Introduction la logique Plan gnral Bibliographie Logique by reuotld5

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									                                                                      Plan g"n"ral
                                                                          Logique propositionnelle : 3 s"ances
                                                                          D"duction naturelle : 3 s"ances
Introduction ! la logique                                                 Logique des pr"dicats monadiques : s"mantique
Cours : Pascal Ludwig, Pascal.Ludwig@paris4.sorbonne.fr                   informelle, syntaxe, s"mantique formelle. 4 s"ances.
http://perso.wanadoo.fr/pascal.ludwig/home                                Introduction ! la logique des pr"dicats relationnels : 2
                                                                          s"ances.




                                                                  1                                                                  2




Bibliographie
    Notes de cours : http://perso.wanadoo.fr/pascal.ludwig/
    home
    Fran#ois Lepage, El!ments de logique contemporaine, Presses       Logique propositionnelle
    universitaires de Montr"al, 2$me ed. 2001 %surtout pour la
    logique propositionnelle ; les notations ne sont pas              Introduction ! la logique, cours 1
    exactement celles du cours
    Graeme Forbes, Modern Logic, Oxford UP, 1994.




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      LA VALIDITÉ
                                                    C’est le cas si l’une au moins des prémisses
Un argument est déductif si le lien entre les       est fausses.
prémisses et la conclusion est maximalement
contraignant : la conclusion ne peut
absolument pas être fausse SI les prémisses         Ex : Nicolas Sarkozy est un oeuf poché.
sont vraie                                          Tous les oeufs pochés sont bon à manger.
                                                    Donc Nicolas Sarkozy est bon à manger
ATTENTION : la conclusion d’un
argument valide peut être fausse !!!



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validité vs vérité                                  A chacun son job !
                                                    La vérité des propositions est le boulot de
                                                    chaque spécialiste:
La validité d’un argument n’est pas
identique à la vérité                                 Tout nombre pair est la somme de deux
                                                      nombres premiers
La vérité s’applique aux énoncés ou aux
propositions de l’argument                            Le ciment prend en 1 heure

La validité est une propriété de la structure         Il faut pratiquer une intervention
de l’argument ie de la relation des prémisses
à la conclusion                                       Les narcisses se plantent en mars

                                                    La validité est le boulot du logicien
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Notion de validit" formelle                                              %1) : Pierre est Cardinal. En cons"quence, il n(a aucun enfant
  Un argument est compos" &un ensemble &"nonc"s                          l"gitime.
  nomm"s les pr"misses, qui justi'ent un "nonc" 'nal                     D(autres arguments sont valides uniquement en vertu de leur
  nomm" conclusion                                                       forme logique
  Un argument est valide s(il est absolument impossible que                %2) : Si Pierre a gagn", Jean a perdu. Or Jean n(a pas perdu.
  les pr"misses soient toutes vraies et la conclusion fausse               Donc Pierre n(a pas gagn"
  On distingue la validit" mat"rielle de la validit" formelle              %3) : Si la croissance augmente, le ch*mage diminue . Or, le
  Un argument est mat"riellement valide ssi sa validit"                    ch*mage ne diminue pas. Donc la croissance n(augmente pas.
  d"pend du sens des mots qui y 'gurent



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   On voit facilement que les arguments %2) et %3) ont une
   structure commune, que le peut repr"senter
   sch"matiquement :                                                    Les fonctions propositionnelles
   Si p, alors q. Or non q. Donc non p.                                    La logique propositionnelle s(int"resse aux op"rations
                                                                           logiques sur les propositions %principalement la n"gation)
   La logique formelle s(int"resse ! de tels sch"mas &arguments,           et aux connexions logiques entre propositions %la
   qu(on appelle aussi des formes &arguments.                              conjonction, la disjonction, le conditionnel).
   Un but important du cours est &apprendre ! formaliser les               La structure interne des propositions simples %Ex: Socrate
   arguments en fran#ais, a'n &en faire appara+tre la forme ou             marche) est enti$rement laiss"e de c*t".
   la structure logique.
   Pour cela, nous construirons des langages arti'ciels de plus
   en plus riche, en commen#ant par le langage de la logique
   propositionnelle.


