m mg G ; ‘Bahn von m unter
g
Gm ’: Gm : g m ; ‘transitive Operation ’: m1, m2 Mg : m2 g m1
ist transitiv. Es existiert nur eine Bahn, nämlich Gm Mm .
Beweis:
‘ ’:
Wähle m1 beliebig und durchlaufe mit m2 ganz M. Nach Voraussetzung gibt es
für alle m2 ein g mit m2 g m1 , also Gm1 M .
Da dies unabhängig von m1 war, gilt Gm Mm . Also existiert nur eine Bahn.
‘ ’:
Wähle m1 beliebig. Es gilt Gm1 M .
Das bedeutet, dass jedes m2 M als ein Funktionswert für ein g vorkommt, d.
h. m2 g : m2 g m1 .
Das dies für alle m1 gilt, gilt m1, m2 g : m2 g m1
Definition ‘Zentralisator von H
G GH ’: die Isotropiegruppe
nur Teilmenge nötig
GH : g G gh h H ;
hg ‘Zentrum von G Z G ’:
bzw. ghg 1 h
Z G : GG g G gh h G ;
hg
‘Normalisator von u
G ’: die
bzw. ghg 1 h
U , d.h. u Untergruppe
Isotropiegruppe
Gu g G gug 1 u ; ‘Konjugationsklasse von h’: die Bahn
Gh ghg 1 ; ‘Konjugationsklasse von u
G ’: die Bahn Gu gug 1
U , d.h. u Untergruppe
: G M M Operation, dann:
M ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen.
Beweis:
Zeige Gm1 Gm 2 xor Gm1 Gm 2 .
Sei m Gm1 Gm 2 , dann m g 1 m1 g 2 m2 .
Gm1 Gm2
Dann gilt für alle h G
hm1 h g 1 g 1 m1 h g 1 g 1 m1 h g 1 g 2 m2 h g 1 g 2 m2 .
1
1
1
1
Gm1 Gm2
Also Gm1 Gm 2 .
analog Gm1 Gm 2 , also Gm1 Gm 2
G endlich, dann: # G # Gm # Gm
gG g m m
Beweis:
Sei Gm g1 m ,, g r m und Gm h1,, hs .
Es gibt mindestens rs verschiedene Elemente, denn die Produkte g i h j sind
alle unterschiedlich:
Page: 4
g i h j g k hl g i m g i h j m g i h j m g k hl m g k hl m
g k m g i g k
Es folgt weiter: g i h j g k hl g i h j g i hl h j hl
insgesamt: g i h j g k hl i , j k , l
also: # G rs
Andererseits lässt sich jedes g G darstellen als g g i h j für ein paar i, j ,
denn:
Zu jedem g gibt es wegen Gm g1 m ,, g r m ein g i mit g m g i m .
Wegen g i1 g m g i1 g i m m ist g i1 g Gm , also g i1 g h j für ein h j .
Also g g i h j und somit # G rs
insgesamt: # G rs
Definition ‘Rechtsnebenklasse von g bzgl. u U ’: die Bahn ug v u;
vg
‘Linksnebenklasse von g bzgl. u U ’: die Bahn gu v u; ‘ G / u ’: Menge der
gv
Linksnebenklassen von Elementen von G bzgl. u, G / u g G; ‘Index von u in G
gu
G : U ’: G : U : # G / u , falls # G / u
sonst
Satz von Lagrange: # G G : u # u
Beweis: analog zum Beweis von ‘ # G # Gm # Gm ’, wobei G / u g 1u,, g r u die
Rolle von Gm übernimmt und u u1,, u s die Rolle von Gm
r
Klassengleichung: G operiere auf sich durch Konjugation und g 1,, g r G : G Gg i ,
i 1
r
dann: # G G : Z g i # Z G G : Z g i
i 1 i G:Z gi 1
3.2 Normalteiler
gu hu ghu
gu ug
gug 1 u
gug 1 u
Definition ‘Normalteiler von G u’: Die Untergruppe u erfüllt die gerade genannten
Bedingungen.; ‘ u G ’: u ist Normalteiler von G.
G kommutativ Jede Untergruppe u ist Normalteiler.
Beweis: gu ugg G
f : G H Homomorphismus von Gruppen ker f G
Beweis:
Zeige g ker f g 1 ker f . Sei g ker f . Mit anderen Worten: f g eH
f g g g 1 f g * f g * f g 1 f g * eH * f g 1 f g * f g 1 f g * f g eH
1
An Sn
Beweis: signAn 1, somit signAn 1 1 Sn An 1 An . Alternativ:
An ker sign .
Page: 5
G / u G / u G / u
u G G / u, mit : ist Gruppe. (D. h. teilt man einen Normalteiler
gu, hu gh u
aus der Gruppe heraus, so erhält man eine Restklassengruppe.)
Beweis:
Assoziativität:
g1u g 2u g 3u g1g 2u g 3u g1g 2 g 3u g1 g 2 g 3 u g1u g 2 g 3u
g1u g 2u g 3u
neutrales Element: eu
inverses Element: g 1u
Definition ‘Restklassengruppe’: G / u, ;
Epimorphismus auf die
‘kanonischer
G G /u
Restklassengruppe ’: der surjektive Homomorphismus von Gruppen :
g gu
universelle Eigenschaft der Restklassengruppe: Seien : G H ein Homomorphismus
von Gruppen, u G und u ker . Es gibt einen eindeutig bestimmten
Homomorphismus von Gruppen : G / u H , so dass dieses Diagramm kommutiert:
G H
G/u
Beweis:
definiere: gu : g
Problem: Durch das modulo-Rechnen geht Information verloren, da mehrere
Elemente aus G auf dassselbe Element in G / u abgebildet werden. Werden diese
dann mittels nach H abgebildet, könnte es also passieren, dass 2 verschiedene
Elemente aus G, wenn sie mit abgebildet werden, auch auf 2 verschiedene
Elemente aus H abgebildet werden. Wenn die beiden Elemente aus G jetzt aber in
derselben Restklasse modulo u liegen, dann würden sie durch auf dassselbe
Element in G / u abgebildet werden (Informationsverlust) und könnten durch
dann nicht wieder auf verschiedene Elemente in H abgebildet werden.
Zeige, dass Elemente von G, die modulo u in derselben Restklasse liegen (also
g 1u g 2u ), durch tatsächlich auch auf dasselbe Element in H abgebildet
werden (also g 1 g 2 ), was von vornherein nicht klar ist.:
g 1u g 2u
g u
1 i
u i U g 2u j u j U u1, u 2 u : g 1u1 g 2u 2
Definition von gu
g 2 1g 1 u 2u1 1 u g 1g ker g 2 1g 1 eH g 2 1 * g 1 eH
wegen ker 2 1
u
vergleiche mit dem Üblichen:
a b a bU b aU
g 1 g 2
3.3 Noether’s Isomorphiesätze
der Homomorphiesatz für Gruppen: : G H surjektiver Homomorphismus von
G / ker H
Gruppen, dann induziert einen Isomorphismus von Gruppen :
g ker g
Beweis:
Homomorphismus: Folgt aus der universellen Eigenschaft der Restklassengruppe,
Page: 6
weil ker G ; wähle : .
surjektiv: Weil surjektiv ist.
injektiv: g ker eH g eH g ker g ker ker
Nullelemen t von G / ker
Normalteiler und Homomorphismus von Gruppen:
U G surjektiv U H :
Beweis:
h Hg G : h g , weil surjektiv
1
h * U * h 1 g * U * g g * U * g 1 gUg 1 U
weil U G
U H
V H 1 V G :
Beweis: Sei g 1 V .
g g g 1 g * g * g 1 g * V * g 1
V
wegen V H
1 g * V * g 1 1 V g 1 V g 1 1 V 1 V G
surjektiv ist Bijektion zwischen G U ker und H
U V
Beweis: Folgt aus eben Gezeigtem.
H
N H , dann: : G H H / N liefert einen injektiven Homomorphismus von Gruppen
: G / 1 N H / N . Ist surjektiv, so ist ein Isomorphismus von Gruppen.
G H
G1 H
G / 1 N H /N
N G , U Untergruppe, dann: UN ist Untergruppe von G und N UN und N U U
U G/N
1. Noether’s Isomorphiesatz: N G , U Untergruppe, dann: Durch : wird ein
u uN
~
Isomorphismus von Gruppen : U / N U UN / N induziert.
Beweisidee: Verwende in diesem Abschnitt Gezeigtes.
2. Noether’s Isomorphiesatz: N1, N 2 G mit N 2 N1 , dann:
: G G / N 2 G / N 2 / N1 / N 2 induziert einen Isomorphismus von Gruppen
: G / N1 G / N 2 / N1 / N 2
~
Beweisidee: Verwende in diesem Abschnitt Gezeigtes.
4. Konstruktion von
Gruppen
4.1 Produkte
n n
Definition ‘direktes Produkt Gi ’:
i 1
G
i 1
i : G1 Gn ( n zulässig)
Page: 7
G G G
n g 1 h1 g 1h1
G : Gi , : , , dann: G, ist Gruppe.
i 1
g h g h
n n n n
Beweis: Klar, denn in jeder Komponente wird die Gruppenstruktur der
entsprechenden Gruppe ausgenutzt.
Gj G
eG1
e
j : G j 1 ist injektiver Homomorphismus von Gruppen.
gj gj
eG j 1
eG
n
Beweis: Klar, denn dies ist die normale Einbettung.
j G j G j j G j G :
Beweis:
j G j G j ist klar.
g 1 eG1 g 1 1 eG1
e e
G j 1
G j 1
j G j G , weil: g j g g 1 g j g j g j g 1 j G j
j
e
G j 1 eG j 1
1
g n eGn g n eGn
G Gj
g1
j : ist surjektiver Homomorphismus von Gruppen.
gj
g
n
Beweis: klar
universelle Eigenschaft des direkten Produkts: Seien i : H Gi Homomorphismen
von Gruppen, dann: Es gibt genau einen Homomophismus von Gruppen : H G mit
j j 1 j n , also so, dass dieses Diagramm kommutiert:
i
H Gi
G
i
1 h
Beweis: Definiere h : .
h
n
N1,N 2 Untergruppen von einer Gruppe G, dann:
Page: 8
N1 N 2 G
: n1 ist Isomorphismus von Gruppen
n1n 2
n
2
g Gg 1,, g r N1 N 2 : g g 1 g r N1, N 2 G N1 N 2 e
Definition ‘inneres, direktes Produkt von N 1 und N 2 ’: die obigen Bedingungen gelten,
Schreibweise G N1 N 2
g 1
n n
Definition ‘direkte Summe Gi ’: Gi : G1 Gn g i eGi für fast alle g i
i 1 i 1 g
n
( n zulässig)
n n
Falls n , so ist G G
i 1
i
i 1
i .
G G G
n g 1 h1 g 1h1
G : Gi , : , , dann: G, ist Gruppe.
i 1
g h g h
n n n n
Gj G
eG1
e
j : G j 1 ist injektiver Homomorphismus von Gruppen.
gj gj
eG j 1
eG
n
j G j G j j G j G :
G Gj
g1
j : ist surjektiver Homomorphismus von Gruppen.
gj
g
n
universelle Eigenschaft der direkten Summe: Seien i : Gi H Homomorphismen von
Gruppen, dann: Es gibt genau einen Homomophismus von Gruppen : G H mit
j j 1 j n , also so, dass dieses Diagramm kommutiert:
i
H Gi
i
G
g1
Beweis: Definiere : n j g j .
n
g j 1
n
Definition ‘Automorphismengruppe von G Aut G ’:
Page: 9
AutG : : G G f ist Isomorphismus von Gruppen
f
Aut G ist Gruppe bzgl. der Komposition (Hintereinanderausführung) von Funktionen .
