www.khoabang.com.vn
C©u I. 1) §Ó f(x) = 0 cã nghiÖm, ta ph¶i cã :
∆ ' = (m + 1)2 − 2(m 2 + 4m + 3) = = − m 2 − 6m − 5 ≥ 0 ⇒ − 5 ≤ m ≤ − 1.
LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
2) Víi ®iÒu kiÖn trªn, gäi x1 , x2 lµ c¸c nghiÖm cña f(x) = 0, x1 ≤ x 2 . ThÕ th×
−(m + 1) − ∆ ' −(m + 1) + ∆ ' , x2 = . 2 2 §iÒu kiÖn cña bµi to¸n ®−îc nghiÖm nÕu x2 ≥ 1 , suy ra x1 =
−(m 2 + 6m + 5) ≥ m + 3 .
NÕu m ≤
3 bÊt ph−¬ng tr×nh ®−îc nghiÖm. Víi m ≥ − 3, b×nh ph−¬ng hai vÕ, ®i ®Õn
0 ≥ 2m 2 + 12m + 14 ⇒ −6 − 2 2 −6 + 2 2 ≤m≤ . 2 2 −6 + 2 2 . 2
KÕt hîp c¸c ®iÒu kiÖn ta ®−îc :
−5 ≤ m ≤
3) Theo hÖ thøc Vi Ðt
x1x 2 − 2(x1 + x 2 ) = m 2 + 4m + 3 m 2 + 8m + 7 + 2(m + 1) = 2 2
XÐt hµm g(m) = m 2 + 8m + 7 trªn ®o¹n [− 5 ; − 1]. §å thÞ cña parabol cã ®Ønh t¹i m o = − 4, suy ra
−5≤ m ≤−1
min g(m) = g(−4) = −9
−5≤ m ≤−1
max g(m) = g(−1) = 0
VËy
−5≤ m ≤−1
max | g(m) | = 9 . V× A =
| g(m) | 9 , vËy max A = ®¹t ®−îc khi m = − 4. 2 2
C©u II.
1) Víi k = 3, ta cã hµm sè
y = − 2x + 3 x 2 + 1
Hµm sè ®−îc x¸c ®Þnh víi mäi x vµ cã ®¹o hµm
y' = −2 + 3x x +1
2
=
3x − 2 x 2 + 1 x +1
2
.
2 5
Ta cã y' > 0 ⇔ 3x > 2 x2 + 1 , suy ra x > 0, b×nh ph−¬ng hai vÕ th× ®−îc 9x 2 > 4x2 + 4 ⇒ x > ®−îc b¶ng biÕn thiªn x y' y C¸c tiÖm c©n xiªn cña ®å thÞ : +∞
5
, tõ ®ã lËp
−∞
2 5
+∞
+
−
0
+∞
www.khoabang.com.vn
TiÖm cËn xiªn vÒ bªn tr¸i y = − 5x ; TiÖm cËn xiªn vÒ bªn ph¶i y = x . 2) Trong tr−êng hîp tæng qu¸t hµm sè cã ®¹o hµm
y' = −2 + kx x2 + 1 , y'' = k (x + 1)3 / 2
2
LuyÖn thi trªn m¹ng
___________________________________________________________________
Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = x o nÕu y'(xo ) = 0 vµ y''(x o ) > 0 , suy ra k > 0 vµ
2 2 kx o = 2 x o + 1 ⇒ xo > 0 vµ k 2 x 2 = 4x o + 4 ⇒ (k 2 − 4)x2 = 4 . o o
Ph−¬ng tr×nh nµy ph¶i cã nghiÖm, vËy
k 2 − 4 > 0 ⇒ k > 2.
2 k −4
2
Tãm l¹i víi k > 2 th× hµm sè cã cùc tiÓu, khi ®ã hoµnh ®é ®iÓm cùc tiÓu lµ xo =
C©u III.
1) (tg30o + tg60o ) + (tg40o + tg50o ) = =
= 4 3 + 1 sin 50 cos50
o o
1 cos30 cos60
o o
+
1 cos 40 cos50o
=
o
=
= 8 3 cos20o 3
=
4 3
+
2 cos10
o
==
4 cos10o + 2 3 3 cos10
o
4(cos10o + cos30o ) 3 cos10
o
2) HÖ thøc ®· cho cã thÓ viÕt
2 cos C C C 2sin cos sin(A + B) sin C 2 = 2 2 = = C cos A cosB cos A cosB cos A cosB sin 2
C ⇒ cos (A + B) + cos (A - B) = 1 − cos C 2 ⇒ cos (A − B) = 1.
V× cos
C > 0 , suy ra 2
2cosAcosB = 2 sin 2
Do − π < A − B < π , ta ph¶i cã A − B = 0 ⇒ A = B.
