Algebra 1 (basics), Computational Commutative Algebra 1

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Algebra 1 (basics), Computational Commutative Algebra 1 Powered By Docstoc
					        Algebra 1 (basics) – Overview

        1. Grundlagen
 Definition ‘Halbgruppe’; ‘neutrales Element’; ‘Monoid’; ‘inverses Element’; ‘Gruppe’,
  ‘kommutativ/ Abelsch’
 N0 ,  ist Monoid.
 Z / nZ;  ist Gruppe.
 Z / nZ;  heißt die zyklische Gruppe der Ordnung n.
 Definition          ‘ Abb M, M  ’:     Abb M, M  : f : M  M Abbildung  ;         ‘ BijM, M  ’:
  BijM, M  : f : M  M Bijektion
 einfache Eigenschaften von Gruppen:
   Das neutrale Element e ist eindeutig bestimmt.
   Zu jedem a ist das inverse Element a 1 eindeutig besimmt.
   a  b   b 1  a 1
              1


   Kürzungregeln:
        ab  ac b  c
        ba  c a b  c
                                        G G                                            G G
   Die Rechtstranslation  a :                  und die Linkstranslation  a :                     sind
                                       b  ba                                         b  ab
       bijektiv.
 Darstellung endlicher Gruppen via Gruppentafel
 Definition          ‘Untergruppe         U  G ’:           a, b  U  a  b  U  a  U  a 1  U ;
  ‘Homomorphismus von Gruppen f : G  H ’: f a  b   f a  * f b  ; ‘Isomorphismus
   f : G  H ’: bijektiver Homomorphismus von Gruppen; ‘G und H sind isomorph’: Es gibt
  einen Isomorphismus f : G  H .; ‘Automorphismus’: ein Isomorphismus f : G  G ;
  ‘triviale Untergruppe’: e, 
 R,  und R  , sind isomorph.
                             R  R
   Beweis:          exp : x  e x          ist    der       gesuchte       Isomorphismus,        denn
                                     
                                      Euler' s Zahl

     expx  y   e  e  e  expx   expy  .
                            xy   x       y


 Eigenschaften von Untergruppen und Homomorphismen von Gruppen:
   f eG   eH
    U  G Untergrupp e  f U   H Untergrupp e
    V  H Untergrupp e  f 1 V   G Untergrupp e
      f a 1  f a 1 
    f injektiv  ker f   eG  , wobei ker f   f 1 eH 
   f : G  H Isomorphis mus  f 1 : H  G Isomorphis mus
 Definition      ‘n-te    symmetrische       Gruppe/      n-te   Permutationgruppe                  S n ’:
  Sn : Bij ,, n   ,, n ; ‘Permutationen’: die Elemente von S n
             1          1
 # Sn  n!

                                                                                 Page:                 1
 S n ist für n  3 ist nicht kommutativ.
 Defnition ‘Transposition’: Permutation, die nur genau 2 Elemente vertauscht
 Jede Permutation lässt sich als Komposition von Transpositionen darstellen (allerdings
  nicht eindeutig).
 Definition ‘gerade Permutation’: Die Permutation lässt sich als Komposition von gerade
  vielen Transpositionen darstellen.; ‘ungerade Permutation’: analog; ‘Signum einer
                                  Sn   11
                                            ,
  Permutation sign :            1 falls  ungerade; ‘n-te alternierende Gruppe An ’:
                                   ,
                          
                               1 falls  gerade
                                 ,
   An : ker sign   Sn

 Definition ‘Ordnung von a  G ord G a  ’: ord G a   
                                                                                          
                                                                 min i  0 a i  e , falls dies existiert
                                                                 
                                                                                                           ;
                                                                  sonst
                                                                 
  ‘Ordnung einer endlichen Gruppe G ord G  ’: ordG  :# G
 kleiner Fermat’s Satz: G endliche Gruppe, dann:
                                               
   U : e, a, a 2 ,  e, a, a 2 ,, a ordG a 1 : a ist kommutative Untergruppe von G,
      Beweis: a i  a j  a i  j  U und a i      1
                                                            a ordG a i
    ord G a  | ord G 
      Beweis:
                  s
                
          G   bi U für gewisse b i , weil:
               i 1
                    
                       : a

             bi U  b j U     a k , a l  U : bi a k  b j a l  bi  b j a l k  bi  b j U
                                                                               
                                                                                 U

              bi U  b j UU  b j U
          Weil  bi bijektiv ist, ist # bi U  # U  ord G a  .
          daher: # G  s  ord G a 
 Definition ‘ Fp ’ (p Primzahl):
                *
                                                                    
                                              Fp : Z / pZ \ 0 ; ‘primitive Restklasse modulo p
                                               *

             *
                
   a  pZ  Fp , ’: a  pZ erzeugt Fp ,
                                     *
                                           
                       
 a  pZ erzeugt Fp ,  ordF* a  pZ  p  1
                  *
                                    p


 Definition ‘zyklische Gruppe G’: a  G : G   i ; ‘primitives/ erzeugendes Element a
                                                 a
                  
  von G’: G  a ; ‘ G  a ’: G  a
                 i                 i
                                           
 Zyklische Gruppen sind kommutativ.
 Eigenschaften zyklischer Gruppen: G zyklische Gruppe mit primitivem Element a.
                         Z G
   ord G a      :        ist ein Isomorphis mus von Gruppen.
                         i  ai
      Beweis:  ist Homomorphismus von Gruppen, surjektiv (nach Definition) und
        injektiv, weil ker    Z i   eG   0 (wegen ord G a    )
                                 i
                              Z / nZ  G
    n : ord G a      :            ist ein Isomorphis mus von Gruppen.
                             i  nZ  a i
      Beweis:  ist offensichtlich Homomorphismus von Gruppen und bijektiv.
    U  G  n : ord G     U  0  nU, m  nZ,2m  nZ,


                                                                                        Page:           2
                                                                   
                                               ˆ
                                                 
       Beweisidee: 0  nU, m  nZ,2m  nZ,  e, a m , a m ,
                                                          
                                                                  2 
                                                                           
                                                 
                                                          a 2 m   
                                                                    
    G zyklisch  U  G zyklisch
    n : ord G     b : m  nZ   a m ist primitives Element von G.  ggT m, n   1
      Beweisidee: ggT m, n   1  kgV m, n   mn  Erst mn  Z / nZ ist wieder gleich
                                   
          0 , d. h. erst a mn  a m
                                       n
                                            eG , d. h. ord G a m   n , d. h. G  a m .
    n : ord G     G besitzt genau n  : # 0  m  n ggT m, n   1primitive Elemente.
                                                              
                                                              Euler' s -Funktion

      Beweis:                                          Folgt                                   aus
        ‘
         n : ord G     b : m  nZ   a m ist primitives Element von G.  ggT m, n   1
        ’.
    n : ord G     m  Z : ggT m, n   1  ord G a m   ord G a   n
      Beweis:                                          Folgt                                   aus
        ‘
         n : ord G     b : m  nZ   a m ist primitives Element von G.  ggT m, n   1
        ’.


        2. Kristallographie
 left out


        3. Restklassengruppen

3.1 Operationen von Gruppen auf Mengen
                                                                     GM  M
 Definition ‘Operation von G auf M’ (M Menge):  :                                  mit:
                                                                    g, m   g m 
   em   m
   g 2  g 1 m   g 2 g 1 m 
 Definition ‘treue Operation’: g1 m   g 2 m m  M  g1  g 2 , d. h. injektiv
                                                                                     G G  G
 Definition ‘Operation auf sich durch Linkstranslation’:  :                                           ; ‘Operation
                                                                                  g1, g 2   g1  g 2
                                                            G G  G
  auf sich durch Rechtstranslation’:  :                                        ; ‘Operation auf sich durch
                                                        g1, g 2   g 2  g11
                                  G G  G
  Konjugation’:  :                                    ; ‘Operation von G auf der Menge der
                          g1, g 2   g1  g 2  g11
                                                                          G U  U
                                                                 
  Untergruppen von G U durch Konjugation’:  :  g , u   g  u  g 1
                                                                  1                 1       1
                                                                  Untergrupp e 
 Definition          ‘Isotropiegruppe              von            N M             GN ’          (  : G  M  M ):


                                                                                        Page:                   3
   GN :  G g n  nn  N; ‘Fixpunkt von  m’: g m   mg  G ; ‘Bahn von m unter
          g
   Gm ’: Gm : g m ; ‘transitive Operation  ’: m1, m2  Mg : m2  g m1 
  ist transitiv.  Es existiert nur eine Bahn, nämlich Gm  Mm .
   Beweis:
     ‘  ’:
         Wähle m1 beliebig und durchlaufe mit m2 ganz M. Nach Voraussetzung gibt es
           für alle m2 ein g mit m2  g m1  , also Gm1  M .
         Da dies unabhängig von m1 war, gilt Gm  Mm . Also existiert nur eine Bahn.
     ‘  ’:
         Wähle m1 beliebig. Es gilt Gm1  M .
         Das bedeutet, dass jedes m2  M als ein Funktionswert für ein g vorkommt, d.
           h. m2 g : m2  g m1  .
         Das dies für alle m1 gilt, gilt m1, m2 g : m2  g m1 
 Definition     ‘Zentralisator    von           H
                                                      G       GH ’: die     Isotropiegruppe
                                                     nur Teilmenge nötig

                                              
                                              
   GH : g  G gh  h  H  ;
                   
                        hg                            ‘Zentrum                      von                 G                  Z G  ’:
           
                 bzw. ghg 1  h              
                                               
                                                
                                                
   Z G  : GG  g  G gh  h  G  ;
                                 hg
                                                       ‘Normalisator              von               u
                                                                                                                      G ’:     die
                  
                              bzw. ghg 1  h   
                                                 
                                                                                            U , d.h. u Untergruppe


  Isotropiegruppe                 
                           Gu  g  G gug 1  u ;           ‘Konjugationsklasse               von         h’:     die      Bahn
                 
   Gh  ghg 1 ; ‘Konjugationsklasse von                         u
                                                                                 G ’: die Bahn Gu  gug 1 
                                                       U , d.h. u Untergruppe

  : G  M  M Operation, dann:
   M ist die disjunkte Vereinigung der Bahnen.
      Beweis:
         Zeige Gm1  Gm 2    xor Gm1  Gm 2 .
         Sei m  Gm1  Gm 2 , dann m  g 1 m1   g 2 m2  .
                                          
                                                          Gm1             Gm2

          Dann                    gilt                  für                   alle                   h G
            
           
                       
           hm1   h  g 1  g 1 m1   h  g 1 g 1 m1   h  g 1 g 2 m2   h  g 1  g 2 m2  .
                          1
                                              1
                                                                     1
                                                                                          1
                                                                                      
                                                                                            
                                                                                                     
                                                                                                     
                                                                                                                         
              Gm1                                                                                              Gm2

       Also Gm1  Gm 2 .
       analog Gm1  Gm 2 , also Gm1  Gm 2
                                                       
                                                       
   G endlich, dann: # G  # Gm #  Gm 
                                            
                                       gG g m m 
                                                       
     Beweis:
       Sei Gm  g1 m ,, g r m  und Gm  h1,, hs .
          Es gibt mindestens rs verschiedene Elemente, denn die Produkte g i h j sind
           alle unterschiedlich:



                                                                                                  Page:                           4
                g i  h j  g k  hl  g i m   g i h j m   g i  h j m   g k  hl m   g k hl m 
              g k m   g i  g k
            Es folgt weiter: g i  h j  g k  hl  g i  h j  g i  hl  h j  hl
            insgesamt: g i  h j  g k  hl  i , j   k , l 
            also: # G  rs
            Andererseits lässt sich jedes g  G darstellen als g  g i h j für ein paar i, j  ,
             denn:
            Zu jedem g gibt es wegen Gm  g1 m ,, g r m  ein g i mit g m   g i m  .
            Wegen g i1 g m   g i1 g i m   m ist g i1  g  Gm , also g i1  g  h j für ein h j .
            Also g  g i  h j und somit # G  rs
        insgesamt: # G  rs
 Definition ‘Rechtsnebenklasse                      von         g        bzgl.   u  U ’:   die   Bahn       ug   v  u;
                                                                                                                   vg
    ‘Linksnebenklasse von g bzgl. u  U ’: die Bahn gu   v  u; ‘ G / u ’: Menge der
                                                          gv
    Linksnebenklassen von Elementen von G bzgl. u, G / u   g  G; ‘Index von u in G
                                                            gu
                                             
    G : U  ’: G : U  : # G / u , falls # G / u  
                            
                   sonst
 Satz von Lagrange: # G  G : u   # u 
   Beweis: analog zum Beweis von ‘ # G  # Gm # Gm  ’, wobei G / u  g 1u,, g r u die
       Rolle von Gm übernimmt und u  u1,, u s  die Rolle von Gm 
                                                                                                                           r
                                                                                   
 Klassengleichung: G operiere auf sich durch Konjugation und g 1,, g r  G : G   Gg i ,
                                                                                                                          i 1
                       r
    dann: # G   G : Z g i  # Z G                  G : Z g     i
                      i 1                            i G:Z gi 1

3.2 Normalteiler
    gu   hu   ghu
     gu  ug

     gug 1  u
     gug 1  u
   Definition ‘Normalteiler von G u’: Die Untergruppe u erfüllt die gerade genannten
    Bedingungen.; ‘ u  G ’: u ist Normalteiler von G.
   G kommutativ  Jede Untergruppe u ist Normalteiler.
     Beweis: gu  ugg  G
   f : G  H Homomorphismus von Gruppen  ker f   G
     Beweis:
         Zeige g  ker f   g 1  ker f  . Sei g   ker f  . Mit anderen Worten: f g   eH
         f g  g   g 1   f g  * f g  * f g 1   f g  * eH * f g 1   f g  * f g 1   f g  * f g   eH
                                                                                                                               1


   An  Sn
     Beweis: signAn   1, somit signAn  1   1  Sn  An  1  An . Alternativ:
        An  ker sign .


