Matematika felvételi feladatok A - megoldások by j489mkd0

VIEWS: 307 PAGES: 8

									Matematika felvételi feladatok A -
megoldások
1.feladat



                      Az ábra jelöléseit használjuk.
                      A kör K középpontjának és az origónak a távolsága     , ezért ... 1 pont
                      a megadott kör sugara .


Az OA szakasz felezo merolegese az x=1 egyenletu egyenes (mert ez meroleges az x
tengelyre, és átmegy az (1;1) ponton).                                           ... 3
Tehát az OA szakasz felezopontja P(1;0), így A koordinátái (2;0).                pont*
Hasonlóan kapjuk, hogy B koordinátái (0;2).
A B(0;2), K(1;1), A(2;0) pontok egy egyenesen vannak.
Emiatt az AB átméro, így a kör és az elso síknegyed közös része felbontható
                                                                                    ... 2 pont
egy AB átméroju félkörre és az AOB egyenlo szárú, derékszögu
háromszögre.
                                                                                    ... 1 pont
A félkör területe:
                                                                                    ... 1 pont
A háromszög területe:
A körlemez és az elso síknegyed közös részének területe:
                                                                                    ... 1 pont

                                                                          Összesen:9 pont
* Ha a vizsgázó A és B koordinátáit csak leolvassa a felrajzolt ábráról és nem
ellenorzi, hogy ezek a kör pontjai, akkor a 3 pont helyett csak 1 pont adható.
Ezt a 3 pontot a vizsgázó megkaphatja az alábbi módon is: Felírja a kör egyenletét (1
pont), majd meghatározza a koordinátatengelyekkel
alkotott metszéspontjait (2 pont).


2. feladat

Legyen kezdetben x liter y %-os oldatunk.
Az elso hozzáöntés után 20%-os oldatot kapunk, és a víz hozzáöntésével a sav        ... 2 pont
mennyisége nem változott, ezért
A második hozzáöntés után az oldat töménysége 33 %
                                                                                     ... 1pont

azaz az oldat része sav,
                                                                                     … 2 pont
Tehát
Ebbol x=4.                                                                         … 2 pont
Ezt az elso egyenletbe helyettesítve y=25.                                         … 1 pont
Ellenorzés a szöveg alapján.                                                       … 1 pont
Tehát az eredeti oldat 25%-os töménységu volt.                                     … 1 pont
                                                                           Összesen10 pont

3. feladat

Első megoldás:

a)




Az ábra jelöléseit használjuk.
A feltételeknek megfeleloen CD = 2x, és BC = 3y.                                     ... 2
Az EDC háromszögben AB középvonal,                                                   pont*
mert párhuzamos CD-vel és feleakkora hosszúságú,
                                                                                     …2
Tehát EA = AD = y, és EB = BC = 3y.
                                                                                     pont*
Az EAB háromszögre a koszinusztételt felírva:
                                                                                     … 2 pont
x2=y2+9y2-2ˇyˇ3yˇcos120°
Ezt rendezve: x2=13y2.                                                               ... 1 pont
                                                                                     ... 1 pont
Ebbol, mivel szakaszok hossza pozitív,
b) Az EDC háromszögben írjuk fel a szinusztételt:
                                                                                     ... 1 pont
                .
                                                                                     ... 1 pont
Innen                            azaz 13,90°
A hosszabbik alapon fekvo másik szög nagysága 180° - 120° -46,10°                 ... 1 pont
                                                                           Összesen:11 pont
*:1. Az elso részben középvonal helyett hasonlósággal is dolgozhat a vizsgázó.
Ha itt helyesen írja fel az ED és EC szakaszok hosszát y segítségével,
akkor ezért 4 pont jár.
2. Ezt a 4 pontot kapja meg akkor is, ha az A (vagy a B) csúcson keresztül az
egyik szárral párhuzamost húzva a trapézt egy paralelogrammára és egy
háromszögre bontja, majd a háromszög oldalainak hosszát helyesen írja fel
(indoklással).

Második megoldás:




Az elso megoldásban leírt (vagy azzal egyenértéku) gondolatmenetért kaphatja a
                                                                                      … 4 pont
vizsgázó az elso 4 pontot.
Ha a C-nél fekvo szög , akkor a D-nél fekvo szög 60° - .
                                                                                      ... 1 pont
A CED háromszögben szinusztétellel:
                                                                                      ... 1 pont
Addíciós tételt alkalmazva és rendezve:
                                                                                      ... 2 pont
Ebbol             így 13,90° és 60°-46,10°
                                                                                      ... 1 pont
A CED háromszögben újabb szinusztétellel:



           , és
                                                                                      ... 2 pont
tehát
                                                                            Összesen:11 pont

4. feladat

Első megoldás:

Mivel x2-4x+4=(x-2)2, illetve x2+6x+9=(x+3)2,                                         ... 2 pont
így f(x)=|x-2|+|x+3|.                                                                 ... 2 pont
Ha            , akkor f(x)=-x+2-x-3=-2x-1.                                            ... 1 pont
Ha           , akkor f(x)=-x+2+x+3=5.                                                 ... 1 pont
Ha         , akkor f(x)=x-2+x+3=2x+1.                                                 ... 1 pont
(*)
A            intervallumon f(x)=-2x-1, tehát az f csökkeno,
ezért a legnagyobb értéke itt f(-5)=9, a legkisebb értéke pedig f(-3)=5.
A           intervallumon f(x)=5, itt tehát f legnagyobb és legkisebb értéke is 5.
A         intervallumon f(x)=2x+1, tehát az f növekvo,
                                                                                      ... 4 pont
ezért a legkisebb értéke itt f(2)=5, a legnagyobb értéke pedig f(5)=11.
Tehát az f függvény legkisebb értéke 5, legnagyobb értéke pedig 11.                   ... 2 pont
                                                                             Összesen:13 pont
Második megoldás:

A (*)-gal jelzett részig megegyezik az elso megoldással.                               … 7 pont
Rajzoljuk fel a függvény grafikonját koordináta-rendszerben!




                                                                                       ... 4 pont




A grafikon segítségével megállapítható, hogy az f függvény legkisebb értéke 5,
                                                                                   … 2 pont
legnagyobb értéke pedig 11.
                                                                          Összesen:13 pont

5. feladat

Első megoldás:

(Nyilvánvaló, hogy az a1; a2; a3+5; a4+20 számok egyike sem lehet nulla.)
Legyen a számtani sorozat különbsége d.
Ekkor a2=a1+d, a3=a1+2d, a4=a1+3d.
Ezekkel felírjuk a mértani sorozat elso négy egymást követo tagját:
                                                                                       ... 1 pont
Mivel mértani sorozatról van szó, ezért:
                                                                                       ... 2 pont
Ekvivalens átalakításokkal:
                                                                                       ... 1 pont

                                                                                       ... 4 pont
Ebbol 5a1-10a1+25=0, innen a1=5.                                                       ... 1 pont
Ezzel d-re két lehetséges érték adódik: d=-5 vagy d=5.                                 ... 1 pont
Ha d=-5, akkor a számtani sorozat elso négy tagja 5, 0, -5, -10, de ez nem lehet, mert
                                                                                       … 1 pont
a második tag reciproka szerepel a mértani sorozatban.
Ha d=5, akkor a számtani sorozat elso négy tagja 5, 10, 15, 20, a mértani sorozat
                                                                                       … 1 pont
tagjainak reciprokai: 5, 10, 20, 40.
                                                                                       … 1 pont
A keresett mértani sorozat elso négy tagja:
vagyis a sorozat elso tagja a hányadosa       .
                                                                          Összesen:13 pont
Megjegyzés: Az elso 4 pontot megkapja a vizsgázó, ha megmutatja (vagy tanult
anyagként említi), hogy egy mértani sorozat (q 0 ) tagjainak reciprokai is mértani
sorozatot alkotnak,
majd ez alapján eljut (a1+d)2=a1(a1+2d+5) és az (a1+2d+5)2=(a1+d)(a1+3d+20)
egyenlethez.

Második megoldás:

(Nyilvánvaló, hogy a feladat szövegében szereplo számok egyike sem lehet
nulla.)
A keresett mértani sorozat elso négy tagjának reciprokát jelölje b 1, b2, b3, b4.


Mivel               ebben a sorrendben egy mértani sorozat szomszédos
tagjai, ezért


             , azaz b22=b1b3, és hasonló módon b32=b2b4, ezért a b1, b2, b3, b4
számok is egy mértani sorozat szomszédos tagjai.                                    ... 2 pont
Jelöljük q-val ennek a mértani sorozatnak a hányadosát.
Ezzel b2=b1q, b3=b1q2, b4=b1q3.                                                     ... 1 pont
A feladat szövege szerint a b1, b2, b3-5, b4-20 számok ebben a sorrendben egy
számtani sorozat szomszédos tagjai, ezért

                                                                                    ... 4 pont
Rendezés után az alábbi egyenletrendszerhez jutunk:

                                                                                    ... 3 pont
Ebbol azonnal adódik, hogy q=2, majd visszahelyettesítés után b1=5,                 ... 1 pont

Ezért a keresett mértani sorozat elso tagja       hányadosa pedig     .      … 1 pont
Ellenorzés a szöveg alapján.                                                 … 1 pont
                                                                    Összesen:13 pont
* Ezt a 2 pontot akkor is megkapja a vizsgázó, ha tanult anyagként hivatkozik az itt
bizonyítottakra.