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
C©u IV. Mçi mÆt cña tø diÖn c¾t mÆt cÇu theo giao tuyÕn lµ ®ûêng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c ®ã (ch¼ng h¹n mÆt BCD) t¹i c¸c trung ®iÓm (K, M, L) cña c¸c c¹nh c¸c tam gi¸c ®ã. N lµ trung ®iÓm cña AD th× N còng lµ mét tiÕp ®iÓm vµ MN lµ mét ®ûêng kÝnh cña mÆt cÇu. Ta cã : MN2 = AM2 - AN2 = R= a 2 (b¸n kÝnh). 4 a2 a 2 ; vËy Û MN = 2 2
Ta l¹i cã : OE2 = OM2 - EM2 = Þ OE =
a2 24
a 6 . 12 Suy ra chiÒu cao cña chám cÇu ngoµi mÆt (BCD) lµ: EH = OH - OE = a 2 (3 12 3)
æ EH ö pa 3 2(9 - 4 3) ÷= ÷ Suy ra thÓ tÝch chám cÇu: Vc =pEH2çR ç ÷ ç ÷ è 3 ø 432 vµ thÓ tÝch cÇn tÝnh lµ 4Vc. C©u Va. 1) Hypebol cã 2 tiªu ®iÓm F1 (c , 0), F2 (- c , 0) víi c = a 2 + b2 . Hai ®ûêng chuÈn tû¬ng øng lµ D1,2 : x = ± a2 a2 . =± c a2 + b2 b x. a
Hai ®ûêng tiÖm cËn cña hypebol lµ y = ±
Theo H×nh vÏ, gäi H lµ giao ®iÓm cña ®ûêng chuÈn D1 víi tiÖm cËn y= b x. Ta cã xH = a a2 a
2
+ b
2
, yH =
ab a
2
+ b
2
,
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
bëi vËy suy ra OH = x 2 + y 2 = a H H KH = 2OH = 2a.
b 2) Gäi d lµ kho¶ng c¸ch tõ F1(c ; 0) ®Õn tiÖm cËn y = x (hay bx - ay = 0). Ta cã a d= |bc - 0| a 2 + b2 = b.
3) Theo H×nh vÏ, ta cÇn chøng minh OH ^ F1H. Ta cã OH = (xH ; yH), = F1H = (xH - c ; yH)
2 suy ra OH . F1 H = x H (x H - c) + y H = = x 2 + y 2 - cx H = a 2 - a 2 = 0. H H ® ® ® ®
C©u Vb. 1) mp (MCD1) c¾t mp(ABB1A1) theo giao tuyÕn D qua M song song víi CD1//BA1. Gäi N vµ P lµ giao ®iÓm cña D vµ BB1, AA1 ; khi ®ã I lµ giao ®iÓm cña BC1 vµ CN, J lµ giao ®iÓm cña DA1 vµ D1P. §Ó chøng minh I, M, J th¼ng hµng ta chøng minh IN BN . = IC CC 1 x x . IC = (CN - IN); a a IN MN . = JP MP
ThËt vËy :
§Æt NB = x, CC1 = a, ta cã IN =
x (y - IN) hay a æ ÷ ç1 + x ö IN = xy Þ IN = xy . ÷ ç ÷ ç ø è a÷ a a + x ®Æt CN = y ta cã IN = Tû¬ng tù nhû trªn, ta tÝnh ®ûîc : JP = suy ra xy ; a-x a-x IN . = JP a +x
Ngoµi ra :
NB1 a - x MN . = = MP PA a + x
www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng _______________________________________________________________________________
Nhû vËy : IN MN . VËy I, M, J th¼ng hµng. = JP MP
2) Tõ I kÎ ®ûêng th¼ng song song víi BB1 c¾t B1C1 t¹i I’. Tõ J kÎ ®ûêng th¼ng song song víi A1P c¾t D1A1 t¹i J’. Khi trung ®iÓm K cña IJ n»m trong mp (A1B1C1D1) th× II’ = JJ’, ta cã: C 1I / IB a CI C I / IB C 1I / IB II' = = 1 = 1 = = a + x BB1 C 1B C 1B / IB (C 1I + IB) / IB (C 1I / IB) + 1 2 a A 1J A 1J JJ' 1 x vµ Þ II' = = = = = JD a + x DD 1 A 1D JD - JA 1 a-x -1 JA 1 ax Þ JJ’ = . a - x II’ = JJ’ Û a2 ax Û x2 + 2ax - a2 = 0 Û = a + x a - x
Û x = -a ± a 2 . Do x > 0 nªn chän x = a( 2 - 1) . VËy vÞ trÝ cña M ®ûîc chän nhû sau: MB1 BN a - x a - a( 2 - 1) = = = 1 = OM B1 B a a( 2 - 1) 2 hay MB1 (2 - 2 ) . = AB1 2