Examen de Geometria Analitica 31 de enero del 2009 by kellena89

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									   Examen de Geometría Analítica
   31 de enero del 2009

    1) Encontrar la ecuación de la línea recta que pasa por el centro de las
circunferencias
    x2 + 4x + y 2 2y 4 = 0
    y
    x2 6x + y 2 + 8y + 21 = 0
    Solución:
    Primero debemos determinar los centros de ambas circunferencias. Para ello
las llevamos a la segunda forma ordinaria completando cuadrados.
    Primer circunferencia
    C1 : x2 + 4x + y 2 2y 4 = 0
    x2 + 4x + y 2 2y = 4
    x2 + 4x + 4 + y 2 2y + 1 = 4 + 4 + 1
           2          2
    (x + 2) + (y 1) = 9
           2          2
    (x + 2) + (y 1) = 32
    Por lo tanto se trata de una circunferencia con
    Centro= ( 2; 1)     Radio= 3
    Segunda circunferencia
    C2 : x2 6x + y 2 + 8y + 21 = 0
    x2 6x + y 2 + 8y = 21
    x2 6x + 9 + y 2 + 8y + 16 = 21 + 9 + 16
           2          2
    (x 3) + (y + 4) = 4
           2          2
    (x 3) + (y + 4) = 22
    Por lo tanto se trata de una circunferencia con
    Centro= (3; 4)      Radio= 2

    Podemos determinar ahora la ecuación de la línea recta que pasa por los dos
centros de las dos circunferencias, ( 2; 1) y (3; 4), usando la fórmula de una
recta dados dos puntos
             y1 y 2
    y y1 =            (x x1 )
             x1 x2
    obtenemos sustituyendo las coordenadas de los puntos
            1 ( 4)
    y 1=              (x + 2)
               2 3
    y 1 = (x + 2)
    La recta que pasa por el centro de las dos circunferencias es
    y= x 1




                                      1
                                     y    10




                                           5




                                -4   -2        2   4
                                                       x

                                          -5




                                         -10


    2) La ecuación de la línea recta, de la cual el lado recto de una parábola es
un segmento, es y = 2:La longitud de dicho lado recto de la parábola es 8.
La ecuación de la directriz de la parábola es y = 2. La ecuación del eje de la
parábola es x = 1. Encuentra la ecuación de la parábola.
    Solución:
    Primero podemos determinar el foco de la parábola, encontrando la inter-
sección del lado recto con el eje de la parábola. El lado recto tiene por ecuación
y = 2 y el eje tiene como ecuación x = 1, así que el foco tiene como coorde-
nadas F = (1; 2).
    La directriz, cuya ecuación es y = 2, intersecta al eje, cuya ecuación es x = 1,
en el punto A = (1; 2).
    El vértice de la parábola es el punto medio del segmento formado por el foco
F = (1; 2) y por el punto A = (1; 2); es decir, si V = (v1 ; v2 ) tenemos
          1+1                      2+2
    v1 =         =1        v2 =          =0
            2                       2
    así que
    V = (1; 0) :
    La longitud del lado recto es igual a 8 y como a su vez es 4 jpj tenemos que
jpj = 2. EL signo del p esta dado por la dirección del segmento dirigido V F que
es negativo, así que p = 2
    Dado que el eje de la parábola es perpendicular a la directriz, que es una
recta horizontal, el eje de la parábola es paralelo al eje Y .
    Por tanto, la ecuación de la parábola es de la forma
            2
    (x h) = 4p (y k)
    Sustituyendo los valores que hemos encontrado tenemos
            2
    (x 1)       4 ( 2) (y 0) = 0



                                           2
                                 y
                                     2




            -6      -4      -2                2     4       6      8
                                                                       x
                                     -2



