Matematika a teoretická informatika

							1. Základné pojmy teórie množín, ekvivalentné množiny,
spočítateľné a nespočítateľné množiny, pojem relácie,
relácia ekvivalencie, funkcia, vlastnosti a typy funkcií.
Základné pojmy teórie množín
Množina je súhrn, súbor objektov (vecí, matematických objektov, ...). Prvok množiny
je
jeden objekt. Skutočnosť, že objekt x patrí do množiny A zapisujeme symbolicky xA
a čítame „ x je prvkom množiny A . Opačné tvrdenie zapisujeme xA. Prvky množiny
zapisujeme do zátvoriek: a,b, ...
Množinu určíme tým, že presne vymedzíme, ktoré objekty do nej patria. Množiny
môžu
byť dané (určené):
a) vypísaním prvkov množiny, napr. AJanko,Ferko,Mirko, B1; 0; 5
b) charakteristickou vlastnosťou CxR;x5
c) graficky (napr. Vennove diagramy, číselná os, ...)

Príklad Vennovho
diagramu:




Číselná os:




Poznámka
Ak je jednou z hraníc intervalu nekonečno (mínus nekonečno), je interval vždy
sprava
(zľava) otvorený.
Konečná množina je množina, ktorá má konečný počet prvkov.
Nekonečná množina je množina, ktorá má nekonečný počet prvkov.
Prázdna množina je množina, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Označenie prázdnej
množiny je: alebo .
Jednoprvková množina je množina, ktorá obsahuje jeden prvok. Napr. 4.
Ak AB, hovoríme, že množiny A,B sú disjunktné.
Vennove diagramy sú grafické schémy, na ktorých modelujeme množinové operácie.

V prípade konečných množín (t.j. množín obsahujúcich konečný počet prvkov) nás
často
zaujímajú počty ich prvkov. Počet prvkov konečnej množiny A označujeme A .
Na výpočet počtu prvkov sa často používa princíp inklúzie a exklúzie (zapojenia a
vypojenia).




Nech je daná n -prvková množina 1 2 3 , , , ... n Aa a a a . Potom existuje 2 n
podmnožín
množiny A . Každá množiny má dve triviálne podmnožiny – samu seba a prázdnu
množinu.
Poznámka:
Prázdna množina má jedinú podmnožinu, a to samu seba.

Vzťahy medzi množinami:
Operácie s množinami:
Poznámka
Doplnok ´M A budeme stručne označovať iba A´, keď zo zadanie vieme určiť základnú
množinu.

Číselné množiny:
N – množina prirodzených čísel, N 1, 2, 3, 4, ...
Z – množina celých čísel, Z...,4,3,2,1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Z+ - množina celých kladných čísel, Z 1, 2, 3, 4, ...
Z- - množina celých záporných čísel, Z ...,4,3,2,1
Q – množina racionálnych čísel – je to množina všetkých čísel, ktoré sa dajú napísať
v tvare zlomku, ktorého čitateľ je celé číslo a menovateľ prirodzené číslo
Q+ - množina kladných racionálnych čísel
Q- - množina záporných racionálnych čísel
I – množina iracionálnych čísel – sem patria čísla., ktoré sú desatinné s
neukončeným
desatinným rozvojom a neperiodické, napr. p,e, 2, ...
R – množina reálnych čísel
R+ - množina kladných reálnych čísel
R- - množina záporných reálnych čísel
C – množiny komplexných čísel – všetky čísla v tvare ai.b , kde a,b sú reálne čísla a
i je imaginárna jednotka

Definícia 1.1.1. Množina A, ktorá je buď konečná alebo existuje vzájomne jednoznačné
priradenie medzi množinou A a množinou kladných celých čísel, sa nazýva spočítateľnou. Ak
A je spočítateľná a nekonečná, tak sa nazýva nekonečnou spočítateľnou.
Definícia 1.1.2. Hovoríme, že množina A sa rovná množine B (čo označujeme A = B), ak
každý prvok množiny A je prvkom množiny B a obrátene.
Definícia 1.1.3. Hovoríme, že množina A je podmnožinou množiny B, alebo množina A je
obsiahnutá v množine B (označujeme A  B), ak každý prvok množiny A je prvkom množiny
B. Ak každý prvok množiny A je prvkom množiny B, ale nejaký prvok množiny B nepatrí do
množiny A, tak hovoríme, že A je vlastnou (pravou) podmnožinou množiny B (označujeme
A  B).
Definícia 1.1.4. Zjednotenie množín A a B, ktoré označujeme A  B, je množina, ktorá
obsahuje všetky prvky množiny A a všetky prvky množiny B. Ak použijeme už zavedené
označenie, tak
       A  B = { x | x  A alebo x  B}
Definícia 1.1.5. Prienik dvoch množín, ktorý označujeme A ∩ B, je množina všetkých
spoločných prvkov množín A a B. Teda
       A ∩ B = { a | a  A a a  B}
Definícia 1.1.6. Prázdna množina, označujeme ju Ø, je množina, ktorá neobsahuje žiadny
prvok. Dve množiny, ktorých prienik je prázdna množina, sa nazývajú disjunktné.