6. feladat

Végezzük el a következo ekvivalens átalakításokat:                                  ... 3 pont
(y-3)x2+2(y-3)x=3(y-3) +5,
(y-3)x2+2(y-3)x-3(y-3)=5,
(y-3)(x2+2x-3) =5.
Mivel x és y egészek, ezért y-3 is és x2+2x-3 is egész.
Az 5-öt két egész szám szorzataként négy különbözo módon írhatjuk fel:                ... 2 pont
5 = 1ˇ5 = 5ˇ1 = (-1)ˇ(-5) = (-5)ˇ(-1).
Ezek alapján a négy eset:
a) y-3=1, x2+2x-3=5, amibol y=4 és x=-4, vagy y=4 és x=2.                            ... 2 pont
b) y-3=5, x2+2x-3=1, ahonnan x értékére nem egész számot kapunk.                     ... 2 pont
c) y-3=-1, x2+2x-3=-5, amibol nem kapunk valós x értéket.                            ... 2 pont
d) y-3=-5, x2+2x-3=-1, amibol x nem egész.                                           ... 2 pont
Az egyenletet tehát csak a (-4;4) és a (2;4) számpár elégíti ki.                     ... 1 pont
                                                                            Összesen:14 pont
A *-gal jelölt pontokat az alábbi gondolatmenetért is megkaphatja a vizsgázó.
A bal oldalon álló tagok (y-3)-nak többszörösei, ezért az y-3 kiemelheto, és ezzel   ... 1 pont
oszthatunk, hiszen az y-3=0 nem ad megoldást.
                                                                                      … 2 pont
Kapjuk, hogy                        .

Az egyenlet bal oldalán egész szám áll, ezért          is egész, ami csak
akkor lehet, ha y-3 osztója 5-nek.
Ebbol y-3 lehetséges értékei: 1, 5, -1, -5.                                           … 2 pont

7. feladat

A logaritmus értelmezése miatt: x>0, y>0,          ,      .                           ... 1 pont
Alakítsuk át az elso egyenletet:
logxx+logxy-2logy(xy)=0,
logxx+logxy-2logyx-2logyy=0,
1+logxy-2logyx-2=0, azaz logxy-2logyx-1=0.                                            ... 3 pont

Ha logxy=a, akkor            , tehát a kapott egyenlet             , azaz a2-a-2=0
alakú lesz.                                                                           ... 1 pont
ennek gyökei a1=2, a2=-1.                                                             ... 1 pont

a) eset: logxy=2, azaz y=x2.

                                                                                      ... 1 pont
Ezt a második egyenletbe helyettesítve:                       .
Mindkét oldal hármas alapú logaritmusát véve és a logaritmus-
azonosságokat alkalmazva, majd rendezve:
(log3x)2=-2, aminek nincs megoldása a valós számok halmazán.                          ... 2 pont
b) eset: logxy=-1, azaz         .

                                                                              ... 1 pont
Ezt a második egyenletbe helyettesítve:            .

Mindkét oldal hármas alapú logaritmusát véve és a logaritmus-
azonosságokat alkalmazva, majd rendezve:
(log3x)2=4, azaz |log3x|=2.                                                   ... 2 pont

Ha log3x=2, akkor x=9 és y= .                                                 ... 1 pont


Ha log3x=-2, akkor x=        és y=9.                                          ... 1 pont


A (9; ) és ( ;9) számpár a kijelölt alaphalmaz elemei.
Mivel a kijelölt alaphalmazon ekvivalens átalakításokat végeztünk, ezért
ezek az eredeti egyenletrendszer megoldásai.                                 ... 1 pont
                                                                   Összesen: 15 pont
Megjegyzés: Az elso 6 pont az alábbi gondolatmenetért is adható
x>0, y>0,        ,   .                                                        ... 1 pont

Írjuk át hármas alapú logaritmusra az elso egyenletben szereplo
kifejezéseket!




A logaritmus-azonosságokat használva:                    .
Szorzattá alakítva és a törtek összevonását elvégezve:

                         .                                                    ... 3 pont
Innen vagy log3xy=0, azaz xy=1,                                               ... 1 pont

vagy log3y-2log3x=0, azaz
a hármas alapú logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt y=x2.            ... 1 pont


8. feladat
A gömb K középpontja egyenlo távolságra van a DHGC és a BFGC
lapoktól, valamint az A és E pontoktól, mert ez a távolság a gömb sugarával
egyezik meg. Jelölje a sugarat r.                                                 ... 2 pont
K meroleges vetülete az AEHD síkon legyen T, az AE él felezopontja pedig
legyen P.
A DHGC és BFGC lapokkal szemközti AEFB és AEHD lapoktól a K pont a-r
távolságra van, ezért KT és TP szakaszok hossza a-r.                              ... 2 pont
KTP háromszög derékszögu, egyenlo szárú háromszög,                                ... 2 pont
tehát KP =           .                                                            ... 2 pont

KPA háromszög derékszögu háromszög, KA = r, AP = .

A Pitagorasz-tételt felírva:                     .                                ... 2 pont
Rendezve: 4r2-16ar+9a2=0.                                                         ... 2 pont

Innen            ,              .                                                 ... 2 pont


Ebbol az                 a megoldás, mert r1>a miatt a másik gömb középpontja a ... 1 pont
kockán kívül van.
                                                                        Összesen: 15 pont

								
To top