Beweis: klar
Definition ‘semidirektes Produkt von G und H bzgl. G H , ’ ( : H Aut G
G H G H G H
Homomorphismus von Gruppen): : g 1 g 2 g 1 h1 g 2
h , h
1 2 h1h2
G H , ist eine Gruppe.
Beweis:
Assoziativität: nachrechnen
e
neutrales Element: G
e
H
g
inverses Element:
1
h 1 g 1
h h 1
eG H und eH sind Untergruppen von G H
G
Beweis: nachrechnen
G H, kommutativ G, H kommutativ idG
Beweis: nachrechnen
G H, G H, idG
Beweis: nachrechnen
4.2 Presentationen
Definition ‘von M g 1, G erzeugte Untergruppe von G M ’:
M : a1 ar ai M ai1 M ,
G1,Untergrupp Gi Untergrupp
en e
Beweis: g1, g 2 , g Gi g1, g 2 , g Gi i g1 g 2 , g 1 Gi i g1 g 2 , g 1 Gi
Sei G1, die Menge aller Untergruppen, die M G enthalten, dann: M Gi
Beweis:
‘ ’: a1 ar M ai M ai1 M ai Gi ai1 Gi ai Gi
‘ ’: M Gi i M Gi i M Gi
Definition ‘Alphabet : Menge; ‘ M ’ ( Menge): M : x1., xn n 0, xi ;
M M M
‘ : M M M ’: : ; ‘reduziertes
x1,, x n , y 1,, y m x1,, x n , y 1,, y m
Element x1,, x n M ’ ( weitere Menge, : bijektiv): Es gibt kein
~ ~ ~
i ,, n 1 : x i 1 x i x i x i 1 .; ‘elementarer Reduktionsschritt eines nicht
1
reduzierten Elements x1,, x n M ’:
~
x1,, x n x1,, x i 1, x i 2 ,, x n M ; ‘Äquivalenzrelation ~ auf M ’: die
~
~
durch elementare Reduktionsschritte erzeugte Äquivalenzrelation, d. h. w 1 : x1,, x n ,
w r : y 1,, y m und w i w i 1 w i 1 w i ; ‘freies Monoid bzgl. dem Alphabet ’:
Page: 10
M ,
M , ist Monoid mit neutralem Element e :
Definition ‘freie Gruppe über dem Alphabet F ’: F : M
/ ~ , mit
~
Menge der Äquivalen zklassen
:
~
~
M / ~ M / ~ M / ~ ~
; ‘ x 1 ’: x 1 : x ; ‘ 1 ’: 1 : ;
~ ~
x1,, x n ,y 1,, y m x1,, x n , y 1,, y m
‘Wort über dem Alphabet ’: ein Element aus M 1 ; ‘ * ': * : M 1 ;
‘ x1 x n ’: x1 x n : x1,, x n F
F ist Gruppe.
Beweis:
Assoziativität: Da die Konkatenation an sich assoziativ ist.
neutrales Element: e
inverses Element: x1,, x n x n 1,, x1 1
1
: x F Z
Beweis: Benutze den Isomorphismus i , 1,, x 1 i
x,, x x
i Stück i Stück
universelle Eigenschaft der freien Gruppe: H Gruppe, f : H , dann: Es gibt einen
F H
eindeutigen Homomorphismus von Gruppen : .
x f x
f x i , falls x i
Beweis: Setze x i : und x1 x n : x1 x n .
-1
f x i1 , falls x i 1
Es gibt einen eindeutig bestimmten, surjektiven Homomorphismus von Gruppen
F M M
: . Insbesondere ist M F M / ker .
xx
Definition ‘Presentation von G : M ’: der Isomorphismus M F M / ker
5. Kommutative Gruppen
5.1 Zyklische Gruppen
n : ord G g , dann:
gm e n | m
Beweis:
Eigentlich klar, denn g wird immer erst nach n Multiplikationen wieder e, d. h. m
muss offensichtlich ein Vielfaches von n sein.
m
pn r
Division mit Rest
gn
e g m g np r g r g r
p
r 0
e r
n ordG g
r ist Rest der Division
m | n ordG g m
n
m
Page: 11
n
Beweis: g m m gn e
g e, g,, g n1 und # g n
Beweis: klar
G endlich n |# G
Beweis: # g n und # g |# G nach Satz von Lagrange, also n |# G
kgV n, k
ord G g k
n
ggT n, k
k
Beweis:
n k
einerseits: g k ggTn,k ggTn,k e
gn
e
nk
n n
ggTn,k
andererseits: g g g kgV n,k , d. h. erst g k ggTn,k e
k ggTn,k
n : ord G g , m : ord G h , gh hg und ggT n, m 1, dann ord G gh nm .
Beweis:
gh g n h m e
nm m n
Wegen ggT n, m 1 ist kgV n, m nm , also ord G gh nm .
Definition ‘Exponent von G ExpoG ’: ExpoG : kgVordG g g G
g Expo G e
Beweis: klar
G kommutativ g G : ord G g ExpoG :
Beweis:
Zerlege ExpoG in seine Primfaktorzerlegung, also ExpoG p1 1 pr r .
1 i rg G : ordG g pii qi , d. h. ord G g ist Vielfaches von pi i , denn
angenommen 1 i rg G : ordG g pii qi mit 0 ai i , dann wäre
ExpoG kgVordG g g G p p p . 1
1
i
i r
r
Hierbei gilt natürlich, dass in q i der Primfaktor p i nicht vorkommt. Also
i
ggT p , q i 1
i
Wähle also entsprechende g i -s mit ordG g i pii q i
Somit ordG g iqi pii .
Wegen ggT p ,, p 1, gilt ord g
i
1
r
r G 1 g r
q1 qr
p1 1 prr ExpoG .
R Integritätsring, und G endliche Untergruppe von R \ 0, dann: G ist zyklisch.
G endliche, zyklische Gruppe, n :# G , dann: Zu jedem Teiler d von n gibt es genau
eine Untergruppe U von G mit # U d
ord G g m d ,
n
Beweis: Seien G g und m , dann: also
d
U : e, g m ,, g m d 1
e,g m
,, g d 1m und # U d .
5.2 Endlich erzeugte, kommutative Gruppen (additive Notation)
Definition ‘Basis von G g 1,, g r ’: Für alle g-s gibt es eine Darstellung
g a1g 1 ar g r .; ‘freie, kommutative/ Abelsche Gruppe’: Es gibt eine Basis.;
Page: 12
Definition ‘Rang von G rk G ’: rk G r
G Zr
a1
: ist ein Isomorphismus von Gruppen.
a1g 1 ar g r
a
r
Beweis: klar
h1,, hs weitere Basis von G, dann: s r .
Hauptsatz für freie, kommutative Gruppen: rk G r , U Untergruppe, dann: Es gibt eine
Basis g 1,, g r von G, s r und Zahlen 1,, s N , so dass 1 | 2 ,, s 1 | s und
1g 1,, s g s eine Basis von U ist.
Hauptsatz für endlich erzeugte, kommutative Gruppen:
Es gibt r 0, 1,, s N : 1 1 1 | 2 ,, s 1 | s und G Z r Z / 1Z Z / s Z .
r ist eine Invariante von G und ist der Rang von G.
G endlich r 0 s ExpoG . (Hier ist auch s eine Invariante von G.)
Definition ‘Elementarteiler von G’: die 1,, s von eben; ‘Torsionsuntergruppe von G
T G ’: T G : G ordG g
g
~
G endlich erzeugte, kommutative Gruppe und : G Z r Z / 1Z Z / s Z der nach
dem ‘Hauptsatz für endlich erzeugte, kommutative Gruppen’ existierende
Isomorphismus, dann:
0
T G 1 Z / 1Z Z / s Z
0
r
Z
1,, s sind Invarianten von G.
Definition ‘torsionsfrei’: T G 0
G torsionsfrei G frei
Beweis:
0
T G 0G 1 Z / 1Z Z / s Z 0G
0
r
Z
0
Z / 1Z Z / s Z 0 Zr Z / 1Z Z / s Z
weil Isomorphis mus ist, ist ker 0
0
Z r
Z / 1Z Z / s Z 0 Zr Z / Z Z / Z
1 s
G Z G ist frei.
r
G Z Z / 1Z Z / s Z
r
der chinesische Restsatz: Seien n1,, n s N : ggT n i , n j 1 und N : n1 ns , dann:
Page: 13
~
Z / nZ Z / n1Z Z / n s Z
a n1 Z
: ist ein Isomorpismus.
a NZ
a n Z
s
induziert einen Isomorphismus multiplikativer Gruppen
: Z / NZ Z / n1Z Z / ns Z
~
G endlich und kommutativ, n :# G , m | n , dann: Es gibt Untergruppe U mit # U m .
Klassifikation endlicher, kommutativer Gruppen: n p1 1 pe r (Primfaktorzerlegung),
A pii :# Partitionen i i 1 ik 1 i 1 ik , dann: Es gibt (bis auf
Isomorphie) genau An A p1 1 A pr r verschiedene Gruppen der Ordnung n.
6. p-Gruppen
6.1 Der Satz von Cauchy
Definition ‘p-Gruppe’ (p Primzahl): gn : ord G g p n
# G p n G ist p-Gruppe. (‘ ’ gilt auch, siehe unten)
Beweis: Nach dem kleinen Fermat’s Satz gilt ord G g | p n ord G g p m
# G p n Z G e
Beweis:
# G # Z G G : Z g i (Klassengleichung)
i G:Z gi 1
# Z G #G
G : Z g i p |# Z G # Z G p 1
Vielfaches von p
i G:Z g i 1 Vielfaches von p nach von Lagrange
Satz
Vielfaches p
von
Vielfaches von p
# G p , G operiere auf einer Menge M, M G die Menge der Fixpunkte dieser
n
Operation, dann: # M G # M mod p
Beweisidee:
r
M Gmi M G (disjunkte Vereinigung der Bahnen)
i 1
# Gm i |# G (wegen # G # Gm # Gm , s. Kapitel 3)
#Gmi 1, weil sonst mi Fixpunkt wäre
p |# Gm i
r
# Gm # M G # M # M G mod p
also # M #
i 1
i
0 mod
p
0 mod p
Satz von Cauchy: q |# G g : ord G g q
# G p n G ist p-Gruppe.
‘ ’: Bereits gezeigt.
‘ ’:
Page: 14
Angenommen, es gibt eine weitere Primzahl q, die # G teilt.
Dann folgt mit dem Satz von Cauchy: ord G g q . Widerspruch zur Definition der
p-Gruppe.
6.2 Die Sätze von Sylow
?
Frage: m | G U :# U m :
ja, für kommutative Gruppen (sogar eindeutig, wenn G zyklisch ist)
nein im Allgemeinen
Definition ‘p-Sylowuntergruppe von G’ (p Primzahl): eine bzgl. Inklusion maximale p-
Untergruppe von G
Lemma von Zorn: M partiell geordnete Menge, m1 m2 m : mi mi , dann: M
besitzt ein maximales Element.
