Exercice 1 On effectue le dépouillement des bulletins de

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Exercice 1 On effectue le dépouillement des bulletins de Powered By Docstoc
					               e
     Universit´ d’Angers                                                  e
                                                                       Ann´e 2009 - 2010
               e
     L3 - Math´matiques                                                   e
                                                                       Mod´lisation stochastique
                    ´
     (Parcours Math-Eco-Finance)

                                      S´rie d’exercices N◦ 5
                                       e
                                       Notions de statistique




        Exercice 1                        e                                         e
                        On effectue le d´pouillement des bulletins de vote d’une ´lection qui
                               e e                                                  e
comprend deux candidats num´rot´s 0 et 1. On suppose que le vote s’effectue aupr`s d’un tr`s   e
                 e             e          e      e                                     e
grand nombre d’´lecteurs. Apr`s avoir d´pouill´ 1000 bulletins, on constate que 253 ´lecteurs
       e                                              e
ont vot´ pour le candidat 0, tous les autres ayant vot´ pour le candidat 1. Donner un intervalle
de confiance au niveau 0,95 pour le score final du candidat 1.


        Exercice 2               e                              e                          e
                       En vue d’´tudier le peuplement d’une rivi`re en truites, on a captur´
                            e
1200 truites dont on a mesur´ la longueur (en cm) :

                tailles  4 6    8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
                effectifs 22 302 64 279 175 197 66 51 31 8 1 3 1

                                           e
        1. Calculer la taille moyenne de l’´chantillon.
        2. Trouver un intervalle de confiance de la longueur moyenne au seuil 0,05.
                                                                        e       a             e
        3. Calculer le pourcentage de truites dont la longueur est sup´rieure ` 18cm, taille l´gale
                                     e             e            `                 e
          des truites que l’on peut pˆcher. La rivi`re est-elle a conseiller aux pˆcheurs ?



      Exercice 3 La dur´e de vie d’une ampoule ´lectrique d’un certain type est une
                               e                         e
variable gaussienne N (m, σ). Pour n = 16 observations, on trouve une moyenne observ´e de
                                                                                    e
3000 heures.
      1. En admettant que σ = 20 heures, donner pour m un intervalle de confiance au seuil
        0, 1.
                                       ıt          e
      2. On suppose que l’on ne connaˆ pas σ. L’´cart-type empirique est S = 20 heures.
        Donner pour m un intervalle de confiance au seuil 0,1. Commenter.
      3. Donner un intervalle de confiance de σ au seuil 0, 1.



        Exercice 4 On sonsid`re un n-´chantillon de loi (Eλ )λ>0 exponentielle de param`tre
                            e        e                                                 e
λ.
        1. Montrer que 2λ(X1 + X2 + ... + Xn ) a une loi χ2 (2n).
             e
        2. D´terminer pour n = 10, deux intervalles de confiance pour estimer λ au seuil 0, 01,
          l’un de la forme ]0, A], l’autre de la forme [B, +∞[.



        Exercice 5                                              e           e
                       Soient Y1 , Y2 , .., Y25 des variables al´atoires ind´pendantes et identique-
             e                                    e
ment distribu´es selon une loi Normale d’esp´rance m et de variance a2 .
     1. Si nous pouvons assurer que la variance est connue, a2 = 2.25, calculez un intervalle
       de confiance 95 pour m.
                                                              e
      2. La variance est en fait inconnue. Comment est modifi´ l’intervalle de confiance 95%
          e e
        pr´c´dent ?
                         e
      3. Application num´rique : donner lestimation de m et les deux intervalles de confiance
        correspondant aux observations faites, qui ont pour moyenne et variance empiriques :
                                     25                           25
                              1                          2    1
                           y=             yi = 13, 5 ,   s =            (yi − y)2 = 1.67 .
                              25    i=1
                                                             25   i=1




      Exercice 6                                e                       `
                          Dans une usine de d´colletage, on cherche a estimer le diam`tre des   e
                                ıne.                       e
boulons produits par une chaˆ On sait que le diam`tre des boulons suit une loi normale de
moyenne µ et de variance σ 2 .
                                                                   e      `
     1. On suppose d’abord que la variance σ est connue et est ´gale a 3. On a obtenu pour le
             e               e       e e
       diam`tre de dix pi`ces test´e l’´chantillon suivant : 1,2 ; 1,1 ; 0,9 ; 0,8 ; 1 ; 1,1 ; 1,3 ; 1,1 ;
       0,9 ; 1. Donner un intervalle de confiance au niveau 0,95 pour la moyenne µ.
                                                        ıt
     2. On suppose maintenant que l’on ne connaˆ pas la variance de cette loi. Donner alors
       un intervalle de confiance au niveau 0,95 pour la moyenne. Comparer ` la premi`re  a            e
       question.
     3. Comparer la variance empirique Sn = [(X1 − X n )2 + · · · + (Xn − X n )2 ]/n a la variance
                                             2
                                                                                          `
       r´elle σ 2 , en calculant P (10S10 > 16, 9σ 2 ).
        e


      Exercice 7        `      e                                       e
                        A la r´ception de colis, un responsable veut v´rifier l’exactitude des
               e
masses affich´es sur les boˆ           ee                     ıtes     e
                          ıtes. Il pr´l`ve, au hasard, 25 boˆ qu’il p`se. Soit xi la masse (en
             e     ıte.
kg) de la i-i`me boˆ Il obtient :
                                    25
                                          xi = 49, 5 et x2 = 98, 3 .
                                                         i
                                    i=1

      1. Donner une estimation ponctuelle de la moyenne et de la variance de la masse des
          ıtes
        boˆ de la production.
                   ıt                                                      a
      2. On connaˆ la masse moyenne attendue µ0 = 2, 00kg, correspondant`lanormedef abrication.Lesmass
                                                           ıtes     e
              a) Peut-on dire que la masse moyenne des boˆ envoy´es dans les colis satisfait
                la norme de fabrication, pour un seuil α = 0, 05 ?
              b) Sachant que la variance de la production est σ 2 = 0, 01, peut-on dire que la
                                      ıtes      e
                masse moyenne des boˆ envoy´es dans les colis satisfait la norme de fabrica-
                tion pour un seuil α = 0, 05 ?

      exo
           e               e
On a lanc´ 600 fois un d´ et l’on a obtenu 60 fois le 1, 108 fois le 2, 108 fois le 3, 102 fois le 4,
108 fois le 5 et 114 fois le 6. Tester l’hypoth`se, H0 : ”Le d´ est pip´”, au seuil de 0,05.
                                               e              e        e


      Exercice 8 Un ordinateur poss`de un g´n´rateur pseudo-al´atoire de nombres choisis
                                   e       e e                e
                                                                         e              e
au hasard dans l’ensemble des dix premiers entiers. Les milles premiers r´sultats sont r´partis
dans le tableau suivant :
                    Chiffres     0  1   2   3  4   5  6   7   8 9
                   Observation 120 87 115 103 91 109 92 112 94 77
                          e     e             e                                         e
Peut-on accepter l’hypoth`se d’´quiprobabilit´ pour chacun des chiffres ? Faites de mˆme en
       c                                 e e                      e ee
rempla¸ant les observations du tableau pr´c´dant par des valeurs g´n´r´es par la fonction rand
de Scilab.