MATEMATIKA IV vprašanja za ustni izpit – 14 by jw8490k

VIEWS: 215 PAGES: 16

									MATEMATIKA IV -- vprašanja za ustni izpit – 14.06.2005

   1. Reši PDE
   2. Lastnosti Besselovih funkcij
   3. Lastnosti Laplaca
   4. Konvolucija
   5. Binomska slučajna spremenljivka
   6. Lastnosti zveznih spremeneljivk
   7. Kaj je ekstrem funkcionala
   8. Maxwellove enačbe
   9. Fourier-Sinus izplejava
   10. Robni pogoji
   11. Matematično upanje – Binomske porazdelitve
   12. Valovna enačba
   13. Nihanje okrogle membrane
   14. Centralni momenti
   15. Računanje z dogodki
   16. Difuzijska enačba
   17. Eulerjeva DE
   18. Possionova porazdelitev
   19. Osnovni variaciski izrek
   20. Prevajanje toplote v tanki palici
   21. Nehomogene PDE – postopek reševanja
   22. Kompleksna inverzna laplaceova transofrmacija
   23. Enakomerna zvezna porazdelitev
   24. Izopirametrični problemi
   25. Valovna enačba v dveh dimenzijah
   26. Besselove DE
   27. Verjetnost hipoteze
   28. Kdaj sta dva dogodka nezdružljiva
   29. Nihanje strune
   30. Telegrafska enačba – pogoji – izpeljava
   31. Kaj je elementaren dogodek
                                                                        1
   32. Inverzna Laplaceova transformacija z parcialnimi ulomki
                                                                  s  1 s  2
                                                                                    2


   33. Gasussova porazdelitev – račuanje integrala
   34. Laplacova enačba v prostoru
   35. Direktne metode
   36. Laplaceova transformacija z residumi
   37. Ortogonalonst Bessela in Legendrovi polinomi
   38. Kombinacije
   39. Polna verjetnost – formula
   40. Euler DE za f(x, y') in f(x,y,y')
   41. Vsota dveh slučajnih spremenljivk
   42. Hermitovi polinomi – enačba, utenžna funkcija, interval in izračunaj H1
   43. Laplac enotine stopnice, dane na listu – analitično in z lapalcom
44. Kaj je PDE
45. Sistem popolnih elementranih dogodkov
46. Fourier transform odvoda
47. Kdaj je porazdelitev simetrična
48. Reši DE z laplacom, maš dane na listku x  x  0      y  y  r (t )
              
49. Iztačunaj  e x dx
                   n



               0
50. Definicija Fourierove transformacije – kdaj obstaja
51. Kdaj sta dogodka neodvisna
52. Beta funkcija
53. Ortogonalnost
54. L eat f (t ) 
                 
55. Permutacije
56. Inverzni fourier
57. Matematično upanje – diskretne in zvezne
58. Pojem funkcionala
59. Splošna PDE drugega reda
60. Osnovni zakon kombinatorike
61. Legendrova DE – kje je orotogonalna
62. Izračunja disperzijo enakomerne zvezne spremenljivke
63. Fourier – Cosinusna transformacija – lastnosti
64. Disperzija za Possionovo porazdelitev
65. Matematično upanje za normalno porazdelitev
66. Funkcional za funkcije – kakšne
67. Kdaj je rešitev enolično določena variacijskega računa
68. Integracija Eulerjeve enačbe
69. Kako rešimo DE z vrstami
70. Slučajne spremenljivke in porazdelitvena funkcija
71. Potrebni pogoj za Laplaceovo transformacijo -- z besedo
72. Laplac PDE, katere in pri kakšnih pogojih ga lahko rešimo ----
    Reševanje Laplaca v pravokotnem koordinatem sistemu
73. Bernulijeva – binomska slučanja spremenljivka
74. Laplac z zakasnitvijo enotine stopnice
75. Parsevalova enčba
76. Standardna deviacija
77. Struna, lastne vrednosti, valovna dolžina
78. Izpelji   x  1  x  x 
79. Polinomi Čebiševa
80. Izračunaj asimetrijo funkcije e x
81. Imaš dano funkcijo na listku, ali lahko uporabiš fourierov odvod
82. Asimetrija slučajne spremenljivke
83. Eulerjeva DE f(y, y')
84. Lastnosti Fourierjeve transformacije – sam napišeš
85. Kaj je slučajna spremenljivka – osnovna definicija
86. Izračunat Fourire-Cosinusne za funkcijo e  t
87. Matematično upanje za Possionovo porazdelitev
88. Reši t  x t   x t   2t
89. Prevajanje toplote – splošna enačba in opis
90. Prevajanje toplote v dolgi tanki palci – rešit nalogo
91. Povezava med centralnimi in začentimi momenti
92. Laplacova periodične funkcije – formula
93. PDE nehomgeni robni pogoji – postopek reševanja
94. Kdaj sta funkciji – korelirani
95. Gama funkcija, lastnosti, definicija
96. Verjetnostna funkcija diskretne spremenljivke
97. Osnovna o Brahistrohoni
98. cela knijga, ......
    1. Reši PDE

