GEOMETRICAL AND MATHEMATICAL ASPECTS OF THE ADlABATlC THEOREM OF by olliegoblue30

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									GEOMETRICAL AND MATHEMATICAL ASPECTS
      OF THE ADlABATlC THEOREM
       OF QUANTUM MECHANICS




                 THESE No 1022 (1992)

            PRESENTEE AU DEPARTEMENT DE PHYSIQUE



   ECOLE POLYTECHNIQUE FEDERALE DE LAUSANNE


       POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES




                                PAR

                          ALAIN JOYE
                   Ingénieur physicien diplôme EPF
                      originaire dFstavayer (FR)




                   accepte8 sur proposition du jury :

                    Dr Ch.-Ed. Pfister, rapporteur
                     Prof. H. Kunz, corapporteur
                    Prof. A. Martin. corapponeur
                    Prof. G. Nenciu, corapporteur




                           Lausanne, EPFL
                                1992
                                  Abstract
    This work is devoted to rigorous results about the adiabatic theorem of
quantum mechanics. This theorem deals with the time dependent Schrodinger
equation when the hamiltonian is a slowly varying function of time, character-
izing the so-called adiabatic regime. Mathematically, the adiabatic theorem
describes the solutions $,(t) in an Hilbert space H of the rescaled Schrodinger
equation
                                d
                             ie-+e(t) = H(t)+C(t)
                                dt
in the limit E --, 0. Suppose the hamiltonian possesses for any time t two
spectral projectors, Pl(t) and P2(t), which are spectrally isolated. Let us
consider a normalized solution which belongs at time t = -oo to the spectral
subspace PI(-m)H, i.e. which satisfies the boundary condition



                                     from PI(-oo)X to P2(+m)H between
Then the transition probability Pzl(&)
the times -m and + m is defined by



The adiabatic theorem states that P 2 1 ( ~tends to zero in the limit E -+ 0. Our
                                            )
                                                   )
main concern is the study of the decay of P 2 1 ( ~as E --, 0. We fist show that
if H(t) is an analytic unbounded operator then P21(.5) decays exponentially
fast to zero in the adiabaticity parameter E :


for some positive constant T.
    Then we turn to two-level systems for which we have a h e r control on the
behaviour of P21(&) E - 0. Indeed, in the generic case we give an explicit
                    as    ,
                                                           )
asymptotic formula for the transition probability P 2 1 ( ~which reads



The prefactor exp {2ImOl} is of geometrical nature and the exponential decay
          ,
rate 21m $ el(z)dz is computed by means of the integral of the analytic con-
tinuation of the eigenvalue el (t) along a suitable path 7 in the complex plane.
This expression constitutes a generalization of the so-called Dykhne formula
which does not contain the geometric prefactor. Moreover, we improve this
result and compute the leading term of               up to a correction of order
        for
O(EQ), any Q, instead of O(E). This result shows as well that the logarithm
of     (E) admits an asymptotic power series in E up to any order. Finally we
push the estimates to get the leading term of Pzl up to a correction of order
                                                   (E)
~(e-'le). We consider also cases where the 2 X 2 hamiltonian possesses some
symmetry, as the time reversal symmetry for example. I these situations, the
                                                           n
leading term of         changes qualitatively since it is given by a decreasing
exponential multiplying an oscillatory function of 1   /E.
    Then we come back to general systems driven by unbounded hamiltonians
and study the case where Pl(t) and P2(t) are both one-dimensional. These
projectors are thus associated with non-degenerate instantaneous eigenvalues
e l ( t ) and e 2 ( t ) of the hamiltonian H ( t ) . We prove that, in this case too, an
asymptotic formula for P 2 1 ( ~ )     exists, provided the two levels e l ( t ) and e 2 ( t )
are sufliciently isolated in the spectrum of H ( t ) . This formula turns out to
be the same as the formula valid for two-level systems. Finally, we consider
the situation frequently encountered in applications where the two levels e l ( t )
and e 2 ( t ) display an avoided crossing during the evolution. For an avoided
crossing located at time t = 0, this means that the levels behave as



where 5 << 1. As a consequence, the gap between e l ( t ) and e2(t) is minimum
for t = to(6) 2   -Swhere its value is



