Docstoc

asal dan keberadaan matematika

Document Sample
asal dan keberadaan matematika Powered By Docstoc
					Program Pascasarjana Prodi Pendidikan Matematika Universitas Sebelas Maret (UNS) Surakarta

Asal dan Keberadaan Matematika
Makalah Mata Kuliah Filsafat Matematika
1. Alfiyatul Fajar 2. Dwi Titik Irdiyanti 3. Mita Hapsari Jannah 4. Ninik Agustin

2009

BAB I PENDAHULUAN
Matematika sebagai sebuah studi yang perumusannya tidak menggunakan metode eksperimental menjadi berbeda dengan sains. Matematika juga berbeda dengan humaniora karena sifatnya yang eksak. Penggabungan dua perbedaan inilah yang menjadikan matematika menarik untuk dikaji. Apalagi kelahirannya bersamaan tempat dan masa dengan kelahiran filsafat, dasar dari segala ilmu. Kesamaan di atas menimbulkan adanya interaksi antara filsafat dan matematika. Lebih lanjut, interaksi tersebut melahirkan bidang-bidang kajian baru, diantaranya filsafat matematika. Filsafat matematika sendiri kemudian berkembang menjadi banyak aliran. Aliran-aliran tersebut timbul karena perbedaan pendapat antara ilmuwan satu dengan lainnya. Dari banyak pendapat dan aliran, terdapat satu pendapat baru mengenai asal matematika yang berbeda jauh dengan pendapat lainnya, terutama pendapat 3 aliran besar filsafat matematika (Realisme, Intuisionisme, dan Konstruktivisme). Pendapat tersebut ditulis dalam buku Darimana Matematika Berasal: Bagaimana Embodied Mind Menjadikan Matematika Eksis (dipublikasikan tahun 2000) oleh George Lakoff dan Rafael E . Núñez. Pendapat lain yang berbeda jauh adalah pendapat aliran Fiksionalisme (yang merupakan aliran baru, lahir tahun 1980 oleh Hartry Field) mengenai keberadaan matematika. Dalam makalah ini akan dibahas dua pendapat yang berbeda jauh di atas, kaitannya dengan pendapat lain, terutama dengan pendapat 3 aliran besar filsafat matematika, dan pencapaian dua pendapat tersebut dalam matematika.

BAB II PEMBAHASAN
A. Asal Matematika

Matematika berasal dari luar pikiran manusia. Itulah pendapat dari 3 aliran besar matematika: Realisme, Intusionisme, dan Konstruktivisme. Pendapat tersebut ditentang oleh George Lakoff, seorang ahli bahasa kognitif, dan Rafael E . Núñez, seorang psikolog dalam buku mereka, Darimana Matematika Berasal (Inggris: Where Mathematics Comes From): Bagaimana Embodied Mind Membuat Matematika Menjadi Eksis (disingkat WMCF). WMCF mencari sebuah sains kognitif dari matematika, sebuah teori matematika mendalam (embodied mathematics) berdasarkan metafora konseptual. Untuk lebih jelasnya, berikut akan dibahas lebih lanjut.

1. Definisi Matematika Menurut WMCF
Matematika menjadi bagian dari sistem konseptual manusia yang spesial karena:
“Matematika adalah eksak, konsisten, stabil melintasi waktu dan komunitas manusia, dapat disimbolkan, dapat dikalkulasikan, dapat digeneralisasikan, tersedia secara universal, konsisten di setiap subjek-subjeknya, dan efektif sebagai alat umum untuk mendeskripsikan, menjelaskan, dan memprediksi dalam banyak aktivitas sehari-hari.”

(WMCF, paragraf 50,

hal. 377)

2. Kognisi Manusia dan Matematika
Lakoff dan Nunez berpendapat bahwa matematika adalah hasil dari sains kognitif ́ ̃ manusia dan karenanya harus dipahami dengan istilah-istilah kognitif. WMCF menyarankan (dan disertai beberapa contoh) sebuah analisis ide kognitif matematika yang menganalisis ide matematik. Analisis ide tersebut berbeda dengan matematika dan tidak dapat diperagakan oleh matematikawan kecuali mereka telah dilatih dalam sains kognitif. WMCF menolak filsafat matematika Platonistik. Filsafat tersebut menekankan bahwa semua hal yang kita tahu dan akan kita tahu adalah matematika manusia (human mathematics), yaitu matematika yang dibangun dari keintelekan manusia. WMCF secara umum mengajukan dan membangun sebuah alternatif cara pandang matematik, yaitu dengan melandaskan pembahasan pada realita bahwa manusia adalah makhluk biologis dan mempunyai pengalaman. Alternatif tersebut bukanlah sebuah teknik matematis maupun filsafat matematis.