    Imamo podano PDE in pogoje, da dobimo enolično rešitev. Reševanje poteka v treh
korakih. 1 korak: z metodo seperacije spremenljivk dobimo dve navadni DE. 2 korak:
Izberemo tiste rešitve DE, ki ustrezajo robnim pogojem. 3 korak:Doblejen rešitve
sestavimo tako, da je rezlutat rešitev iskana PDE in da ustreza začetnim pogojem.


    2. Lastnosti Besselovih funkcij

  Poznamo dve vrste Besselovih funkcij. Besselova funkcija prve vrste ima Besselovo
DE oblike x 2 y '' xy ' ( x 2  2 ) y  0 . Parameter  je nenegativno celo število. Rešitev
iščemo v obliki potenčne vrste y( x)   m0 cm x mr eksponent r je poljuben in izbran
                                                      


tako, da je c0  0 . Po celotnem postopku račuanja dobimo ven splošno rešitev Besselove
                                     1
                                            m
                                       x2m
                    m0 22m m!(m   1) ta rešitev je znana kot Besselova funkcija prve
                           
DE J ( x)  x

vrste reda  . Če mi ni celo število sta funkciji J ( x ) in J  ( x) linearno neodvisni.
Splošna rešitev Besselove enačbe za vsak x  0 se glasi y ( x)  a1 J ( x)  a2 J  ( x) . Če je
  n naravno število dobimo Besselovo funkcijo prve vrste reda n in dobimo funkcijo
                        (1) m x 2 m
J n ( x)  x n  m0 2 m n
                 
                                         . Sedaj sta Besselovi funkciji linearno odvisni in velja
                    2       m !(n  m)!
zveza J  n ( x)  (1) n J n ( x) n  1, 2,.... . Da dobimo splošno rešitev Besselove funkcije
potrebujemo še Besselovo funkcijo druge vrste. Besselova DE xy '' y ' xy  0 je za
drugo vrsto. Drugo partiklurano rešitev iščemo v obliki y2 ( x)  J 0 ( x) ln x   m1 am x m .
                                                                                            


Splošna rešitev Besselove enačbe za vse vrednosti  je y ( x)  c1 J ( x)  c2Y ( x)


    3. Lastnosti Laplacove transformacije

    Funkcijo           F(s)       imenujemo       Laplacove      transformiranka     funkcije           f(t).
               
    F (s)   e
             0
                      st                                                               1
                            f (t )dt t 0 . Inverzna Laplacova transformiranka f (t )  L     F ( s)  .
Transformacija je linearna. L af (t )  bg (t )  aL  f (t )  bL  g (t ) . Zadosten pogoj za
eksistenco transformiranke je da je funkcija odeskom zvezna in da ne narašča hitreje od
neke eksponentne funkcije. f (t )  Met . (črka L je velika pisana)
     4. Konvolucija