                                     -4



                                     -6



                                     -8


   3) Realiza una traslación de los ejes coordenados de tal manera que al trans-
formar la ecuación
   9x2 + 54x + 16y 2 + 32y 47 = 0
   resulte una que no tenga términos lineales. Especi…ca claramente de qué
curva se trata
   Solución:
   Primer método:
   Completando cuadrados tenemos
   9x2 + 54x + 16y 2 + 32y 47 = 0
   9x2 + 54x + 16y 2 + 32y = 47
   9 x2 + 6x + 16 y 2 + 2y = 47
   9 x2 + 6x + 9 + 16 y 2 + 2y + 1 = 47 + 9 9 + 16 1 = 144
               2                2
   9 (x + 3) + 16 (y + 1) = 144
             2              2
    (x + 3)          (y + 1)
                +              =1
        16               9
   Se trata de una elipse con centro en ( 3; 1)
   Su eje focal es paralelo al eje X
          4
   a =p b = 3 p                    p
   c = a2 pb2 = 16 9 = 7
          c         7
   e= =                = 0:66
          a      4
   La traslación que hay que realizar es
   x0 = x + 3           y0 = y + 1
   y la ecuación queda como
         2           2
    (x0 )      (y 0 )
            +          =1
     16          9


                                          3
   y el resultado …nal es
   9(x0 )2 + 16(y 0 )2 144 = 0

   Segundo método:
   9x2 + 54x + 16y 2 + 32y 47 = 0
             2                            2
   9 (x0 + h) + 54 (x0 + h) + 16 (y 0 + k) + 32 (y 0 + k) 47 = 0
   9h +18hx +54h+16k +32ky +32k +9(x0 )2 +54x0 +16(y 0 )2 +32y 0 47 = 0
      2        0          2        0

   Igualando a cero los coe…cientes de los términos lineales, tenemos
   18h + 54 = 0
   32k + 32 = 0
   y por tanto
   h= 3
   k= 1

                                                           y    5

                                                                4

                                                                3

                                                                2

                                                                1


             -10   -9   -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1        1   2
                                                                -1           x
                                                                -2

                                                                -3

                                                                -4

                                                                -5


                               25 2
    4) La ecuación x2 4x          y 25y 46 = 0; ¿qué curva representa?. Explica
                                4
clara y detalladamente tu respuesta.
    Solución:
                25 2
    x2 4x           y    25y 46 = 0
                 4
    Completando cuadrados tenemos
    4x2 16x 25y 2 100y = 184
    4 x2 4x          25 y 2 + 4y = 184
         2
    4 x     4x + 4       25 y 2 + 4y + 4 = 184 + 4 4 25 4 = 100
              2              2
    4 (x 2)        25 (y + 2) = 100
            2             2
    (x 2)        (y + 2)
                            =1
        25            4
    Se trata de una hipérbola cuyo eje focal es paralelo al eje X


                                            4
    Su centro está en (2; 2)
    Se tiene que a = 5, y por tanto su eje transverso es 10
                      2,
    Se tiene que b =p y por tanto su eje conjugado es 4
         p                        p
    c = a2 + b2 = 25 + 4 = 29
              p
         c      29
    e= =           = 1: 08
         a     5
                      2b2     2 22    8
    El lado recto es       =        =
                       a0       5     5
                               3;
    Sus vértices son V = ( p 2) y V = (7; 2) p
    Los focos son F 0 = 2        29; 2 y F 0 = 2 + 29; 2
       2             2
    4x     16x 25y        100y = 184
    Las asíntotas las calculamos eliminando el término constante cuando tenemos
la ecuación en la forma
             2              2
    4 (x 2)      25 (y + 2) = 100
    Tenemos
    [2 (x 2) + 5 (y + 2)] [2 (x 2) 5 (y + 2)] = 0
    de donde obtenemos las ecuaciones de las dos asíntotas
    2 (x 2) + 5 (y + 2) = 2x + 5y + 6 = 0
    2 (x 2) 5 (y + 2) = 2x 5y 14 = 0

                                            10
                                       y
                                             8

                                             6

                                             4

                                             2


      -14   -12   -10   -8   -6   -4   -2         2   4   6   8   10   12   14
                                             -2                                  x
                                             -4