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Fonctions de v"rit"
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  Un "nonc" est logiquement simple s(il ne contient aucun des
  connecteurs logiques "num"r"s %n"gation, conjonction, disjonction,
  conditionnel)

     Ex : Il y a au moins un homme honn,te dans la pi$ce.
                                                                                            e
                                                                                       • Not´e ¬
  Un "nonc" qui n(est pas logiquement simple est compos" &"nonc"s                                            p   ¬p
  simples, ! -aide des 4 grandes fonctions logiques.
                                                                                                   e e
                                                                                       • Table de v´rit´ :   V   F
     Ex : S(il pleut, il faut prendre un parapluie.
                                                                                                             F   V
  Une fonction de v"rit", c(est une fonction, repr"sent"e par une table,
  qui donne la valeur de v"rit" &une proposition complexe ! partir des
  valeurs de v"rit" des propositions simples qui la composent



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La conjonction, !                                                               La conjonction
  Pierre est all" ! la soir"e, mais Marie est rest"e ! la maison
                                                                                                        e
                                                                                  1. La conjonction, not´e ∧
  p : .Pierre est all" ! la soir"e/ ; q: .Marie est rest"e/

  Il ne su0t ni que p soit vraie, ni que q soit vraie, pour que p ! q                                    p   q   p∧q
  soit vraie
                                                                                                         V   V    V
  R$gle : Un "nonc" complexe " est une conjonction logique ssi on                                        V   F    F
  peut l’analyser en deux énoncés plus simples # et $ tels que :
                                                                                               e e
                                                                                  2. Table de v´rit´ :
                                                                                                         F   V    F
     Si # est vraie et $ est vraie, " est vraie
                                                                                                         F   F    F
     Si " est vraie, # est vraie et $ est vraie


                                                                           15                                          16
La disjonction, %                                                      La disjonction
  R$gle : Un "nonc" complexe " est une disjonction logique
  ssi on peut -analyser en deux "nonc"s plus simples # et $                                    e
                                                                          • La conjonction, not´e ∨
  tels que :
                                                                                                         p     q     p∨q
    Si # est vraie, ou si $ est vraie, " est vraie
                                                                                                         V     V      V
    Si " est vraie, ou # est vraie ou $ est vraie %et
    "ventuellement les deux)                                                          e e
                                                                          • Table de v´rit´ :            V     F      V
                                                                                                         F     V      V
  Ou encore : " est fausse ssi # est fausse ET $ est fausse
                                                                                                         F     F      F


                                                                  17                                                             18




Attention !                                                            Le conditionnel
  En logique, on consid$re toujours que la disjonction est
  inclusive ; autrement dit, il su0t que que -une des                                                         e           e
                                                                         • Le conditionnel, ou implication mat´rielle, not´e →
  propositions disjointes soit vraie pour que la disjonction le
                                                                         • On appelle la partie gauche d’un conditionnel son
  soit.
                                                                              e e                              e
                                                                           ant´c´dent, la partie droite le cons´quent
  La disjonction exclusive a la table de v"rit" suivante :
                                                                         • (1)                                   e
                                                                                 a S’il pleut , le sol est mouill´
                       p    q    pwq
                                                                                     ant´c´dent
                                                                                        e e               e
                                                                                                      cons´quent
                       V    V     F
                       V    F     V                                              b       p        →       q
                       F    V     V                                                     e e
                                                                                     ant´c´dent           e
                                                                                                      cons´quent
                       F    F     F

                                                                  19                                                             20
R$gle pour le conditionnel                                                                Table du conditionnel
   Un "nonc" complexe " est un conditionnel ssi on peut
   -analyser en deux "nonc"s plus simples # et $ tels que :
                                                                                             • Attention ! Un conditionnel n’est faux que dans un
                                                                                                                          e e
                                                                                               cas et un seul : si son ant´c´dent est vrai et son
      la vérité de # (l’antécédent) soit une condition suffisante                                    e
                                                                                               cons´quent faux
      pour la vérité de $
                                                                                                 p   q   p→q
       le conditionnel " est faux ssi # est vrai et $ est faux                                   V   V    V
                                                                                             •   V   F    F
                                                                                                 F   V    V
                                                                                                 F   F    V



                                                                                     21                                                             22




Conditions n"cessaires et
su0santes                                                                                 Syntaxe du langage LP : lexique
  Comment traduire .# est une condition suffisante de $” ?