                                                                 
     Funkcija h(t) definirana z integralom h(t )                    f (t  u ) g (u )du imenujemo
                                                                 

konvolucija funkcije f(t) in g(t). h(t )  f (t )* g (t ) . Funkcije f(t) in g(t)  (, ) vsaj ena
naj bo omejena f (t )  M potem funkcija h(t) obstaja. Če funkciij f(t) in g(t) zamenjamo
se znak * zamenja z produktom.
           Lastnosti:
 af (t ) * g (t )  a  f (t ) * g (t ) 
f (t ) *  g (t )  h(t )   f (t ) * g (t )  f (t ) * h(t )
f (t ) * g (t )  g (t ) * f (t )
 f (t ) * g (t ) * h(t )        f (t ) *  g (t ) * h(t ) 


     5. Binmska slučajna spremenljivka

    Zapordeje Bernulijevih poskusov priredimo slučajno spremenljivko X, ki zavzame
vrednosti k takih, ko je v zaporedju n poskusov k ugodnih in n-k ne ugodnih.
Verjetnostna funkcija P(n,p,k) za slučajno spremenljivko jo imenujemo Binomska
slučajna spremenljivka in ustreza porazdelitvi je Binomska porazdelitev. Spremenljivke
lahko zavzamejo vrednosti k=0,1,2... Verjenostna shema Binomske porazdelitve:
                                                            
     0              1              2                    n 
 X :          ,             ,                  ,.....       
      n  q n  n  pq n 1  n  p 2 q n  2        n n 
    0                                            p 
              1           2                     n 
(Izraz je brez ulomkovih črt)


     6. Lastnosti zvezne porazdelitve (slučajne spremenljivke)

Slučajna spremenljivka X je zvezno porazdeljena, če se njena porazdelitvna funkcija
                               x
izražena z F ( x)   p (t )dt .
                           
                                                                                                 
p(x) – gostotna verjetnosti, F(x) – porazdelitvena funkcija. Velja integral                  
                                                                                                     p ( x)dx  1 .
Porazdelitvena funkcija je monotono naraščajoča p( x)  0 . Tam kje je p(x) zvezna velja
p( x)  F '( x) . Če je p(x) zvezna na intervalu [a, b] potem velja izrek o srednji vrednosti
                    b                                     P ( a  X  b)
P(a  X  b)   p( x)dx  p( x0 )(b  a)  p( x0 ) 
                   a                                           ba
 p ( x0 ) - povprečna verjetnost na danem intervalu.
    7. Kaj je ekstrem funkcionala

    Ekstrem funkcioanla je najmanjša ali največja vrednost, ki jo integral doseže. Fukcija
je definirana na intervalu in je dovolj gladka in v robih zavezema prepisane vrednosti.
    I  y( x)   f ( x, y, y ')dt
                 a2

                 a1



    8. Maxwellove enačba

    Spremijanje     elektromagnetnega    polja    opisujejo    Maxwellove         enačbe.
Elektromagnetno polje je določeno s parom vektroskih funkcij E (t , r ), H (t , r ) to sta
električna in magnetna poljska jakost. Omejeni smo na del prostora kjer polji, po katerih
se širi valovanje nimata izvorov in snov naj ima konstanto permiabilnosti in
dielektričnosti.
Enačbe se glasijo: divE  0, divH  0 rotE  0 Ht , rotH   0 Et


    9. Fourier-Sinusna transoformacija – izpeljava

Naj bo funkcija f(t) liha, f(-t)=-f(t). Zapišemo definicijo Fourierjeve transformacije na
                                                       0
dveh integralih F ( w)   eiwt f (t )dt   eiwt f (t )dt . V drugem integralu zamenjamo
                               0                        
predznak pred t-ji in obrenmo meje tako, da integrala skupaj pašeta in izpostavimo
                                                                 eiwt  e  iwt
integral.  f (t )  
                     eiwt  e iwt dt . Preko zveze Sin( wt ) 
                                                                                dobimo ven sinus.
           0                                                           2i
                                                                   i    
F ( w)  2i  f (t ) sin( wt )dt in inverz je f (t )  
                                                                    
                                                                             F ( w)sin( wt )dw . To pripelje do
            0                                                           0
                                                                                
Fourierove sinusne transformacije                   Fs  f (t )   Fs ( w)   f (t ) sin( wt )dt in inverzne
                                                                                0

                                            2       
transformacije f (t )  F 1  Fs ( w)               Fs ( w)sin( wt )dw .
                                               0