                                             -6

                                             -8

                                            -10


   5) Construye y discute, en el sentido explicado en el capítulo II del libro de
texto, la curva de la ecuación xy 3y x = 0
   Solución:
   I) Intersecciones.
   1) Con el eje X
   Hacemos y = 0,
    xy 3y x = 0


                                             5
Solamente x = 0
2) Con el eje Y
Hacemos x = 0,
   3y = 0
Solamente y = 0
La curva intersecta a los ejes únicamente en el origen
II) Simetrías
1) Respecto al eje X :
y ! y la ecuación cambia, NO es simétrica respecto al eje X
2) Respecto al eje Y :
x ! x la ecuación cambia, NO es simétrica respecto al eje Y
2) Respecto al origen:
x ! x y y ! y, la ecuación cambia, NO es simétrica respecto al origen
La ecuación no tiene ninguna simetría.
III) Extensión
1) En x
Despejamos y en
xy 3y x = 0
       x
y=
     x 3
así que podemos tener cualquier valor, excepto x = 3
2) En y
Despejamos x en
xy 3y x = 0
      3y
x=
     y 1
así que podemos tener cualquier valor, excepto y = 1
IV) Asíntotas
1) Verticales
Despejamos y en
xy 3y x = 0
       x
y=
     x 3
y hacemos los denominadores lineales igual a cero; en este caso
x=3
2) Horizontales
Despejamos x en
xy 3y x = 0
      3y
x=
     y 1
y hacemos los denominadores lineales igual a cero; en este caso
y=1

Trazamos primero las asíntotas para guiarnos




                                  6
                                         y    5

                                              4

                                              3

                                              2

                                              1


               -5    -4   -3        -2   -1        1   2       3   4   5
                                              -1                            x
                                              -2

                                              -3

                                              -4

                                              -5

y luego trazamos la curva calculando puntos

                                         y    10




                                               5




               -10             -5                          5           10
                                                                            x

                                              -5




                                             -10

Claramente vemos que se trata de una hipérbola

 6) Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( 5; 3),
  p
6; 3 + 3 y ( 7; 5).
 Solución:
 La ecuación general de la circunferencia es
 x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0



                                               7
    Sustituyendo los tres puntos en la ecuación, encontramos tres ecuaciones con
tres incógnitas:
         2      2
    ( 5) + (3) + D ( 5) + E (3) + F = 0
         2    p       2                 p
    ( 6) +      3 + 3 + D ( 6) + E        3+3 +F =0
         2      2
    ( 7) + (5) + D ( 7) + E (5) + F = 0
    que se reducen a
    F 5D + 3E =p 34             p
    F 6D + 3 + 3 E = 6 3 48
    F 7D + 5E = 74
    Las resolvemos por sumas y restas
         p        p
    D      3E = 6 3 + 14
    2D 2E = 40
    y         p          p
      2D + 2 3E = 12 3 28
    2D 2E = 40
    Así que
      p                    p
     2 3 2 E = 12 12 3
    y
    E= 6
    Regresando
    D E = 20
    D = 20 + E
    D = 20 6 = 14
    Además
    F 5D + 3E = 34
    F = 5D 3E 34
    F = 5 (14) 3 ( 6) 34 = 54
    Resumen:
    D = 14         E= 6           F = 54
    y la ecuación que buscamos es
    x2 + y 2 + 14x 6y + 54 = 0




                                       8
                                                                  5    y

                                                                  4


                                                                  3


                                                                  2


                                                                  1


                                                                  0
             -10     -9     -8     -7       -6   -5      -4
                                                                  x
                                                                  -1