Definition ‘p-Torsion’: Tp G : g G n : ordG g p n
Existenz von p-Sylowuntergruppen:
Es gibt eine p-Sylowuntergruppe.
Beweis:
Sei M die Menge aller p-Untergruppen. e M ist p-Untergruppe.
Sei U1 U 2 eine beliebige Kette von p-Untergruppen, dann ist auch
U : U i p-Untergruppe.
i
Es gilt U i Ui , also ist U eine obere Schranke.
Nach Zorn’s Lemma besitzt M ein maximales Element.
G kommutativ Es gibt genau 1 p-Sylowuntergruppe, nämlich T p G .
Beweis: T p G ist p-Untergruppe, denn
ordG g ordG h
n m
p
g h g p h p e k ordG gh p k gh Tp G ,
n m nm
und
T G
Tp G p
maximal nach Defintion.
U p-Sylowuntergruppe gUg 1 p-Sylowuntergruppe
Beweis:
Angenommen, es gäbe eine p-Untergruppe V mit gUg 1 V .
dann: U g 1Vg
Das darf aber nur sein, wenn g 1Vg keine p-Gruppe ist, denn U ist ja eine
maximale p-Gruppe nach Voraussetzung.
g 1Vg ist aber p-Gruppe, denn:
Sei v beliebig und ord G v p n (geht, da V nach Annahme p-Untergruppe ist).
dann: g 1vg pn
g 1vg g 1vg g 1vg g 1v p g g 1eg e n
daher: k ord G g 1vg p k
also: g 1Vg ist p-Gruppe.
Hat G nur eine p-Sylowuntergruppe, so ist diese ein Normalteiler.
Es gilt ‘U p-Sylowuntergruppe gUg 1 p-Sylowuntergruppe’.
Da es nur eine gibt, ist U gUg 1 , also Normalteiler.
Page: 15
U p-Untergruppe und N U g G gUg 1 U ihr Normalisator, dann:
N U : U G : U mod p
p | G : U N U U
1. Satz von Sylow: # G p n m (in m ist p nicht mehr als Primfaktor vorhanden), dann:
0 i nU : ord U p i . Insbesondere: U p-Sylowuntergruppe ord U p n .
0 i n 1 ord U1 p i U 2 : ord U 2 p i 1 U1 U 2
2. Satz von Sylow: U, V p-Sylowuntergruppen, dann: g : V gUg 1 , d. h. je 2 p-
Sylowuntergruppen sind zueinander konjugiert.
3. Satz von Sylow: # G p n m (in m ist p nicht mehr als Primfaktor vorhanden), s p die
Anzahl der p-Sylowuntergruppen, dann:
sp | m
s p 1mod p
7. Auflösbare Gruppen
Definition ‘G ist auflösbar’: Es gibt e : N 0 N1 N l : G , so dass für alle i gilt:
N i ist Untergruppe
N i 1 N i
N i / N i 1 ist kommutativ.
G kommutativ G auflösbar
Beweisidee: die Kette e : N 0 N1 : G
Definition ‘einfache Gruppe’: Die einzigen Normalteiler sind e und G.
G nicht kommutativ und einfach G nicht auflösbar
Beweis:
Einzig mögliche Kette ist e : N 0 N1 : G , weil nur e und G Normalteiler sind.
Aber N1 / N 0 G /e G ist nicht kommutativ.
G endliche p-Gruppe G auflösbar
Beweis: Folgt aus dem 1. Satz von Sylow
Definition ‘Normalreihe von G’: eine Kette von Untergruppen
e : N0 N1 N l : G mit N i 1 N i
G auflösbar, dann:
U Untergruppe, dann U auflösbar
Beweisidee: die Kette e N 0 U N1 U N l U U
U G G /U auflösbar
Beweisidee: die Kette e N 0U / U N1U / U N l U / U G / U
G endlich erzeugt, dann: Es gibt eine Normalreihe e : N 0 N1 N l : G mit
zyklischen Restklassengruppen N i / N i 1 .
G endlich und kommutativ, dann: Es gibt eine Normalreihe e : N 0 N1 N l : G
mit zyklischen Restklassengruppen N i / N i 1 von Primzahlordnung.
G endlich und auflösbar und N G , dann: Es gibt eine Normalreihe
e : N0 N1 N l : G mit folgenden Eigenschaften:
Page: 16
N i / N i 1 ist zyklisch von Primzahlordnung
N N 0 ,, N l
G einfach und auflösbar, dann: G ist zyklisch von Primzahlordnung:
Beweis: Folgt aus eben Gezeigtem.
1 a b k n
An wird für n 3 von den Dreierzyklen abk 1 b k a n
erzeugt.
n 3 , N An , N enthält einen Dreierzyklus, dann: N An .
Beweis:
Seien abc N und abk ein beliebiger Dreierzyklus.
Es gilt: abk ab ck abc ab ck .
2 1
außerdem: abk ab ck abc ab ck N , weil N An
2 1
Also ist jeder beliebige Dreierzyklus in N.
Wegen ‘ An wird für n 3 von den Dreierzyklen erzeugt.’ folgt N An .
n 4 An ist einfache Gruppe.
n 5 S n ist nicht auflösbar.
Page: 17
Computational Commutative Algebra 1 – Overview
1.1 Polynomial Rings
Definition ‘Halbgruppe’; ‘Monoid’; ‘Gruppe’; ‘Ring’; ‘Körper’
Definition ‘nilpotent’: r i 0 ; ‘Nicht-Nullteiler’: rr 0 r 0 : r ist Nicht - Nullteiler
Definition ‘Integritätsbereich’ (‘integral domain’): Alle Elemente ungleich 0 sind Nicht-
Nullteiler.
Definition ‘Ringhomomorphismus’:
1R 1S
r r r r
r r r r
Definition ‘R-Algebra’: ein weiterer Ring S zusammen mit einem Ringhomomorphismus
(genannt Strukturhomomorphismus), der S mit R verbindet; ‘R-Algebren-
Homomorphismus von 2 R-Algebren S und T ’: r s r s r s
S T
R
Definition ‘R-Modul’: Vektorraum für Ringe; ‘R-Untermodul’; ‘R-lineare Abbildung
ˆ
(zwischen 2 Moduln)’: m m m m und r m r m ; ‘Ideal’: einmal
Standard-Definition ( R I I ), einmal als R-Untermodul des R-Moduls R
Ist R sogar ein Körper, so gibt es nur die Ideale R und 0 .:
Beweis: I Ideal; i I ; da R Körper existiert i 1 ; da I Ideal: i 1 i 1 I ; da I Ideal
r R r 1 r I , also R I ; da sowieso I R , ist I R
I
R / I ist ein R-Modul (mit dem Skalarprodukt r , s rs ) und – zusammen mit der
R R / I
kanonischen Abbildung R R / I – auch eine R-Algebra ( R / I ist auch ein Ring).
Definition ‘Primideal’: s I und s r r , so folgt r I r I ; ‘maximales Ideal’:
R R
Erweitert man I zu einem echt größeren Ideal, so erhält man R.
I ist Primideal genau dann, wenn R / I ein Integritätsbereich ist.:
Beweis:
‘ ’: r1 r 2 0 r1 r2 I r1 I r 2 I r1 0 r 2 0
da I Primideal
‘ ’: r1 r2 I r1 r2 0
r1 0 r2 0 r1 I r2 I
da R / I Integrität bereich
I ist ein maximales Ideal genau dann, wenn R / I ein Körper ist.
Jedes maximale Ideal ist ein Primideal.:
Beweis: I maximales Ideal R / I Körper R / I Integritätsbereich I Primideal
Definition ‘Erzeugendensystem eines Moduls M m1, ’:
m Mr1,, rn R, mi1 ,, mi n m1, : m r1mi1 rn mi n ; ‘endlich erzeugt’: m1,
ist endliche Menge; ‘zyklisch erzeugter Modul’: Der Modul lässt sich durch ein einziges
Page: 18
Element erzeugen.; ‘Hauptideal’ (‘principal ideal’): Das Ideal lässt sich durch ein
einziges Element erzeugen.; ‘R-Basis’: Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung.;
‘freier Modul’: Es gibt eine R-Basis.; ‘Rang eines Moduls’: Anzahl der Erzeuger in einer
Basis
In K x ist jedes Ideal ein Hauptideal.
1 0 0
0 1 0
Notation für den Polynomring R x :
r0 0 r1 0 r 2 1 statt
ein Ring
0 0 0
e0 e1 e2
r0 x r1 x r2 x ( ri R )
0 1 2
1
0
Einbettung von R in Rx ( r r 0 )
0
Definition ‘ Rx1,, x n ’ (rekursiv): Rx1,, x n : Rx1,, x n 1 x n
verschiedene Strukturen für K x1,, x n :
als Ring mit Erzeugendensystem x1,, x n (Beispiel:
x1 2 x1 x 2 x1 x1 x1 x 2 x1 x 2 )
2
Ringoperat ionen
als K-Vektorraum mit Erzeugendensystem T n (Definition von T n siehe unten)
0
0
2
für Erzeuger x1x2
0
(Beispiel: x1 2 x1 x 2
2
)
0
1
für Erzeuger x12
0
0
als (eindimensionaler) K x1,, x n -Modul mit Erzeugendensystem 1 (Beispiel:
x1 2 x1 x 2
2
x1 2 x1 x 2
2
1)
Element des Rings K x1,,x n
~
Definition ‘Einheit’: rr 1 : r ist Einheit (Einheiten sind die invertierbaren Elemente.)
R Integritätsbereich Die Einheiten in Rx1,, x n sind die Einheiten in R und
Rx1,, x n ist ein Integritätsbereich.:
Page: 19
Wegen der rekursiven Definition von Rx1,, x n reicht ein Beweis für n 1.
r rdr x dr 0, s sds x ds 0 Rx rs rdr sds x dr ds
0
weil rd r sd s 0,
weil R Integrität sbereich
Weil d r d s 0 , ist rs R und somit definitiv nicht invertierbar, also keine Einheit.
Representation eines multivarianten Polynoms:
streng nach der rekursiven Definition
mit Hilfe von Multi-Indizes
1 0
0
Erzeugung von M R x1,, x n als Rx1,, x n -Modul und Basis ,,
r
0
0 1
Definition ‘Term’: Monom; ‘ T ’: Menge aller Terme mit n Variablen; ‘Grad eines Terms’:
n
Summe der Potenzen; ‘Logarithmus’: Tupel der Potenzen; ‘Term von
M R x1,, x n ’: r-dimensionales Monom; ‘ T n e1,, er ’: Menge aller r-
r
dimensionalen Terme mit n Variablen
T n ist ein kommutativer Monoid.
Definition ‘Koeffizient eines Terms’; ‘Träger (Support) eines (mehrdimensionalen)
Polynoms’: Menge aller Terme, die im Polynom vorkommen; ‘Grad eines
eindimensionalen Polynoms’: Grad des größten Terms des Polynoms
Definition ‘Auswertungshomomorphismus : Rx1,, x n S ’ (:R S,
s1,, s n S ): R r und x i s i ; ‘Auswertung eines Polynoms f an einer Stelle
s f s ’: f s : f ; ‘Ersetzungshomomorphismus’ (‘substitution homomorphism’): der
Auswertungshomomorphismus, falls S R ist
universelle Eigenschaft des Polynomrings: S R-Algebra, dann existiert ein eindeutiger
Auswerungshomomorphismus für festes s bzw. feste s i -s, nämlich
c 0 x c d x : c 0 s c d s .