    10. Robni pogoji

    Če ima PDE rešitev, jih ima več. Enolično rešitev PDE, ki ustreza danemu
fizikalnemu problemu, dobimo z dodatnimi informacijami, ki izhajajo iz konkretne
fizikalne situacije. V nekaterih primerih so na meji območja prepisane vrednosti iskane
funkcije in (ali) njeni odovdi. Take pogoje imenujemo robni pogoji. Odvisni so od
fizikalne situacije, na primer, kje in kako je pritrjeno nihajajoče telo.
    11. Matematično upanje – Binomske porazdelitve (disperzija, deviacija)

                   n                                         n!
E ( X )   k 0 k   p k q n  k   k 1 p k q n  k
            n                          n

                   k                                  (k  1)!(n  k )!
                                                 (n  1)!                                    n  1
       np  k 1 p k 1q ( n 1) ( k 1)                      np  l 0 p l q ( n 1) l 
                 n                                                    n 1
                                                                                                   
                                             (k  1)!(n  k )!                               l 
       np ( p  q ) n 1  np                                   l  k 1
D( X i )   i 1 ( xi  p ) 2 pi  (1  p ) 2 p  (0  p ) 2 q  q 2 p  p 2 q  pq
                2



E ( X )  nE ( X i )  np,                      D( X )  nD( X i )  npq
 ( X )  npq

    12. Valovna enačba

                                   2u          2u  2u  2u
    Enačba valovanja se glasi:          a 2 ( 2  2  2 )  f ( x, y , z , t ) .
                                  t 2         x      y    z
Iskana funkcija u opisuje odmik masne točke iz mirovne lege, f je zuanja sila in a je
konstnta, ki je odvinsa od tega s kakšnim fizikalnim problemom se ukvrajamo (opna,
struna,..). Začetna pogoja: u ( x, 0)  f1 ( x, y, z ) je začetni odmik in ut ( x, 0)  f 2 ( x, y, z ) je
začetna hitrost. Robni pogoji so odvisni od fizikalne situacije, na primer, kje in kako je
pritrjeno nihajajoče telo.


    13. Nihanje okrogle membrane

Okrogla membrana s polemrom R. Uoprabimo polarne koordinate in zapišemo Laplceov
                                      2u     2u 1 u 1  2u
opertor z polarnimi kooradinatami: 2  c 2 ( 2                 ) . Iščemo le tiste rešitve
                                     t      r    r r r 2  2
u(x,t) enačbe, ki so radialno simetrične in niso odvisne od kota fi. In dobimo enačbo:
 2u         2u 1 u
       c2 ( 2       ) . Za nadalnje reševanje s seperacijo spremenljvik vstavimo not
 t 2       r   r r
novo neodovino spremenljivko in prevedmo na Besselovo DE. In ven izračunamo
Besselovo splošno rešitev, katro omejomo z robnimo pogoji.


         14. Centralni moment

Posebno vlogo imaoj momenti glede na povprečno vrrednost, ki jih imenujemo centralni
momenti in jih zaznamijemo z mk :
mk  mk  E ( X )  E ( x  E ( X ))k 
                                       
           15. Računanje z dogodki

Nad dogodki se opravlajo iste oprecije kot nad množicami.
A B  A B       A B  A  B       A B  B  A     AB  BA
( A  B)  C  A  ( B  C )                    A( BC )  ( AB)C
( A  B)C  ( AC )  ( BC )                     A A  A          A A  A

           16. Difuzijska enačba

 2u        u
       a2       ,         a 2  RC
x 2
             t
u (0, t )  E (t ),         lim u ( x, t )             u ( x, 0)  0
                            x 

2
      L u ( x, t )   a 2 sL u ( x, t )   u ( x, 0)
x  2


L  u ( x, t )   U ( x , s )
2
     U ( x, s )  a 2 sU ( x, s )  0
x 2
U ( x, s )  A( s )e  a    sx
                                  B ( s )e a   sx


L u (0, t )   L  E (t )   A( s )
L u ( x, t )   L  E (t )  e  ax   s


  be  b / 4t 
           2


L        3/ 2 
                  eb       s

 2 t 
              
                            ax
                    2                                     ax
                     
u ( x, t )  1                  e  z dz  (1  erf (
                                    2
                           2 t                               ))
                          0
                                                         2 t