    7) Hallar la ecuación de la tangente a la parábola x2 + 4x + 12y 8 = 0, que
es paralela a la recta 4x + 8y 7 = 0.
    Solución:
    Para determinar la pendiente de la recta 4x + 8y 7 = 0, debemos escribirla
en la forma y = mx + b,
           1     7
    y=       x+
           2     8
    Por tanto, la pendiente de la recta es
    m = 1=2
    La familia de rectas de pendiente 1=2 es
           1
    y=       x+k
           2
    que sustituida en la ecuación de la parábola nos da
                      1
    x2 + 4x + 12        x+k      8=0
                      2
    que se reduce a
    x2 2x + 12k 8 = 0
    Debemos exigir que esta ecuación tenga una única solución, haciendo su
discriminante igual a cero; es decir,
         2
    ( 2)     4 (1) (12k 8) = 36 48k = 0
    que tiene como única solución
         3
    k=
         4
    Por tanto, la ecuación de la línea recta tangente de pendiente 1=2 es
           1     3
    y=       x+
           2     4




                                        9
                                      y   3


                                          2


                                          1



                  -3      -2     -1             1       2      3
                                                                   x
                                          -1


                                          -2


                                          -3

                                                               p
    8) Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto     7=2; 3 , tiene su
centro en el origen, su eje menor coincide con el eje X y la longitud de su eje
mayor es el triple de la de su eje menor.
    Solución:
    Por las especi…caciones del problema es claro que la ecuación es de la forma
    x2    y2
        + 2 =1
    b2    a
    La condición sobre los ejes nos da
    2a = 3 (2b)      p
    El que el punto     7=2; 3 este en la elipse nos da una segunda ecuación
    7 1      9
         + 2 =1
    4 b2    a
    Resolvemos este sistema por sustitución. Poniendo a = 3b de la primera en
la segunda,
    7 1        9           1
         +       2  1=         4b2 11 = 0
    4 b2    (3b)          4b2
    ó sea
    4b2 11 = 0
    que tiene dos soluciones
           p
             11
    b=
            2                                          p
                                                         11
    Claramente solo es valido el valor positivo y b =
                                                        2
    Sustituyendo de regreso
             p !
               11     3p
    a=3            =     11
               2      2
    y la ecuación queda

                                           10
      x2          y2
     p !2 +       p !2 = 1
       11       3 11
       2           2
   ó …nalmente
   36x2 + 4y 2 99 = 0

                                    y    5

                                         4

                                         3

                                         2

                                         1


                          -3   -2   -1         1   2   3
                                         -1                x
                                         -2

                                         -3

                                         -4

                                         -5


   9) Hallar las ecuaciones de la tangente y la normal, y las longitudes de la
tangente, normal, subtangente y subnormal, para la hipérbola
   3x2 2y 2 + 3x 4y 12 = 0
   en el punto de contacto (2; 3).
   Solución:
   a) La tangente.
   La recta es
   y + 3 = m (x 2) =) y = mx 2m 3
   Se sustituye en la ecuación de la hipérbola
                          2
   3x2 2 (mx 2m 3) + 3x 4 (mx 2m 3) 12 = 0
     2m2 x2 + 8m2 x 8m2 + 8mx 16m + 3x2 + 3x 18 = 0
   El discriminante de esta ecuación es
                    2
    8m2 + 8m + 3        4 2m2 + 3       8m2 16m 18 = 0
   que se reduce a
   64m2 + 240m + 225 = 0
                             15
   y cuya solución es m =       .
                              8
   Así que
   y + 3 = m (x 2)
            15
   y+3+        (x 2) = 0
             8


                                          11
          15            15         3
   y+3+      (x 2) =       x+y
           8             8         4
   La ecuación de la tangente es 15x + 8y    6=0

   b) La normal.
   Para sacar la ecuación de la normal recordemos que su pendiente es reciproca
y de signo contrario de la de la normal, así que
           8
   mn =
          15
   y como pasa por el mismo punto su ecuación es
              8
   y+3=           (x 2)
             15
   La ecuación de la normal es 8x 15y 61 = 0

   c) La longitud de la tangente
   Tenemos
                              y1 p
   Longitud de la tangente=        1 + m2
                              m
                           15
   como y1 = 3 y m =
                            8          s
                                                         2
                                  3              15              17
   Longitud de la tangente=             1+                   =      = 3: 4
                                  15              8               5
                                  8