0 d 0 d
Definition ‘Erzeugendensystem einer R-Algebra S : s1, ’:
s Ss1,, st , f Rx1,, x t : s f s1,, st ; ‘endlich erzeugte R-Algebra’
endlich viele
Endlich erzeugte R-Algebren S sind von der Form S Rx1,, x n / I
, denn
Ideal in R x1,,xn
: Rx1,, x n S ist surjektiv.
Definition ‘Presentation einer R-Algebra’: der Isomorphismus
S Rx1,, x n / I
Ideal in R x1,,xn
1.2 Unique Factorization
Definition ‘reduzibel’: s rr , weder r noch r sind Einheiten; ‘irreduzibel’: nicht
reduzibel; ‘Faktorisierung’: r u r1 rs ; ‘Primelement’: r r1r2 r r1 r r2
Einheit
irredzible Elemente
In K x ist ein Element, das keine Einheit ist (also ein ‘echtes’ Polynom und nicht nur
eine Zahl aus dem Körper ist), Primelement genau dann, wenn es irreduzibel ist.
Beweis:
Page: 20
‘ ’:
s r1r2 s r1r2 s r1 s r2 degs degr1 degs degr2
da prim
außerdem: s r1r2 deg s deg r1 deg s deg r2
insgesamt: deg s deg r1 deg s deg r2
wegen s r1r2 : deg s deg r1 deg r2 0 deg s deg r2 deg r1 0
also: r 2 Einheit oder r1 Einheit
‘ ’:
s r1r2 t : ts r1r2
Annahme: s r1 . Dann zu zeigen s r2 .
|
Betrachte das Ideal r1, s . Weil K x Hauptidealring: r1, s 1 .
also:
a, b : ar1 bs 1 ar1r2 bsr2 r2 ats bsr2 r2 at br2 s r2 s r2
Defintion ‘faktorieller Ring’: Nicht-Einheiten haben eine eindeutige Faktorisierung.
Jeder Körper ist trivialer Weise ein faktorieller Ring, denn es gibt keine Nicht-Einheiten.
R ist faktoriell r R ist irreduzibe l r ist prim
Beweis:
‘ ’:
r r1r2 . Da r irreduzibel ist, lässt sich r nicht aufspalten.
Also kann nicht ein Teil von r in r1 stecken und der andere in r 2 .
D. h. r kann r1 oder r 2 nur als Ganzes teilen, d. h. r r1 r r2 .
‘ ’:
r a1 as b1 bt a1 b1 bt
o. B. d. A. a1 b1
nach Vorausset zung
Da a1 und b1 beide irreduzibel, folgt a1 b1 (bis auf Einheiten).
also kürzen a2 as b2 bt und induktiv fortfahren
Ergebnis: s t und ai bi
Definition ‘ggT’; ‘kgV’; ‘relativ prim/ co-prim’: ggT f1, f2 1’; ‘squarefree part von
f c f11 f n n sqfree f ’: sqfree f : f1 fn
Faktorisie rung von f
Charakterisierung ‘ggT’: ggTf1,,fm f f fi g fi g f ; ‘kgV’:
kgVf1,,fm f fi f fi g f g
kgV f1,, fm erzeugt das Ideal f1 fm
ggT f1, f2 kgV f1, f2 f1 f2
R Hauptidealring, dann: ggT f1,, fm erzeugt f1,, fm ;
ggT f1,, fm 1 g1,, g m : g1f1 g m fm 1
Definition ‘content eines Polynoms cont f ’: ggT der Koeffizienten; ‘primitives Polynom’:
cont f 1
Gauß’s Lemma: R faktorieller Ring, f , g Rx \ 0, dann: cont fg cont f cont g und
f , g primitv fg primitiv
R faktorieller Ring, f Rx \ 0 , dann: f besitzt eine Faktorisierung.
R faktorieller Ring Rx faktorieller Ring
Page: 21
K Körper K x1,, x n faktorieller Ring
1.3 Monomial Ideals and
Monomial Modules
Definition ‘Monoideal’: Ideal für Monoide; ‘Erzeugendensystem eines Monoideals’;
ˆ
‘Monomodul’; ‘Untermonomodul’; Erzeugendensystem eines Monomoduls’
T n e1,, er ist ein T n -Monomodul mit Erzeugendensystem e1,, er .
Definition ‘Kürzungregel (cancellation law) für Monoide’: 1 3 2 3 1 2 ;
‘Links-Kürzungsregel für Monomoduln’: s1 s 2 s1 s 2 ; ‘Rechts-Kürzungsregel
für Monomoduln’: 1 s 2 s 1 2
Monoid, dann:
Jedes Monoideal in ist endlich erzeugt.
Jede aufsteigende Kette 1 2 von Monoidealen wird letztlich stationär.
Jede (nicht leere) Menge von Monoidealen besitzt ein maximales bzgl. Inklusion.
Gemeint ist: Es gibt ein Ideal in dieser Menge, das in keinem anderen enthalten ist.
Beweis:
1 2 : Angenommen, 1 2 wird nicht stationär. Dann gibt es immer
i 1 i 1 \ i . Bilde Ideal aus 2 , . Dieses ist nicht endlich erzeugt.
Widerspruch.
2 3 : Wähle 1 Menge . Ist 1 maximal, so fertig. Sonst gibt es 2 1 .
Fahre induktiv fort. Erhalte eine Kette aus 1 2 . Diese wird nach
Voraussetzung letztendlich stationär, also n n 1 . Dann ist n ein
maximales Element.
3 1: Monoideal. Betrachte die Menge aller durch die Elemente von endlich
erzeugten Monoideale. Nach Voraussetzung gibt es in dieser Menge ein
~ ~ ~
maximales . Es muss sein, sonst gäbe es \ , dass man dem
~
endlichen Erzeugendensystem von hinzufügen könnte, das wieder ein
~
endliches Erzegendensystem eines weiteren Monoideals wäre, das größer als
~
wäre, was aber nicht geht, weil maximal war. Widerspruch.
Definition ‘Noetherian’: erfüllt eben genannte Eigenschaften.
Nn , ist Noetherian.
Definition ‘monomialer Modul’: Man kann ein Erzeugendensystem finden, das nur aus
Monomen (Elemente aus T n e1,, er ) besteht; ‘monomiales Ideal’
Dickson’s Lemma: t 1, t 2 , Sequenz von Termen in T n . Dann sind ab hinter einem N
alle Terme Vielfache der Terme t 1, t 2 ,, t N , Das heißt, das Monoideal t 1, t 2 , wird
erzeugt von t1, t 2 ,, t N . Das heißt jedes monomiale Ideal t1, t 2 , Rx1,, x n ist
endlich erzeugt.
Beweis:
Da Nn , Noetherian ist und T n via log isomorph zu Nn , ist, folgt die Aussage
über das Monoideal.
Da t1, t 2 , Rx1,, x n ein monomiales Ideal ist, wird t 1, t 2 , auch durch
t1, t 2 ,, t N erzeugt.
Page: 22
Darstellung von monomialen Idealen in der Ebene (2 Variablen)/ dem Raum (3
Variablen)
Struktur-Theorem für monomiale Moduln: M P r monomialer Modul, dann:
r
M Ii ei mit monomialen Idealen I i . (Beweis: klar)
i 1
M ist endlich erzeugt.:
r
Beweis: folgt aus ‘ M Ii ei mit monomialen Idealen I i ’ und Dickson’s Lemma
i 1
angewendet auf die I i -s
Jede aufsteigende Kette M1 M2 von monomialen Untermoduln wird letztlich
stationär.:
Beweis:
Falls M1 M 2 , wähle immer t i 1 M i 1 \ M i . Dann ist M : t 2 , t 3 , P r im
Widerspruch zum Struktur-Theorem nicht endlich erzeugt.
M P r monomialer Modul, dann:
Jeder Term aus M ist Vielfaches eines Terms aus dem monomialen
Erzeugendensystem von M. (Beweis: klar)
Unter allen monomialen Erzeugendensystemen von M gibt es genau ein minimales.:
Beweis: Streiche aus einem Erzeugendensystem alle Vielfachen der Erzeuger.
1.4 Term Orderings
Definition ‘Relation’; ‘vollständige Relation’: Es gibt keine nicht vergleichbaren
Elemente.
Definition ‘Monoid-Ordnung’ ( Monoid):
1 1 (reflexiv)
1 2 2 1 1 2 (antisymmetrisch)
1 2 2 3 1 3 (transitiv)
1 2 1 3 2 3
Definition ‘Term-Ordnung’ ( Monoid):
Monoid-Ordnung
1
Gilt die Kürzungsregel in , dann:
1 2 1 3 2 3 :
Beweis: Annahme: 1 2 1 3 2 3
1 3 2 3
Kürzungsregel schließt '' aus
ist unendlich.
Beweis: Es gilt 1 xor 1, also 2 1 xor 2 1 .)
n 1 1:
Beweis: Folgt mit Induktion aus 1 xor 1.
Monoid-/ Term-Ordnungen zwischen T n und Nn entsprechen sich wegen log.
Definition ‘Term-Ordnung Lex’: t1 Lex t 2 : erster Nicht-Null-Eintrag des Vektors
logt1 logt 2 ist positiv oder t1 t 2 ; ‘Term-Ordnung DegLex’:
t1 DegLex t 2 : deg t1 deg t 2 deg t1 deg t 2 t1 Lex t 2 ; ‘Term-Ordnung
Page: 23
DegRevLex’: t1 DegRevLex t 2 : deg t1 deg t 2 oder deg t1 deg t 2 und der letzte
Nicht-Null-Eintrag des Vektors logt1 logt 2 ist negativ oder t1 t 2 .
Definition ‘grad-kompatible Monoid-Ordnung auf T n ’: t1 t 2 deg t1 deg t 2
Defintion ‘Eliminiation-Ordnung für L : x1,, x j ’:
t1 ElimL t 2 : 1 j 1 j 1 j 1 j t1 DegRevLex t 2
Definition ‘durch eine Matrix representierte Ordnung’: Zeilen linear unabhängig,
t1 OrdV t 2 : der erste Nicht-Null-Eintrag von V log t1 log t 2 ist positiv
Ord V ist eine Term-Ordnung. Der erste Nicht-Null-Eintrag jeder Spalte von V ist
positiv.:
0
0
Beweis: alle t 1 alle x i 1 V log x i log1 V 1 v i ~
0
0 erster Nicht -0 -Eintrag
0
0
1 1
1 0 0
0 0 0 1
0
VLex ; VDegRevLex 0
0
0
0 0 1
0 1 0 0
Monoid-Ordnung auf T n , i Einschränkung von auf Ti n 1 : x1,, xi 1, xi 1,, xn ,
dann:
i ist eine Monoid-Ordnung.
Term-Ordnung i Term-Ordnung
V i erhält man, indem man aus V die i-te Spalte streicht und dann die erste Zeile,
die linear abhängig mit den Zeilen über ihr ist, ebenfalls streicht.