           17. Eulerjeva DE

        Eulerjeva DE pripada variaciskemu problemu. Med tistimi rešitvami Eulerjeve
enačbe, ki ustrezajo pogojem y (a1 )  b1 in y ( a2 )  b2 . Dobimo ekstremalo variaciskega
računa.
 f  f
    ( )0
 y x y '
        18. Possionova porazdelitev

          Slučajna spremenljivka, ki je porazdeljena po poissonovem zakoni, lahko
zavzame vsako nenegativno celoštevilsko vrednost k in to z verjetnostjo:
       a k e a
 pk            a  0.
         k!
Porazdelitvena funkcija possionove porazdelitve:
           a  ak
           e  k 0 k !
                          m  x  m 1
F ( x)                 ;              ; m  0,1, 2.. .
                0             x0
          
          

        19. Osnovni varijaciski izrek

       Naj bosta P(x) in Q(x) zvezni funkciji na intervalu [a,b], za vsako zvezno
odveljivo funkcijo  ( x) , ki ustreza pogoju  (a)   (b)  0 naj bo izpolnjen pogoj:

  P( x) ( x)  Q( x) '( x)dx  0 . Potem je Q(x) todvedljiva funkcija in je P(x)=Q'(x)
 b

 a




        20.                Prevajanje toplote v tanki palici

          Omjeni smo na x os, in na eni strani je prvi odvod po času, na drugi pa kvakdrat
konstante in drugi odvod po x-u.
          Postopek:
u          2u
     c2 2           u (0, t )  u (l , t )  0 u ( x, 0)  f ( x)
 t        x
u( x, t )  F ( x)G(t )              F  F ( x) G  G(t ) v tej obliki iščemo rešitev in
poenostaviteh, da je manj zapisat.

FG '  c 2 F '' G / : c 2 FG
 G ' F ''
    2
             k 2
Gc        F
F '' k F  0
        2
                     G ' c 2 k 2G  0
F ( x)  A cos kx  B sin kx
F (0)  A 1  B  0  0  A  0; B  0  B  1
                                        n
F (l )  B sin kl  0  kl  n  k 
                                         l
               n
Fn ( x)  sin     x       n  1, 2,..
                l
                                      c 2 n 2 2t
                                                            cn
G (t )  Ce    c 2 k 2t
                            Ce                      n           Gn (t )  Cn e  n t
                                                                                        2
                                          l2
                                                              l
                                n
un ( x, t )  Cn e  n t sin               n  1, 2,...
                         2
                                   x
                                 l
                                           n
u ( x, 0)  f ( x)   n 1 Cn sin
                               
                                              x
                                            l
        2 l            n
Cn 
        l 0 f ( x) sin l x dx
                                                           n
u ( x, t )   n 1 un ( x, t )   n 1 Cn e  n t sin
                                                2
                                                              x
                                                            l

          21. Nehomogena PDE z homogenimi robnimi pogoji – postopek reševanja

                                   2u       2u
          Nehomogena PDE:               c 2 2  f ( x, t )
                                  t 2      x
Homogeni robni pogoji: u (0, t )  u (a, t )  0 in začetni pogoji:
u ( x, 0)  g ( x), ut ( x, 0)  h( x)
 2u *      2u *                                                                  n x
        c2 2                 un ( x, t )  X n ( x)Tn (t ) 
                                *
                                                                  X n ( x)  sin
 t 2      x                                                                       a
                                                   n x
u ( x, t )   n 1Tn (t ) X n ( x)  n 1Tn (t ) sin
                                           

                                                    a
                                n x                 2 a               n x
f ( x, t )   n 1 Fn (t ) sin
                
                                        Fn (t )   f ( x, t ) sin            dx
                                  a                  a 0                 a
                                        n x                 2 a                n x
g ( x)  u ( x, 0)   n 1 Tn (0) sin
                           
                                                 Tn (0)   g ( x) sin              dx
                                         a                   a 0                  a
                                        n x                 2 a                n x
h( x)  ut ( x, 0)   n 1 Tn' (0) sin
                           