                                                                                                     Page:                       5
                              G / u G / u  G / u
 u  G  G / u,  mit  :                           ist Gruppe. (D. h. teilt man einen Normalteiler
                                gu, hu   gh u
   aus der Gruppe heraus, so erhält man eine Restklassengruppe.)
    Beweis:
      Assoziativität:
        g1u  g 2u   g 3u  g1g 2u   g 3u  g1g 2 g 3u  g1 g 2 g 3 u  g1u  g 2 g 3u 
         g1u  g 2u  g 3u 
     neutrales Element: eu
     inverses Element: g 1u
 Definition ‘Restklassengruppe’:                         G / u, ;
                                                             Epimorphismus auf die
                                                                          ‘kanonischer
                                                                       G G /u
  Restklassengruppe  ’: der surjektive Homomorphismus von Gruppen  :
                                                                        g  gu
 universelle Eigenschaft der Restklassengruppe: Seien  : G  H ein Homomorphismus
  von Gruppen, u  G und u  ker  . Es gibt einen eindeutig bestimmten
  Homomorphismus von Gruppen  : G / u  H , so dass dieses Diagramm kommutiert:
                                           
                                        G       H
                                                                           
                                                                    G/u
    Beweis:
      definiere: gu  : g 
      Problem: Durch das modulo-Rechnen geht Information verloren, da mehrere
       Elemente aus G auf dassselbe Element in G / u abgebildet werden. Werden diese
       dann mittels  nach H abgebildet, könnte es also passieren, dass 2 verschiedene
       Elemente aus G, wenn sie mit  abgebildet werden, auch auf 2 verschiedene
       Elemente aus H abgebildet werden. Wenn die beiden Elemente aus G jetzt aber in
       derselben Restklasse modulo u liegen, dann würden sie durch  auf dassselbe
       Element in G / u abgebildet werden (Informationsverlust) und könnten durch 
       dann nicht wieder auf verschiedene Elemente in H abgebildet werden.
      Zeige, dass Elemente von G, die modulo u in derselben Restklasse liegen (also
       g 1u  g 2u ), durch  tatsächlich auch auf dasselbe Element in H abgebildet
       werden (also g 1   g 2  ), was von vornherein nicht klar ist.:
         g 1u  g 2u         
                                          g u
                                             1 i                             
                                                   u i  U   g 2u j u j  U  u1, u 2  u : g 1u1  g 2u 2
                       Definition von gu
                         
          g 2 1g 1  u 2u1 1  u    g 1g  ker   g 2 1g 1  eH   g 2 1 * g 1   eH
             wegen ker   2 1
                              
                                                                          
                                                                                                  
                                  u
            vergleiche mit dem Üblichen:
            a  b  a  bU   b  aU

          g 1   g 2 

3.3 Noether’s Isomorphiesätze
 der Homomorphiesatz für Gruppen:  : G  H surjektiver Homomorphismus von
                                                                G / ker   H
  Gruppen, dann induziert  einen Isomorphismus von Gruppen  :
                                                                g ker   g 
   Beweis:
     Homomorphismus: Folgt aus der universellen Eigenschaft der Restklassengruppe,


                                                                                                Page:           6
       weil ker   G ; wähle  :  .
      surjektiv: Weil      surjektiv ist.
      injektiv: g ker  eH  g   eH  g  ker  g ker                               ker
                                                                                                        
                                                                                                       
                                                                                              Nullelemen t von G / ker  

 Normalteiler und Homomorphismus von Gruppen:
   U  G   surjektiv  U   H :
     Beweis:
       h  Hg  G : h  g  , weil  surjektiv
                                                             1
                                                                                     
                 h * U  * h 1  g  * U  * g   g  * U  *  g 1   gUg 1            U 
                                                                                                           
                                                                                                       weil U G

          U   H
   V  H   1 V   G :
     Beweis: Sei g    1 V  .
                                                 
       g  g   g 1  g  * g  *  g 1  g  * V *  g 1              
                                                                                         V
                                                                                 wegen V H

                                    
          1 g  * V *  g 1   1 V   g   1 V   g 1   1 V    1 V   G
    surjektiv   ist Bijektion zwischen   G U  ker und   H
                                           U                     V
      Beweis: Folgt aus eben Gezeigtem.
                                    H
 N  H , dann:  : G  H  H / N liefert einen injektiven Homomorphismus von Gruppen
   : G /  1 N   H / N . Ist  surjektiv, so ist  ein Isomorphismus von Gruppen.
                                                     
                                              G             H
                                                    
                                                   G1                     H
                                  G /  1 N        H /N
 N  G , U Untergruppe, dann: UN ist Untergruppe von G und N  UN und N  U  U
                                                                      U G/N
 1. Noether’s Isomorphiesatz: N  G , U Untergruppe, dann: Durch  :         wird ein
                                                                       u  uN
                                                ~
  Isomorphismus von Gruppen  : U / N  U  UN / N induziert.
   Beweisidee: Verwende in diesem Abschnitt Gezeigtes.
 2.     Noether’s     Isomorphiesatz:           N1, N 2  G mit   N 2  N1 ,   dann:
         
   : G G / N 2  G / N 2  / N1 / N 2  induziert einen Isomorphismus                                 von      Gruppen
   : G / N1  G / N 2  / N1 / N 2 
             ~
   Beweisidee: Verwende in diesem Abschnitt Gezeigtes.


      4.   Konstruktion                           von
      Gruppen

4.1 Produkte
                                            n            n
 Definition ‘direktes Produkt             Gi ’:
                                           i 1
                                                    G
                                                     i 1
                                                             i   : G1    Gn ( n   zulässig)




                                                                                              Page:                           7
                           G G  G
         n          g 1   h1    g 1h1 
 G :  Gi ,  :    ,         , dann: G, ist Gruppe.
       i 1
                                      
                  g  h  g h 
                   n   n   n n 
   Beweis: Klar, denn in jeder Komponente wird die                                          Gruppenstruktur       der
      entsprechenden Gruppe ausgenutzt.
           Gj  G
                 eG1 
                         
                  
                e 
 j :           G j 1  ist injektiver Homomorphismus von Gruppen.
        gj   gj 
                         
                 eG j 1 
                  
                 eG 
                         
                 n 
   Beweis: Klar, denn dies ist die normale Einbettung.
  j G j   G j   j G j   G :
   Beweis:
      j G j   G j ist klar.
                                                        g 1   eG1   g 1 1   eG1 
                                                                             
                                                                                           
                                                                                       
                                                            e              e              
                                                                               G j 1 
                                                          G j 1  
       j G j   G , weil: g   j g   g 1         g j        g j g j g 1    j G j 
                                             
                                                                                               j
                                                         e                                 
                                                           G j 1      eG j 1 
                                                                                       
                                                                    1  
                                                                                              
                                                                                                  
                                                        g n   eGn   g n   eGn 
        G  Gj
       g1 
 j :         ist surjektiver Homomorphismus von Gruppen.
          gj
      g 
       n
   Beweis: klar
 universelle Eigenschaft des direkten Produkts: Seien i : H  Gi Homomorphismen
  von Gruppen, dann: Es gibt genau einen Homomophismus von Gruppen  : H  G mit
   j   j  1  j  n , also so, dass dieses Diagramm kommutiert:
                                                            i
                                                     H             Gi
                                                           G
                                                                     i
                                1 h  
                                        
   Beweis: Definiere h  :    .
                                 h 
                                n 
 N1,N 2 Untergruppen von einer Gruppe G, dann:

                                                                                              Page:                8
       N1  N 2  G
    :  n1        ist Isomorphismus von Gruppen
          n1n 2
       n 
        2
   g  Gg 1,, g r  N1  N 2 : g  g 1    g r  N1, N 2  G  N1  N 2  e
 Definition ‘inneres, direktes Produkt von N 1 und N 2 ’: die obigen Bedingungen gelten,
  Schreibweise G  N1  N 2
                                                           g 1                            
                                        n           n
                                                                                          
 Definition ‘direkte Summe  Gi ’:  Gi : G1    Gn     g i  eGi für fast alle g i 
                            i 1    i 1                   g                              
                                                           n                              
  ( n   zulässig)
                         n          n
 Falls n   , so ist   G  G
                         i 1
                                i
                                    i 1
                                            i   .

                           G G  G
         n          g 1   h1    g 1h1 
 G :  Gi ,  :    ,         , dann: G, ist Gruppe.
       i 1
                                      
                  g  h  g h 
                   n   n   n n 
           Gj  G
                 eG1 
                         
                  
                e 
 j :           G j 1  ist injektiver Homomorphismus von Gruppen.
        gj   gj 
                         
                 eG j 1 
                  
                
                 eG     
                 n 
  j G j   G j   j G j   G :
        G  Gj
       g1 
 j :         ist surjektiver Homomorphismus von Gruppen.
          gj
      g 
       n
 universelle Eigenschaft der direkten Summe: Seien i : Gi  H Homomorphismen von
  Gruppen, dann: Es gibt genau einen Homomophismus von Gruppen  : G  H mit
   j     j 1  j  n , also so, dass dieses Diagramm kommutiert:
                                                        i
                                                    H        Gi
                                                             i
                                                        G
                          g1  
                         
   Beweis: Definiere       :  n j g j  .
                                      n


                        g        j 1
                         n 
 Definition             ‘Automorphismengruppe                     von   G            Aut G  ’:


                                                                         Page:               9
    AutG :  : G  G f ist Isomorphismus von Gruppen
               f                                       
 Aut G  ist Gruppe bzgl. der Komposition (Hintereinanderausführung) von Funktionen  .
   Beweis: klar
 Definition ‘semidirektes Produkt von G und H bzgl.  G   H ,  ’ (  : H  Aut G 
                                         G  H   G  H   G  H
    Homomorphismus von Gruppen):  :   g 1   g 2    g 1  h1 g 2 
                                                      
                                                          h ,  h    
                                                                                       
                                                                                            
                                                         1   2             h1h2      
   G       H ,  ist eine Gruppe.
     Beweis:
       Assoziativität: nachrechnen
                             e 
       neutrales Element:  G 
                             e 
                              H
                            g 
      inverses Element:    
                                          1
                                      h 1 g 1 
                                                  
                                                      
                            h          h 1    
                                               
 eG  H  und   eH  sind Untergruppen von G   H
                   G
   Beweis: nachrechnen
 G   H,  kommutativ  G, H kommutativ    idG
     Beweis: nachrechnen
   G  H,  G  H,    idG
     Beweis: nachrechnen

4.2 Presentationen
 Definition           ‘von      M  g 1,  G             erzeugte          Untergruppe        von             G           M ’:
                
     M : a1    ar ai  M  ai1  M ,         
 G1,Untergrupp  Gi Untergrupp
                en               e
     Beweis: g1, g 2 , g  Gi  g1, g 2 , g Gi i  g1  g 2 , g 1 Gi i  g1  g 2 , g 1  Gi
 Sei G1, die Menge aller Untergruppen, die M  G enthalten, dann: M  Gi
     Beweis:
       ‘  ’: a1   ar  M  ai  M  ai1  M  ai  Gi  ai1  Gi  ai  Gi
        ‘  ’: M  Gi i  M  Gi i  M  Gi
 Definition ‘Alphabet  :  Menge; ‘ M   ’ (  Menge): M :  x1., xn  n  0, xi  ;
                                                                    
                                                             M   M   M 
    ‘  : M    M    M   ’:    :                                                               ;   ‘reduziertes
                                              x1,, x n , y 1,, y m   x1,, x n , y 1,, y m 
                                              
    Element x1,, x n   M    ’ (  weitere Menge,  :    bijektiv): Es gibt kein
                                           ~      ~                            ~
                   
    i   ,, n  1 : x i 1  x i   x i  x i 1  .; ‘elementarer Reduktionsschritt eines nicht
         1
    reduzierten                                    Elements                         x1,, x n   M    ’:
                                                                                                         ~
                                                                                                                               
                                                         
    x1,, x n   x1,, x i 1, x i 2 ,, x n   M    ; ‘Äquivalenzrelation ~ auf M    ’: die
                                                               ~
                                                                                                    ~
                                                                                                                         
    durch elementare Reduktionsschritte erzeugte Äquivalenzrelation, d. h. w 1 : x1,, x n  ,
    w r : y 1,, y m  und w i  w i 1  w i 1  w i ; ‘freies Monoid bzgl. dem Alphabet  ’:


                                                                                                Page:                         10
    M ,
   M , ist Monoid mit neutralem Element e :  
                                                                                                                   
 Definition ‘freie Gruppe über dem Alphabet  F   ’: F   :  M  
                                                                                     
                                                                                                 / ~ ,  mit
                                                                                             
                                                                                                      ~
                                                                                                                   
                                                                                                                       
                                                                                      Menge der Äquivalen zklassen 

  :
               ~
                                  ~
         M  / ~  M  / ~ M  / ~              ~
                                                                            
                                                                    ; ‘ x 1   ’: x 1 : x  ; ‘  1 ’:  1 :  ;
                                                                               ~                                      ~
     x1,, x n ,y 1,, y m   x1,, x n , y 1,, y m 
  ‘Wort über dem Alphabet  ’: ein Element aus M    1  ; ‘  * ':  * : M    1  ;
  ‘ x1  x n ’: x1  x n : x1,, x n   F  
 F   ist Gruppe.
   Beweis:
       Assoziativität: Da die Konkatenation an sich assoziativ ist.
       neutrales Element: e   
      inverses Element: x1,, x n   x n 1,, x1 1 
                                                    1
                                                                                               
  : x  F    Z
                                                                             
   Beweis: Benutze den Isomorphismus      i ,  1,, x 1   i
                                                       x,, x             x 
                                                     i Stück        i Stück 
                                                                            
                                                                              
 universelle Eigenschaft der freien Gruppe: H Gruppe, f :   H , dann: Es gibt einen
                                                              F    H
  eindeutigen Homomorphismus von Gruppen  :                              .
                                                               x  f x 
                             f x i , falls x i  
                             
   Beweis: Setze x i  :                                 und x1  x n  : x1 x n  .
                                          -1
                                              
                              f x i1 , falls x i   1
                             
 Es gibt einen eindeutig bestimmten, surjektiven Homomorphismus von Gruppen
     F M   M
  :              . Insbesondere ist M  F M  / ker  .
        xx
 Definition ‘Presentation von G : M ’: der Isomorphismus M  F M  / ker 


        5. Kommutative Gruppen

5.1 Zyklische Gruppen
 n : ord G g    , dann:
     gm  e  n | m
       Beweis:
         Eigentlich klar, denn g wird immer erst nach n Multiplikationen wieder e, d. h. m
          muss offensichtlich ein Vielfaches von n sein.
         m      
                      pn  r
                 Division mit Rest

                                gn          
           e  g m  g np r    g r  g r
                                                p
                                                                                  
                                                                                                       r 0
                                           e                  r             
                                                                                            n ordG g 
                                                                   r ist Rest der Division



     m | n  ordG g m             
                                       n
                                       m

                                                                                                               Page:       11
                            
                                 n
        Beweis: g m             m    gn  e
            
        g  e, g,, g n1 und # g  n
      Beweis: klar
    G endlich  n |# G
        Beweis: # g  n und # g |# G nach Satz von Lagrange, also n |# G
                                         kgV n, k 
             
    ord G g k 
                              n
                           ggT n, k 
                                       
                                            k
        Beweis:
                                                         
                                              n                       k
          einerseits: g k                 ggTn,k      ggTn,k   e
                                                         gn
                                                              e
                                                                     nk

                                                                                                   
                                                 n                                                         n
                                                                   ggTn,k 
         andererseits: g                 g         g kgV n,k  , d. h. erst g k ggTn,k   e
                                            k ggTn,k 


 n : ord G g    , m : ord G h    , gh  hg und ggT n, m   1, dann ord G gh   nm .
    Beweis:
                              
        gh  g n  h m  e
                 nm              m              n


        Wegen ggT n, m   1 ist kgV n, m   nm , also ord G gh   nm .
 Definition ‘Exponent von G ExpoG  ’: ExpoG : kgVordG g  g G
 g Expo G   e
   Beweis: klar
 G kommutativ  g  G : ord G g   ExpoG  :
   Beweis:
      Zerlege ExpoG  in seine Primfaktorzerlegung, also ExpoG   p1 1    pr r .
                                                                       


        1  i  rg G : ordG g   pii  qi , d. h. ord G g  ist Vielfaches von pi i , denn
         angenommen                      1  i  rg G : ordG g   pii  qi             mit   0  ai   i ,   dann   wäre
          ExpoG  kgVordG g  g  G  p   p   p .          1
                                                                      1
                                                                                   
                                                                                   i
                                                                                     i   r
                                                                                         r

        Hierbei gilt natürlich, dass in q i der Primfaktor p i                                        nicht vorkommt. Also
                     i
          ggT p , q i  1
                      i      
        Wähle also entsprechende g i -s mit ordG g i   pii  q i
                   
        Somit ordG g iqi  pii .
        Wegen ggT p ,, p   1, gilt ord g
                       i
                       1
                             r
                             r             G  1   g r
                                              q1       qr
                                                           p1 1   prr  ExpoG .
                                                             
                                                                                         
 R Integritätsring, und G endliche Untergruppe von R \ 0, dann: G ist zyklisch.
 G endliche, zyklische Gruppe, n :# G , dann: Zu jedem Teiler d von n gibt es genau
  eine Untergruppe U von G mit # U  d
                                                                         ord G g m   d ,
                                                    n
   Beweis:       Seien     G g       und     m ,         dann:                           also
                                                   d
            
       U : e, g m ,, g m            d 1
                                                 e,g   m
                                                                               
                                                              ,, g d 1m und # U  d .