Jede Monoid-Ordnung auf Nn hat eine eindeutige Erweiterung zu einer Monoid-
Ordnung auf Z n .:
Beweisidee: Zerpalte z in z n1 n2 und definiere z 0 : n1 n 2
t1 OrdV t 2 V log t1 log t 2 Lex 0
Definition ‘Modul-Ordnung’ ( , Monoid, , -Monomodul):
s1 s1 (reflexiv)
s1 s2 s2 s1 s1 s2 (antisymmetrisch)
s1 s2 s2 s3 s1 s3 (transitiv)
s1 s 2 s1 s 2
Definition ‘Modul-Term-Ordnung’ ( , Monoid, , -Monomodul):
Modul-Ordnung
s s , s
Tn und T n e1 ,, e r , dann ist die Modul-Term-Ordnung-Bedingung
‘ s s , s ’ äquivalent zu tei ei t T n
Page: 24
Definition ‘Modul-Term-Ordnung TOPos’ (TO ist Term-Ordnung auf T n ):
t1ei TOPos t 2e j : t1 TO t 2 t1 t 2 i j
Definition ‘Modul-Term-Ordnung PosTO’ (TO ist Term-Ordnung auf T n ):
t1ei PosTO t 2e j : i j i j t1 TO t 2
Definition ‘zu einer Monoid-Ordnung kompatible Modul-Ordnung ’:
1 2 1 s 2 s
Jede nicht-leere Untermenge von hat ein minimales Element. Jede absteigende
Kette s1 s2 in wird letztendlich stationär.
Definition ‘Wohl-Ordnung’: Die eben genannten Bedingungen gelten.
Wenn die Links-Kürzungsregel in gilt, ist jede Wohl-Ordnung eine Modul-Term-
Ordnung.
fundamentale Eigenschaft von Term-Ordnungen: Modul-Ordnung auf T n e1,,er .
Dann: ist eine Modul-Term-Ordnung ist ein eine Wohl-Ordnung.
1.5 Leading Terms
s
Definition ‘Leitterm LT’ ( m c t e i i i ): t1e 1 ; ‘Leitkoeffizient LC’: c 1 ; ‘monic’: LC m 1 ;
i 1
‘Leitmonom LM’: LMm LCm LT m
Regeln fürs Rechnen mit Leittermen:
Supp m1 m2 Supp m1 Supp m2 ; LT m1 m2 max LT m1 ,LT m2
LT m1 m2 max m1 ,LT m2 , falls LT m1 LT m2 LCm1 LCm2 0
LT
LT tm t LT m
R Integritätsbereich, dann: t Supp f , für den t LT m maximal ist
LT fm t LT m
R Integritätsbereich, kompatibel zu , dann: LT fm LT f LT m
Definition ‘Leitterm-Modul eines Moduls LT M ’: LTM LTm m M \ 0 ; ‘Leitterm-
Ideal’; ‘Leitterm-Monomodul LTM’: LTM : m m M \ 0 (ist Monomodul)
LT
M m1,, ms LTm1 ,,LTms LTM :
Beispiel für LTm1 ,,LTms LTM :
M : x 2 1 xy 1 y x 2 1 x xy 1 x y M x LTM , aber x x 2 , xy
,
tei LT M m M : tei LT m
Beweis: tei LTM tei LTM t T n , m M : tei t LTm LT t m
:mM
m1,, ms M : LTM LTm1 ,,LTms :
Beweis:
LT M ist monomialer Modul.
Nach Dickson’s Lemma gibt es ein endliches Erzeugendensystem t 1ei1 ,, t s ei s
für LT M .
Laut ‘ t j ei j LTM m j M : t j ei j LTm j ’ gibt es die gesuchten m j -s.
Page: 25
Macaulay’s Basis Theorem: B : T n e1,,er \ LTM ist eine Basis des K-Vektorraums
Pr / M .
Lex f P,LTσ f Rxi ,, xn f Rxi ,, xn
RevLex f P,LT f x i ,, x n f x i ,, x n
DegRevLex f P und homogen ,LT f xi ,, xn f xi ,, xn
1.6 The Division
Algorithm
Divisionsalgorithmus bei mehreren Variablen
Das Ergebnis hängt von der Term-Ordnung und der Reihenfolge der g i ab.
Rückgabe des Algorithmus’s: m q 1g 1 q s g s p mit den Eigenschaften:
Kein Element in Supp p ist enthalten in LTg1 ,, LTg s .
LT q i g i LT m
t Supp q i , dann t LTgi LTg1 ,,LTgi 1
Mit dem Divisionalgorithmus ist es nicht immer möglich zu entscheiden, ob
m g1,, g s .
Es lässt sich lediglich ein Element der Restklasse von m modulo g1,, g s berechnen
(dieses könnte z. B. in der Restklasse von 0 liegen, ohne dass man es ihm ansieht).
Außerdem lassen sich nicht mit jedem Satz g 1,, g s die Elemente in P r / g1,, g s als
Linearkombination von Termen aus T n \ LT g1 ,LT g s ausdrücken, wie es laut
Macaulay’s Basis Theorem möglich ist (mit günstigen g 1,, g s ).
Definition ‘normaler Rest NR ,G m ’: das p aus m q 1g 1 q s g s p
1.7 Gradings
Definition ‘ -graduierter Ring R’:
R R
R R R ,
Definition ‘homogenes Element r vom Grad ’: r liegt in R ; ‘deg’: deg r ;
‘homogene Komponente r vom Grad von r’: r r
Die Dekomposition von r in seine homogenen Komponenten r ist eindeutig. (Wegen
der direkten Summe in R R .)
Die Kürzungsregel gilt in , dann:
R0 ist Unterring von R.
Jedes R ist R0 -Modul.
Definition ‘Standard-Graduierung für den Polynomring’:
Pd : P degt dt Suppf ; ‘homogenes Polynom vom Grad d’: Elemente aus
f
Pd ; Definition ‘ Nn -Graduierung für den Polynomring’: P1,, n : Rx1 1 xn n
Page: 26
Definition ‘ -graduierter R-Modul M’:
M Ms
s
R M s M s
Die Kürzungsregel gilt in , dann: jedes M s ist R0 -Modul
Definition ‘Gradverschiebung’ M s : M s ; ‘ M ': M : M s ; ‘ -graduiert-freier
s
R 1
R-Modul F’: F : R i
i I : 1,, r
R
r
Definition ‘Homomorphismus , ’: R S ;
-graduierter Ringe
‘Homomorphismus -graduierter R-Moduln : M N ’: M s N s s
Definition ‘ -graduierter R-Untermodul N von M’: N N M s ; ‘ -homogenes Ideal
s
I von R’: I I R
N ein -graduierter R-Untermodul von M, M / N s : M s / N s , dann: M / N ein -
graduierter R-Modul
N ein -graduierter R-Untermodul von M, N s : N M s , dann:
N : N s
s
n ns (Zerlegungin homogene Komponenten von n in M, nicht in N ) ns Ns
N s
M
Erzeugendensystem von N, das nur aus homogenenElementen besteht.
Beweis:
1 2 : Die Zerlegung von n in M ist dieselbe wie in N.
2 3 : Zerlege alle Erzeuger eines beliebigen Erzeugendensystems in ihre
homogenen Komponenten. Diese liegen nach Voraussetzung in N und bilden alle
zusammen das gesuchte homogene Erzeugendensystem.
3 1: n r n Darstellung von n in der Basis mit Faktoren r aus R (z. B. dem
Polynomring). Zerlege die r -s in homogene Komponenten r, , bilde r, n N s
für ein s und sortiere die verschiedenen r, n nach den s.
Rechts-Kürzungsregel gilt in , N ein -graduierter R-Untermodul von M, n B
homogenes Erzeugendensystem von N, dann: Jedes Element n N s hat eine
eindeutige Darstellung n r n mit homogenen Elementen r R , so dass
B
deg r deg n s B .
I homogenes, echtes Ideal von R, dann:
I ist Primideal ( h fg I; f , g R f P g P ).
h fg I; f , g R homogen f P g P
R : R ist ein homogenes Ideal von R.
0
graduierte Version von Nakayama’s Lemma: M 1 M 2 M 1 R M 2 M 1 M 2 :
Beweis:
nur noch zu zeigen: M 2 M1
Page: 27
Angenommen, nicht, dann gibt es ein homogenes m M 2 \ M1 mit minimalem
Grad.
t
wegen M 2 M1 R M 2 : m m fi g i .
M i 1
1 R M 2
Wegen deg fi 0 und deg m deg fi deg g i ist deg g i deg m . Nach Wahl
von m sind also g i M1 .
t
Also m m fi g i M1 und nicht m M 2 \ M1 . Widerspruch.
M1
i 1 R M
1
M1
m1,, ms ( m i -s homogene Elemente) erzeugt M. m1,, m s erzeugt M / R M .:
Beweis:
‘ ’: klar
‘ ’:
Sei N : m1,, ms M .
nach Voraussetzung N M / R M N R M M N R M M
mit Nakayama’s Lemma N M
R 0 Körper, dann: Jedes homogene Erzeugendensystem von M enthält ein minimales.:
Beweis:
Sei M m1,, ms . Gehe über zu M M / R M . Dann: M m1,, m s .
Da R 0 R / R ein Körper ist und M M / R M ein R 0 -Modul ist, ist M sogar ein
Vektorraum.
Vektorräume besitzen minimale Erzeugendensysteme, nämlich Basen. Streiche
also m1,, ms zu einer Basis zusammen, o. B. d. A. m1,, mr mit r s .
dann: M m1,, mr
2.1 Special Generation
spezielle Erzeugung von Untermoduln: M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s P r \ 0
( g 1,, g s sind ein spezielles Erzeugendensystem von M, wenn die Bedingungen
erfüllt sind), dann:
s
A 1 : m M \ 0f1,, fs P : m fi g i LTm LTfi g i
i 1
s
A 2 : m M \ 0f1,, fs P : m fi g i LTm maxLTfi g i
i 1
Beweis: klar
Erzeugung von Leitterm-Moduln: M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s P r \ 0 , dann:
B1 : LTg1 ,,LTg s erzeugt LTM.
B 2 : LTg1 ,,LTg s erzeugt LTM .
Beweis: klar
M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s P r \ 0 , dann: A 1 A 2 B 1 B 2
Beweis:
A2 B1 : Für alle m ist LT m max LT fi g i LT m LT f j g j LT f j LT g j
Page: 28
für ein j und somit LT m LT g 1 ,,LT g s
B1 A1 :
Angenommen, es gibt m-s, die nicht dargestellt werden können. Wähle ein
kleinstes.
Sei LT m t LT g j . Wegen der Wahl von m hat m m tg j eine
Darstellung.
Dann aber auch m m tg j . Widerspruch.
2.2 Rewrite Rules
Definition ‘ m1 reduziert sich auf m 2 in einem Schritt mit der Ersetzungsregel g i
gi
( m1 m2 ): m2 m1 ctg i t LT g i Supp m2 ; ‘ m1 m 2 ’: m1 reduziert sich auf m 2
G
G
in mehreren Schritten beliebigen g i -s; ‘irreduzibel bzgl. ’: nicht mehr reduzierbar
Eigenschaften von Ersetzungs-Relationen: Term-Ordnung
G G
m1 m 2 m 2 m1 m1 m 2
Beweis: klar
G G
m1 m 2 tm1 tm2
Beweis: klar
G G
m1 m 2 wird letztendlich stationär
Beweis: Durch das Reduzieren wird jeweils ein Term durch zwar u. U. mehrere
andere, aber echt kleinere ersetzt.
gi G G
m1 m 2 , m 3 beliebig m 4 : m1 m 3 m 4 m 2 m 3 m 4
Beweisidee: m4 : m1
m3 c c t LTg i m2 m3 c t LTg i
m2 ct LT g i
G G G
m1 m 2 m 3 m 4 m1 m 3 m 2 m 4 :
Beweis: klar
G G
m1 m 2 fm1 fm2 :
G G
Beweis: folgt aus ‘ m1 m 2 tm1 tm2 ’
G
m 0 m g 1 , , g s :
G
Beweis: m 0 m fi g i 0 m fi g i m g 1,, g s
G
m1 m 2 m1 m 2 g 1 , , g s
G
Beweis: Folgt aus ‘ m 0 m g 1,, g s ’.