Yang pertama berpendapat bahwa pendekatan konvensional untuk filsafat matematika mempunyai kekurangan adalah David dan Hersh (1981). Selain membenarkan pendapat Reuben Hersh, Lakoff dan Nunez mengutip Saunders ́ ̃ MacLane (bersama Samuel Eilenberg menemukan teori kategori) dalam buku mereka.

3. Contoh Metafor Matematis
Metafor konseptual (pemahaman suatu ide dengan menggunakan istilah yang lain) yang digambarkan dalam WMCF, diantaranya:        Aritmatika berjalan sesuai jalur dan merupakan kumpulan/konstruksi objek; Perubahan adalah pergerakan; Himpunan adalah wadah dari objek-objek; Kekontinuan adalah tak mempunyai interval; Fungsi adalah himpunan dari pasangan terurut kurva dalam bidang Cartesian; Gambar geometris adalah objek dalam ruang; Perulangan adalah berbentuk lingkaran.

Kritik: Mayoritas matematikawan tidak mengidentifikasi satu objek matematika dengan hanya satu definisi saja (karena adanya pilihan definisi sembarang (arbitrary) dan definisi turunan (artificial)). Hal ini mendukung pandangan platonistik bahwa objek-objek matematika ada karena penggambaran linguistik, simbolik, dan konseptual yang bervariasi. Artinya, pendekatan paling alami dan sukses dalam matematika adalah melihat objek matematika sebagai objek yang mempunyai potensi untuk berbeda meski dapat direalisasikan secara ekivalen. Di sisi lain, objek matematika tidak dapat hanya diidentifikasikan sebagai satu realisasi saja. Hal ini membawa pada pernyataan bahwa ide intuisi dimana objek objek matematika ada dengan hanya satu konstruksi saja , atau ide dari Lakoff dan Núñez bahwa objek -objek matematika ada hanya sebagai kasus khusus dari konsep-konsep / metafor-metafor di dalam pemikiran mendalam kita, adalah sebuah filsafat lemah yang berdasar pada pengalaman dan metode penelitian secara de facto yang dilakukan oleh para matematikawan. Mungkin inilah alasan mengapa ide-ide tersebut hanya mendapat sedikit perhatian dari komunitas matematika.

4. Romantisme Matematika
“Romantisme matematika” adalah istilah WMCF untuk sebuah sudut pandang filsafat matematika yang bertahan lama akan tetapi diacuhkan karena dianggap sebagai sebuah mitos intelek, diantaranya:





Matematika adalah transenden, dengan kata lain matematika terpisah dari manusia , dan membentuk dunia fisis kita dan dunia-dunia lain yang mungkin. Karena keberadaan matematika terpisah dari manusia, dan karena mantik secara mendasar adalah matematik, maka mantik itu sendiri disembodied. Sehingga kecerdasan buatan adalah mungkin, paling tidak di dalam teorinya.

5. Kritik Balik
Banyak matematikawan yang menolak pendekatan dan kesimpulan yang diambil oleh Lakoff dan Nunez . Mereka memang memuji fokus WMCF dalam strategi ́ ̃ konseptual serta penggunaan metafor sebagai jalan untuk memahami matematika. Akan tetapi, para matematikawan juga mengkritik argumen filosofis WMCF berdasarkan bahwa pernyataan matematis memiliki arti „objektif‟ yang permanen. Di sisi lain, Lakoff dan Nunez mengacuhkan opini negatif para matematikawan ́ ̃ karena kritik mereka tidak berkontribusi pada sains kognitif. Baik Lakoff maupun Nunez bukanlah matematikawan yang terlatih ́ ̃ . Lakoff mempunyai reputasi menghubungkan linguistik dengan sains kognitif , dan analisis metafor . Núñez, bersekolah di Swiss, adalah hasil dari perkuliahan Jean Piaget, yakni psikologi kognitif sebagai dasar dari logika dan matematika . Akan tetapi, meski Lakoff dan Nunez tidak bagus dalam logika ́ ̃ (tidak terdapat data indeks untuk “quantifier” dan “quantification”), filsafat set theory, metode aksiomatik, metamatematika, dan teori model, WMCF cukup membahas tentang penurunan sistem bilangan (aksioma Peano tidak disebutkan), aljabar abstrak, relasi terurut dan ekivalensi, mereologi, topologi, dan geometri. Lakoff dan Nunez juga tidak memperhitungkan antisipasi para intuisionis dan ́ ̃ konstruktivis jika Romantisme (Platonik) matematika dikritik. Padahal paling tidak terdapat satu Penulis (Brouwer) sebelum Lakoff dan Nunez lahir yang ́ ̃ menyimpulkan bahwa matematika ada untuk memenuhi tujuan-tujuan manusia dan selain itu tidak.