5.2 Endlich erzeugte, kommutative Gruppen (additive Notation)
 Definition ‘Basis von G g 1,, g r  ’: Für alle g-s gibt es eine Darstellung
  g  a1g 1    ar g r .; ‘freie, kommutative/ Abelsche Gruppe’: Es gibt eine Basis.;

                                                                                                          Page:              12
    Definition ‘Rang von G rk G  ’: rk G   r
                      G  Zr
                              a1 
 :                           ist ein Isomorphismus von Gruppen.
        a1g 1    ar g r    
                             a 
                              r
   Beweis: klar
 h1,, hs  weitere Basis von G, dann: s  r .
 Hauptsatz für freie, kommutative Gruppen: rk G   r , U Untergruppe, dann: Es gibt eine
  Basis g 1,, g r  von G, s  r und Zahlen 1,,  s  N , so dass 1 |  2 ,,  s 1 |  s und
  1g 1,,  s g s  eine Basis von U ist.
 Hauptsatz für endlich erzeugte, kommutative Gruppen:
   Es gibt r  0, 1,,  s  N : 1  1  1 |  2 ,,  s 1 |  s und G  Z r  Z /  1Z    Z /  s Z .
   r ist eine Invariante von G und ist der Rang von G.
   G endlich  r  0   s  ExpoG  . (Hier ist auch  s eine Invariante von G.)
 Definition ‘Elementarteiler von G’: die 1,,  s von eben; ‘Torsionsuntergruppe von G
    T G  ’: T G :  G ordG g   
                        g
                                                                                   ~
 G endlich erzeugte, kommutative Gruppe und  : G  Z r  Z / 1Z    Z /  s Z der nach
  dem ‘Hauptsatz für endlich erzeugte, kommutative Gruppen’ existierende
  Isomorphismus, dann:
                                                   
                   0                               
                   
                                                  
   T G    1      Z / 1Z    Z /  s Z 
                                                 
                  0
                   r
                                                   
                                                    
                   Z                              
   1,,  s sind Invarianten von G.
 Definition ‘torsionsfrei’: T G   0
 G torsionsfrei  G frei
   Beweis:
                                                                     
                                     0                               
                                     
                                                                    
     T G   0G   1      Z / 1Z    Z /  s Z   0G
                                                                   
                                    0
                                     r
                                                                     
                                                                      
                                     Z                              
                                              0
                                               
                      
                                                 Z / 1Z    Z /  s Z  0 Zr  Z / 1Z Z / s Z
     weil  Isomorphis mus ist, ist ker  0 
                                              0
                                              
                                             Z r

         Z / 1Z    Z /  s Z  0 Zr  Z /  Z Z /  Z
                                                       1          s


                    
                                   G  Z  G ist frei.
                                         r

        G  Z  Z / 1Z  Z /  s Z
             r


 der chinesische Restsatz: Seien n1,, n s  N : ggT n i , n j   1 und N : n1    ns , dann:


                                                                                                             Page:   13
                 ~
       Z / nZ  Z / n1Z    Z / n s Z
                       a  n1 Z 
   :                                ist ein Isomorpismus.
            a  NZ            
                      a  n Z
                            s 

              induziert                       einen              Isomorphismus                          multiplikativer              Gruppen

       : Z / NZ  Z / n1Z     Z / ns Z 
                          ~
                                                                   


 G endlich und kommutativ, n :# G , m | n , dann: Es gibt Untergruppe U mit # U  m .
                                                                
 Klassifikation endlicher, kommutativer Gruppen: n  p1 1   pe r (Primfaktorzerlegung),
     
   A pii :# Partitionen  i   i 1     ik 1   i 1     ik ,                               dann:       Es       gibt       (bis       auf
                                                                   
  Isomorphie) genau An   A p1 1    A pr r verschiedene Gruppen der Ordnung n.
                               




       6. p-Gruppen

6.1 Der Satz von Cauchy
 Definition ‘p-Gruppe’ (p Primzahl): gn : ord G g   p n
 # G  p n  G ist p-Gruppe. (‘  ’ gilt auch, siehe unten)
   Beweis: Nach dem kleinen Fermat’s Satz gilt ord G g  | p n  ord G g   p m
 # G  p n  Z G   e
   Beweis:
     # G # Z G    G : Z g i  (Klassengleichung)
                                 i G:Z gi 1
      # Z G               #G
                                                                         G : Z g i                  p |# Z G  # Z G   p  1
                         Vielfaches von p
                                                                                  
                                                                                  
                                                i G:Z g i 1 Vielfaches von p nach  von Lagrange
                                                                                         Satz
                              
                                   Vielfaches p
                          von   
                                                         Vielfaches von p

 # G  p , G operiere auf einer Menge M, M G die Menge der Fixpunkte dieser
           n


  Operation, dann: # M G  # M mod p
   Beweisidee:
             r
                    
     M    Gmi   M G (disjunkte Vereinigung der Bahnen)
            i 1   
                   
     # Gm i  |# G (wegen # G  # Gm # Gm  , s. Kapitel 3) 
                                                                    
                                                                                                                  #Gmi 1, weil sonst mi Fixpunkt wäre

         p |# Gm i 
                    r          
                    # Gm  # M G # M  # M G mod p
      also # M  # 
                    i 1   
                            i
                     0 mod 
                        p

                                  0 mod p

 Satz von Cauchy: q |# G  g : ord G g   q
 # G  p n  G ist p-Gruppe.
   ‘  ’: Bereits gezeigt.
   ‘  ’:

                                                                                                                  Page:                         14
      Angenommen, es gibt eine weitere Primzahl q, die # G teilt.
      Dann folgt mit dem Satz von Cauchy: ord G g   q . Widerspruch zur Definition der
       p-Gruppe.

6.2 Die Sätze von Sylow
                 ?
 Frage: m | G  U :# U  m :
   ja, für kommutative Gruppen (sogar eindeutig, wenn G zyklisch ist)
   nein im Allgemeinen
 Definition ‘p-Sylowuntergruppe von G’ (p Primzahl): eine bzgl. Inklusion maximale p-
  Untergruppe von G
 Lemma von Zorn: M partiell geordnete Menge, m1  m2  m : mi  mi , dann: M
  besitzt ein maximales Element.
                                                         
 Definition ‘p-Torsion’: Tp G : g G n : ordG g   p n                     
 Existenz von p-Sylowuntergruppen:
   Es gibt eine p-Sylowuntergruppe.
     Beweis:
        Sei M die Menge aller p-Untergruppen. e M ist p-Untergruppe.
        Sei U1  U 2   eine beliebige Kette von p-Untergruppen, dann ist auch
          U :  U i p-Untergruppe.
                 i

       Es gilt U i  Ui , also ist U eine obere Schranke.
       Nach Zorn’s Lemma besitzt M ein maximales Element.
   G kommutativ  Es gibt genau 1 p-Sylowuntergruppe, nämlich T p G  .
      Beweis:                                   T p G                ist               p-Untergruppe,   denn
                             ordG  g  ordG  h 
                                          
                                n         m
                         p
                   
        g h               g p  h p  e  k ordG gh  p k  gh  Tp G  ,
                                n m     nm
                                                                                      und
         T G  
        Tp G  p 
       maximal nach Defintion.
 U p-Sylowuntergruppe  gUg 1 p-Sylowuntergruppe
   Beweis:
     Angenommen, es gäbe eine p-Untergruppe V mit gUg 1  V .
     dann: U  g 1Vg
     Das darf aber nur sein, wenn g 1Vg keine p-Gruppe ist, denn U ist ja eine
       maximale p-Gruppe nach Voraussetzung.
     g 1Vg ist aber p-Gruppe, denn:
        Sei v beliebig und ord G v   p n (geht, da V nach Annahme p-Untergruppe ist).
        dann: g 1vg                 pn
                                                                
                            g 1vg g 1vg  g 1vg  g 1v p g  g 1eg  e         n




        daher: k ord G g 1vg   p k
        also: g 1Vg ist p-Gruppe.
 Hat G nur eine p-Sylowuntergruppe, so ist diese ein Normalteiler.
   Es gilt ‘U p-Sylowuntergruppe  gUg 1 p-Sylowuntergruppe’.
   Da es nur eine gibt, ist U  gUg 1 , also Normalteiler.

                                                                                                   Page:   15
                                                    
 U p-Untergruppe und N U   g  G gUg 1  U ihr Normalisator, dann:
   N U  : U   G : U mod p
   p | G : U   N U   U
 1. Satz von Sylow: # G  p n  m (in m ist p nicht mehr als Primfaktor vorhanden), dann:
   0  i  nU : ord U   p i . Insbesondere: U p-Sylowuntergruppe  ord U   p n .
   0  i  n  1  ord U1   p i  U 2 : ord U 2   p i 1  U1  U 2
 2. Satz von Sylow: U, V p-Sylowuntergruppen, dann: g : V  gUg 1 , d. h. je 2 p-
  Sylowuntergruppen sind zueinander konjugiert.
 3. Satz von Sylow: # G  p n  m (in m ist p nicht mehr als Primfaktor vorhanden), s p die
  Anzahl der p-Sylowuntergruppen, dann:
   sp | m
   s p  1mod p


       7. Auflösbare Gruppen
 Definition ‘G ist auflösbar’: Es gibt e : N 0  N1    N l : G , so dass für alle i gilt:
   N i ist Untergruppe
   N i 1  N i
   N i / N i 1 ist kommutativ.
 G kommutativ  G auflösbar
   Beweisidee: die Kette e : N 0  N1 : G
 Definition ‘einfache Gruppe’: Die einzigen Normalteiler sind e und G.
 G nicht kommutativ und einfach  G nicht auflösbar
   Beweis:
     Einzig mögliche Kette ist e : N 0  N1 : G , weil nur e und G Normalteiler sind.
     Aber N1 / N 0  G /e  G ist nicht kommutativ.
 G endliche p-Gruppe  G auflösbar
   Beweis: Folgt aus dem 1. Satz von Sylow
 Definition     ‘Normalreihe     von        G’: eine    Kette      von               Untergruppen
  e : N0  N1    N l : G mit N i 1  N i
 G auflösbar, dann:
   U Untergruppe, dann U auflösbar
      Beweisidee: die Kette e  N 0  U  N1  U    N l  U  U
   U  G  G /U auflösbar
     Beweisidee: die Kette e  N 0U / U  N1U / U    N l U / U  G / U
 G endlich erzeugt, dann: Es gibt eine Normalreihe e : N 0  N1    N l : G mit
  zyklischen Restklassengruppen N i / N i 1 .
 G endlich und kommutativ, dann: Es gibt eine Normalreihe e : N 0  N1    N l : G
  mit zyklischen Restklassengruppen N i / N i 1 von Primzahlordnung.
 G endlich und auflösbar und N  G , dann: Es gibt                            eine    Normalreihe
  e : N0  N1    N l : G mit folgenden Eigenschaften:

                                                                             Page:              16
   N i / N i 1 ist zyklisch von Primzahlordnung
   N  N 0 ,, N l 
 G einfach und auflösbar, dann: G ist zyklisch von Primzahlordnung:
   Beweis: Folgt aus eben Gezeigtem.
                                                          1  a  b  k  n 
 An wird für n  3 von den Dreierzyklen  abk          1  b  k  a  n 
                                                                             
                                                                            
  erzeugt.
 n  3 , N  An , N enthält einen Dreierzyklus, dann: N  An .
   Beweis:
      Seien  abc  N und  abk ein beliebiger Dreierzyklus.
      Es gilt: abk  ab ck abc ab ck  .
                                  2            1


     außerdem: abk  ab ck abc ab ck   N , weil N  An
                                   2                 1


     Also ist jeder beliebige Dreierzyklus in N.
     Wegen ‘ An wird für n  3 von den Dreierzyklen erzeugt.’ folgt N  An .
 n  4  An ist einfache Gruppe.
 n  5  S n ist nicht auflösbar.