M : g 1,, g s P-Untermodul von P r , dann:
Page: 29
G
C1 : m 0 m M
G
C 2 : m M irreduzibel bzgl. m 0
G G
C 3 : m1 P r 1m2 P r : m1 m2 m2 irreduzibel bzgl.
G G G G
C 4 : m1 m2 m1 m3 m 4 : m2 m 4 m3 m 4
Beweis:
G
1 2 : m M m 0 m 0 , weil m irreduzibel ist.
C1
23: Annahme:
G G
~ ~ ~ ~
m1 m2 m1 m 2 m 2 m 2 M und irreduzibe lm 2 m 2 0 m 2 m 2
C2
3 4:
G G G G
m 2 , m3 irreduzibe l : m 2 m 2 m3 m3 m1 m 2 m1 m3 m2 m3 : m 4
C3
4 1: siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
Definition ‘confluent’: C 4 ist erfüllt.
G
m 0 , dann:
LT m t LT g für ein g g 1,, g s :
Beweis: Weil LT m in irgendeinem Reduktionsschritt verschwinden muss.
LC m s
f i : m tg f i g i LT m LT f i g i i
LC g i 1
Beweis: Sammle die ct -s zu jedem g i aus den Reduktionsschritten.
s
f i : m f i g i LT m max LT f i g i
i 1
s
LC m
Beweis: wegen ‘ m f i g i tg ’
i 1 LC g
M : g 1,, g s P-Untermodul von Pr , dann:
A 1 A 2 B 1 B 2 C1 C 2 C 3 C 4
Beweis:
A 2 C2 :
Angenommen, es gibt m 0 irreduzibel.
M
s
nach A2 : m fi g i LT m max LT fi g i . Sei t der Term mit
i 1
LT m max LT fi g i t LT g i
Dies bedeutet aber, dass sich m mit g i reduzieren lässt. Widerspruch.
s
C1 A 2 : bereits gezeigt in ‘ m 0 f i : m f i g i LT m max LT f i g i ’
G
i 1
2.3 Syzygies
Page: 30
s
Definition ‘Syzygie von G : g 1,, g s ’ ( g i M ): f1,, f s : f i g i 0 ( f i R );
i 1
‘Syzygien-Modul von G SyzG ’: Menge aller Syzygien von G
Ps M
: , dann: SyzG ker
i gi
f1 f2
Definition ‘exakte Sequenz’: M 1 M 2 M 3 mit imf1 ker f 2
0 M Pr Pr /M 0 ergibt nach Einbau von
0 SyzG P s P r P r / M 0
Ps N
N : LMg 1 ,, LMg s , : , dann: SyzLMG ker
i LMg i
0 SyzLMG P s P r P r / M 0
s
P
s
tei : c j t j j P s t j LTg j tei , dann:
j 1
P wird zu einem T e1,, er -graduierten Modul über dem T n -graduierten Ring P,
s n
denn P s
te i T n
e1 ,,er
P s
te i
ist ein Homomorphismus T n e1,, er -graduierter P-Moduln (d. h.
Ps P
tei
r
tei )
0 SyzLMG P s P r P r / M 0 besteht aus Homomorphismen
T n e1,, er -graduierter Moduln.
Definition ‘ -Grad von m deg m ’ ( m m te i Dekomposition von m in seine
te i T n e1 ,,er
homogenen Komponenten): deg m : max tei ; ‘ -Leitform von m LF m ’:
LF m : m deg m
s
Definition ‘ deg ,G m ’ ( P s tei : c j t j j P s t j LTg j tei , s. o.); ‘ LF,G m ’
j 1
s
m f
j 1
j j , dann:
deg ,G m max f j g j
LT
s
LF,G m f , j j wobei
j 1
0, falls LTf g deg m j j ,G
fj c t , falls LTf g deg m LMf g c t LMg ,G
LM f
j j j
j j j j j j
ˆ j LM f j
ˆ
fundamentales Diagramm:
0 SyzG Ps Pr Pr /M 0
LF LM
0 SyzLMG Ps Pr Pr /N 0
Page: 31
bzgl. der Kommutativität des Diagramms:
m P s \ SyzG , dann:
LT m deg ,G m
LF m SyzLMG LT m deg ,G m
LF m LMm LT m deg ,G m
m SyzG , dann: LFm SyzLMG und LF Syz G : SyzG SyzLMG
Beweis: klar (siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture
Notes’)
Syzygien von Elementen von monomialen Modulen: LMg j c j t j e j ,
kgVt i , t j tj
t ij :
ggTt i , t j
:
ti
t ji j eine Syzygie von LMG und homogen
1 1
Für i j i j ist ij : t ij i
ci cj
vom -Grad deg ,G ij kgV t i , t j e i
SyzLMG ij 1 i j s i j , also endlich erzeugt und ein T n e1,, er -
graduierter Untermodul von P s
i j 1 i j s Nur 0,,0 ist Syzygie.
Beweis: klar
Definition ‘Liftung m P s eines Elements m P s ’: LFm m
D-Bedingungen:
D 1 : Jedes homogene Element aus SyzLMG hat eine Liftung in SyzG .
D 2 : Es gibt ein homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG , das nur aus
Elementen besteht, die Liftungen in SyzG haben.
D 3 : Es gibt ein endliches, homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG , das nur
aus Elementen besteht, die Liftungen in SyzG haben.
Beweis:
1 3:
Nach ‘ SyzLMG ij 1 i j s i j ’ gibt es ein endliches
Erzeugendensystem von SyzLMG .
Nach Voraussetzung ( D1 ) haben diese Erzeuger Liftungen in SyzG .
3 2 : trivial
2 1:
Stelle das homogene Element aus SyzLMG als Linearkombination der nach
D 2 existierenden Erzeuger dar.
Ersetze in der Linearkombination die Erzeuger durch ihre Liftungen in SyzG .
Dies ist die gesuchte Liftung des homogenen Elements.
m1,, m t homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG und m1,, m t SyzG
die Liftungen (d. h. LFm i m i ), dann: m1,, m t Erzeugendensystem von SyzG
Beweis:
Angenommen, es gibt m-s in SyzG , die nicht als Linearkombination der mi -s
dargestellt werden können. Wähle ein kleinstes m.
Page: 32
Weil m1,, m t SyzLMG erzeugt und LF m SyzLMG , besitzt LFm eine
Darstellung LFm c j t j mi j .
Dann ist m : m c j t j mi j kleiner als m und kann somit mit m1,, m t
dargestellt werden.
Dann aber auch m : m c j t j mi j . Widerspruch.
M : g 1,, g s P-Untermodul von Pr , dann:
A 1 A 2 B 1 B 2 C1 C 2 C 3 C 4 D1 D 2 D 3
Beweis:
A 2 D1 : siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
D1 A 2 : siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
2.4 Gröbner Bases of
Ideals and Modules
Charakterisierung von Gröbner-Basen: M : g 1,, g s P-Untermodul von P r , dann:
A 1 A 2 B 1 B 2 C1 C 2 C 3 C 4 D1 D 2 D 3
Definition ‘ -Gröbner-Basis g 1,, g s ’: g 1,, g s erfüllt A 1 , , D 3
2.4.1 Existenz von Gröbner-Basen
g1,, g s M LTM LTg1 ,,LTg s M g1,, g s g1,, g s ist -Gröbner-
wichtig!
Basis.
Beweis:
Annahme: Es gibt m M \ g1,, g s . Wähle ein minimales aus.
Dann ist wegen LTM LTg1 ,,LTg s LMm ct LT g i
Nach Wahl von m ist m : m ctgi g1,, g s .
Dann aber auch m m ctg i . Widerspruch.
Es gibt immer eine -Gröbner-Basis.
Beweis: Folgt aus eben Gezeigtem und Proposition 1.5.6.b
( m1,, ms M : LTM LTm1 ,,LTms ).
Definition ‘Noetherian Ring/ Modul’. Jede aufsteigende Kette von Idealen/ Untermoduln
wird letztendlich stationär.
R Ring, M R-Modul, dann:
Jeder Untermodul in M ist endlich erzeugt.
Jede aufsteigende Kette N1 N 2 von Untermoduln wird letztlich stationär.
Jede (nicht leere) Menge von Untermoduln besitzt ein maximales bzgl. Inklusion.
Hilbert’s Basis Theorem:
Buch-Variante: Jeder endlich erzeugte Modul M über einer endlich erzeugten K-
Algebra ist Noetherian. Insbesondere ist K x1,, xn ein Noetherian Ring.
Beweisidee:
Zeige: Jeder Untermodul M von M ist endlich erzeugt.
K P / I , M P r / U (siehe Definition ‘Presentation einer R-Algebra’)
Page: 33
Damit sind Untermodule M von M isomorph zu N / U , wobei N ein Untermodul
von P r ist.
Wenn nun N und U endlich erzeugt sind, so ist es auch M .
Da N und U Untermodule von P r sind, besitzen sie eine Gröbner-Basis, welche
endlich ist.
2.4.2 Normalformen
bisher: Kein eindeutiger Representant für eine Restklasse in P r / M konnte gefunden
werden.
G G
m P r , m mG , mG irreduzibe l bzgl. mG ist eindeutiger Representant für m und ist
unabhängig von der gewählten Gröbner-Basis:
Beweis:
H H
Sei H eine weitere Gröbner-Basis und m mH , mH irreduzibel bzgl. .
Dann ist mG mH M ebenfalls irreduzibel und nach Bedingung C 2 mG mH 0 .
also mG mH
Definition ‘Normalform von m NF,M m ’: NF,M m : mG
G : g 1,, g s , dann:
NF,M m NR ,G m
NF,M m1 m 2 NF,M m1 NF,M m 2
NF,M NF,M m NF,M m
Untermodul Mitgliedsschafts Test: M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:
m1 m2 NF m1 NF m2
m1 M m1 0 NF m1 0
N M NFM hi 0i
N M NFM hi 0i NFN g j 0j
N M LTM LTN M N :
Beweis:
Wegen N M gilt LTM LTN automatisch und somit LTM LTN.
Sei m M . Wegen LTM LTN ist NFN m NFM m .
Da m M ist NFM m 0 , also NFN m 0 , also m N , also M N , also
M N.
neue Version von Macaulay’s Basis Theorem: G Gröbner-Basis von M, dann:
B : T n e1,, e r \ LT g 1 ,, LT g s ist eine Basis des K-Vektorraums P r / M .
als Monomodul LT M aufgefasst
2.4.3 Reduced Gröbner-Basis
Zu einer Gröbner-Basis können beliebige Elemente hinzugefügt werden und es bleibt
eine Gröbner-Basis.
Definition ‘reduzierte -Gröbner-Basis’:
LC g i 1i
LT g1 ,,LT g s ist ein minimales Erzeugendensystem von LT M .