B. Keberadaan Matematika
Tiga aliran filsafat matematika yang besar (Realisme, Intuisionisme, dan Konstruktivisme) berpendapat sama dalam hal keberadaan matematika. Ketiganya menganggap matematika eksis secara keseluruhan (entitas) sehingga setiap pernyataan matematika adalah benar. Pendapat yang sudah bertahan lama ini baru-baru ini diruntuhkan oleh Hartry Field dalam bukunya Science Without Numbers (1980) yang

menyatakan sebaliknya. Pendapat Field diikuti oleh para filsuf lain, meski mereka tidak „seekstrem‟ Field, sehingga terbentuklah aliran Fiksionalisme.

1. Fiksionalisme dalam Filsafat Matematika
Fiksionalisme dalam filsafat matematika adalah suatu pandangan untuk menolak kebenaran pernyataan matematika karena berakibat adanya entitas matematika. Fiksionalisme kontras dengan realisme (atau Platonisme) dimana pernyataan matematika adalah bernilai benar, dan lebih jauh entitas matematika adalah benar. Fiksionalisme juga kontras dengan perhitungan filsafat nominalis matematika lainnya yang mengusulkan untuk menginterpretasi kembali pernyataan matematika, bahwa pernyataan tersebut benar akan tetapi tidak demikian dengan entitas matematika. Meski begitu, fiksionalisme mengakui bahwa pernyataan tersebut juga ada yang bernilai benar karena telah dibuktikan oleh sejarah matematika. Ide tersebut berasal dari literatur fiksi, dimana pernyataan seperti „Bilbo Baggins adalah makhluk hobbit” adalah sangat salah (karena hobbit itu tidak ada), tetapi benar menurut fiksi Tolkien, The Hobbit.

2. Motivasi Fiksionalisme
Terdapat dua tantangan dalam menemukan sebuah filsafat matematika yang cukup (Benacerraf 1983). Pertama, memberikan sebuah semantik yang seragam meliputi pembelajaran matematika dan non-matematika. Kedua, memberikan cukup epistemologi alami. Mengapa dua tantangan tersebut penting adalah karena filsafat realis matematika mempunyai sedikit masalah dalam memberikan sebuah semantik seragam dan benar-benar bermasalah dalam memberikan sebuah epistemologi yang dapat diterima secara alami. Filsafat nominalis matematika di sisi lain memiliki kesulitan dalam memberikan sebuah semantik seragam, dan banyak dari mereka menyerah dalam hal ini (lihat REALISME DAN ANTIREALISME DALAM MATEMATIKA). Filsafat fiksionalis matematika menjawab dua tantangan di atas dengan baik. Fiksionalisme telah memberikan sebuah semantik seragam. Bedanya, fiksionalisme menganggap pernyataan dengan huruf adalah benar sedangkan pernyataan dengan angka adalah salah karena tidak merujuk hal apapun. Sama halnya dengan teori nominalis matematika lainnya, epistemologi tidaklah sulit bagi fiksionalisme. Fiksionalisme menganggap bahwa tidak ada pengetahuan matematik yang terpisah dari pengetahuan fiksi matematika itu sendiri. Penting untuk dicatat bahwa fiksionalisme di dalam matematika tidak berarti bahwa „segala sesuatu berjalan‟. Penulis teori-teori matematika, sama seperti Penulis literatur fiksi, tidak dengan bebas mengembangkan khayalan mereka sekehendak hati. Sebagai

permulaan, konsistensi sangat diharuskan. Selain itu, item-item yang tidak dibutuhkan tidak boleh diperkenalkan. Entitas yang tidak memiliki ruang, waktu, dan hukum sebab akibat adalah benar-benar berbeda dengan entitas yang biasa kita kenal. Hal inilah yang menjadi motivasi utama fiksionalisme dan mengapa para fiksionalis meragukan kebenaran matematika.