                                                                    Page:       17
       Computational Commutative Algebra 1 – Overview

       1.1 Polynomial Rings
 Definition ‘Halbgruppe’; ‘Monoid’; ‘Gruppe’; ‘Ring’; ‘Körper’
 Definition ‘nilpotent’: r i  0 ; ‘Nicht-Nullteiler’: rr   0  r   0 : r ist Nicht - Nullteiler
 Definition ‘Integritätsbereich’ (‘integral domain’): Alle Elemente ungleich 0 sind Nicht-
  Nullteiler.
 Definition ‘Ringhomomorphismus’:
   1R   1S
   r  r   r   r 
   r  r   r   r 
 Definition ‘R-Algebra’: ein weiterer Ring S zusammen mit einem Ringhomomorphismus
  (genannt Strukturhomomorphismus), der S mit R verbindet; ‘R-Algebren-
  Homomorphismus von 2 R-Algebren S und T  ’: r   s   r   s   r   s 
                                                    
                                           S                    T

                                                       
                                                       
                                                 R
 Definition ‘R-Modul’:  Vektorraum für Ringe; ‘R-Untermodul’; ‘R-lineare Abbildung
                         ˆ
  (zwischen 2 Moduln)’: m  m  m  m und r  m   r  m  ; ‘Ideal’: einmal
  Standard-Definition ( R  I  I ), einmal als R-Untermodul des R-Moduls R
 Ist R sogar ein Körper, so gibt es nur die Ideale R und 0 .:
    Beweis: I Ideal; i  I ; da R Körper existiert i 1 ; da I Ideal: i 1  i  1 I ; da I Ideal
     r  R  r  1  r  I , also R  I ; da sowieso I  R , ist I  R
                 
                   I

                                                              
 R / I ist ein R-Modul (mit dem Skalarprodukt  r , s   rs ) und – zusammen mit der
                                                     
                                                    R R / I 
  kanonischen Abbildung R  R / I – auch eine R-Algebra ( R / I ist auch ein Ring).
 Definition ‘Primideal’: s  I und s  r  r  , so folgt r  I  r   I ; ‘maximales Ideal’:
                                         
                                                            R    R
  Erweitert man I zu einem echt größeren Ideal, so erhält man R.
 I ist Primideal genau dann, wenn R / I ein Integritätsbereich ist.:
   Beweis:
       ‘  ’: r1  r 2  0  r1  r2  I  r1  I  r 2  I  r1  0  r 2  0
                                          
                                           da I Primideal

       ‘  ’: r1  r2  I  r1  r2  0              
                                                                        r1  0  r2  0  r1  I  r2  I
                                           da R / I Integrität bereich

 I ist ein maximales Ideal genau dann, wenn R / I ein Körper ist.
 Jedes maximale Ideal ist ein Primideal.:
   Beweis: I maximales Ideal  R / I Körper  R / I Integritätsbereich  I Primideal
 Definition       ‘Erzeugendensystem             eines         Moduls           M         m1, ’:
  m  Mr1,, rn  R, mi1 ,, mi n  m1, : m  r1mi1    rn mi n ; ‘endlich erzeugt’: m1,
   ist endliche Menge; ‘zyklisch erzeugter Modul’: Der Modul lässt sich durch ein einziges

                                                                                                   Page:     18
  Element erzeugen.; ‘Hauptideal’ (‘principal ideal’): Das Ideal lässt sich durch ein
  einziges Element erzeugen.; ‘R-Basis’: Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung.;
  ‘freier Modul’: Es gibt eine R-Basis.; ‘Rang eines Moduls’: Anzahl der Erzeuger in einer
  Basis
 In K x  ist jedes Ideal ein Hauptideal.
                                                               1       0         0
                                                                                  
                                                              0         1        0
 Notation        für   den     Polynomring       R x  :
                                                          r0  0   r1  0   r 2  1    statt
                                               ein Ring
                                                                                  
                                                              0        0         0
                                                                                  
                                                              
                                                                        
                                                                                    
                                                                                     
                                                                           e0     e1        e2

   r0 x  r1 x  r2 x   ( ri  R )
       0      1       2


                                             1
                                             
                                            0
 Einbettung von R in Rx  ( r  r  0  )
                                             
                                            0
                                             
                                            
 Definition ‘ Rx1,, x n ’ (rekursiv): Rx1,, x n  : Rx1,, x n 1 x n 
 verschiedene Strukturen für K x1,, x n :
   als          Ring           mit            Erzeugendensystem              x1,, x n           (Beispiel:
     x1  2 x1 x 2  x1 x1  x1 x 2  x1 x 2 )
      2
                            
                                  
                            Ringoperat ionen

    als K-Vektorraum mit Erzeugendensystem T n (Definition von T n siehe unten)
                                         0         
                                                   
                                                  
                                         0         
                                                   
                                         2
                                                   
                                 für Erzeuger x1x2 
                                         0         
                                                   
     (Beispiel: x1  2 x1 x 2  
                    2
                                                   )
                                         0         
                                                   
                                         1
                                                   
                                 für Erzeuger x12 
                                         0         
                                                   
                                                  
                                                   
                                         0         
    als (eindimensionaler) K x1,, x n -Modul mit Erzeugendensystem 1 (Beispiel:
      x1  2 x1 x 2 
       2
                      
                           
                       x1  2 x1 x 2
                         2
                            
                                               
                                               1)
                      Element des Rings K x1,,x n 
                          ~
 Definition ‘Einheit’: rr  1 : r ist Einheit (Einheiten sind die invertierbaren Elemente.)
 R Integritätsbereich  Die Einheiten in Rx1,, x n  sind die Einheiten in R und
  Rx1,, x n  ist ein Integritätsbereich.:


                                                                                    Page:                19
     Wegen der rekursiven Definition von Rx1,, x n  reicht ein Beweis für n  1.
     r  rdr x dr    0, s  sds x ds    0  Rx   rs  rdr sds x dr ds                    
                                                                                                                       0
                                                                                           weil rd r sd s 0,
                                                                                           weil R Integrität sbereich

     Weil d r  d s  0 , ist rs R und somit definitiv nicht invertierbar, also keine Einheit.
   Representation eines multivarianten Polynoms:
     streng nach der rekursiven Definition
     mit Hilfe von Multi-Indizes
                                                                                    1      0
                                                                                            
                                                                                  0          
   Erzeugung von M  R x1,, x n  als Rx1,, x n -Modul und Basis   ,,   
                                             r


                                                                                            0
                                                                                               
                                                                                  0         1 
                                                                                            
   Definition ‘Term’: Monom; ‘ T ’: Menge aller Terme mit n Variablen; ‘Grad eines Terms’:
                                          n

    Summe der Potenzen; ‘Logarithmus’: Tupel der Potenzen; ‘Term von
    M  R x1,, x n  ’: r-dimensionales Monom; ‘ T n e1,, er ’: Menge aller r-
                           r


    dimensionalen Terme mit n Variablen
   T n ist ein kommutativer Monoid.
   Definition ‘Koeffizient eines Terms’; ‘Träger (Support) eines (mehrdimensionalen)
    Polynoms’: Menge aller Terme, die im Polynom vorkommen; ‘Grad eines
    eindimensionalen Polynoms’: Grad des größten Terms des Polynoms
   Definition           ‘Auswertungshomomorphismus             : Rx1,, x n   S ’          (:R S,
    s1,, s n  S ):  R  r  und x i   s i ; ‘Auswertung eines Polynoms f an einer Stelle
                 
    s f s  ’: f s  : f  ; ‘Ersetzungshomomorphismus’ (‘substitution homomorphism’): der
    Auswertungshomomorphismus, falls S  R ist
   universelle Eigenschaft des Polynomrings: S R-Algebra, dann existiert ein eindeutiger
    Auswerungshomomorphismus                   für  festes   s     bzw.    feste        s i -s,      nämlich
     c 0 x    c d x  : c 0 s    c d s .
             0             d            0            d


 Definition         ‘Erzeugendensystem                    einer        R-Algebra        S : s1, ’:
  s  Ss1,, st , f  Rx1,, x t  : s  f s1,, st  ; ‘endlich erzeugte R-Algebra’
            
           
             endlich viele

 Endlich erzeugte R-Algebren S sind von der Form S  Rx1,, x n /                                      I
                                                                                                                        , denn
                                                                                                 Ideal in R x1,,xn 

   : Rx1,, x n   S ist surjektiv.
 Definition        ‘Presentation                    einer             R-Algebra’:   der             Isomorphismus
  S  Rx1,, x n /      I
                          
                             Ideal in R x1,,xn 




        1.2 Unique Factorization
 Definition ‘reduzibel’: s  rr  , weder r noch r  sind Einheiten; ‘irreduzibel’: nicht
  reduzibel; ‘Faktorisierung’: r  u  r1    rs ; ‘Primelement’: r r1r2  r r1  r r2
                                       
                                    Einheit
                                             
                                             
                                                      irredzible Elemente

 In K x  ist ein Element, das keine Einheit ist (also ein ‘echtes’ Polynom und nicht nur
  eine Zahl aus dem Körper ist), Primelement genau dann, wenn es irreduzibel ist.
   Beweis:

                                                                                           Page:                            20
       ‘  ’:
         s  r1r2  s r1r2  s r1  s r2  degs   degr1   degs   degr2 
                            
                                   da prim

         außerdem: s  r1r2  deg s   deg r1   deg s   deg r2 
         insgesamt: deg s   deg r1   deg s   deg r2 
         wegen s  r1r2 : deg s   deg r1   deg r2   0  deg s   deg r2   deg r1   0
         also: r 2 Einheit oder r1 Einheit
       ‘  ’:
         s r1r2  t : ts  r1r2
           Annahme: s  r1 . Dann zu zeigen s r2 .
                       |
           Betrachte das Ideal r1, s  . Weil K x  Hauptidealring: r1, s   1 .
           also:
            a, b : ar1  bs  1  ar1r2  bsr2  r2  ats  bsr2  r2  at  br2 s  r2  s r2
 Defintion ‘faktorieller Ring’: Nicht-Einheiten haben eine eindeutige Faktorisierung.
 Jeder Körper ist trivialer Weise ein faktorieller Ring, denn es gibt keine Nicht-Einheiten.
 R ist faktoriell  r  R ist irreduzibe l  r ist prim 
   Beweis:
      ‘  ’:
         r r1r2 . Da r irreduzibel ist, lässt sich r nicht aufspalten.
           Also kann nicht ein Teil von r in r1 stecken und der andere in r 2 .
           D. h. r kann r1 oder r 2 nur als Ganzes teilen, d. h. r r1  r r2 .
       ‘  ’:
         r  a1 as  b1 bt  a1 b1 bt                       
                                                                              o. B. d. A. a1 b1
                                                         nach Vorausset zung

        Da a1 und b1 beide irreduzibel, folgt a1  b1 (bis auf Einheiten).
        also kürzen a2 as  b2  bt und induktiv fortfahren
        Ergebnis: s  t und ai  bi
 Definition ‘ggT’; ‘kgV’; ‘relativ prim/ co-prim’: ggT f1, f2   1’; ‘squarefree part von
   f  c  f11    f n n sqfree f  ’: sqfree f  : f1    fn
           
           Faktorisie rung von f

 Charakterisierung                   ‘ggT’:            ggTf1,,fm   f  f fi  g fi  g f  ;         ‘kgV’:
   kgVf1,,fm   f  fi f  fi g  f g 
 kgV f1,, fm  erzeugt das Ideal f1    fm 
 ggT f1, f2   kgV f1, f2   f1  f2
 R           Hauptidealring,             dann:      ggT f1,, fm       erzeugt          f1,, fm  ;
  ggT f1,, fm   1  g1,, g m : g1f1    g m fm  1
 Definition ‘content eines Polynoms cont f  ’: ggT der Koeffizienten; ‘primitives Polynom’:
  cont f   1
 Gauß’s Lemma: R faktorieller Ring, f , g  Rx  \ 0, dann: cont fg   cont f   cont g  und
  f , g primitv  fg primitiv 
 R faktorieller Ring, f  Rx  \ 0 , dann: f besitzt eine Faktorisierung.
 R faktorieller Ring  Rx  faktorieller Ring

                                                                                                   Page:    21
 K Körper  K x1,, x n  faktorieller Ring


       1.3 Monomial Ideals and
       Monomial Modules
 Definition ‘Monoideal’:  Ideal für Monoide; ‘Erzeugendensystem eines Monoideals’;
                            ˆ
  ‘Monomodul’; ‘Untermonomodul’; Erzeugendensystem eines Monomoduls’
 T n e1,, er ist ein T n -Monomodul mit Erzeugendensystem e1,, er  .
 Definition ‘Kürzungregel (cancellation law) für Monoide’:  1   3   2   3   1   2 ;
  ‘Links-Kürzungsregel für Monomoduln’:   s1    s 2  s1  s 2 ; ‘Rechts-Kürzungsregel
  für Monomoduln’:  1  s   2  s   1   2
  Monoid, dann:
  Jedes Monoideal in  ist endlich erzeugt.
    Jede aufsteigende Kette  1   2   von Monoidealen wird letztlich stationär.
    Jede (nicht leere) Menge von Monoidealen besitzt ein maximales bzgl. Inklusion.
  Gemeint ist: Es gibt ein Ideal in dieser Menge, das in keinem anderen enthalten ist.
   Beweis:
      1 2 : Angenommen,  1   2   wird nicht stationär. Dann gibt es immer
           i 1   i 1 \  i . Bilde Ideal aus  2 , . Dieses ist nicht endlich erzeugt.
         Widerspruch.
      2  3 : Wähle 1  Menge . Ist  1 maximal, so fertig. Sonst gibt es  2   1 .
         Fahre induktiv fort. Erhalte eine Kette aus  1   2   . Diese wird nach
         Voraussetzung letztendlich stationär, also  n   n 1   . Dann ist  n ein
         maximales Element.
      3  1:  Monoideal. Betrachte die Menge aller durch die Elemente von  endlich
         erzeugten Monoideale. Nach Voraussetzung gibt es in dieser Menge ein
                             ~             ~                                 ~
         maximales  . Es muss    sein, sonst gäbe es    \  , dass man dem
                                                        ~
         endlichen Erzeugendensystem von  hinzufügen könnte, das wieder ein
                                                                                            ~
         endliches Erzegendensystem eines weiteren Monoideals wäre, das größer als 
                                               ~
         wäre, was aber nicht geht, weil  maximal war. Widerspruch.
 Definition ‘Noetherian’:  erfüllt eben genannte Eigenschaften.
 Nn ,  ist Noetherian.
 Definition ‘monomialer Modul’: Man kann ein Erzeugendensystem finden, das nur aus
  Monomen (Elemente aus T n e1,, er ) besteht; ‘monomiales Ideal’
 Dickson’s Lemma: t 1, t 2 , Sequenz von Termen in T n . Dann sind ab hinter einem N
  alle Terme Vielfache der Terme t 1, t 2 ,, t N , Das heißt, das Monoideal t 1, t 2 , wird
  erzeugt von t1, t 2 ,, t N  . Das heißt jedes monomiale Ideal t1, t 2 ,  Rx1,, x n  ist
  endlich erzeugt.
   Beweis:
      Da Nn ,  Noetherian ist und T n via log isomorph zu Nn ,  ist, folgt die Aussage
        über das Monoideal.
      Da t1, t 2 ,  Rx1,, x n  ein monomiales Ideal ist, wird t 1, t 2 , auch durch
        t1, t 2 ,, t N  erzeugt.

                                                                           Page:              22
 Darstellung von monomialen Idealen in der Ebene (2 Variablen)/ dem Raum (3
  Variablen)
 Struktur-Theorem für monomiale Moduln: M  P r monomialer Modul, dann:
             r
    M   Ii ei mit monomialen Idealen I i . (Beweis: klar)
            i 1

    M ist endlich erzeugt.:
                                      r
       Beweis: folgt aus ‘ M   Ii ei mit monomialen Idealen I i ’ und Dickson’s Lemma
                                     i 1

        angewendet auf die I i -s
 Jede aufsteigende Kette M1  M2   von monomialen Untermoduln wird letztlich
  stationär.:
   Beweis:
      Falls M1  M 2   , wähle immer t i 1  M i 1 \ M i . Dann ist M : t 2 , t 3 ,  P r im
        Widerspruch zum Struktur-Theorem nicht endlich erzeugt.
 M  P r monomialer Modul, dann:
   Jeder Term aus M ist Vielfaches eines Terms aus dem monomialen
     Erzeugendensystem von M. (Beweis: klar)
   Unter allen monomialen Erzeugendensystemen von M gibt es genau ein minimales.:
      Beweis: Streiche aus einem Erzeugendensystem alle Vielfachen der Erzeuger.