                                                 Tn' (0)   h( x) sin              dx
                                          a                  a 0                  a
                                           n 2 2
 n1Tn'' (t ) X n ( x)   n1 c 2Tn (t ) a 2 X n ( x)   n1 Fn (t ) X n ( x)
                                                           



             n        n x                 n 2 2    n x     n 2 2
X n ( x) 
   '
                 cos         , X n ( x)   2 sin
                                   '
                                                             2 X n ( x)
              a         a                     a        a         a
          cn 
                     2

T (t )  
 n
  ''
                Tn (t )  Fn (t )
          a 
           22. Kompleksna inverzna Laplaova transformacija

           Če je F (s)  L  f (t ) , potem je orginalna funkcija f (t )  L1  F (s) .
            1   i
f (t )           i F (s)e ds t  0 . To je kompleksna inverzna ali Bromwhicheva
                              st

           2 i
 f (t )  0         t0
integralska formula. Integral potek vzdolž premice s    iy v kompleksni ranivni.
Realno število gama je tako izbrano da premica s   leži desno od vseh singulranosti.
To so največkrat poli. Sicer pa je gama poljuben. Integral računamo kot krivulnji integral
  1
        e F (s) ds Tako funkcijo f(t) izrazimo kot f (t )   res e F (s) pri polih funkcije
           st                                                       st

 2 i C
F(s).
Formula za računanje residiumov:
                 n 1    1
 resi  lim n 1                e st F ( s )( s  s1 ) n 
         s  s1 s     (n  1)!                          



           23. Enakomerna zvezna porazdelitev

          Enakomerno zvenzo porazdelitev definirana z gostoto verjetnosti.
           1
                 ,  a  x  b; a  b
 p ( x)   b  a                       . Takoa gostota verjetnosti je nenegativna in ustreza
          0,
                     izven
                        b  1
integralu:  p(t )dt         dt  1 . Verjetnsot je odvisna le od dolžine intervala, nič pa
                       a ba

od lege.


           24. Izopirametrični problemi

           Med vsemi funkcijamo y(x), ki so na definiranem intervalu                     a1 , a2  ,   zvezno
odvedljive in ustrezajo pogoju y (a1 )  b1            y (a2 )  b2 je treba poiskat tisto, pri kateri ima
                     I  y( x)   f ( x, y, y ')dx
                                  a2
funkcional                                             ekstrem,      hkrati    pa     ima        funkcional
                                  a1


K  y( x)   g ( x, y, y ')dx predpisano vrednost K  y( x)  l .
                a2

                a1
        25. Valovna enačba v dveh dimenzijah

        Primer valovne enčbe v dveh dimenzijah je valovanje membrane.
                  2u      2u  2u
Enačba se glasi 2  c 2 ( 2  2 ) .
                 t       x    y
Robni pogoji =0, začetni pogoji so u ( x, y, 0)  f ( x, y ), ut ( x, y, 0)  g ( x, y )
Rešitev iščemo v ogliki u( x, y, t )  F ( x, y)G(t ) . Pridemo do Helmholtzove PDE. Za
reševanje uporabljamo seperacijo spremenljivk. F ( x, y)  H ( x)Q(t )
Rešimo enačbo in vstavimo robne pogoje. Rešimo enačbo G(t) in združimo skupaj rešitve
in uporabimo začetne pogoje.
V rešitiv nastopajo dvojne vsote in pri koeficentih dvojni integrali.


        26. Besselove DE

        Poznamo dve vrste. Prva vrsta Besselove funkcije ima DE obliko
x y '' xy ' ( x 2  2 ) y  0 . Rešujemo jih v obliki potenčne vrste y( x)   m0 cm x mr .
 2                                                                                


Splošna rešitev prve vrste y ( x)  a1 J ( x)  a2 J  ( x)
Druga vrste Besselove funkcije ima DE obliko
xy '' y ' xy  0 .
Splošna rešitev Besselove DE je oblike y ( x)  c1 J ( x)  c2Y ( x) .