In this case, we show that for s and 6 small enough, the above formula for
PZ1(&) reduces to the well-known Landau-Zener formula




When c = 0 we recover the familiar Landau-Zener formula. This gives a
rigorous mathematical status to a formula which has been widely applied for
years in a variety of circumstances.
                                  Résumé

    Ce travail est consacré aux résultats recents sur le théorème adiabatique
de la mécanique quantique. Ce théorème traite de l'équation de Scbrodinger
dépendant du temps lorsque l'hamiltonien est une fonction lente du temps,
caractérisant le régime dit adiabatique. Mathématiquement, le théorème adi-
abatique décrit les solutions &(t) dam un espace de Hilbert 'FI de l'équation
de Schrodinger écrite à l'aide d'un temps sans dimension



dans la limite E + O. On suppose que l'hamiltonien possède en tout temps
t deux projecteurs spectraux Pl(t) et P2(t) qui soient spectralement isolés.
Considérons une solution normalisée qui appartient au temps t = -00 au
sous espace spectral Pl(-CO)%, c'est-à dire, qui satisfait la condition de bord



On définit alors la probabilité de transition P21(.5) de Pl(-CO)% à Pz(+m)%
entre les temps -CO et +CO par



Le théorème adiabatique h          e que P21(&)tend vers zéro dans la Lunite
E + O.  Notre objectif principal est d'étudier la décroissance de PZ1(c)lorsque
E -+ O. On montre en premier lieu que si H (t) est un opérateur analytique non-
borné, alors P 2 1 ( ~décroît exponentiellement vite vers zero dans le paramètre
                       )
d'adiabaticité E :
                                      =
                                pZ1(&) ~ ( e - ~ ~ ' ' )
où T est une constante positive.
   On considère ensuite les systèmes à deux niveaux pour lesquels on a un
contrôle plus fin du comportement de 'PZ1(e).En effet, dans le cas générique
on donne une formule asymptotique explicite pour la probabilité de transition
       qui
PZ1(&) s'écrit




Le prefacteur exp {21mûl) est de nature géometrique et le taux de décroissance
                     ,
exponentielle 2Im J el(t)dz se calcule au moyen de l'intégrale du prolonge-
ment analytique de la valeur propre el (t) le long d'un chemin y judicieusement
choisi dans le plan complexe. Cette expression constitue une généralisation de
la formule dite de Dykhne qui ne contient pas le préfacteur géométrique. De
                                                                           )
plus, on améliore ce résultat par un calcul du terme dominant de P 2 1 ( ~à une
correction d'ordre O ( E ~ ) pour tout q, au lieu de O(&).Ce résultat montre
                         près,
également que le logarithme de Pzl(e) admet un dévelopement asymptotique
en puissances de E d'ordre arbitraire. Finalement on pousse les estimations
jusqu'à obtenir le terme dominant de P21(&) une correction d'ordre O(e-'le).
                                               à
On considère également des cas d'hamiltoniens 2 x 2 possédant une certaine
symétrie, par exemple la symétrie de renversement du temps. Dans ces situa-
tions le terme dominant de Pzl(e) change qualitativement puisqu'il est donné
par une exponentielle décroissante multipliant une fonction oscillante de 1/e.
    On revient ensuite à des systèmes généraux gouvernés par des hamiltoniens
non-bornés et on étudie le cas où Pl(t) et Pz(t) sont tous deux unidimension-
nels. Ces projecteurs sont alors associés à des valeurs propres instantanées
non dégénérées el(t) et e2(t) de l'hamiltonien H(t). On prouve dans ce cas
également qu'une formule asymptotique pow PZl(e) existe pour autant que
les deux niveaux el (t) et e2(t) soient sufEsamment isolés dans le spectre de
H(t). Cette formule se révèle être identique à la formule valable pour les
systèmes à deux niveaux. Finalement, on considère la situation que l'on ren-
contre fréquemment dans dans les applications dans laquelle les deux niveaux
el(t) et e2(t) présentent un "presque croisement" (avoided crossing) durant
l'évolution. Pour un presque croisement situé en t = O, cela signifie que les
niveaux se comportent comme



où 6 « 1. Par conséquent, la lacune spectrale entre el(t) et ez(t) est minimale
en t = to(b) 2 -$ et vaut