       1.4 Term Orderings
 Definition ‘Relation’; ‘vollständige Relation’: Es gibt keine nicht vergleichbaren
  Elemente.
 Definition ‘Monoid-Ordnung’ (  Monoid):
   1  1 (reflexiv)
   1   2   2  1  1   2 (antisymmetrisch)
   1   2   2   3  1   3 (transitiv)
   1   2  1   3   2   3
 Definition ‘Term-Ordnung’ (  Monoid):
   Monoid-Ordnung
     1  
 Gilt die Kürzungsregel in  , dann:
   1   2  1   3   2   3 :
       Beweis: Annahme:  1   2   1   3   2   3                
                                                                                             1   3   2   3
                                                             Kürzungsregel schließt '' aus

    ist unendlich.
      Beweis: Es gilt   1 xor   1, also    2    1 xor    2    1 .)
    n  1    1:
      Beweis: Folgt mit Induktion aus   1 xor   1.
 Monoid-/ Term-Ordnungen zwischen T n und Nn entsprechen sich wegen log.
 Definition ‘Term-Ordnung Lex’: t1 Lex t 2 : erster Nicht-Null-Eintrag des Vektors
  logt1   logt 2    ist      positiv         oder          t1  t 2 ;      ‘Term-Ordnung     DegLex’:
  t1 DegLex t 2 : deg t1   deg t 2   deg t1   deg t 2   t1 Lex t 2 ;         ‘Term-Ordnung


                                                                                              Page:                  23
   DegRevLex’: t1 DegRevLex t 2 : deg t1   deg t 2  oder deg t1   deg t 2  und der letzte
  Nicht-Null-Eintrag des Vektors logt1   logt 2  ist negativ oder t1  t 2 .
 Definition ‘grad-kompatible Monoid-Ordnung auf T n ’: t1  t 2  deg t1   deg t 2 
 Defintion             ‘Eliminiation-Ordnung                     für             L : x1,, x j  ’:
   t1 ElimL  t 2 : 1     j  1     j  1     j  1     j  t1 DegRevLex t 2
 Definition ‘durch eine Matrix representierte Ordnung’: Zeilen linear unabhängig,
  t1  OrdV  t 2 : der erste Nicht-Null-Eintrag von V  log t1  log t 2  ist positiv
 Ord V  ist eine Term-Ordnung.  Der erste Nicht-Null-Eintrag jeder Spalte von V ist
  positiv.:
                                                                    0
                                                                     
                                                                    
                                                                    0
                                                                    
   Beweis: alle t  1  alle x i  1  V   log x i  log1  V   1   v i           ~
                                                                                          
                                                                                                        0
                                                       
                                                                     
                                                         0                   erster Nicht -0 -Eintrag
                                                                    0
                                                                    
                                                                     
                                                                    0
                                        1    1 
          1 0  0                                            
                                       0 0  0  1
         0                                                 
 VLex                ; VDegRevLex       0 
                  0
                                       0    
          0  0 1
                                                             
                                        0  1 0  0 
  Monoid-Ordnung auf T n ,  i Einschränkung von  auf Ti n 1 : x1,, xi 1, xi 1,, xn  ,
  dann:
    i ist eine Monoid-Ordnung.
    Term-Ordnung   i Term-Ordnung
   V i erhält man, indem man aus V die i-te Spalte streicht und dann die erste Zeile,
    die linear abhängig mit den Zeilen über ihr ist, ebenfalls streicht.
 Jede Monoid-Ordnung auf Nn hat eine eindeutige Erweiterung zu einer Monoid-
  Ordnung auf Z n .:
   Beweisidee: Zerpalte z in z  n1  n2 und definiere z   0 : n1   n 2
 t1  OrdV  t 2  V  log t1  log t 2  Lex 0
 Definition ‘Modul-Ordnung’ ( , Monoid, ,  -Monomodul):
   s1  s1 (reflexiv)
   s1  s2  s2  s1  s1  s2 (antisymmetrisch)
   s1  s2  s2  s3  s1  s3 (transitiv)
   s1  s 2    s1    s 2
 Definition ‘Modul-Term-Ordnung’ ( , Monoid, ,  -Monomodul):
   Modul-Ordnung
     s  s  , s  
  Tn         und       T n e1 ,, e r ,          dann   ist   die   Modul-Term-Ordnung-Bedingung
   ‘   s  s  , s   ’ äquivalent zu tei  ei t  T        n



                                                                                    Page:              24
 Definition ‘Modul-Term-Ordnung TOPos’                            (TO     ist    Term-Ordnung          auf    T n ):
  t1ei  TOPos t 2e j : t1  TO t 2  t1  t 2  i  j
 Definition ‘Modul-Term-Ordnung PosTO’                            (TO     ist    Term-Ordnung          auf    T n ):
  t1ei PosTO t 2e j : i  j  i  j  t1  TO t 2
 Definition ‘zu einer Monoid-Ordnung                                   kompatible      Modul-Ordnung            ’:
  1   2  1  s    2  s
 Jede nicht-leere Untermenge von  hat ein minimales Element.  Jede absteigende
  Kette s1  s2   in  wird letztendlich stationär.
 Definition ‘Wohl-Ordnung’: Die eben genannten Bedingungen gelten.
 Wenn die Links-Kürzungsregel in  gilt, ist jede Wohl-Ordnung eine Modul-Term-
  Ordnung.
 fundamentale Eigenschaft von Term-Ordnungen:  Modul-Ordnung auf T n e1,,er .
  Dann:  ist eine Modul-Term-Ordnung   ist ein eine Wohl-Ordnung.


       1.5 Leading Terms
                                      s
 Definition ‘Leitterm LT’ ( m     c t e  i i   i   ): t1e 1 ; ‘Leitkoeffizient LC’: c 1 ; ‘monic’: LC m   1 ;
                                     i 1

  ‘Leitmonom LM’: LMm   LCm   LT m 
 Regeln fürs Rechnen mit Leittermen:
   Supp m1  m2   Supp m1   Supp m2  ; LT m1  m2   max LT m1 ,LT m2 
   LT m1  m2   max  m1 ,LT m2  , falls LT m1   LT m2   LCm1   LCm2   0
                           LT
   LT tm  t  LT m 
   R Integritätsbereich, dann: t  Supp f  , für den t  LT m  maximal ist                                  
     LT fm  t  LT m 
   R Integritätsbereich,  kompatibel zu  , dann: LT fm   LT f   LT m 
 Definition ‘Leitterm-Modul eines Moduls LT M  ’: LTM   LTm m  M \ 0 ; ‘Leitterm-
                                                                 
   Ideal’; ‘Leitterm-Monomodul LTM’: LTM :  m m  M \ 0 (ist Monomodul)
                                                LT
 M  m1,, ms   LTm1 ,,LTms   LTM  :
 Beispiel                                  für                                    LTm1 ,,LTms   LTM  :
                                    
   M : x 2  1 xy  1  y x 2  1  x xy  1  x  y  M  x  LTM , aber x  x 2 , xy
               ,
 tei  LT M   m  M : tei  LT m 
                                                                                            
   Beweis: tei  LTM   tei  LTM  t  T n , m  M : tei  t   LTm  LT t m 
                                                                                     
                                                                                      :mM 
 m1,, ms  M : LTM   LTm1 ,,LTms  :
    Beweis:
      LT M  ist monomialer Modul.
      Nach Dickson’s Lemma gibt es ein endliches Erzeugendensystem t 1ei1 ,, t s ei s 
        für LT M  .
       Laut ‘ t j ei j  LTM   m j  M : t j ei j  LTm j ’ gibt es die gesuchten m j -s.


                                                                                          Page:                 25
 Macaulay’s Basis Theorem: B : T n e1,,er \ LTM ist eine Basis des K-Vektorraums
  Pr / M .
   Lex  f  P,LTσ f   Rxi ,, xn   f  Rxi ,, xn 
   RevLex  f  P,LT f   x i ,, x n   f  x i ,, x n 
   DegRevLex  f  P und homogen ,LT f   xi ,, xn   f  xi ,, xn 


       1.6      The                   Division
       Algorithm
 Divisionsalgorithmus bei mehreren Variablen
 Das Ergebnis hängt von der Term-Ordnung und der Reihenfolge der g i ab.
 Rückgabe des Algorithmus’s: m  q 1g 1    q s g s  p mit den Eigenschaften:
   Kein Element in Supp p  ist enthalten in LTg1 ,, LTg s  .
   LT q i g i   LT m 
   t  Supp q i  , dann t  LTgi   LTg1 ,,LTgi 1 
 Mit dem Divisionalgorithmus ist es nicht immer möglich zu entscheiden, ob
  m  g1,, g s .
 Es lässt sich lediglich ein Element der Restklasse von m modulo g1,, g s berechnen
  (dieses könnte z. B. in der Restklasse von 0 liegen, ohne dass man es ihm ansieht).
 Außerdem lassen sich nicht mit jedem Satz g 1,, g s die Elemente in P r / g1,, g s  als
  Linearkombination von Termen aus T n \ LT g1 ,LT g s  ausdrücken, wie es laut
  Macaulay’s Basis Theorem möglich ist (mit günstigen g 1,, g s ).
 Definition ‘normaler Rest NR ,G m  ’: das p aus m  q 1g 1    q s g s  p


       1.7 Gradings
 Definition ‘  -graduierter Ring R’:
   R   R
           

   R   R   R   ,   
 Definition ‘homogenes Element r vom Grad  ’: r liegt in R  ; ‘deg’: deg r    ;
  ‘homogene Komponente r vom Grad  von r’: r   r
                                                                

 Die Dekomposition von r in seine homogenen Komponenten r ist eindeutig. (Wegen
  der direkten Summe in R   R .)
                                      

 Die Kürzungsregel gilt in  , dann:
   R0 ist Unterring von R.
   Jedes R  ist R0 -Modul.
 Definition          ‘Standard-Graduierung         für       den        Polynomring’:
  Pd :   P degt   dt  Suppf ; ‘homogenes Polynom vom Grad d’: Elemente aus
         f
                                                                                   
   Pd ; Definition ‘ Nn -Graduierung für den Polynomring’: P1,, n  : Rx1 1  xn n

                                                                              Page:       26
 Definition ‘  -graduierter R-Modul M’:
   M   Ms
               s

     R   M s  M  s
 Die Kürzungsregel gilt in  , dann: jedes M s ist R0 -Modul
 Definition ‘Gradverschiebung’ M  s : M  s ; ‘ M   ': M   :  M  s ; ‘  -graduiert-freier
                                                                                  s

                      R 1  
                              
    R-Modul F’: F :                                  R  i 
                                      i I :  1,, r 
                      R  
                          r 

 Definition         ‘Homomorphismus                           ,   ’: R    S      ;
                                                       -graduierter      Ringe
    ‘Homomorphismus  -graduierter R-Moduln  : M  N ’: M s   N s s  
   Definition ‘  -graduierter R-Untermodul N von M’: N   N  M s  ; ‘  -homogenes Ideal
                                                           s

    I von R’: I   I  R  
                     

 N ein  -graduierter R-Untermodul von M, M / N s : M s / N s , dann: M / N ein  -
  graduierter R-Modul
 N ein  -graduierter R-Untermodul von M, N s : N  M s , dann:
    N :  N s
         s

                                                                                          
      n   ns (Zerlegungin homogene Komponenten von n in M, nicht in N )  ns  Ns   
         
       N s                                                                            
              M                                                                          
      Erzeugendensystem von N, das nur aus homogenenElementen besteht.

     Beweis:
       1 2 : Die Zerlegung von n in M ist dieselbe wie in N.
       2  3 : Zerlege alle Erzeuger eines beliebigen Erzeugendensystems in ihre
        homogenen Komponenten. Diese liegen nach Voraussetzung in N und bilden alle
        zusammen das gesuchte homogene Erzeugendensystem.
       3  1: n   r n Darstellung von n in der Basis mit Faktoren r  aus R (z. B. dem
          Polynomring). Zerlege die r  -s in homogene Komponenten r, , bilde r, n  N s
          für ein s und sortiere die verschiedenen r, n  nach den s.
 Rechts-Kürzungsregel gilt in  , N ein  -graduierter R-Untermodul von M, n   B 
    homogenes Erzeugendensystem von N, dann: Jedes Element n  N s hat eine
    eindeutige Darstellung n   r n                           mit homogenen Elementen r   R , so dass
                                           B

    deg r    deg n    s  B .
 I homogenes, echtes Ideal von R, dann:
  I ist Primideal ( h  fg  I; f , g  R  f  P  g  P ).
    h  fg  I; f , g  R homogen  f  P  g  P
 R  :  R  ist ein homogenes Ideal von R.
            0

 graduierte Version von Nakayama’s Lemma: M 1  M 2  M 1  R   M 2  M 1  M 2 :
   Beweis:
      nur noch zu zeigen: M 2  M1

                                                                                        Page:         27
       Angenommen, nicht, dann gibt es ein homogenes m  M 2 \ M1 mit minimalem
        Grad.
                                                            t
       wegen M 2  M1  R  M 2 : m  m    fi g i .
                                        
                                        M    i 1
                                                    
                                                    1           R M 2

       Wegen deg fi   0 und deg m   deg fi   deg g i  ist deg g i   deg m . Nach Wahl
        von m sind also g i  M1 .
                           t
       Also m  m   fi g i  M1 und nicht m  M 2 \ M1 . Widerspruch.
                 
                 M1
                            
                      i 1 R M
                           1
                             

                               M1

   m1,, ms  ( m i -s homogene Elemente) erzeugt M.                      m1,, m s  erzeugt M / R   M .:
     Beweis:
       ‘  ’: klar
       ‘  ’:
         Sei N : m1,, ms   M .
        nach Voraussetzung N  M / R  M  N  R  M  M  N  R  M  M
        mit Nakayama’s Lemma N  M
 R 0 Körper, dann: Jedes homogene Erzeugendensystem von M enthält ein minimales.:
   Beweis:
      Sei M  m1,, ms  . Gehe über zu M  M / R   M . Dann: M  m1,, m s  .
       Da R 0  R / R  ein Körper ist und M  M / R   M ein R 0 -Modul ist, ist M sogar ein
        Vektorraum.
       Vektorräume besitzen minimale Erzeugendensysteme, nämlich Basen. Streiche
        also m1,, ms  zu einer Basis zusammen, o. B. d. A. m1,, mr  mit r  s .
       dann: M  m1,, mr 


        2.1 Special Generation
 spezielle Erzeugung von Untermoduln: M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s  P r \ 0
  ( g 1,, g s  sind ein spezielles Erzeugendensystem von M, wenn die Bedingungen
  erfüllt sind), dann:
                                              s
    A 1 : m  M \ 0f1,, fs  P : m   fi g i  LTm   LTfi g i 
                                             i 1
                                                        s
     A 2 : m  M \ 0f1,, fs  P : m   fi g i  LTm   maxLTfi g i 
                                                    i 1

   Beweis: klar
 Erzeugung von Leitterm-Moduln: M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s  P r \ 0 , dann:
  B1 : LTg1 ,,LTg s  erzeugt LTM.
    B 2 : LTg1 ,,LTg s  erzeugt LTM .
   Beweis: klar
 M P-Untermodul von P r , g 1 ,, g s  P r \ 0 , dann: A 1  A 2  B 1  B 2
   Beweis:
     A2  B1 : Für alle m ist LT m   max LT fi g i   LT m   LT f j g j   LT f j   LT g j 

                                                                                          Page:              28
       für ein j und somit LT m   LT g 1 ,,LT g s 
      B1  A1 :
        Angenommen, es gibt m-s, die nicht dargestellt werden können. Wähle ein
          kleinstes.
        Sei LT m   t  LT g j  . Wegen der Wahl von m hat m   m  tg j eine
          Darstellung.
         Dann aber auch m  m   tg j . Widerspruch.


