Geometrie jako část vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace by jw8490k

VIEWS: 452 PAGES: 8

									 Geometrie jako část vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace (RVP)
                RNDr,Eva Pomykalová, Gymnázium – Lesní čtvrť Zlín

Charakteristika vzdělávací oblasti
Výuka matematiky na gymnáziu
   • rozvíjí a prohlubuje pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného světa
   • utváří kvantitativní gramotnost žáků a schopnost geometrického vidění

Cílové zaměření vzdělávací oblasti
   • osvojování základních matematických pojmů a vztahů
   • určování, zařazování a využívání pojmů, analýza a zobecňování jejich vlastností
   • vytváření zásoby matematických pojmů, vztahů, algoritmů a metod řešení
   • analyzování problémů a vytváření plánu řešení, volba správného postupu řešení,
       vyhodnocení správnosti výsledku
   • práce s matematickými modely
   • rozvoj logického myšlení a úsudku, vytváření hypotéz
   • pochopení vzájemných vztahů a vazeb mezi okruhy učiva
   • přesné vyjadřování a zdokonalování grafického projevu, porozumění matematickým
       termínům, symbolice a matematickému textu
   • zdůvodňování matematických postupů, obhajoba vlastního postupu
   • rozvíjení geometrického vidění a prostorové představivosti
   • pochopení matematiky jako součásti kulturního dědictví

Vzdělávací obsah
   • Argumentace a ověřování
   • Číslo a proměnná
   • Práce s daty, kombinatorika, pravděpodobnost
   • Závislost a funkční vztahy
   • Geometrie

GEOMETRIE – očekávané výstupy
žák
    • používá geometrické pojmy, zdůvodňuje a využívá vlastnosti geometrických útvarů v
      rovině a v prostoru, na základě vlastností třídí útvary
    • určuje vzájemnou polohu lineárních útvarů, vzdálenosti a odchylky
    • využívá náčrt při řešení rovinného nebo prostorového problému
    • v úlohách početní geometrie aplikuje funkční vztahy, trigonometrii a úpravy výrazů,
      pracuje s proměnnými reálnými čísly
    • řeší polohové a nepolohové konstrukční úlohy užitím všech bodů dané vlastnosti,
      pomocí shodných zobrazení a pomocí konstrukce na základě výpočtu
    • zobrazí ve volné rovnoběžné projekci hranol, jehlan, sestrojí a zobrazí rovinný řez
      těchto těles
    • řeší planimetrické a stereometrické problémy motivované praxí
    • užívá různé způsoby analytického vyjádření přímky v rovině (geometrický význam
      koeficientů)
    • řeší analyticky polohové a metrické úlohy o lineárních útvarech v rovině
    • využívá charakteristických vlastností kuželoseček k určení analytického vyjádření
    • z analytického vyjádření (z osové nebo vrcholové rovnice) určí základní údaje o
      kuželosečce
    • řeší analyticky úlohy na vzájemnou polohu přímky a kuželosečky
Geometrie přispívá k naplňování očekávaných výstupů i dalších částí vzdělávacího
obsahu oblasti matematika:

ARGUMENTACE A OVĚŘOVÁNÍ
žák
    • čte a zapisuje tvrzení v symbolickém jazyce
    • rozliší definici a větu, rozliší předpoklad a závěr věty
    • rozliší správný a nesprávný úsudek
    • vytváří hypotézy, zdůvodňuje jejich pravdivost a nepravdivost, vyvrací nesprávná
      tvrzení
    • zdůvodňuje svůj postup a ověřuje správnost řešení problému

ČÍSLO A PROMĚNNÁ
žák
    • geometricky interpretuje číselné, algebraické a funkční vztahy


GEOMETRIE - učivo
  • Geometrie v rovině
  • Geometrie v prostoru
  • Trigonometrie
  • Analytická geometrie

Geometrie v rovině
   • rovinné útvary (klasifikace), obvody a obsahy
   • shodnost a podobnost trojúhelníků
   • Pythagorova věta a věty Euklidovy
   • množiny bodů dané vlastnosti
   • úhly v kružnici
   • shodná zobrazení (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení)
   • stejnolehlost
   • konstrukční úlohy

Geometrie v prostoru
   • polohové a metrické vlastnosti
   • základní tělesa, povrchy a objemy
   • volné rovnoběžné promítání