        27. Verjetnost hipoteze

         Bayesova formula:
              P( H i ) P( A / H i )   P( H ) P( A / H i )
P( H i / A)                         n i
                     P( A)            P( H i ) P( A / H i )
                                       i 1




        28. Kdaj sta dva dogodka nezdružljiva

       Naj bosta A in B taka dogodka, da se nemoreta zgodit hkrati. Taka dva dogodka
imenujemo nezdružljiva. Produkt nezdružljivih dogodkov je nemogoč dogodek AB=N.
         29. Nihanje strune

        Postopek reševanja:
u2
          2u
      c2 2       u (0, t )  u (l , t )  0          u ( x, 0)  f1 ( x) ut ( x, 0)  f 2 ( x)
t 2     x

u( x, t )  F ( x)G(t )     F  F ( x) G  G(t )                    v    tej    obliki     iščemo   rešitev   in
poenostaviteh, da je manj zapisat.

FG ''  a 2 F '' G / : a 2 FG
G '' F ''
    2
             k 2
Ga       F
F '' k F  0
       2
                    G '' a 2 k 2G  0
F ( x)  A cos kx  B sin kx
F (0)  A 1  B  0  0        A  0; B  0  B  1
                                              n
F (l )  B sin kl  0  kl  n  k 
                                               l
              n
Fn ( x)  sin     x     n  1, 2,..
               l
Gn (t )  Cn cos akt  Dn sin akt
                                                  n            n              n         
u ( x, t )   n 1 Fn ( x)Gn (t )   n 1 sin
                                      
                                                     x Cn cos a    t  Dn sin a           t
                                                   l             l               l         
                                     n
u ( x, 0)  f1 ( x)   n 1 Cn sin
                         
                                         x
                                      l
                                   an      n
ut ( x, 0)  f 2 ( x)   n 1 Dn
                            
                                        sin    x
                                    l        l
        2 l              n
Cn   f1 ( x) sin            x dx
        l 0               l
          2 l                 n
Dn 
        an  0 f 2 ( x) sin l x dx
       30. Telegrafska enačba – izpeljava – pogoji

          Imamo homogeno linijo dolžine l na osi x. R – upornost, L – induktivnost, C –
kapacitivnost, G – izgube. u(x,t) – napetost in i(x,t) tok. Telegrafka enačba je
hiperbolična PDE. Enačba ima nehomogene robne pogoje. Pri u(0,t)=E je konstantna
napetost, pri u(l,t)=0 je kratek stik.
Izpeljava:
 u       i              i        u
       L  Ri  0            C         Gu  0
 x       t              x        t
Levo enačbo odvajamo še enkrat po x, desno pa po t.
  2u        2i    i              2i       2u   u
       L        R 0                  C 2 G        0
 x  2
           t x    x           xt         t    t
                                                         2i       2u     u
Desno enačbo pomnočimo z –L in dobimo  L                     LC 2  LG       0 in odštejemo
                                                       xt       t       t
                          2u        i         2u    u
od leve. In dobimo             R  LC 2  LG                0 sedaj pa prvotno desno enačbo
                         x 2
                                    x         t      t
                                            i      u
pomnožimo z R in dobimo R  RC  RGu                               in jo vstavimo v enačbo.
                                            x      t
  2u        u                2u        u
        RC       RGu  LC 2  LG              0 enačbo še malo polepšamo in dobimo:
 x  2
              t              t           t
  2u         2u               u
        LC 2  ( RC  LG )  RGu  0 za tok je vse isto in dobimo ven
 x  2
              t                t
 i2
             i2
                               i
        LC 2  ( RC  LG )  RGi  0 .
 x  2
             t                t
Postopek reševanja:
 2u          2u            u
      LC 2  ( RC  LG )  RGu  0  u |x 0  E , u |x l  0, u |t 0  0, ut |t 0  0
x 2
             t              t
F ( x)  u ( x, t )  t  konst.  F ( x)  F (0)  E ,           F (l )  0
F ''( x)  RGF ( x)  0  RG  b 2           F ''( x)  b 2 F ( x)  0
F ( x)  A sinh bx  B cosh bx  C sinh b(d  x)
                                                                                      E
F (0)  E  C sinh bd , F (l )  0  C sinh b(d  l )  d  l  C 
                                                                                   sinh bl
             sinh b(l  x)
F ( x)  E
                 sinh bl
w( x, t )  u ( x, t )  F ( x)
w |x 0  0, w |x l  0, w |t 0   F ( x), wt  0
2w                   2w              w
        F ''( x)  LC 2  ( LG  RC )     RGw( x, t )  RGF ( x)  0
x  2
                      t               t
F ''( x)  RGF ( x)  0
a 2  LC , b 2  RG , 2h  LG  RC
2w         2w         w 2
        a 2 2  2h          b w  0  w( x, t )  P ( x )G (t )
x  2
            t           t
P ''( x)      G ''(t )      G '(t ) 2
          a2           2h         b  k 2
P( x)          G (t )       G (t )
P '' k 2 P  0  a 2G '' 2hG ' (b 2  k 2 )G  0
P (0)  P (l )  0
                n x
Pn ( x)  sin         , Gn (t )  An e nt  Bn e nt , n  1, 2,...
                  l
                                               n 2 2
 n ,  n  a 2 r 2  2hr  (b 2  2 )  0
                                                 l
                                               n x
w( x, t )   n 1 ( An e nt  Bn e nt ) sin
                