      2.2 Rewrite Rules
 Definition ‘ m1 reduziert sich auf m 2 in einem Schritt mit der Ersetzungsregel g i
       gi
  ( m1  m2 ): m2  m1  ctg i  t  LT g i   Supp m2  ; ‘ m1  m 2 ’: m1 reduziert sich auf m 2
                                                                 G


                                                                     G
  in mehreren Schritten beliebigen g i -s; ‘irreduzibel bzgl.  ’: nicht mehr reduzierbar
 Eigenschaften von Ersetzungs-Relationen:  Term-Ordnung
            G            G
   m1  m 2  m 2  m1  m1  m 2
     Beweis: klar
            G                G
   m1  m 2  tm1  tm2
     Beweis: klar
            G    G
   m1  m 2   wird letztendlich stationär
     Beweis: Durch das Reduzieren wird jeweils ein Term durch zwar u. U. mehrere
      andere, aber echt kleinere ersetzt.
            gi                                               G           G
   m1  m 2 , m 3 beliebig  m 4 : m1  m 3  m 4  m 2  m 3  m 4
     Beweisidee: m4 :      m1
                                    m3  c  c t LTg i   m2  m3  c t LTg i 
                                 m2 ct LT g i 
            G            G                           G
   m1  m 2  m 3  m 4  m1  m 3  m 2  m 4 :
     Beweis: klar
            G                G
   m1  m 2  fm1  fm2 :
                                        G                G
      Beweis: folgt aus ‘ m1  m 2  tm1  tm2 ’
            G
   m  0  m  g 1 , , g s :
                     G
      Beweis: m  0  m   fi g i  0  m   fi g i  m  g 1,, g s
            G
   m1  m 2  m1  m 2  g 1 ,  , g s
                                        G
      Beweis: Folgt aus ‘ m  0  m  g 1,, g s ’.
 M : g 1,, g s P-Untermodul von P r , dann:




                                                                               Page:             29
            G
   C1 : m  0  m  M
                                                             G
    C 2 : m  M irreduzibel bzgl.   m  0
                                                                  G                                       G
    C 3 : m1  P r  1m2  P r : m1  m2  m2 irreduzibel bzgl. 
                    G                  G                                      G          G
     C 4 : m1  m2  m1  m3  m 4 : m2  m 4  m3  m 4
    Beweis:
                                            G
       1 2 : m  M m  0  m  0 , weil m irreduzibel ist.
                     
                               C1

       23:                                                                        Annahme:
                G                  G
                         ~           ~                              ~               ~
          m1  m2  m1  m 2  m 2  m 2  M und irreduzibe lm 2  m 2  0  m 2  m 2
                                                             
                                                                                                     C2

       3  4:
                                                         G                    G              G                G
                                                                           
          m 2 , m3 irreduzibe l : m 2  m 2  m3  m3  m1  m 2  m1  m3 m2  m3 : m 4
                                                                                                                      C3

     4  1: siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
 Definition ‘confluent’: C 4 ist erfüllt.
      G
 m 0 , dann:
   LT m   t  LT g   für ein g   g 1,, g s :
      Beweis: Weil LT m  in irgendeinem Reduktionsschritt verschwinden muss.
                  LC m             s
    f i  : m            tg    f i g i  LT m   LT f i g i i
                  LC g          i 1

      Beweis: Sammle die ct -s zu jedem g i aus den Reduktionsschritten.
                        s
    f i : m   f i g i  LT m   max LT f i g i 
                    i 1
                                                 s
                                                                      LC m 
       Beweis: wegen ‘ m   f i g i                                         tg  ’
                                                i 1                  LC g  
 M : g 1,, g s                               P-Untermodul                                 von                      Pr ,              dann:
   A 1  A 2  B 1  B 2  C1  C 2  C 3  C 4
    Beweis:
      A 2  C2 :
        Angenommen, es gibt m  0 irreduzibel.
                             
                                                             M
                                                     s
           nach            A2 :           m   fi g i  LT m   max LT fi g i  .                  Sei     t        der   Term     mit
                                                  i 1

            LT m   max LT fi g i   t  LT g i 
           Dies bedeutet aber, dass sich m mit g i reduzieren lässt. Widerspruch.
                                                                                                 s
       C1  A 2 : bereits gezeigt in ‘ m  0  f i : m   f i g i  LT m   max LT f i g i  ’
                                                                          G


                                                                                             i 1




        2.3 Syzygies

                                                                                                                  Page:                  30
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 Definition ‘Syzygie von                                                 G : g 1,, g s  ’ ( g i  M ):                           f1,, f s  :  f i g i   0    ( f i  R );
                                                                                                                                                     i 1

    ‘Syzygien-Modul von G SyzG  ’: Menge aller Syzygien von G
     Ps M
 :         , dann: SyzG   ker  
     i  gi
                                                                                       f1       f2
 Definition ‘exakte Sequenz’: M 1  M 2  M 3 mit imf1   ker f 2 
 0 M Pr Pr /M 0                                                                        ergibt              nach                      Einbau                 von            
                                               
    0  SyzG   P s  P r  P r / M  0
                                                                                  Ps N
 N : LMg 1 ,, LMg s  ,  :                                                                  , dann: SyzLMG   ker  
                                                                           i  LMg i 
                                                             
 0  SyzLMG   P s  P r  P r / M  0
              s                                      
   P 
       s
       tei :  c j t j  j  P s t j LTg j   tei  , dann:
               j 1                                  
     P wird zu einem T e1,, er -graduierten Modul über dem T n -graduierten Ring P,
        s                        n


       denn P s 
                                 te i T   n
                                               
                                               e1 ,,er
                                                             P     s
                                                                          te i


                 ist           ein           Homomorphismus                                        T n e1,, er -graduierter                        P-Moduln          (d.     h.
        Ps     P 
                       tei
                                           r
                                               tei   )
                                                                     
     0  SyzLMG   P s  P r  P r / M  0                                                                     besteht                 aus             Homomorphismen
      T n e1,, er -graduierter Moduln.
 Definition ‘  -Grad von m deg  m  ’ ( m                                                                 m        te i       Dekomposition von m in seine
                                                                                                        te i T n e1 ,,er

    homogenen Komponenten):                                                            deg  m  : max tei ;                ‘  -Leitform             von    m     LF m  ’:
    LF m  : m deg  m 
                                                                                    s                                      
 Definition ‘ deg ,G m  ’ ( P s                                    tei     :  c j t j  j  P s t j LTg j   tei  , s. o.); ‘ LF,G m  ’
                                                                                     j 1                                  
             s
 m        f 
            j 1
                   j     j   , dann:

     deg ,G m   max  f j g j 
                          LT
                                  s
     LF,G m      f  ,               j   j                                                                                                                          wobei
                                  j 1

              0, falls LTf g   deg m      j    j                           ,G
              
       fj     c t , falls LTf g   deg m   LMf g   c t LMg                 ,G
                
        LM f 
                         j   j                           j
                                                                j                                         j    j           j   j           j

        ˆ j                                                                                                             LM f j 
                                                                                                                         ˆ

 fundamentales Diagramm:
                                                                                       
    0                  SyzG                                       Ps  Pr    Pr /M                                              0
                                                                      LF   LM
                                                                                       
    0  SyzLMG                                                  Ps                      Pr        Pr /N                       0

                                                                                                                                                    Page:                     31
 bzgl. der Kommutativität des Diagramms:
   m  P s \ SyzG  , dann:
     LT m   deg ,G m 
        LF m   SyzLMG   LT m   deg ,G m 
        LF m   LMm   LT m   deg ,G m 
   m  SyzG  , dann: LFm   SyzLMG  und LF Syz G  : SyzG  SyzLMG
   Beweis: klar (siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture
    Notes’)
 Syzygien   von     Elementen     von  monomialen    Modulen:    LMg j   c j t j e j ,
             kgVt i , t j             tj
   t ij :                     
                                   ggTt i , t j 
                                                     :
                   ti

                                                                          t ji  j eine Syzygie von LMG  und homogen
                                                         1             1
   Für i  j   i   j ist  ij :                       t ij  i 
                                                         ci            cj
       vom  -Grad deg ,G  ij   kgV t i , t j e  i
   SyzLMG    ij 1  i  j  s   i   j , also endlich erzeugt und ein T n e1,, er -
      graduierter Untermodul von P s
  i   j 1  i  j  s  Nur 0,,0 ist Syzygie.
   Beweis: klar
 Definition ‘Liftung m  P s eines Elements m  P s ’: LFm   m
 D-Bedingungen:
  D 1 : Jedes homogene Element aus SyzLMG  hat eine Liftung in SyzG  .
   D 2 : Es gibt ein homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG  , das nur aus
  Elementen besteht, die Liftungen in SyzG  haben.
   D 3 : Es gibt ein endliches, homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG  , das nur
  aus Elementen besteht, die Liftungen in SyzG  haben.
   Beweis:
      1 3:
              Nach                ‘ SyzLMG    ij 1  i  j  s   i   j ’    gibt    es    ein   endliches
           Erzeugendensystem von SyzLMG  .
         Nach Voraussetzung ( D1 ) haben diese Erzeuger Liftungen in SyzG  .
      3  2 : trivial
      2  1:
         Stelle das homogene Element aus SyzLMG  als Linearkombination der nach
           D 2 existierenden Erzeuger dar.
         Ersetze in der Linearkombination die Erzeuger durch ihre Liftungen in SyzG  .
         Dies ist die gesuchte Liftung des homogenen Elements.
 m1,, m t  homogenes Erzeugendensystem von SyzLMG  und m1,, m t  SyzG 
  die Liftungen (d. h. LFm i   m i ), dann: m1,, m t  Erzeugendensystem von SyzG 
   Beweis:
     Angenommen, es gibt m-s in SyzG  , die nicht als Linearkombination der mi -s
      dargestellt werden können. Wähle ein kleinstes m.

                                                                                               Page:             32
       Weil m1,, m t  SyzLMG  erzeugt und LF m   SyzLMG  , besitzt LFm  eine
         Darstellung LFm  c j t j mi j .
       Dann ist m : m   c j t j mi j      kleiner als m und kann somit mit               m1,, m t 
        dargestellt werden.
       Dann aber auch m : m  c j t j mi j . Widerspruch.
 M : g 1,, g s                  P-Untermodul                  von                  Pr ,         dann:
   A 1  A 2  B 1  B 2  C1  C 2  C 3  C 4  D1  D 2  D 3
    Beweis:
      A 2  D1 : siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
      D1  A 2 : siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’


       2.4 Gröbner Bases of
       Ideals and Modules
 Charakterisierung von Gröbner-Basen: M : g 1,, g s                 P-Untermodul von P r , dann:
   A 1  A 2  B 1  B 2  C1  C 2  C 3  C 4  D1  D 2  D 3
 Definition ‘  -Gröbner-Basis g 1,, g s  ’: g 1,, g s  erfüllt A 1 , , D 3

2.4.1 Existenz von Gröbner-Basen
 g1,, g s  M  LTM   LTg1 ,,LTg s   M  g1,, g s  g1,, g s  ist  -Gröbner-
            
             wichtig!

   Basis.
    Beweis:
      Annahme: Es gibt m  M \ g1,, g s . Wähle ein minimales aus.
       Dann ist wegen LTM   LTg1 ,,LTg s  LMm   ct LT g i 
     Nach Wahl von m ist m : m  ctgi  g1,, g s .
     Dann aber auch m  m  ctg i . Widerspruch.
 Es gibt immer eine  -Gröbner-Basis.
   Beweis:     Folgt     aus     eben     Gezeigtem                   und      Proposition       1.5.6.b
    ( m1,, ms  M : LTM   LTm1 ,,LTms  ).
 Definition ‘Noetherian Ring/ Modul’. Jede aufsteigende Kette von Idealen/ Untermoduln
  wird letztendlich stationär.
 R Ring, M R-Modul, dann:
  Jeder Untermodul in M ist endlich erzeugt.
   Jede aufsteigende Kette N1  N 2   von Untermoduln wird letztlich stationär.
   Jede (nicht leere) Menge von Untermoduln besitzt ein maximales bzgl. Inklusion.
 Hilbert’s Basis Theorem:
   Buch-Variante: Jeder endlich erzeugte Modul M über einer endlich erzeugten K-
     Algebra ist Noetherian. Insbesondere ist K x1,, xn  ein Noetherian Ring.
      Beweisidee:
         Zeige: Jeder Untermodul M  von M ist endlich erzeugt.
         K  P / I , M  P r / U (siehe Definition ‘Presentation einer R-Algebra’)


                                                                                  Page:              33
         Damit sind Untermodule M  von M isomorph zu N / U , wobei N ein Untermodul
          von P r ist.
         Wenn nun N und U endlich erzeugt sind, so ist es auch M  .
         Da N und U Untermodule von P r sind, besitzen sie eine Gröbner-Basis, welche
          endlich ist.

2.4.2 Normalformen
 bisher: Kein eindeutiger Representant für eine Restklasse in P r / M konnte gefunden
  werden.
              G                                      G
 m  P r , m  mG , mG irreduzibe l bzgl.   mG ist eindeutiger Representant für m und ist
  unabhängig von der gewählten Gröbner-Basis:
   Beweis:
                                                         H                    H
       Sei H eine weitere Gröbner-Basis und m  mH , mH irreduzibel bzgl.  .
       Dann ist mG  mH  M ebenfalls irreduzibel und nach Bedingung C 2 mG  mH  0 .
       also mG  mH
 Definition ‘Normalform von m NF,M m  ’: NF,M m  : mG
 G : g 1,, g s  , dann:
   NF,M m   NR ,G m 
   NF,M m1  m 2   NF,M m1   NF,M m 2 
   NF,M NF,M m   NF,M m 
 Untermodul Mitgliedsschafts Test: M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:
     m1  m2  NF m1   NF m2 
     m1  M  m1  0  NF m1   0
     N  M  NFM hi   0i
     N  M  NFM hi   0i  NFN g j   0j
   N  M  LTM  LTN  M  N :
      Beweis:
         Wegen N  M gilt LTM  LTN automatisch und somit LTM  LTN.
         Sei m  M . Wegen LTM  LTN ist NFN m   NFM m  .
         Da m  M ist NFM m   0 , also NFN m   0 , also m N , also M  N , also
           M  N.
 neue Version von Macaulay’s Basis Theorem: G Gröbner-Basis von M, dann:
  B : T n e1,, e r \ LT g 1 ,, LT g s  ist eine Basis des K-Vektorraums P r / M .
                                   
                      als Monomodul LT M  aufgefasst



2.4.3 Reduced Gröbner-Basis
 Zu einer Gröbner-Basis können beliebige Elemente hinzugefügt werden und es bleibt
  eine Gröbner-Basis.
 Definition ‘reduzierte  -Gröbner-Basis’:
   LC g i   1i
   LT g1 ,,LT g s  ist ein minimales Erzeugendensystem von LT M  .
   Supp g i  LT g i   LTM   
 Existenz und Eindeutigkeit von reduzierten Gröbner-Basen: Es gibt immer eine
                                                                      Page:             34
   eindeutige reduzierte  -Gröbner-Basis.:
    vorhandene Gröbner-Basis g 1,, g s  in eine reduzierte verwandeln:
      1. g i -s normieren
      2. g 1,, g t  g 1,, g s  bestimmen, so dass LT g 1 ,,LT g t  ein minimales
         Erzeugendensystem von LT M  ist.
      3. Nun: g i  LT g i   hi . Ersetze h i durch NF hi  , also g i : LT g i   NF hi  .
 Definiton ‘M definiert über k’ (k Unterkörper von K): Es gibt Elemente aus k x1,, x n  ,
                                                                                                                    r


  die M erzeugen.; ‘Definitionskörper von M k’: M ist definiert über k und es gibt keinen
  echten Unterkörper k   k , über dem M definiert ist.
 K Körperweiterung von K  , M P  -Untermodul von P  , M P-Untermodul von P r von
                                                            r


  den Elementen aus M erzeugt, dann:
   Jede Gröbner-Basis von M ist auch eine von M.
   Die reduzierte Gröbner-Basis von M ist auch die von M.
 Existenz und Eindeutigkeit des Definitionskörpers:
   Es gibt einen eindeutigen Definitionskörper von M.
   Der Definitionskörper von M ist der Körper erzeugt über dem Primkörper von K durch
     die Koeffizienten der Terme in den Supports der Vektoren der reduzierten Gröbner-
     Basis.