     Pour qu(une telle a0rmation soit vraie, il faut que lorsque # est vraie, $ le         Dans le lexique, nous mettons :
     soit aussi

     Autrement dit, il faut que . #&$” soit vrai                                                               e
                                                                                           • un nombre illimit´ de lettres
  “# est une condition nécessaire de $ ?”                                                    propositionnelles, p, q, r, s, t . . .
     Ex : Pour Pierre, assister au cours est une condition nécessaire pour réussir
     l’examen
                                                                                           • des symboles logiques, {¬, ∧, ∨, →, ↔}
     Cela ne veut pas dire que si Pierre assiste au cours, il réussira l’examen

     Plutôt : s’il n’assiste pas au cours, il n’a pas l’examen                             • des signes de ponctuation, ”(” et ”)”.
     Ou encore : s’il a l’examen, c’est qu’il a assisté au cours : . $&#”


                                                                                     23                                                             24
R$gles de construction                                       Arbre de construction syntaxique
                                                                                          a
                                                                On peut associer un arbre ` chaque formule
  1. R-at : Si φ est une proposition atomique,
     φ est une ebf ;
                                                                         e
                                                                bien form´e :
                                                                p → (q ∧ r)
  2. R-neg : Si φ est une ebf, (¬φ) aussi ;

  3. R-conj : Si φ et ψ sont des ebf, (φ ∧ ψ) aussi ;             p → (q ∧ r)
  4. R-disj : Si φ et ψ sont des ebf, (φ ∨ ψ) aussi ;
                                                                     ¨r
                                                                     ¨r
                                                                    p q∧r
  5. R-cond : Si φ et ψ sont des ebf, (φ → ψ) aussi ;
                                                                          q    r

                                                        25                                                                     26




Ex 2                                                         S"mantique formelle
                                                               En eux1m,mes, les symboles logiques de LP %c(est1!1dire
                                                               les lettres propositionnelles) n(ont pas de signi'cation.
                    ¬(p ∨ (q ∧ r))
                                                               On peut cependant les interpr"ter, en leur assignant une
                                                               valeur de signi'cation ; comme on ne s(int"resse en
                     (p ∨ (q ∧ r))                             logique qu(! la v"rit" ou ! la fausset" des formules, on leur
                         ¨r
                         ¨r                                    assigne une valeur de v"rit".
                        p q∧r
                                                               Principe de bivalence : il n(y a que deux valeurs de v"rit",
                                                               le vrai, .V/, et le faux, .F/. Une formule poss$de ou bien
                             q   r                             -une, ou bien -autre de ces valeurs, ! -exclusion de toute
                                                               autre 2 et pas les deux.


                                                        27                                                                     28
Interpr"tation                                                           Exemple
  D"'nition 1 : On nomme interpr!tation &un ensemble de                   Soit l’ensemble {p → q, p ∨ r, ¬s}.
  formules de LP toute fonction I qui associe une valeur de
  v"rit" %et une seule) ! toutes les formules atomiques qui
                                                                                                              e
                                                                          La fonction suivante est une interpr´tation de cet
  'gurent dans -ensemble.                                                 ensemble :
                                                                            • p;V
                                                                            • q;V
                                                                            • r;F
                                                                            • s;V

                                                                    29                                                                       30




Tables des formules complexes                                            Construction &une table
  Toute ebf de LP poss$de une valeur de v"rit" dans chacune de             Rep"rer toutes les sous1formules de la formules complexes, des
  ses interpr"tations.                                                     moins complexes aux plus complexes
  En e3et, chaque formule complexe est form"e ! partir de                  Compter le nombre de formules atomiques dans la formule
  lettres propositionnelles, ! -aide &op"ration qui sont des               complexe = n
  fonctions de v"rit".

  Chaque lettre propositionnelle est V ou F %dans une                      Pr"voir une table contenant 2n lignes
  interpr"tation donn"e), et ! chaque "tape de la composition, le          Pr"voir une colonne di3"rente pour chaque sous1formule
  r"sultat est la valeur &une fonction dans 4V, F5
                                                                           De gauche ! droite, "crire toutes les sous1formules %en partant
  PB : comment d"terminer la valeur de v"rit" &une formule                 des lettres propositionnelles et en arrivant ! la formule
  complexe dans toute interpr"tation concevable ?                          complexe)