Trigonometrie
   • sinová a kosinová věta
   • trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Analytická geometrie v rovině
  • vektory a operace s nimi
  • analytická vyjádření přímky v rovině
  • kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola a hyperbola)


(Až potud RVP)
Geometrie v ŠVP
Rozvaha o počtu hodin geometrie při dodržení základní hodinové dotace 10 hodin na
vzdělávací oblast Matematika a její aplikace navržené v RVP:
celkem hodin 330
počet hodin geometrie 99, z toho
planimetrie 30
stereometrie 30
trigonometrie 7
analytická geometrie 32

Obsah jednotlivých okruhů:
Planimetrie
   • Základní pojmy:
      Rovinné útvary: bod, přímka a její části, polorovina, úhel, dvojice úhlů
      Dvě přímky, rovnoběžnost a kolmost přímek
      Trojúhelník, věty o určenosti, shodnost a podobnost trojúhelníků, Pythagorova věta,
      věty Euklidovy
      Mnohoúhelníky (včetně hvězdicových)
      Kružnice, kruh a jejich části; úhly v kružnici; přímka a kružnice, dvě kružnice
   • Početní úlohy:
      Obvody a obsahy rovinných obrazců
      Řešení pravoúhlého (obecného – v Trigonometrii) trojúhelníku
   • Důkazové úlohy:
      Věty o úhlech v trojúhelníku
      Věty o n-úhelníku
      Věta o obvodovém středovém úhlu
      Pythagorova věta a věty Euklidovy
   • Konstrukční úlohy:
      Množiny bodů dané vlastnosti
      Shodná zobrazení (osová souměrnost, středová souměrnost, posunutí, otočení)
      Podobná zobrazení (stejnolehlost)
      Konstrukční úlohy řešené užitím množin bodů dané vlastnosti
      Konstrukční úlohy řešené užitím zobrazení
      Konstrukční úlohy řešené užitím výpočtu
      (AG - konstrukce kuželoseček podle ohniskové definice; konstrukce tečny
      kuželosečky v jejím bodě)

Stereometrie
   • Tělesa:
      Volné rovnoběžné promítání
      Mnohostěny: n-boký hranol (krychle, kvádr); n-boký jehlan (pravidelný čtyřstěn),
      komolý n-boký jehlan; Platonova tělesa
      Rotační tělesa: válec, kužel, komolý kužel, koule a její části, anuloid
   • Polohové vlastnosti:
      Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami
      Vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, tří rovin
      Rovnoběžnost přímek a rovin
      Polohové konstrukční úlohy (průsečnice dvou rovin, průsečík přímky s rovinou, řez
      mnohostěnu rovinou, průsečík přímky s mnohostěnem)
   •  Metrické vlastnosti:
      Odchylka dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin
      Kolmost přímek a rovin
      Vzdálenost bodů, přímek a rovin
   Objemy a povrchy těles
   • Hranol (krychle, kvádr), jehlan, komolý jehlan
   • Rotační válec, rotační kužel, rotační komolý kužel, anuloid
   • Koule a její části


Poznámky ke konstrukčním úlohám
Motto:
„K tlumení žákovy osobnosti jsou kromě úloh matematické olympiády vhodné i konstrukční
úlohy geometrické. Aby však nedocházelo k utlumení osobnosti naší, dodržujeme zásadu
následující.
PZ č.93 Zíráme-li na obrázek představující rozbor konstrukční úlohy dostatečně dlouho a
stále nic nevidíme, spojíme dva namátkově vybrané body a koukáme, jestli už něco vidíme.
Jestliže ani teď nic nevidíme, spojujeme postupně další a další body tak dlouho, dokud něco
neuvidíme, nebo dokud nevznikne taková změť čar, že už vůbec nic vidět nemůžeme. V tomto
případě nakreslíme původní obrázek znovu, spojíme jiné dva body a celý postup opakujeme.“
(Pedagogické zásady a termíny ve výuce M&F, Emil Calda, HgS)

Řešit konstrukční úlohu znamená: z daných geometrických útvarů (bodů, úseček, úhlů,
přímek, kružnic, atd.) sestrojit geometrické útvary, které splňují dané podmínky. V podstatě
jde o hledání neznámých bodů, pomocí nichž se podaří požadovaný útvar sestrojit. Tyto
neznámé body sestrojujeme vymezenými konstruktivními prostředky.