        2.5                    Buchberger’s
        Algorithm
                                                                              
 Definition ‘Menge der kritischen Paare B’: B : i , j 1  i  j  s,  i   j                      ‘S-Vektor/ S-

   Polynom von g i und g j ’: S ij :   ij  
                                                              1            1
                                                                 t ij g i  t ji g j
                                                              ci           cj
 S ij  M :
                                                                                       G
    Beweis: Folgt, weil G eine Gröbner-Basis ist und S ij  0 , aus Bedingung C 1 .

 Sij  0 , dann:  ij hat eine Liftung in SyzG  :
       G



   Beweis: siehe ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’
 Buchberger’s Kriterium: G ist eine Gröbner-Basis von M.  NR G Sij   0i , j   B :
    Beweis:
      ‘  ’:
            Gilt, weil S ij    ij  
                                             1            1
                                                t ij g i  t ji g j  M und G Gröbner-Basis ist.
                                             ci           cj
       ‘  ’:
            NR G S ij   0  S ij  0                                      ij hat eine Liftung in SyzG   G ist
                                       G
                                                         
                                                                                                             
                                             siehe Propositio n von gerade                                    D3

        Gröbner-Basis
 Buchberger’s Algirithmus: LMg i   c i t i e i , dann:
                       
   1. s : s , B : i , j 1  i  j  s,  i   j     
   2. Falls B    , ist G eine Gröbner-Basis. Ansonsten wähle ein i , j   B und lösche es
      aus B.
                                                                                               Page:               35
    3. Berechne S ij und NR G Sij  . Falls NR G Sij   0 , gehe zu 2.
  4. s : s  1, g s  : NR G Sij  , G : G  g s   , B : B   i, s1  i  s,  i   s   und gehe
                                                                        
     zu 2.
 Erste Optimierungen von Buchberger’s Algorithmus:
     Statt NR G Sij  zu berechnen reicht es ein Element m zu berechnen mit Sij  m und
                                                                                                         G



       LT m   LT g1 ,,LT g s   .
     B  B , so dass ij i, j   B SyzLMG  erzeugt, dann reicht es in Schritt 1 mit B
      anzufangen.
     ‘normale Auswahl-Strategie’: Wähle in Schritt 2 das i, j  , so dass kgV t i , t j  bzgl. 
       möglichst klein ist. Oder vereinfacht: Wähle in Schritt 2 das i, j  , so dass kgV t i , t j 
    einen möglichst kleinen Grad hat.
 Definition ‘triviale Syzygie von f , g  P ’:  g, f 
 Falls wir im 1-dimensionalen sind, also die g i -s einfache Polynome sind, und
  ggT t i , t j   1, so hat  ij eine Liftung in SyzG  . M. a. W.: Wenn ggT t i , t j   1, so kann
    die trviale Syzygie von LMg i ,LMg j  zu der trivialen Syzygie von                      f , g    geliftet
  werden.
 Falls wir im 1-dimensionalen sind und die LT g i  -s paarweise co-prim sind, dann ist G
  Gröbner-Basis.
 der erweiterte Buchberger Algorthmus: LMg i   c i t i e i , dann:
                                                             
    1. s : s , A  I (Einheitsmatrix) , B : i , j 1  i  j  s,  i   j       
    2. Falls B    , ist G eine Gröbner-Basis. Ansonsten wähle ein i , j   B und lösche es
       aus B.
    3. Berechne mit dem Divisionsalgorithmus eine Darstellung Sij  q1g1    qs g s   p .
       (Dann ist p  NR G Sij  .) Falls NR G Sij   0 , gehe zu 2.
    4. s : s  1, g s  : NR G Sij  , G : G  g s   , B : B   i, s1  i  s,  i   s  , hänge
                                                                          
                         1        1                         
       den Spaltenvektor  t ij ai  t ji a j  q1a1    qs as   an A an und gehe zu 2.
                         c         cj                              
                            
                         i                                   
                                          Dies ist ein Spaltenvek tor der Länge s .

 Der erweiterte Buchberger Algorithmus erzeugt eine Matrix A mit G  GA .


        2.6                               Hilbert’s
        Nullstellensatz
 Definition ‘affine K-Algebra’: endlich erzeugte K-Algebra
 Definition ‘Menge der Nullstellen eines Ideals I : f1,fs   P  K x1,, xn  Z I  ’:
            
    Z I  : a1,, an   K n f a1,, an   0f  I             
                             f1a1,, an   0
   a1,, an   Z I                             :
                             fs a1,, an   0
     Beweis: klar

                                                                                          Page:                 36
 Definition ‘treuflach’: 0  I  P  0 exakt  0  I  P  0 exakt
 Hilbert’s Nullstellensatz (schwache Version): Z I      I  P bzw.  1 I
   Hier wird oft nur Z I      I  P bewiesen.
   I P                            
                                                             I P
                  weil K x1,,xn \ K x1,,xn  treuflach

 Hilbert’s Nullstellensatz (körpertheoretische Version):
   m maximales Ideal  m  K xi   0
   Die K-Algebra P / m ist ein algebraischer Erweiterungskörper von K von endlichem
     Grad.
 Definition               ‘Verschwindungsideal            I S           ( S  K n ):
   f  K x ,, x f a ,,a   0a ,,a   S
                  1          n        1         n                 1       n

 Maximale Ideale von P haben die Form x1  a1,, x n  an  , wobei a1,, an   K n .
 Das Verschwindungsideal ist ein Ideal.
   Beweis: klar
 Verschiede Ideale können dieselbe Nullstellenmenge haben.
                                                              
 Definition ‘Radikal von I I ’: f  R f i  I für ein i  1 ; ‘Radikalideal’: I  I     
 Z I   Z I :   
                                                                     
   Beweis: a  Z I   f a   0f  I  f i a   0f  I, i  1  a  Z I                         
 Hilbert’s Nullstellensatz (starke Version):
   I Z I   I
                                                                              Z
                                             
 Es gibt die Bijektion Radikalideale von P Nullstellenmengen in K n .                                    
                                             
                                                                              I




        3.1   Computation                                               of
        Syzygies Modules
 Definition                 ‘durch                 ,G             induzierte       Ordnung   auf        T n 1,, s                ’:
   t i  t  j : t LT g i    t  LT g j   t LT g i    t  LT g j   i  j
  ist eine Term-Ordnung.
  :  ij i, j   B ist eine  -Gröbner-Basis von SyzLMG  .
        
 G  -Gröbner-Basis von M, dann:
    ij  SyzG  , d. h.   ij   0 , oder es gibt, weil G eine Gröbner-Basis ist, eine

      Darstellung   ij    f ijk g k mit
                                                s


                                              k 1

                                                        1
                                                                      1            
                                                                                       
       degG  ij                    
                                                  max LT t ij g i ,LT  t ji g j 
                                                          c           c                            
                                                                                                                       LT ij 
                                                         i                          weil σ Syz LM G ,
                         nach Definition von deg G                        j        siehe auch Propositio n 2.3.6.b
                                                                                              ij



           max fijk g k 
               LT
             k
       nach A 2




                                                                                                        Page:                     37
                                   ij , falls  ij  SyzG 
                                  
    Definition ‘ s ij ’: s ij :          s

                                   ij -  f ijk g k , falls  ij  SyzG 
                                          k 1

     ij i, j   B ist eine  -Gröbner-Basis von SyzG 
      s
       i, j   B  B erzeugt SyzLMG 
         ij                                        ij i, j   B erzeugt SyzG 
                                                     s
 Berechnung des Syzygien-Moduls von Gröbner-Basen:
                                                                                        
  1. Initialisiere M als s  0 -Matrix (s Zeilen, 0 Spalten) und B : i , j 1  i  j  s,  i   j .      
   2. Falls B    , bilden die Spalten von M eine  -Gröbner-Basis von SyzG  .
      Ansonsten wähle ein i , j   B und lösche es aus B.
   3. Berechne S ij . Falls Sij  0 , berechne mit dem Divisionsalgorithmus eine Darstellung
       Sij  fij 1g1    fijsg s .
                                                                                                       s
   4. Falls Sij  0 , füge  ij als Spaltenvektor M hinzu; falls Sij  0 füge  ij   fijk  k als
                                                                                                      k 1
     Spaltenvektor M hinzu; gehe zu 2.
 Berechnung von Syzygien-Moduln (H Erzeugendensystem für Modul M; Matrix M (hat
  nichts mit dem Modul M zu tun, einfach eine Bezeichnung für 2 verschieden Dinge)
  Erzeugendensystem für SyzG  ):
                                
   Es gilt also: GM   0  0  .
                            r    
                            P    
  1. Berechne mit dem erweiterten Buchberger Algorithmus aus H eine Gröbner-Basis G
     mit G  HA .
  2. Berechne mit dem Divisionsalgorithmus h j  b1 j g1    bsj g s und daraus H  GB
                                        
                              
   Es      gilt    0  0  GM  HAM ,          also     AM  SyzH ,       und    es   gilt
                                                                                          
                                                                      
     H  GB  HAB  H  HAB  0  0  H I  AB   0  0 ,                             also
     I  AB   SyzH  .
   Insgesamt gilt: N : AM | I  AB   SyzH  .
 Explizite Mitgliedschaft:
                                                    s
    m  M bzgl. G gegeben ( m                  f g
                                                 i 1
                                                        i   i   ); Ziel: Darstellung von m bzgl. H.

                                    
                                      t
                                           
    m  Gf  HAf  H  , also ist m   qi hi die gesuchte Darstellung.
                        Af
                                                                i 1
                                       :q

                                                                                                 
 Wenn der erweiterte Buchberger Algorithmus verwendet wurde, ist A   I t | C  .       
                                                                                   t  s  t 
                                                                                  t t           
                  
                    t Zeilen
                 M 
  Decompose M                . Dann: SyzH  wird erzeugt von M  C  M .:
                 M  
                      
                 s t Zeilen 
   Beweis:
     G wurde aus H gebildet, indem Vektoren angehängt wurden. Daher
                      I 
      H  GB  B   t  .
                      0
                       

                                                                                            Page:            38
                                                               
                                                                                          M  
      daher: SyzH   N   AM | I  A B   AM | I  I   AM | 0    I t | C   | 0 
                                                                                          M   
                                            I t |C   I t                              
                                                        
                                                        0
                                                        

      also SyzH   M   C  M 
 Iteratives finden eines irredundanten Erzeugendensystems von M (erzeugt durch H):
   hi  h1,, hi 1, hi 1,, ht  Das durch die i-te Zeile von N erzeugte Ideal ist das
     Einheitsideal von P, das heißt es enthält die 1.:
      Beweis:
         Angenommen, es gibt in der i-ten Zeile von N bereits eine 1 in Spalte j. Dann ist
             t               i 1                        t
                                                                       i 1          t
                                                                                                 
           
           k 1
                nkj hk  0   nkj hk  nij hi   nkj hk  0  hi    nkj hk   nkj hk  .
                             k 1
                                                     k  i 1
                                                                      
                                                                       k 1       k  i 1
                                                                                                 
                                                                                                 
                                                      1

           Also hi  h1,, hi 1, hi 1,, ht .
           Außerdem ist offensichtlich die 1 in dem von der i-ten Spalte erzeugten Ideal.
           Es ist leicht einzusehen, dass es bereits reicht, wenn die 1 in dem von der i-ten
            Spalte erzeugten Ideal liegt.