3. Tantangan Fiksionalisme
Masalah terbesar yang dihadapi oleh fiksionalisme matematika adalah menjelaskan peran sentral matematika dalam sains. Berdasarkan beberapa buku (Quine 1981, Putnam 1971, Colyvan 2001), terdapat beberapa argumen kuat tentang entitas matematika. Argumen tersebut menggambarkan peran matematika dalam teori sains terbaik. Argumen ini dikenal dengan argumen kebutuhan (the indispensability argument) dan telah menjadi fokus dalam filsafat matematika. Gambaran besar argumen tersebut adalah: Premis 1 : Kita harus percaya pada semua dan satu-satunya entitas teori sains paling mutakhir. Premis 2 : Entitas matematika dibutuhkan (indispensable) oleh teori sains kita yang terbaik. Kesimpulan : Kita harus percaya pada entitas matematika. Para fiksionalis mempunyai 2 pilihan mendasar agar dapat menolak kesimpulan argumen di atas: menolak Premis 1 atau menolak Premis 2. Pilihan pertama berakibat adanya holisme, yang merupakan prinsip utama naturalisme dan realisme sains. Pilihan kedua mengakibatkan matematika tidak dibutuhkan (dispensable) oleh sains. Pilihan terakhir ini membawa kita pada buku yang ditulis oleh Hartry Field (1980) yang berusaha melakukan sains tanpa angka.

4. Fiksionalisme Field
Karya Field termotivasi oleh sebuah komitmen untuk memberikan sebuah semantik seragam dan oleh epistemologi Platonisme. Adopsi pendekatan Field ini (fiksionalisme secara umum) juga termotivasi oleh dua hal: komitmen untuk memberikan penjelasan intrinsik (yaitu penjelasan yang tidak bergantung pada entitasentitas luar), dan penghapusan beberapa hal dari teori-teori sains. Sedangkan menurut Field, dikatakan pakar fiksionalisme ketika menunjuk pada the indispensability argument secara jelas. Karenanya, pendapat Field berikut menjadi perhatian filsafat nominalis matematika lainnya: meremehkan the indispensability argument berarti meremehkan Platonisme. Keinginan Field untuk mengutamakan the indispensability argument membuat pendapatnya berbeda dari yang lain.

Mayoritas jenis fiksionalisme berpendapat bahwa matematika berkata salah, akan tetapi benar untuk fiksi matematik. Field menganggap fiksionalis tidak boleh berhenti sampai disitu. Harus dibuktikan bahwa fiksi matematika dibutuhkan oleh sains. Bagian pertama dari karya Field-menunjukkan bahwa matematika tidak dibutuhkanyaitu menunjukkan bagaimana sebuah teori sains seperti teori gravitasi Newton dapat dibangun tanpa melakukan pengukuran terhadap item-item matematika. Field tidak menyarankan melakukan sains tanpa matematika; akan tetapi bahwa sains dapat dilakukan tanpa matematika. Dan pendapat tersebut cukup untuk menyatakan bahwa matematika tidak dibutuhkan oleh sains. Akan tetapi, mengapa fiksi matematika tidak bermasalah jika digabung dengan teori sains? Jawaban Field adalah karena matematika bersifat konservatif. Artinya bahwa sebuah teori matematika jika digabungkan dengan sembarang teori sains nominalistik, kesalahan matematik yang ada tidak akan berakibat pada sains. Menurut Field, matematika yang baik tidak harus benar, akan tetapi harus konservatif. Beberapa kritik dilayangkan pada karya Field. Mulai dari klaim tentang ketidakberalasan perkembangan karya Field menuju teori-teori non ruang-waktu (misalnya mekanika kuantum) (Malament 1982), hingga pembahasan tentang apakah konstruksi sains ternominalisasi Field mempunyai kebaikan-kebaikan teoritik daripada lawan matematiknya (Colyvan 2001), dan apakah sebuah nominalis dinamakan substantivalis mengenai ruang-waktu (Resnik 1985), hingga pembahasan teknis tentang dasar logika Field (logika tingkat pertama versus tingkat kedua dan perhitungan modalitas) (Burgess dan Rosen 1997). Selain dari kritik di atas, juga penting untuk mengetahui apa yang telah dicapai oleh karya Field. Karya Field memberikan garis besar perhitungan fiksional matematika yang menarik dan tidak dapat ditawar, dan orang lain tidak dapat mengelak dari isu besar tersebut.