Jde o euklidovské konstrukce, tj. konstrukce proveditelné pravítkem a kružítkem. Pravítkem
rýsujeme přímky určené dvěma různými body, kružítkem rýsujeme kružnice o daném středu a
poloměru a určujeme průsečíky kružnic, oběma nástroji pak průsečíky přímek s kružnicemi.

I když lze vyslovit obecné zásady pro řešení konstrukčních úloh, je v podstatě nemožné jejich
řešení algoritmizovat. Téměř každá konstrukční úloha je novým problémem, vyžadujícím
vlastní řešení.

Na ZŠ, zejména na prvním stupni, prolínají (planimetrické) konstrukční úlohy veškerým
geometrickým učivem, žák si osvojuje dovednost řešit konstrukční úlohy postupně, přiměřeně
věku. V osmém ročníku (na NG v tercii) jde pak o souvislý tématický celek, kde se již zmíní
jednotlivé části konstrukční úlohy: žáci se učí provádět rozbor, konstrukci (popis konstrukce
+ grafické provedení) a ověření správnosti (zkoušku). Diskuse se většinou omezí na uvedení
počtu řešení – řeší se vesměs neparametrické úlohy. Základní metodou řešení konstrukčních
úloh je metoda množin bodů dané vlastnosti.
Na gymnáziu by mělo jít o prohloubení dovednosti řešit konstrukční úlohy:
    • rozlišení polohových a nepolohových úloh
    • řešení úloh s parametry
    • použití jak metody množin bodů dané vlastnosti, tak i metody zobrazení a metody
        výpočtu

Nutné předpoklady pro získání dovednosti řešit konstrukční úlohy:
   • aktivně ovládat základy planimetrie
   •   umět správně používat geometrickou terminologii a symboliku
   •   umět „položit čáru na papír“ jak od ruky (črtat), tak pomocí pravítka a kružítka
       (rýsovat)
   •   důkladně ovládat základní konstrukce
   •   aktivně ovládat základní množiny bodů dané vlastností
   •   aktivně ovládat shodná zobrazení a stejnolehlost
   •   chápat rozdíl mezi polohovou a nepolohovou úlohou
   •   chápat obsah a význam všech čtyř částí konstrukční úlohy (rozbor, konstrukce,
       důkaz, diskuse)
   •   chápat princip jednotlivých metod řešení konstrukčních úloh (metody množin bodů
       dané vlastnosti, algebraické metody, metody zobrazení) a možnost jejich kombinování

Základní konstrukce - přehled
   • přenést úsečku, úhel, trojúhelník
   • sestrojit střed a osu úsečky, osu úhlu
   • sestrojit kružnici trojúhelníku opsanou a vepsanou
   • sestrojit k dané přímce daným bodem kolmici a rovnoběžku
   • sestrojit daným bodem přímku, která má od dané přímky danou odchylku
   • sestrojit kružnici „nad průměrem“
   • sestrojit tečnu kružnice v jejím bodě a z bodu, který leží vně kružnice
   • sestrojit trojúhelník, který je určen podle věty sss, sus, usu, Ssu
   • sestrojit množinu vrcholů všech úhlů o dané velikosti, jejichž ramena procházejí body
      A,B

Množiny bodů dané vlastnosti – přehled
  • Množina všech bodů, které mají od dvou daných bodů (ramen daného úhlu, dvou
      daných rovnoběžek, dvou daných různoběžek) stejnou vzdálenost
  • Množina všech bodů, které mají od daného bodu (přímky) danou vzdálenost
  • Množina všech bodů, z nichž vidíme danou úsečku pod daným úhlem
     ______________________________________________________
  • Množina středů všech kružnic, které procházejí dvěma danými body, dotýkají se
      ramen daného úhlu, dvou rovnoběžek, dvou různoběžek, dvou soustředných kružnic
  • Množina středů všech kružnic, které mají daný poloměr a procházejí daným bodem,
      dotýkají se dané přímky, dané kružnice

Zobrazení
   • Pojem zobrazení
   • Shodná zobrazení
      - Souměrnosti (osová, středová)
      - Posunutí
      - Otočení
      - (skládání zobrazení)
   • Stejnolehlost