         3.2           Elementary
         Operations on Modules
 M : g1,, gs , N : h1,, ht , I : f1,,fu (Ideal), dann:
     M  N  g1,, gs , h1,, ht
     I  M  f1g1,, f1gs , f2g1,,f2gs ,,fu g1,, fu gs
     I d  f i1  fid i j   ,, u
                                1


3.2.1 Intersections
                                                                                                               f1; j 
                                                                                                                        
    v1, ,vu  P       s t
                               Erzeugendensystem von                   Syzg1,, g s h1,, ht     mit    vj   ,
                                                                                                              f         
                                                                                                               s t ; j 
     i   g i , dann: 1 N   f1 j ,, fsj 1  j  u .
                                                                               f1 j 
                    s           t                          s       t           
     Beweis:  fij g i   fs i ; j hi  0   fij g i    fs i ; j hi      1 n 
              i 1
                    i 1
                                             i 1          1
                                                                
                                                           i               f 
                        M          N                                 :n     sj 
 Schnitt von 2 Untermoduln:
                               f g 1  j  u
                                     s
     M  N   1 N                   ij   i
                                    i 1

        Beweis: folgt aus 1 N   f1 j ,, fsj 1  j  u
                                                                                                   f1; j 
                      I       G    0                                                                        
     jetzt:     M :  r
                      I             ,             SyzM   v1,,vu  P    r s t
                                                                                       mit   vj    ,           dann:
                      r       0    H
                                                                                                 f           
                                                                                                   r s t; j 

                                                                                             Page:                  39
                f1 j 
                
       M  N    1  j  u
               f 
                rj 
       Beweis:
               f1 j          fr 1; j   fr s 1; j   0 
                                                                
          I r     G    0        P r
              f             f                                   
               rj            r  s ; j   f r  s t ; j   0 
        
               f1 j   f r 1; j                  f r s 1; j   0 
                                                                
          I r     0    H         P r
               f  f                             f               
               rj   r s; j                      r  s t ; j   0 
                      f1 j               f r 1; j 
                                                   
                         G    M
                     f                  f          
                      rj                 r s; j 
         also:
                      f1 j               f r s 1; j 
                                                       
                         H     N
                     f                  f              
                      rj                 r  s t ; j 
                      f1 j 
                      
         also:     M  N
                     f 
                      rj 
                                                                                 
 Definition ‘Presentation von M via Erzeuger und Relationen’ (  e j  : v j ,  ei  : mi ):
                                                                 
                                                                  u               s 
                                                                  R              R 
                
  R u R s M  0
 M  R s / v 1,,v u
          f1 j                            f1; j 
                                                   
 w j :    ,      wobei         v j :             der     j-te       Erzeuger   von    Syz g1,, g s , h1,, ht  ,
         f                               f         
          sj                              s t ; j 
                                                                                                    Pu  Ps
    : P s  M /M  N                   die      von           induzierte      Abbildung,      :         ,      dann:
                                                                                                     ej  w j
                
  P u  P s  M / M  N   0 ist eine Presentation von M / M  N .
 Berechnung von mehrfachen Schnitten:
   M1    Ml   M1    Ml 1   Ml
           Ir       M1  0  0 
                          
            0    
    M : 
                0
                          
          I  0  0 Ml 
          r               
 Berechnung von ggT und kgV:
   Berechne die reduzierte Gröbner-Basis des Schnittmengen-Ideals                                         f1    fm  ,
                                                                                                  Page:                 40
    dann: Diese Gröbner-Basis besteht nur aus dem einen Element kgV f1,, fm .

   ggT f1, f2  
                       f1f2
                                  , ggT f1,, fm   ggT ggT f1,, fm 1 , fm 
                    kgV f1, f2 

3.2.2 Colon Ideals and Annihilators
 Defintion    ‘Colon               Ideal’:        N :R M :   R r  M  N;
                                                              r                                ‘Annihilator       von   M’:
   AnnR M  :   R r  M  0
                 r
 N :R M  Ann R M / M  N  :
   Beweis:
     AnnR M / M  N   r  R r  M  M  N                           
                                                                                       r  R r  M  N  N :
                                                                                                              R   M
                                                            weil automatisc h r M M

 Remark 3.2.12
                                                       rj 
                                                       
                                                       s1 j 
 N : h1,, ht , v1,,vu  Syzg, h1,, ht  , v j    , dann: N :R g  r1,, ru 
                                                         
                                                       
                                                      s 
                                                       tj 
                                                                     r 
                                                                      
                                    
   Beweis: N :R g  r  R r  g  N  r g   s1h1    s t ht   1   Syzg, h1,, ht 
                                        ˆ
                                                          
                                                                     s 
                                                                       
                                              g               N     
                                                                     s 
                                                                      t
 Berechnung von Colon Idealen: M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:

   N :P M  AnnP M / M  N    N :P g i                
                                               s

                                              i 1


                                                                     
      Beweisidee: Zeige r  R r  M  N   r  R r  g i  N durch ‘  ’ und ‘  ’.        
                                                                 s

                                                                i 1

          g1 H 0  0                              rj 
                                                         
           0                                  s1; j 
   L :               , v1,,vu  SyzL , v j            , dann: N :R M  r1,, ru 
                 0                                
                                                         
         g    0  0 H                            s 
          
            s
                                                 ts ; j 
                  sr  1 ts 
      Beweisidee: Benutze N :R g  r1,, ru  .

3.2.3 Colon Modules
 Definition ‘Colon Modul’: N :M I :   M I  m  N
                                       m
 Proposition 3.2.18
 M : g1,, gs , N : h1,, ht , fM  N  v1,,vu                                  (somit v i  fw i      für irgendein
  w i  M , denn v i  fM , denn v i  fM  N ), dann:
   N :M f   w1,,wu
      Beweis:
        ‘  ’:



                                                                                                   Page:                41
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             m  N :M f   fm                      fM
                                                                  N  m                  a v   i   i       a fw i   i
                                                 trivialer Weise                            i 1               i 1
                    u
             f   a w
                   i 1
                             i    i    w1,,w u
                   
                  
                   w 1 ,,w u

          ‘  ’: fw i  v i  fM  N  N  w i  N :M f 
                                                    f1; j 
                                                                                                                              s
    Syzfg1,, fgs , h1,, ht   v1
                                   ~ ,, v , v     , dann: N : f  
                                         ~ ~
                                          l     j                           M                                                  f g   ij   i
                                                   f                                                                         i 1
                                                    s t; j 
      Beweis:
       N :M f   m  M fm  N   f f1g i    fs g s   fs 1h1    fs  t ht
                                      ˆ
                                                 
                                                                        m

          f1 
               
            Syzfg1,, fgs , h1,, ht 
         f 
          s t 
 Berechnung von Colon Moduln: M : g1,, gs , N : h1,, ht , I : f1,,fl , dann:

    N :M I   N :M fi                     
                   l

                  i 1


       Beweisidee: Zeige m  M I  m  N   m  M fi  m  N durch ‘  ’ und ‘  ’.                                  
                                                                                    l

                                                                                   i 1

                                                                                      f1; j 
                                                                                                 
           f1G H 0  0                                                               
                                                                                    f 
            0                                                                                                                             s
    L :                                                           SyzL , v j               , dann: N : I                             f g
                                                                                         s; j
                          , v1,,vu
                  0                                                              fs 1; j               M                                      ij   i
                                                                                               
                                                                                                                                               i 1
          f G 0  0 H 
           l  
                                                                                    
                          lr  s  tl                                            f           
                                                                                      s  tl ; j 
                                                                    s
       Beweisidee: Benutze N :M f                              f g   ij   i        .
                                                                   i 1
                                                                              
 Definition ‘Nicht-Nullteiler für U f  R ’: f  m  0  m  0 ; ‘reguläre Sequenz für U
  f1,,fl  ’: f1,, fl U  U  fi ist Nicht - Nullteiler für U / f1,, fi 1 U1  i  l
 Corollary 3.2.24


       3.3 Homomorphisms of
       Moduls
 left out


       3.4 Elimination
 Definition ‘Eliminations-Ideal von I bzgl. x j 1,, x n ’: I  K x1,, x j 


                                                                                                                              Page:                        42
 Definition ‘ P ’ ( L  x1,, xn ): P : K xi xi  L
               ˆ                       ˆ                                                           
 Definition      ‘Eliminations-Ordnung       ’:       ist       Modul-Termordnung                                                                          und
  LT m   P            ˆ                                        ˆ    ˆ      ˆ
            ˆ r  m  P r .; ‘Eliminations-Modul von M bzgl. L M ’: M : M  P r
                ˆ             ˆ                        ˆ
 Definition ‘ T e ,, e ’: T e ,, e : T e ,, e  P r ; ‘  ’:  : 
                                                             ˆ ˆ
                                 1        r                  1           r              1           r                                ˆ
                                                                                                                                    T e1 ,,er

  Modul-Ordnung   Modul-Ordnung
                       ˆ
  Modul-Term-Ordnung   Modul-Term-Ordnung
                               ˆ
 Berechnung von Eliminations-Moduln:
              ˆ   
   LT M  P r  LT M   P r
            ˆ
              
                            ˆ            

           Beweis:
                                                                
             ‘  ’: tei  LT M  P r  tei  LT M   tei  P r  LT M   P
                             ˆ
                                   ˆ
                                               
                                                                ˆ                ˆ
                                                                                        ˆ    ˆ
                                                                                     LT M  P r   
               ‘  ’:
                 tei  LT M   P  tei  LT M   tei  P r
                                  ˆ                          ˆ                                                    
                                                                                                                                   g i  P r : tei  LT r g i 
                                                                                                                                           ˆ
                                                                                                        da  Eliminatio nsordnung

                       LT M  P
                          ˆ
                                ˆ                 r
                                                       
                                  ˆ       ˆ ˆ                           ˆ
   G  -Gröbner-Basis von M  G : G  P r  -Gröbner-Basis für M  M  P r     ˆ
     Beweis: Folgt aus gerade Gezeigtem.
                                             ˆ           ˆ
   G reduzierte  -Gröbner-Basis von M  G : G  P r reduzierte  -Gröbner-Basis
                                                                          ˆ
        ˆ
    für M  M  Pˆ r

     Beweis: Folgt aus gerade Gezeigtem.
 M : g1,, gs , N : h1,, ht , U : yg1,, ygs , 1  y h1,1  y ht  Py  , dann:
  M  N  U  Pr
   Beweis:
                                               s                     t                                                  s                         t
          v  M  N  v   pi g i   q i hi  v  yv  1  y v  y  pi g i  1  y  q i hi
                                              i 1               i 1                                                  i 1                      i 1
              s                       t
            pi y g i   q i 1  y hi  U  P r
            i 1
                 
                         i 1
                                  
                                 
                      P y                       P y 

 1 i  l ,                    Mi : g i 1,, g isi ,                       U : y i g ij  1  y 1    y l ei   P y 1,, y l  ,                dann
    l
    Mi  U  P r
   i 1

   Beweis: wie eben
 M : g1,, gs , N : h1,, ht , dann:
   f P ,                                                                                              U : fyg 1,, fyg s , 1  y h1,, 1  y ht ,
                          vi
                                                                        
                                                                                               fw i dann: N :M f   w1,,wu
          einer der Erzeuger von U P weil U P fM N (vgl. oben : U ähnlich
                                                  r
                                          r
                                      definiert, d. h. ohne f -s, dann : U P r M N )

   I : f1,, fl  , f y   f1  f2 y  fl y l 1  P y , dann N :M I  NPy  :MPy  f y   P r


           3.5   Localization                                                and
           Saturation


                                                                                                                                      Page:                   43
3.5.1 Localization
 Definition ‘multiplikativ abgeschlossene Menge S  R ’:
   1R  S
   a, b  S  ab  S
 Definition ‘ m, s  ~ m, s ’ (M R-Modul, S multiplikativ abgeschlossene Menge von R):

  m, s  ~ m, s : s : ssm  sm  0 ; ‘ MS ’: Menge aller Äquivalenzklassen; ‘ m ’: die
                                                                                             s
  Äquivalenzklasse von m, s 
       m m sm  sm                     m     rm
 Mit           :                und r  :         wird MS zu einem R-Modul.
       s     s         ss                s     s
                  M  MS
 Einbettung:             m
                   m
                          1
       r r      rr 
 Mit  :             wird RS zu einem Ring.
       s s  ss 
       r m        rm
 Mit  :             wird MS zu einem RS -Modul.
       s s       ss
                      R  RS
 Die Einbettung              r ist ein R-Algebren-Homomorphismus.
                       r 
                              1
 Definition ‘Lokalisation von M in S/ Brüche-Modul von M bzgl. S’: der RS -Modul MS
 Definition ‘ M f ’: Mf : MS mit S : f i    
 0  S  MS  0
   Beweis:
                                      ~  s : s1 m  s  0  0
        m 0 m                      m 0
          ~   MS , denn
         s     1 s                 s    1
     Wähle s : 0  S
 MS  0  Ann R M   S   :
   Beweis:
                                         ~  s : s1 m  s  0  0
         m 0 m                        m 0
           ~   MS , denn
          s    1 s                     s    1
     Wähle s        Ann R M   S
 erweiterte            Division:          f  Rx1,, xn  ,                 g y   Rx1,, xn y     
  q y   Rx1,, xn y , r  Rx1,, xn  : f deg g
                                                         g y   q y   fy  1  r
 Rf  Ry  / fy  1

3.5.2 Saturation
                                                                     
 Definition ‘Sättigung von N durch I in M’: N :M I  : m  M i  N0 : I i m  N                  
 Proposition 3.5.8
 k : N :M I   N :M I k  N :M I k 1  
   Beweisidee: Gilt, weil N :M I  N :M I 2    M und M noetherian.
 Sättigung und Lokalisation ( I  f ): N :M I   Nf  M
   N :M                 
            I   N :M J   N :M I  J 
                                              




                                                                                         Page:            44
     Beweis:
       ‘  ’:
                                             
        v  N :M I   N :M J   i , j : I i v  N  J j v  N
            i , j : f i v  N  g j v  Nf  I, g  J  f  g  v  Nf  I, g  J ,
                                                                                       i j


           v  N :M I  J 
                                      


          wobei            die                      letzte          Folgerung          gilt,         weil
          f  g  v
                  ij
                          
                          
                                                 ij
                                                g v
                                                f fg v   f v   
                                                    
                                                       i  j 1 1
                                                           0
                                                                   i j
                                                                      g         1 i  j 1 0 ij
                                                                               f g  v  f g    v
                           bis auf Konstanten
                           bei den Summanden                               
                                                 N wegen f k f i v N für 1 k  j
                                                              
                                                                                      offensicht lichN                      
                                                                                                              N wegen g k g i v N für 1 k  j
                                                                                                                           
                                                                          N                                                 N

        ‘  ’:
          v  N :M I  J   k : I  J  v  N  k : f  g  v  Nf  I, g  J
                                                                 k                           k

                           k                           k
                                 
         f  0  v  N   0  g  v  Nf  I, g  J  f k v  N  g k v  Nf  I, g  J
                               
           J              I    
                    
        v  N :M I  N :M J       
                                   
                                                       
 Berechnung von Sättigungen:
             
                       
   N :M f   NP y   fy  1  P y   M
                                           r
                                                                      
     I  f1,, fs , dann: N :M I    N :M fi 
                                                            s
                                                                                

                                                           i 1

     I  f1,, fs , f y  : f1  f2 y    fs y s 1 , dann: N :M f   NPy  :P y r f y   M
                                                                                                  
                                                                                                                                      
                                                                                                                                           
    f I
     IPf  Pf
     1 I :P f 
                   

     1 IP y   fy  1
     Jede Gröbner - Basis des Ideals IP y   fy  1 enthält ein Element aus K \ 0.
     Die reduzierteGröbner - Basis des Ideals IP y   fy  1 ist 1.


        3.6 Homomorphisms of
        Algebras
 left out




                                                                                                                    Page:                          45
      Remarks
Der erste Teil dieser Übersicht bezieht sich auf die Grundlagen der ‘Algebra 1’-Vorlesung
von Prof. Martin Kreuzer im Wintersemester 2003/2004. Zu dieser Vorlesung gibt es eine
Fotoreihe der Tafeln (Dateien: University; Algebra 1; WS 2003; *).
Der zweite Teil dieser Übersicht bezieht sich auf die ‘Computanional Commutative Algebra
1 (Algebra 2)’-Vorlesung von Prof. Martin Kreuzer im Sommersemester 2004 und das
Buch ‘Computanional Commutative Algebra 1’ von Martin Kreuzer und Lorenzo Robbiano
(Version vom 2000-07-03). Zu dieser Vorlesung gibt es eine Fotoreihe der Tafeln (Dateien:
University; Computational Commutative Algebra 1 (Algebra 2); SS 2004; *). Außerdem gibt
es eine weitere Datei ‘University; Computational Commutative Algebra 1; Lecture Notes’,
welche viele Ergänzungen/ Erklärungen (hauptsächlich zu Beweisen) enthält – sowohl zur
Vorlesung, als auch zum Buch.

http://www.TL-Software.de.tf
thleopold@hotmail.com

Thomas Leopold,
2004-10-13




                                                                    Page:            46