5. Jenis Fiksionalisme yang Lain
Fiksionalisme selain Field melakukan pendekatan dengan menolak klaim bahwa kita harus berkomitmen dengan semua teori sains terbaik secara serius. Beberapa filsuf kontemporer tidak cukup dianggap sebagai nominalis (misalnya Balaguer 1998, Maddy 1997, Yablo 2005) dimana mereka menolak fakta permasalahan apakah entitas matematika ada atau tidak. Filsuf yang lain (misalnya Azzouni 2004) tidak berkomitmen pada fiksionalisme. Akan tetapi, masih terdapat perhitungan fiksional yang nominalisme pada mereka. Jenis fiksionalisme ini menerima bahwa matematika dibutuhkan oleh sains, akan tetapi menolak bahwa hal ini menjadikan kita harus menerima keberadaan entitas matematika. Karena praktik sains itu sendiri tidak mengikat seseorang pada eksistensi entitas matematika (Maddy 1997).

BAB III KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Dari pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa: 1. WMCF adalah buku yang ditulis oleh George Lakoff dan Rafael E. Núñez yang berisi

pendekatan baru dalam memahami matematika melalui sains kognitif karena matematika itu sendiri berasal dari hasil kognisi manusia.
2. Pendapat WMCF berbeda dengan pendapat 3 aliran besar filsafat matematika (Realisme, Intuisionisme, dan Konstruktivisme) yang menyatakan bahwa matematika bebas dari pemikiran manusia.

3. Meski terdapat banyak kekurangan, WMCF telah berhasil fokus dalam strategi konseptual serta penggunaan metafor sebagai jalan untuk memahami matematika. WMCF juga cukup membahas tentang penurunan sistem bilangan (aksioma Peano tidak disebutkan), aljabar abstrak, relasi terurut dan ekivalensi, mereologi, topologi, dan geometri.
4. Fiksionalisme dalam filsafat matematika adalah suatu pandangan untuk menolak

kebenaran pernyataan matematika karena berakibat adanya entitas matematika. Fiksionalisme muncul setelah karya Hartry Field Science Without Numbers (1980) terbit. Berbeda dengan para fiksionalis lainnya, Field lebih mengutamakan untuk menolak the indispensability argument. 5. Fiksionalisme berbeda karena kontras dengan realisme (atau Platonisme) dimana pernyataan matematika adalah bernilai benar, dan lebih jauh entitas matematika adalah benar. Fiksionalisme juga kontras dengan perhitungan filsafat nominalis matematika lainnya yang mengusulkan untuk menginterpretasi kembali pernyataan matematika, bahwa pernyataan tersebut benar akan tetapi tidak demikian dengan entitas matematika.
6. Meski banyak dikritik, fiksionalisme telah memenuhi dua tantangan yang harus

dihadapi oleh sebuah filsafat matematika. Lebih jauh, fiksionalisme Field memberikan garis besar perhitungan fiksional matematika yang menarik dan tidak dapat ditawar.

B. Saran
1. Bagi kemajuan makalah, disarankan membahas pendapat-pendapat atau aliranaliran filsafat matematika lainnya yang berbeda dengan aliran filsafat matematika secara umum agar lebih memperkaya khazanah fisafat matematika kita. 2. Bagi Pembaca, disarankan agar mencari aliran filsafat matematika yang terbaik agar tercapai pembelajaran matematika yang baik pula.

DAFTAR PUSTAKA
WIKIPEDIA: cognitive science of mathematics, conceptual metaphor, embodied philosophy, equinumerosity, metaphor, where mathematics comes from. Pocket Oxford Dictionary digital.


				
DOCUMENT INFO
Shared By:
Categories:
Stats:
views:2085
posted:1/1/2010
language:Indonesian
pages:11