Dans ce cas on montre que pour e et 6 s e a m m e n t petits, la formule donnant
PZl(&)ci-dessus se réduit à la fameuse formule de Landau-Zener




Lorsque c = O on retrouve la forme usuelle de la formule de Landau-Zener.
Ce résultat donne un statut mathématique à une formule largement appliquée
depuis des années dans diverses circonstances.
ContentS

  Introduction                                                                               1
  1.1 Historical Account . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     1
  1.2 Mathematical Aspects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       3
       1.2.1 Adiabatic Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        6
       1.2.2 Adiabatic Invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       7
       1.2.3 Reader's Guide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       8
  1.3 Iterative Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      8
       1.3.1 Higher Order Adiabatic Evolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         10
       1.3.2 From Adiabatic to Superadiabatic Evolutions . . . . . . . . . . . . .           10
  1.4 Complex Time Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        11
       1.4.1 An Asymptotic Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         11
       1.4.2 Dissipative Paths and Stokes Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        14
       1.4.3 A Little Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       15
       1.4.4 Interferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     16
       1.4.5 How to Avoid Considering the Stokes Lines ? . . . . . . . . . . . . .           18
  1.5 CombiningtheMethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          19
       1.5.1 Asymptotic Formula up to Exponentially Small Errors . . . . . . . .             19
       1.5.2 Two Levels i a Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
                           n                                                                 20
       1.5.3 Avoided Crossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      21
       1.5.4 The Landau-Zener Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .          22
   1.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   23

2 Preliminaries                                                                          25
  2.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
  2.2 BasicEstimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
       2.2.1 Various Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
       2.2.2 Stability of the Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
       2.2.3 Evolution Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 Iterative Scheme                                                                      31
  3.1 Algebraic Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
       3.1.1 Arbitrary Order Adiabatic Evolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
       3.1.2 Improvement by a Factor e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
  3.2 Exponential Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
       3.2.1 Superadiabatic Evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
       3.2.2 Dependence i the Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
                         n
166                                                                           CONTENTS

4 Complex Time Method                                                                       51
  4.1 Spin-1/2 in a Time-Dependent Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . .           51
      4.1 .1 Coordinate-Dependent Formulation of the Problem . . . . . . . . . .            51
                                                .
      4.1.2 Analytic Continuation of W ( % ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        55
      4.1.3   Circuit Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    56
      4.1.4 Formula for Oj(O)y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      57
      4.1.5 Asymptotic Formula for Pzl(e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         58
      4.1.6 Quadratic Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      62
      4.1.7   Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    65
  4.2 Interferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   73
      4.2.1 Adaptation of Roman Roman's Method . . . . . . . . . . . . . . . .              75
        4.2.2   Example of Interferences .   ........................                       79

5 Combination of Both Methods                                                          87
  5.1 Full Asymptotic Expansion of P*,(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
      5.1.1 Iterated Two-Level Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
      5.1.2 Superadiabatic Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
  5.2 Transition Probability Between Two Isolated Levels . . . . . . . . . . . . . 95
      5.2.1 DefinitionoftheProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
      5.2.2 Reduction to an Effective Two-Level System . . . . . . . . . . . . . 97
                                          h

      5.2.3 AsymptoticFormulafor Pzl(e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
      5.2.4 Conditionon the Gap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6 Landau-Zener Formula                                                                  105
  6.1 Formalisation of the Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
      6.1.1 Bypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
      6.1.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
  6.2 Proof of the Landau-Zener Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
      6.2.1 Basic Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
      6.2.2 Uniform Reduction Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
      6.2.3 Study of the EffectiveProblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
      6.2.4 Expansion in 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
      6.2.5 Existence of a Dissipative Path y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
                                              6

A Exponential Bounds via Complex Time Method                                                133
  A.l Bounded Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . . . . . . . . . . . . 133
  A.2 Existence of the Dissipative Path y(2) . . . . . . .     . . . . . . . . . . . . . . 138
B Proof of Lemma (2.2.1)                                                                    141

C Proof of Lemma (2.2.4)                                                                    143

D Proof of Lemma (3.1.2)                                                                    147

E Proof of Proposition (4.1.1)                                                           151

F Proof of Lemma (6.2.1)                                                                    153

G Proof of Lemma (6.2.3)                                                                    157

H Proof of L e m m a (6.2.5)                                                                159

								
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