                                                  l
                                                n x                      2 l     n x
w |t 0   F ( x)   n 1 ( An  Bn ) sin
                         
                                                        An  Bn    F ( x) sin
                                                   l                      l 0      l
                                                n x
wt |t 0  0   n 1 ( An n  Bn  n ) sin
                    
                                                        An n  Bn  n  0
                                                    l
               sinh b(l  x)                                         n x
                                  n 1 ( An e nt  Bn e nt ) sin
                                      
u ( x, t )  E
                   sinh bl                                            l
        31. Kaj je elementaren dogodek – kaj je sestavljen dogodek

       Dogodku, ki ni sestavljen, rečemo elementaren dogodek. Sestavljen dogodek, če
lahko dogodek A izrazimo, kot vsota vsaj dveh ne odvisnih dogodkov.


        32. Inverzna Laplaceova transformacija z parcialnimi ulomki

          1            A      B       C
L                2
                                    
  ( s  1)(s  2)    s  1 (s  2) s  2
                                    2




        33. Gasussova porazdelitev – račuanje integrala
                                                                                                  2
                                                                                      1  xa 
                                                                    1        
         Porazdelitev je definirana z gostoto verjetnosti p( x)       e 2    . Gostota
                                                                   2
verjetnosti je odvisna od dveh parametrov a in sigma. a je poljubno sigma pa pozitivno
število. Porazdelitev zaznamujemo z N (a,  ) . Funkcija p(t) je povsod pozitivna, v točki
                            1
x=a ima maksimum                  in v točkah a   , a   obračaj. Fumkcija je tudi
                           2
simetrična glede na vrednost a. Od parametra a je odvisna lega krivlje, od sigme pa
oblika krivulje. Čim manjši je sgima, bolj izraziro je teme in je krivulja oblj stisnjena
okorg temena. Če je slučajna spremenljivka X porazdeljena po noramlem zakonu
 N (a,  ) , lahko izračunamo verjetnost dogodkov povezanih s spremenljivko X s pomočjo
                                                                                    1
                                                                  1        x        t2
tabelirane funkcije  ( x) . Oblika funkije  ( x) je:  ( x) 
                                                                  2   
                                                                       0
                                                                               e    2
                                                                                          dt . Značilno je

tudi, da je ta funkcija liha.


        34. Laplacova enačba v prostoru

         Imao sfero s polmerom R. Na robu sfere naj bo dan električni potencial.
u( R, ,  )  f ( ) . Kjer so r , ,  sferične koordinate in f ( ) dana funkcija.
         Statični potencial na robu sfere naj ne bo odvisen od kota  , potem je tudi
                         2u
notranjost sfere               0 . Laplacov operator se v sferičnih koordinatah glasi:
                         2
        2u 2 u 1  2u cot  u                 1     2u
u  2                        2          2 2            tako se enačba zmanjša zaradi kota
       r     r r r  2          r  r sin   2
  2 u           1              u
    (r      )             (sin     )  0 Enačbo rešujemo pri danih pogoji in z seperacijo
 r     r sin                 
spremenljivk. Za konstnato si izberemo k.

								
To top