Úloha polohová je úloha, u níž je určeno umístění některého z daných prvků a tím i poloha
hledaného útvaru.
Úloha nepolohová je úloha, v níž je poloha daných prvků volitelná, tzn. hledanému útvaru
jsou předepsány zadáním jen metrické vlastnosti. V nepolohových úlohách je třeba vždy
nejdříve umístit některý z daných prvků. Postup při řešení pak závisí na výběru prvku, který
umístíme.
Části konstrukční úlohy
    • Rozbor (analýza úlohy) je nejdůležitější částí řešení konstrukční úlohy. Má však
       smysl pouze u takové úlohy, kterou studenti neumí okamžitě vyřešit. Je třeba
       zdůraznit, jak rozbor provádět: „chytrák začíná na konci, hlupák končí na začátku“.
       V rozboru předpokládáme, že úloha má aspoň jedno řešení a toto předpokládané řešení
       si načrtneme, vyznačíme v něm dané prvky, uvědomíme si neznámé body a hledáme
       nutné podmínky, jimž musí neznámé body vyhovovat. Výsledkem rozboru by měl
       být zápis podmínek pro hledané body, nikoli popis konstrukce.
    • Konstrukce (konstrukční předpis) vyplývá z nalezených podmínek pro hledané
       body. Je to především systém předpisů, podle nichž se hledaný útvar dá sestrojit.
       Teprve v druhé řadě se konstrukcí rozumí grafické zobrazení. V zápisu vždy
       vycházíme od daných prvků a končíme hledaným útvarem (syntetický postup).
       Používaná geometrická symbolika by měla být v souladu s Názvy a značkami školské
       matematiky. (Přehled značek je v učebnici Planimetrie)
    • Důkaz konstrukce je ověřením, zda nalezený útvar má vlastnosti požadované v zadání
       úlohy. Pokud řešíme úlohu metodou množin bodů dané vlastnosti, je důkaz obsažen
       v rozboru.
    • Diskuse se provádí jen v úlohách s parametry. Probíráme jednotlivé kroky konstrukce
       a zkoumáme, kdy a ke kolika různým výsledkům tyto dílčí konstrukce vedou. Je
       výhodné kreslit si náčrty pro jednotlivé případy, případně shrnout výsledek diskuse
       v tabulce. Pokud jde o úlohu neparametrickou, stanovíme počet řešení.
       V polohových úlohách: kolik útvarů vyhovuje podmínkám zadání, tolik má úloha
       řešení.
       V nepolohových úlohách: stejný jako počet řešení u polohové úlohy, na kterou ji
       převedeme (Polák: „pokud některými jejími řešeními jsou shodné geometrické útvary,
       pokládáme je za jediné řešení nepolohové úlohy“).
Provedení všech čtyř částí řešení konstrukční úlohy je značně časově náročné - při úplném
vyřešení každé úlohy by se studenti seznámili jen s malým počtem úloh. Ještě důležitější je
aspekt psychologický – studenti nemají rádi stereotyp, mají rádi změnu. Důkaz a diskuse jsou
navíc „přílohy“, které studenty znechucují, většina jim i málo rozumí.
Není proto vhodné nutit studenty, aby při řešení postupovali přesně podle uvedeného
schématu, cennější je, pokud se budou s úlohami potýkat samostatně. U většiny
konstrukčních úloh úplně postačí rozbor, resp. náznak postupu u konstrukce, v úlohách
s parametry jen řešení určitého speciálního případu.
Studenti by si však vždy měli být vědomi toho, kdy řeší úlohu úplně a kdy jen
náznakově.

Metody řešení konstrukčních úloh
  • Metoda množin všech bodů dané vlastnosti: pro každý z hledaných bodů stanovíme
     dvě podmínky, které musí splňovat a pak určíme množiny všech bodů, splňujících tyto
     podmínky.
  • Metoda geometrických zobrazení: geometrické zobrazení použijeme na část
     geometrického útvaru, což nám umožní najít takové vztahy mezi danými a hledanými
     útvary, které bychom jinak těžko objevili (zejména souměrnosti), nebo geometrické
     zobrazení aplikujeme na celou úlohu (zejména stejnolehlost)
  • Algebraická metoda: sestrojování úseček, jejichž délky jsou vyjádřeny algebraickými
     výrazy (danými nebo vypočtenými)

