Mécanique des fluides et transferts I (exercices)

							 e
S´ance 2

Ecoulements de Hagen-Poiseuille
et de Couette

                                                                                  ·v   = 0,
                  e
Equations pour un ´coulement incompressible d’un
                         a       e
fluide visqueux newtonien ` param`tres constants.                                  Dv               2
                                                                              ρ        =   − p+µ       v + ρg.
                                                                                  Dt



1
              e                                                 e
     Soit un ´coulement stationnaire entre deux plaques parall`les horizontales d’un fluide newtonien
                                                  e                         e
     pour lequel la masse volumique et la viscosit´ dynamique sont suppos´es constantes. On suppose
                 e                   e
     aussi que l’´coulement est bien ´tabli et que les plaques sont infinies dans la direction x. Ainsi,
       e                e          ee                                            e
     l’´coulement peut ˆtre consid´r´ comme unidimensionnel et la vitesse ne d´pend que de la coor-
          e                                                                e
     donn´e y, perpendiculaire aux plaques. Noter que les plaques sont situ´es en y = 0 et y = h et sont
                   e
     immobiles. D´terminer:
       1. l’expression analytique du champ de vitesse,
                                      e                      e
       2. l’expression analytique du d´bit volumique par unit´ de hauteur.

2
                            e                                                           e
     On se place dans la mˆme situation que ci-dessus avec une exception: la plaque situ´e en y = h se
      e                          a
     d´place dans la direction x ` une vitesse U0 .
           e
       1. D´terminer l’expression analytique du champ de vitesse.
       2. Adimensionnaliser l’expression obtenue.
                                                                        e
       3. Discuter de la forme du profil de vitesse en fontion d’un param`tre adimensionnel pertinent.

3
                     e                                           u
     On analyse un ´coulement incompressible bidimensionnel o` on suppose que la composante hors-
                                                                         e                  e
     plan de vitesse est nulle. Un fluide de masse volumique ρ est coinc´ entre le sol situ´ en y = 0 et
                                   e c                                       e
     une plaque de largeur L se d´pla¸ant vers le bas avec une vitesse V : l’´paisseur de la couche fluide
     entre la plaque et le sol est donc une fonction du temps h(t).
                                               e
     Le profil de vitesse horizontale est suppos´ de la forme :

                                                                          2
                                                          y        y
                                      u(y, t) = 4U (t)        −
                                                         h(t)     h(t)

           e                               e
       1. D´terminer la fonction h(t) si l’´paisseur en t = 0 vaut h0 .
       2. Calculer la vitesse maximale U (t).

                                                    1
2

4
             e     e       e
    On consid`re l’´tude d’´coulements incompressibles de fluides.

                                              a
     1. Ecrire en notation tensorielle (c’est-`-dire avec des symboles comme , v ...) la forme locale
            e                                                    e                     e
        des ´quations de conservation de la masse, de la quantit´ de mouvement et de l’´nergie interne
                      e                   a          e
        pour de tels ´coulements (c’est-`-dire des ´coulements incompressibles !). Effectuer les sim-
                                e      e e                            e        e
        plifications qui peuvent ˆtre r´alis´es et ne pas simplement ´crire les ´quations valables pour
                    e
        tout type d’´coulement.
                     ee                                e
     2. Quelle propri´t´ du tenseur de Cauchy est impos´e par le respect de la conservation du moment
                     e
        de la quantit´ de mouvement ?
                     e           e                                                 e
     3. Effectuer le d´compte des ´quations et des inconnues et montrer qu’il sera n´cessaire d’introduire
            e                                                                 e
        des ´quations de comportement telles que la loi de Fourier et le mod`le de fluide Newtonien.
                    e                                            e
     4. Ecrire ces ´quations de comportement avec des param`tres constants et montrer comment
                                                                        e                  e
        il est possible d’obtenir une formulation vitesses-pression-temp´rature pour la mod´lisation
           e
        d’´coulements incompressibles de fluides newtoniens.
         e                       e                   e        e        e               e
     5. D´finir et donner les unit´s de tous les param`tres mat´riels pr´sents dans ces ´quations.
                     e e         e                                                      e
     6. Dans le cas g´n´ral (en ´coulements compressibles et incompressibles) du mod`le de fluide new-
                                                  e                  e
        tonien, quelles sont les contraintes impos´es sur la viscosit´ par le respect du second principe
        de la thermodynamique ? Enoncer ce second principe avec des mots.
          e               e                                                                e
     7. D´finir la viscosit´ de volume et expliquer pourquoi elle est absente dans le cas d’´coulements
        incompressibles.