Supp g i LT g i LTM
Existenz und Eindeutigkeit von reduzierten Gröbner-Basen: Es gibt immer eine
Page: 34
eindeutige reduzierte -Gröbner-Basis.:
vorhandene Gröbner-Basis g 1,, g s in eine reduzierte verwandeln:
1. g i -s normieren
2. g 1,, g t g 1,, g s bestimmen, so dass LT g 1 ,,LT g t ein minimales
Erzeugendensystem von LT M ist.
3. Nun: g i LT g i hi . Ersetze h i durch NF hi , also g i : LT g i NF hi .
Definiton ‘M definiert über k’ (k Unterkörper von K): Es gibt Elemente aus k x1,, x n ,
r
die M erzeugen.; ‘Definitionskörper von M k’: M ist definiert über k und es gibt keinen
echten Unterkörper k k , über dem M definiert ist.
K Körperweiterung von K , M P -Untermodul von P , M P-Untermodul von P r von
r
den Elementen aus M erzeugt, dann:
Jede Gröbner-Basis von M ist auch eine von M.
Die reduzierte Gröbner-Basis von M ist auch die von M.
Existenz und Eindeutigkeit des Definitionskörpers:
Es gibt einen eindeutigen Definitionskörper von M.
Der Definitionskörper von M ist der Körper erzeugt über dem Primkörper von K durch
die Koeffizienten der Terme in den Supports der Vektoren der reduzierten Gröbner-
Basis.
2.5 Buchberger’s
Algorithm
Definition ‘Menge der kritischen Paare B’: B : i , j 1 i j s, i j ‘S-Vektor/ S-
Polynom von g i und g j ’: S ij : ij
1 1
t ij g i t ji g j
ci cj
S ij M :
G
Beweis: Folgt, weil G eine Gröbner-Basis ist und S ij 0 , aus Bedingung C 1 .
Sij 0 , dann: ij hat eine Liftung in SyzG :
G
Beweis: siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
Buchberger’s Kriterium: G ist eine Gröbner-Basis von M. NR G Sij 0i , j B :
Beweis:
‘ ’:
Gilt, weil S ij ij
1 1
t ij g i t ji g j M und G Gröbner-Basis ist.
ci cj
‘ ’:
NR G S ij 0 S ij 0 ij hat eine Liftung in SyzG G ist
G
siehe Propositio n von gerade D3
Gröbner-Basis
Buchberger’s Algirithmus: LMg i c i t i e i , dann:
1. s : s , B : i , j 1 i j s, i j
2. Falls B , ist G eine Gröbner-Basis. Ansonsten wähle ein i , j B und lösche es
aus B.
Page: 35
3. Berechne S ij und NR G Sij . Falls NR G Sij 0 , gehe zu 2.
4. s : s 1, g s : NR G Sij , G : G g s , B : B i, s1 i s, i s und gehe
zu 2.
Erste Optimierungen von Buchberger’s Algorithmus:
Statt NR G Sij zu berechnen reicht es ein Element m zu berechnen mit Sij m und
G
LT m LT g1 ,,LT g s .
B B , so dass ij i, j B SyzLMG erzeugt, dann reicht es in Schritt 1 mit B
anzufangen.
‘normale Auswahl-Strategie’: Wähle in Schritt 2 das i, j , so dass kgV t i , t j bzgl.
möglichst klein ist. Oder vereinfacht: Wähle in Schritt 2 das i, j , so dass kgV t i , t j
einen möglichst kleinen Grad hat.
Definition ‘triviale Syzygie von f , g P ’: g, f
Falls wir im 1-dimensionalen sind, also die g i -s einfache Polynome sind, und
ggT t i , t j 1, so hat ij eine Liftung in SyzG . M. a. W.: Wenn ggT t i , t j 1, so kann
die trviale Syzygie von LMg i ,LMg j zu der trivialen Syzygie von f , g geliftet
werden.
Falls wir im 1-dimensionalen sind und die LT g i -s paarweise co-prim sind, dann ist G
Gröbner-Basis.
der erweiterte Buchberger Algorthmus: LMg i c i t i e i , dann:
1. s : s , A I (Einheitsmatrix) , B : i , j 1 i j s, i j
2. Falls B , ist G eine Gröbner-Basis. Ansonsten wähle ein i , j B und lösche es
aus B.
3. Berechne mit dem Divisionsalgorithmus eine Darstellung Sij q1g1 qs g s p .
(Dann ist p NR G Sij .) Falls NR G Sij 0 , gehe zu 2.
4. s : s 1, g s : NR G Sij , G : G g s , B : B i, s1 i s, i s , hänge
1 1
den Spaltenvektor t ij ai t ji a j q1a1 qs as an A an und gehe zu 2.
c cj
i
Dies ist ein Spaltenvek tor der Länge s .
Der erweiterte Buchberger Algorithmus erzeugt eine Matrix A mit G GA .
2.6 Hilbert’s
Nullstellensatz
Definition ‘affine K-Algebra’: endlich erzeugte K-Algebra
Definition ‘Menge der Nullstellen eines Ideals I : f1,fs P K x1,, xn Z I ’:
Z I : a1,, an K n f a1,, an 0f I
f1a1,, an 0
a1,, an Z I :
fs a1,, an 0
Beweis: klar
Page: 36
Definition ‘treuflach’: 0 I P 0 exakt 0 I P 0 exakt
Hilbert’s Nullstellensatz (schwache Version): Z I I P bzw. 1 I
Hier wird oft nur Z I I P bewiesen.
I P
I P
weil K x1,,xn \ K x1,,xn treuflach
Hilbert’s Nullstellensatz (körpertheoretische Version):
m maximales Ideal m K xi 0
Die K-Algebra P / m ist ein algebraischer Erweiterungskörper von K von endlichem
Grad.
Definition ‘Verschwindungsideal I S ( S K n ):
f K x ,, x f a ,,a 0a ,,a S
1 n 1 n 1 n
Maximale Ideale von P haben die Form x1 a1,, x n an , wobei a1,, an K n .
Das Verschwindungsideal ist ein Ideal.
Beweis: klar
Verschiede Ideale können dieselbe Nullstellenmenge haben.
Definition ‘Radikal von I I ’: f R f i I für ein i 1 ; ‘Radikalideal’: I I
Z I Z I :
Beweis: a Z I f a 0f I f i a 0f I, i 1 a Z I
Hilbert’s Nullstellensatz (starke Version):
I Z I I
Z
Es gibt die Bijektion Radikalideale von P Nullstellenmengen in K n .
I
3.1 Computation of
Syzygies Modules
Definition ‘durch ,G induzierte Ordnung auf T n 1,, s ’:
t i t j : t LT g i t LT g j t LT g i t LT g j i j
ist eine Term-Ordnung.
: ij i, j B ist eine -Gröbner-Basis von SyzLMG .
G -Gröbner-Basis von M, dann:
ij SyzG , d. h. ij 0 , oder es gibt, weil G eine Gröbner-Basis ist, eine
Darstellung ij f ijk g k mit
s
k 1
1
1
degG ij
max LT t ij g i ,LT t ji g j
c c
LT ij
i weil σ Syz LM G ,
nach Definition von deg G j siehe auch Propositio n 2.3.6.b
ij
max fijk g k
LT
k
nach A 2
Page: 37
ij , falls ij SyzG
Definition ‘ s ij ’: s ij : s
ij - f ijk g k , falls ij SyzG
k 1
ij i, j B ist eine -Gröbner-Basis von SyzG
s
i, j B B erzeugt SyzLMG
ij ij i, j B erzeugt SyzG
s
Berechnung des Syzygien-Moduls von Gröbner-Basen:
1. Initialisiere M als s 0 -Matrix (s Zeilen, 0 Spalten) und B : i , j 1 i j s, i j .
2. Falls B , bilden die Spalten von M eine -Gröbner-Basis von SyzG .
Ansonsten wähle ein i , j B und lösche es aus B.
3. Berechne S ij . Falls Sij 0 , berechne mit dem Divisionsalgorithmus eine Darstellung
Sij fij 1g1 fijsg s .
s
4. Falls Sij 0 , füge ij als Spaltenvektor M hinzu; falls Sij 0 füge ij fijk k als
k 1
Spaltenvektor M hinzu; gehe zu 2.
Berechnung von Syzygien-Moduln (H Erzeugendensystem für Modul M; Matrix M (hat
nichts mit dem Modul M zu tun, einfach eine Bezeichnung für 2 verschieden Dinge)
Erzeugendensystem für SyzG ):
Es gilt also: GM 0 0 .
r
P
1. Berechne mit dem erweiterten Buchberger Algorithmus aus H eine Gröbner-Basis G
mit G HA .
2. Berechne mit dem Divisionsalgorithmus h j b1 j g1 bsj g s und daraus H GB
Es gilt 0 0 GM HAM , also AM SyzH , und es gilt
H GB HAB H HAB 0 0 H I AB 0 0 , also
I AB SyzH .
Insgesamt gilt: N : AM | I AB SyzH .
Explizite Mitgliedschaft:
s
m M bzgl. G gegeben ( m f g
i 1
i i ); Ziel: Darstellung von m bzgl. H.
t
m Gf HAf H , also ist m qi hi die gesuchte Darstellung.
Af
i 1
:q
Wenn der erweiterte Buchberger Algorithmus verwendet wurde, ist A I t | C .
t s t
t t
t Zeilen
M
Decompose M . Dann: SyzH wird erzeugt von M C M .:
M
s t Zeilen
Beweis:
G wurde aus H gebildet, indem Vektoren angehängt wurden. Daher
I
H GB B t .
0
Page: 38
M
daher: SyzH N AM | I A B AM | I I AM | 0 I t | C | 0
M
I t |C I t
0
also SyzH M C M
Iteratives finden eines irredundanten Erzeugendensystems von M (erzeugt durch H):
hi h1,, hi 1, hi 1,, ht Das durch die i-te Zeile von N erzeugte Ideal ist das
Einheitsideal von P, das heißt es enthält die 1.:
Beweis:
Angenommen, es gibt in der i-ten Zeile von N bereits eine 1 in Spalte j. Dann ist
t i 1 t
i 1 t
k 1
nkj hk 0 nkj hk nij hi nkj hk 0 hi nkj hk nkj hk .
k 1
k i 1
k 1 k i 1
1
Also hi h1,, hi 1, hi 1,, ht .
Außerdem ist offensichtlich die 1 in dem von der i-ten Spalte erzeugten Ideal.
Es ist leicht einzusehen, dass es bereits reicht, wenn die 1 in dem von der i-ten
Spalte erzeugten Ideal liegt.
3.2 Elementary
Operations on Modules
M : g1,, gs , N : h1,, ht , I : f1,,fu (Ideal), dann:
M N g1,, gs , h1,, ht
I M f1g1,, f1gs , f2g1,,f2gs ,,fu g1,, fu gs
I d f i1 fid i j ,, u
1
3.2.1 Intersections
f1; j
v1, ,vu P s t
Erzeugendensystem von Syzg1,, g s h1,, ht mit vj ,
f
s t ; j
i g i , dann: 1 N f1 j ,, fsj 1 j u .
f1 j
s t s t
Beweis: fij g i fs i ; j hi 0 fij g i fs i ; j hi 1 n
i 1
i 1
i 1 1
i f
M N :n sj
Schnitt von 2 Untermoduln:
f g 1 j u
s
M N 1 N ij i
i 1
Beweis: folgt aus 1 N f1 j ,, fsj 1 j u
f1; j
I G 0
jetzt: M : r
I , SyzM v1,,vu P r s t
mit vj , dann:
r 0 H
f
r s t; j
Page: 39
f1 j
M N 1 j u
f
rj
Beweis:
f1 j fr 1; j fr s 1; j 0
I r G 0 P r
f f
rj r s ; j f r s t ; j 0
f1 j f r 1; j f r s 1; j 0
I r 0 H P r
f f f
rj r s; j r s t ; j 0
f1 j f r 1; j
G M
f f
rj r s; j
also:
f1 j f r s 1; j
H N
f f
rj r s t ; j
f1 j
also: M N
f
rj
Definition ‘Presentation von M via Erzeuger und Relationen’ ( e j : v j , ei : mi ):
u s
R R
R u R s M 0
M R s / v 1,,v u
f1 j f1; j
w j : , wobei v j : der j-te Erzeuger von Syz g1,, g s , h1,, ht ,
f f
sj s t ; j
Pu Ps
: P s M /M N die von induzierte Abbildung, : , dann:
ej w j
P u P s M / M N 0 ist eine Presentation von M / M N .