                                                                    31                                                                       32
                                                                                  Tautologies, antilogies, formules
Ex : table de .%¬%p&q) !r)/                                                       contingentes
                                                                                    Une tautologie est une formule qui est vraie dans toutes
        p          q         r        p&q         ¬%p&q)       %¬%p&q) !r)          les interpr"tations possibles. Autrement dit, la colonne de
        V         V          V         V             F               F              la formule complexe dans sa table ne contient que des V
        V         V          F         V             F               F
                                                                                      Notation :   |= φ
        V          F         V          F            V               V
        V          F         F          F            V               F              Une antilogie est une formule qui n(est vraie dans aucune
                                                                                    interpr"tation possible ; sa colonne ne comporte que des
        F         V          V         V             F               F
                                                                                    F
        F         V          F         V             F               F
        F         V          V         V             F               F
        F         V          F         V             F               F


                                                                             33                                                                   34




   Une formule contingente est une formule qui est vraie dans certaines
   et fausses dans &autres

   Sa colonne contient ! la fois des V et des F                                         p → (q → p) est une tautologie :
   Chaque ligne dans une table de v"rit" donne les valeurs de v"rit" de
   chaque formule dans toutes les interpr"tations possibles des lettres
                                                                                             p      q      q→p         p → (q → p)
   propositionnelles.                                                                        V      V       V               V
   Ou encore : les lignes correspondent ! toutes les cas possibles                           V      F       V               V
   pertinents pour -interpr"tation &une formule
                                                                                             F      V       F               V
     S(il y a deux formules atomiques, il y a 4 cas possibles
                                                                                             F      F       V               V
     S(il y a trois formules atomiques, il y a 8 cas possibles ...

   Une formule atomique est forc"ment contingente : sa forme ne peut
   ni exclure qu(elle soit vraie, ni exclure qu(elle soit fausse


                                                                             35                                                                   36
                                                                      Tester la validit" &une forme
                                                                      dans LP
                p ∧ ¬p est une antilogie :                            1. D"'nition de la notion de validit"
                                                                      2. Tester la validit" par la m"thode des tables de v"rit"
                    p     ¬p        p ∧ ¬p
                    V     F           F                               3. Tester la validit" par la m"thode des arbres s"mantiques
                    F     V           F




                                                                 37                                                                     38




                                                                      Tester la validit" par la m"thode
Validit" &une forme &argument                                         des tables de v"rit"
  D"'nition : Une forme &argument ayant pour pr"misses                    Pour tester la validit" &une forme par la m"thode des
  #1 ... #n et pour conclusion $ est dite logiquement valide              tables :
  ssi il n(existe aucune interpr"tation des pr"misses et de la
  conclusion dans laquelle toutes les pr"misses sont vraies et              On construit la table comprenant toutes les pr"misses
  la conclusion est fausse.                                                 et la conclusion, ainsi que toutes leurs sous1formules

  Notation :   φ1 , . . . φn |= ψ                                           On v"ri'e qu(il n(y a aucun cas possible o6 les pr"misses
                                                                            sont toutes vraies et la conclusion fausse
  Lorsqu(une forme &argument n(est pas valide, on note
                                                                            On v"ri'e donc qu(il n(y a aucune ligne sur laquelle les
  ainsi :      φ1 ...φn |= ψ                                                pr"misses seraient vraies mais la conclusion fausse



                                                                 39                                                                     40
       Ou bien Jean a r´ussi son examen,
                          e                                         Tester la validit" par la m"thode
                      ea
       ou il est entr´ ` la banque ;
 •
       or, il n’est pas entr´ ` la banque ;
                            ea                                      des arbres s"mantiques
                    e
       donc, il a r´ussi son examen.                                  Id"e g"n"rale de la m"thode : pour montrer qu(une forme est
       p∨q                                                            valide, on montre qu(il est absurde de supposer qu(il existe une
                                                                      interpr"tation qui rende vraies toutes ses pr"misses et fausses
 •     ¬q
                                                                      sa conclusion
       p
                                                                      Pour cela, on suppose qu(il existe une telle interpr"tation %qu(on
       p   q    p∨q     ¬q                                            appelle aussi un contre1mod$le de la forme), et on montre que
       V   V     V      F                                             de cette supposition d"coule une contradiction
 •     V   F     V      V                                             C(est donc un raisonnement par -absurde
       F   V     V      F
       F   F     F      V                                             A'n de nous aider ! montrer cela, on introduit des r$gles qui
                                                                      permettre de construire un arbre pour chaque forme
                                                                      &argument