Obtížnost konstrukčních úloh by měla gradovat.
Je vhodné začít úlohami s jedním neznámým bodem – z tohoto důvodu je možná vhodnější
začít úlohami na konstrukci kružnic a teprve pak řešit úlohy na konstrukci trojúhelníků a
čtyřúhelníků.
Jednodušší jsou úlohy polohové a neparametrické.
Snazší pro studenty je použití metody množin bodů dané vlastnosti než použití metody
zobrazení; možná proto, že takto řešili úlohy již na základní škole.
Je vhodné metody řešení kombinovat.
Je-li to možné, hledat i více způsobů řešení jedné a téže úlohy.

Proč jsou planimetrické konstrukční potřebné a prospěšné:
   • podněcují zvědavost žáků, vedou k samostatnému objevování zákonitostí
   • mají jasný cíl – sestrojit ! (na rozdíl od důkazových úloh, jejichž význam a smysl
       žákům většinou není jasný)
   • učí umění „dívat se“
   • přispívají k rozvoji logického myšlení, k systematičnosti, vynalézavosti,
   • učí analyzovat problémy
   • vedou k pečlivému vyřešení problému, ověření a vyšetření všech možností
   • ukazují spojení „teorie s praxí“ – teoretické poznatky z geometrie se uplatní při řešení
       konkrétního konstrukčního problému
   • přispívají k žádoucímu rozvíjení kreativity
   • pro učitele jsou vhodným testovacím prostředkem, pomocí kterého je možno
       diagnostikovat kvalitu neformálních geometrických znalostí žáků


Závěr
Geometrické úlohy vznikaly z potřeb lidské společnosti. Původně šlo o měření Země,
stavby různých objektů, astronomické bádání. Tento původ geometrie není vhodné zastírat,
nýbrž naopak průběžně připomínat. Může sloužit jako motivace i jako možnost, jak prověřit
pochopení geometrických vztahů.
Geometrie je však také abstraktní matematická disciplína, při jejímž budování se musíme
opírat o poučky, které byly přijaty jako axiomy, nebo byly již dokázány.
Elementární geometrii, jejíž částí je „školská geometrie“, je tedy možné vnímat jednak jako
vědu, která v abstraktním světě zkoumá určité vlastnosti reálných objektů, jednak jako vědu
čistě matematickou, která má deduktivní charakter.
Důsledkem tohoto dvojího pohledu je metodická náročnost výuky elementární geometrie –
je třeba skloubit dva specifické cíle z této „dvojakosti“ plynoucí: rozvoj geometrické
představivosti a rozvoj logického myšlení.
Pro to, aby žák rozvíjel prostřednictvím geometrie svou představivost, je třeba, aby si každou
uvažovanou geometrickou situaci představil. Musí tedy pracovat s pojmy a ne pouze se
symboly. Na druhé straně není možné, aby se geometrie ve škole redukovala na pozorování a
zkušenost. Je třeba provádět formálně logické úsudky, které je samozřejmě nutné stále
konfrontovat se skutečností. Záruka úspěšného vyučování geometrie spočívá v harmonickém
naplňování obou cílů. Nikoli strohým podáváním hotových výsledků, ale věku přiměřeným
vedením studentů k objevování geometrických zákonitostí.
Další metodické obtíže souvisí s posuzováním chyb, kterých se žák v geometrii, zejména v
konstrukčních úlohách, dopouští. Každý objev nejen v matematice provází celá řada chyb a
omylů. Žák v geometrii „objevuje“ nové vztahy a tedy zákonitě se dopouští chyb častěji než
v aritmetických či algebraických operacích, kde jde velmi často jen o „plnění“ algoritmů. Je
třeba proto chyb při řešení geometrických úloh posuzovat zcela jinak než chyby v úlohách
aritmetických a algebraických. Je třeba vyzvednout u žáka projev samostatnosti a tvořivého
myšlení, aby žák viděl, že jeho námaha spojená s řešením geometrické úlohy nebyla zbytečná,
i když se přitom dopouštěl řady chyb.

Podpora výuky geometrie
Výukové programy
   • Cabri II+
   • Cabri 3D
   • Geogebra a další



Tabulové nástroje




Modely




Výukové hry

								
To top