   d) Longitud de la normal
   Tenemos que              p
   Longitud de la normal= y1 1s m2 , así que
                              +
                                                 2
                                            15               51
   Longitud de la normal= ( 3)     1+                =          =    6:4
                                            8                8

   e) Longitud de la subtangente
   Tenemos
                                 y1
   Longitud de la subtangente=       y por lo tanto
                                 m
                                    3     8
   Longitud de la subtangente=         = = 1: 6
                                    15    5
                                    8

   f) Longitud de la subnormal
   Tenemos
   Longitud de la subnormal= my1 y por lo tanto
                                15           45
   Longitud de la subnormal=        ( 3) =      = 5: 6
                                8            8




                                      12
                              y   1



                         -1             1      2      3
                                                          x
                                  -1


                                  -2


                                  -3


                                  -4


                                  -5


   10) Hallar las ecuaciones de Ias rectas que pasan por el punto ( 2; 3) y que
forman cada una un ángulo de 45 con la recta 3x 2y + 7 = 0.
   Solución:
   La recta 3x 2y + 7 = 0 se puede escribir como
        3      7
   y = x+
        2      2
   es decir, tiene una pendiente de 3=2.
   Buscamos ahora la ecuación de una recta que pasa por el punto ( 2; 3) y
hace un ángulo de 45 con la recta 3x 2y + 7 = 0. Tenemos entonces la
pendiente como parámetro y escribimos
   y 3 = m (x + 2)
   Como el ángulo es de 45 ó de 135 tenemos tan 45 = 1 y tan 135 = 1.
   Usando la fórmula
             m1 m2
   tan =
            1 + m1 m2
   tenemos
                 3
           m
     1=          2
               3
          1+ m
               2
            3            3
       1+ m =m
            2            2
          3            3
     1+ m =m
          2            2
   m1 = 5
            3            3
       1+ m =m
            2            2



                                       13
         1
   m2 =
         5
   Resumiendo
                              1
   m1 = 5               m2 =
                              5
   Por tanto, las ecuaciones de las dos rectas son
   y 3 + 5 (x + 2) = 0 =) 5x + y + 7 = 0
           1
   y 3       (x + 2) = 0 =) x 5y + 17 = 0
           5

                                     y    5

                                          4

                                          3

                                          2

                                          1


                 -5   -4   -3   -2   -1         1   2   3   4   5
                                          -1                        x
                                          -2

                                          -3

                                          -4

                                          -5


    11) La suma de las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo es
constante e igual a 10 cm. Hallar las longitudes de los catetos si el área del
triángulo debe ser máxima.
    Solución:
    La suma de las longitudes de los catetos es a + b = 10.
                                ab
    El área del triángulo es A = .
                                 2
    De la primera ecuación despejamos b y sustituimos en la segunda ecuación,
entonces
         a (10 a)           1 2
    A=              = 5a      a
              2             2
    La grá…ca del área como función del cateto a es




                                           14
                           y
                               14
                               12
                               10
                                8
                                6
                                4
                                2

                          -4 -2      2   4    6   8 10 12 14
                              -2                               x
                                -4
                                -6
                                -8
                               -10
                               -12
                               -14

    Vemos que la función tiene un máximo.
    Para encontrarlo escribiremos la parábola en su segunda forma ordinaria,
completando cuadrados
      2A = 10a + a2
                                         2
      2A + 25 = 25 10a + a2 = (a 5)
           2             25
    (a 5) = 2 A
                          2
                                       25
    Tenemos que el vértice esta en 5;      , así que a = 5.
                                        2
    Como b = 10 a = 10 5 = 5:
    Entonces los catetos que maximizan el área del triángulo son a = 5 y b = 5.
Es decir, el área máxima de un triángulo rectángulo es cuando el triángulo es
isosceles.
                                    25
    El área máxima del triángulo es    .
                                     2




                                         15

								
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