                                                               41                                                                          42




                                                                       Les arbres que -on construit sont invers"s : on part &un
                                                                       ensemble &"quations, que -on analyse vers le bas %la racine
On peut associer un arbre ! n(importe quel ensemble de
                                                                       est donc en haut de -arbre, les feuilles en bas).
formules, y compris ! un ensemble r"duit ! une seule formule
%on verra plus tard ! quoi #a sert)                                    Pour construire -arbre, on analyse les formules complexes
                                                                       situ"es ! la racine ! -aide de r$gles qui permettent de les
Un arbre sert ! explorer ce qu(implique la supposition &une
                                                                       d"composer. On analyse ensuite les formules complexes
certaine interpr"tation &une forme ; en cons"quence, les
                                                                       obtenues %s(il y en a), jusqu(! ce qu(il n(y ait plus que des
noeuds dans -arbre ne sont pas des formules toutes nues,
                                                                       formules simples.
mais des formules interpr"t"es %que -on appelle parfois des
"quations)                                                             On "crit les formules sur ce qu(on appellera des noeuds dans
                 (1) V : p ∧ q                                         -arbre %la racine est le premier noeud ; puis on cr"e un
Ex :
                                                                       second noeud en appliquant la premi$re r$gle, et ainsi de
                 (2) F : (p ∨ q) → r                                   suite)



                                                               43                                                                          44
                                                                            On ne peut appliquer une r$gle qu(une seule fois ! chaque formule, et
                                                                            pour s(en souvenir, il est bon de marquer la formule %par exemple ! -aide
                                                                            du symbole !).

                                                                            On appelle chemin, dans un arbre, toute s"quence de noeuds telle %i)
   Attention : lorsqu(on applique une r$gle dans un arbre d"j!              qu(elle permette &aller de la racine ! une feuille %un .bout/ de -arbre,
   en partie construite, le r"sultat de -application de la r$gle            vers le bas) %ii) sans passer deux fois par le m,me noeud.
   percole dans -arbre : il faut descendre toutes les branches de
                                                                             Une fois qu(un arbre est enti$rement construit, on ferme tous les
   -arbre, et "crire le r"sultat au bout de chaque branche.
                                                                            chemins qui contiennent une contradiction %en fait, une bonne strat"gie
                                   Application de R                         pour gagner du temps est de fermer les chemins qui contiennent une
                                                                            contradiction d$s que
                                                                            vous avez d"tect" celle1ci)
                    R"sultat                                                On dit qu(il y a une contradiction sur un chemin ssi -on peut trouver sur
                                                                            ce chemin, pour une formule ', ! la fois V : ' et F : '
                         R"sultat R"sultat


                                                                    45                                                                                  46




Les r$gles pour la n"gation                                              Les r$gles pour la conjonction

             V : ¬φ                F : ¬φ                                          V :φ∧ψ                                  F :φ∧ψ
                                                                                                                             ¨ r
                                                                                                                            ¨ r
              F :φ                  V :φ                                              V :φ                                F :φ F :ψ
                                                                                      V :ψ




                                                                    47                                                                                  48
Les r$gles pour la disjonction               Les r$gles pour le conditionnel


       V :φ∨ψ            F :φ∨ψ
                                                  V :φ→ψ                      F :φ→ψ
         ¨ r
       ¨ r                                          ¨ r
                                                   ¨ r
     V :φ V :ψ             F :φ
                                                 F :φ V :ψ                       V :φ
                           F :ψ
                                                                                 F :ψ



                                        49                                                 50




                                             Utiliser les arbres pour trouver
Illustration                 √
                                             des contre1mod$les
                      V :p→q√
                      V :q→r√
                      F :p→r

 p→q                      V :p
                                                   p → (q ∧ r), s → (p ∨ t), ¬r |= s → q
 q→r                      F :r
 p→r                   ¨
                          ¨ r
                         ¨ r r
                     F :p      V :q
                      ×        ¨ r
                              ¨ r
                            F :q V :r
                             ×      ×

                                        51                                                 52
                       √
       V : p → (q ∧ r) √
       V : s → (p ∨ t)
                  √
           V : ¬r √
         F :s→q

             F :r

            V :s
            F :q
            ¨r
            ¨rr
       ¨ ¨¨       rr
                         √
     F :p        V :q∧r
     ¨r
  ¨¨ rr             V :q
F :s    V :p∨t
 ×        ¨r
         ¨ r        V :r
      V :p V :t      ×
        ×

                             53

								
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