Berechnung von mehrfachen Schnitten:
M1 Ml M1 Ml 1 Ml
Ir M1 0 0
0
M :
0
I 0 0 Ml
r
Berechnung von ggT und kgV:
Berechne die reduzierte Gröbner-Basis des Schnittmengen-Ideals f1 fm ,
Page: 40
dann: Diese Gröbner-Basis besteht nur aus dem einen Element kgV f1,, fm .
ggT f1, f2
f1f2
, ggT f1,, fm ggT ggT f1,, fm 1 , fm
kgV f1, f2
3.2.2 Colon Ideals and Annihilators
Defintion ‘Colon Ideal’: N :R M : R r M N;
r ‘Annihilator von M’:
AnnR M : R r M 0
r
N :R M Ann R M / M N :
Beweis:
AnnR M / M N r R r M M N
r R r M N N :
R M
weil automatisc h r M M
Remark 3.2.12
rj
s1 j
N : h1,, ht , v1,,vu Syzg, h1,, ht , v j , dann: N :R g r1,, ru
s
tj
r
Beweis: N :R g r R r g N r g s1h1 s t ht 1 Syzg, h1,, ht
ˆ
s
g N
s
t
Berechnung von Colon Idealen: M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:
N :P M AnnP M / M N N :P g i
s
i 1
Beweisidee: Zeige r R r M N r R r g i N durch ‘ ’ und ‘ ’.
s
i 1
g1 H 0 0 rj
0 s1; j
L : , v1,,vu SyzL , v j , dann: N :R M r1,, ru
0
g 0 0 H s
s
ts ; j
sr 1 ts
Beweisidee: Benutze N :R g r1,, ru .
3.2.3 Colon Modules
Definition ‘Colon Modul’: N :M I : M I m N
m
Proposition 3.2.18
M : g1,, gs , N : h1,, ht , fM N v1,,vu (somit v i fw i für irgendein
w i M , denn v i fM , denn v i fM N ), dann:
N :M f w1,,wu
Beweis:
‘ ’:
Page: 41
u u
m N :M f fm fM
N m a v i i a fw i i
trivialer Weise i 1 i 1
u
f a w
i 1
i i w1,,w u
w 1 ,,w u
‘ ’: fw i v i fM N N w i N :M f
f1; j
s
Syzfg1,, fgs , h1,, ht v1
~ ,, v , v , dann: N : f
~ ~
l j M f g ij i
f i 1
s t; j
Beweis:
N :M f m M fm N f f1g i fs g s fs 1h1 fs t ht
ˆ
m
f1
Syzfg1,, fgs , h1,, ht
f
s t
Berechnung von Colon Moduln: M : g1,, gs , N : h1,, ht , I : f1,,fl , dann:
N :M I N :M fi
l
i 1
Beweisidee: Zeige m M I m N m M fi m N durch ‘ ’ und ‘ ’.
l
i 1
f1; j
f1G H 0 0
f
0 s
L : SyzL , v j , dann: N : I f g
s; j
, v1,,vu
0 fs 1; j M ij i
i 1
f G 0 0 H
l
lr s tl f
s tl ; j
s
Beweisidee: Benutze N :M f f g ij i .
i 1
Definition ‘Nicht-Nullteiler für U f R ’: f m 0 m 0 ; ‘reguläre Sequenz für U
f1,,fl ’: f1,, fl U U fi ist Nicht - Nullteiler für U / f1,, fi 1 U1 i l
Corollary 3.2.24
3.3 Homomorphisms of
Moduls
left out
3.4 Elimination
Definition ‘Eliminations-Ideal von I bzgl. x j 1,, x n ’: I K x1,, x j
Page: 42
Definition ‘ P ’ ( L x1,, xn ): P : K xi xi L
ˆ ˆ
Definition ‘Eliminations-Ordnung ’: ist Modul-Termordnung und
LT m P ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ r m P r .; ‘Eliminations-Modul von M bzgl. L M ’: M : M P r
ˆ ˆ ˆ
Definition ‘ T e ,, e ’: T e ,, e : T e ,, e P r ; ‘ ’: :
ˆ ˆ
1 r 1 r 1 r ˆ
T e1 ,,er
Modul-Ordnung Modul-Ordnung
ˆ
Modul-Term-Ordnung Modul-Term-Ordnung
ˆ
Berechnung von Eliminations-Moduln:
ˆ
LT M P r LT M P r
ˆ
ˆ
Beweis:
‘ ’: tei LT M P r tei LT M tei P r LT M P
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
LT M P r
‘ ’:
tei LT M P tei LT M tei P r
ˆ ˆ
g i P r : tei LT r g i
ˆ
da Eliminatio nsordnung
LT M P
ˆ
ˆ r
ˆ ˆ ˆ ˆ
G -Gröbner-Basis von M G : G P r -Gröbner-Basis für M M P r ˆ
Beweis: Folgt aus gerade Gezeigtem.
ˆ ˆ
G reduzierte -Gröbner-Basis von M G : G P r reduzierte -Gröbner-Basis
ˆ
ˆ
für M M Pˆ r
Beweis: Folgt aus gerade Gezeigtem.
M : g1,, gs , N : h1,, ht , U : yg1,, ygs , 1 y h1,1 y ht Py , dann:
M N U Pr
Beweis:
s t s t
v M N v pi g i q i hi v yv 1 y v y pi g i 1 y q i hi
i 1 i 1 i 1 i 1
s t
pi y g i q i 1 y hi U P r
i 1
i 1
P y P y
1 i l , Mi : g i 1,, g isi , U : y i g ij 1 y 1 y l ei P y 1,, y l , dann
l
Mi U P r
i 1
Beweis: wie eben
M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:
f P , U : fyg 1,, fyg s , 1 y h1,, 1 y ht ,
vi
fw i dann: N :M f w1,,wu
einer der Erzeuger von U P weil U P fM N (vgl. oben : U ähnlich
r
r
definiert, d. h. ohne f -s, dann : U P r M N )
I : f1,, fl , f y f1 f2 y fl y l 1 P y , dann N :M I NPy :MPy f y P r
3.5 Localization and
Saturation
Page: 43
3.5.1 Localization
Definition ‘multiplikativ abgeschlossene Menge S R ’:
1R S
a, b S ab S
Definition ‘ m, s ~ m, s ’ (M R-Modul, S multiplikativ abgeschlossene Menge von R):
m, s ~ m, s : s : ssm sm 0 ; ‘ MS ’: Menge aller Äquivalenzklassen; ‘ m ’: die
s
Äquivalenzklasse von m, s
m m sm sm m rm
Mit : und r : wird MS zu einem R-Modul.
s s ss s s
M MS
Einbettung: m
m
1
r r rr
Mit : wird RS zu einem Ring.
s s ss
r m rm
Mit : wird MS zu einem RS -Modul.
s s ss
R RS
Die Einbettung r ist ein R-Algebren-Homomorphismus.
r
1
Definition ‘Lokalisation von M in S/ Brüche-Modul von M bzgl. S’: der RS -Modul MS
Definition ‘ M f ’: Mf : MS mit S : f i
0 S MS 0
Beweis:
~ s : s1 m s 0 0
m 0 m m 0
~ MS , denn
s 1 s s 1
Wähle s : 0 S
MS 0 Ann R M S :
Beweis:
~ s : s1 m s 0 0
m 0 m m 0
~ MS , denn
s 1 s s 1
Wähle s Ann R M S
erweiterte Division: f Rx1,, xn , g y Rx1,, xn y
q y Rx1,, xn y , r Rx1,, xn : f deg g
g y q y fy 1 r
Rf Ry / fy 1
3.5.2 Saturation
Definition ‘Sättigung von N durch I in M’: N :M I : m M i N0 : I i m N
Proposition 3.5.8
k : N :M I N :M I k N :M I k 1
Beweisidee: Gilt, weil N :M I N :M I 2 M und M noetherian.
Sättigung und Lokalisation ( I f ): N :M I Nf M
N :M
I N :M J N :M I J
Page: 44
Beweis:
‘ ’:
v N :M I N :M J i , j : I i v N J j v N
i , j : f i v N g j v Nf I, g J f g v Nf I, g J ,
i j
v N :M I J
wobei die letzte Folgerung gilt, weil
f g v
ij
ij
g v
f fg v f v
i j 1 1
0
i j
g 1 i j 1 0 ij
f g v f g v
bis auf Konstanten
bei den Summanden
N wegen f k f i v N für 1 k j
offensicht lichN
N wegen g k g i v N für 1 k j
N N
‘ ’:
v N :M I J k : I J v N k : f g v Nf I, g J
k k
k k
f 0 v N 0 g v Nf I, g J f k v N g k v Nf I, g J
J I
v N :M I N :M J
Berechnung von Sättigungen:
N :M f NP y fy 1 P y M
r
I f1,, fs , dann: N :M I N :M fi
s
i 1
I f1,, fs , f y : f1 f2 y fs y s 1 , dann: N :M f NPy :P y r f y M
f I
IPf Pf
1 I :P f
1 IP y fy 1
Jede Gröbner - Basis des Ideals IP y fy 1 enthält ein Element aus K \ 0.
Die reduzierteGröbner - Basis des Ideals IP y fy 1 ist 1.
3.6 Homomorphisms of
Algebras
left out
Page: 45
Remarks
Der erste Teil dieser Übersicht bezieht sich auf die Grundlagen der ‘Algebra 1’-Vorlesung
von Prof. Martin Kreuzer im Wintersemester 2003/2004. Zu dieser Vorlesung gibt es eine
Fotoreihe der Tafeln (Dateien: University; Algebra 1; WS 2003; *).
Der zweite Teil dieser Übersicht bezieht sich auf die ‘Computanional Commutative Algebra
1 (Algebra 2)’-Vorlesung von Prof. Martin Kreuzer im Sommersemester 2004 und das
Buch ‘Computanional Commutative Algebra 1’ von Martin Kreuzer und Lorenzo Robbiano
(Version vom 2000-07-03). Zu dieser Vorlesung gibt es eine Fotoreihe der Tafeln (Dateien:
University; Computational Commutative Algebra 1 (Algebra 2); SS 2004; *). Außerdem gibt
es eine weitere Datei ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’,
welche viele Ergänzungen/ Erklärungen (hauptsächlich zu Beweisen) enthält – sowohl zur
Vorlesung, als auch zum Buch.
http://www.TL-Software.de.tf
thleopold@hotmail.com
Thomas Leopold,
2004-10-13
Page: 46
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