Ekvivalentné množiny


Množiny A a B nazývame ekvivalentné práve vtedy, ak existuje aspoň jedno bijektívne
zobrazenie medzi množinami A, B.
Označenie: A  B       A je ekvivalentné s B
A B                    A nie je ekvivalentné s B
Príklad: A = {1,2,3}, B = {a,2,7}, C = {1,2,3}, D = {x,y}
A  B, A  C, A  D, B  C, C  D
lebo: t: A -> B: {[1,a],[2,7],[3,2]} bijekcia
g: A -> C: {[1,1],[2,3],[3,2]} bijekcia
h: A -> D: {[1,x],[2,y],[3,y]} nie je bijekcia
POZOR!
Ak dve množiny sú ekvivalentné nemusia sa rovnať (pozri definíciu rovnosti množín).
Rozhodnite o pravdivosti vety:
"Ak sa dve množiny rovnajú sú ekvivalentné."
Ekvivalentnosť množín je relácia ekvivalencie. Ľahko možno zistiť, že:
1. A  A
2. ak A  B => B  A
3. ak A  B  B  C => A  C


Spočitatelné a nespočitatelné množiny

Množina A, ktorá je buď konečná alebo existuje vzájomne jednoznačné priradenie medzi
množinou A a množinou kladných celých čísel, sa nazýva spočítateľnou. Ak A je spočítateľná a
nekonečná, tak sa nazýva nekonečnou spočítateľnou.
Napríklad množina párnych kladných celých čísel je nekonečná spočítateľná. Naozaj, každý
prvok tvaru 2n z našej množiny sa dá označiť číslom n. Začneme s tým, že dvojku označíme
číslom 1.
Nie všetky nekonečné množiny sú spočítateľné.

Veta:
Nech E je množina reálnych čísel väčších ako 0 a menších ako 1. Množina E nie je nekonečná
spočítateľná.

Dôkaz sporom (Cantorov diagonálny dôkaz):
Predpokladajme, že E je spočítateľná. Teda existuje vzájomne jednoznačné priradenie medzi
postupnosťou celých kladných čísel a množinou E.
Nech k celému číslu i ∈ Z je priradený prvok r ∈ E. Potom prvky množiny E môžeme zoradiť
                                                 i
do nekonečnej tabuľky. Zapíšeme ich v desatinnom rozvoji, ako ukazuje obr. 1 (a je číslica
                                                                                 ij
desatinného rozvoja).




Ale nie všetky čísla majú jednoznačne určený desatinný rozvoj.
Racionálne čísla, ktorých periodická časť je 0, môžu mať dva rôzne desatinné rozvoje. Napríklad
číslo 0,232 399 99... môžeme tiež vyjadriť ako 0,232 4000...
Aby sme zabezpečili jednoznačnosť, budeme vždy používať desatinný rozvoj druhého typu (s
periodickou časťou 0).
Nech r' je reálne číslo, ktorého desatinný rozvoj je r' = 0, a' a' a' ..., pričom
                                                           11    22   33
9 ≠ a' ≠ a .
     ii   ii
To znamená, že r' sa líši od r z obrázku 1 na prvom desatinnom mieste, od r sa líši na druhom
                               1                                               2
desatinnom mieste, vo všeobecnosti, od r sa líši na k-tom desatinnom mieste.
                                          k
Teda reálne číslo r' je rôzne od všetkých čísel r .
                                                 k
Toto je však v spore s tým, že tabuľka obsahuje všetky reálne čísla z intervalu (0, 1). Tento spor
ukazuje, že množina E nie je spočítateľná (je nespočítateľná). Hovoríme, že množina E má
mohutnosť kontinua.

Príklady určenia množín:
1. Každá konečná množina sa dá opísať ako zoznam symbolov, ktoré označujú jej prvky.
A = { *, _, +, -}

 na poradí symbolov nezáleží

 každý symbol sa v danom zozname vyskytuje práve raz

2. Množina je tiež určená svojou charakteristickou vlastnosťou
A = {x | x má vlastnosť P}
„A je množina všetkých prvkov, ktoré majú vlastnosť P."

Na označenie nekonečných spočítateľných množín sa dá použiť len označenie druhého typu.
Pre niektoré množiny však stačí vymenovať niekoľko prvkov a je jasné, ktoré prvky patria do
danej množiny. Napríklad, množina kladných celých čísel sa dá vhodne označiť {1, 2, 3, ...}.

Pojem relácie

KARTEZIÁNSKY SÚČIN, BINÁRNE RELÁCIE
Uvažujme nasledovnú situáciu:
Traja chlapci Ján, Pavol a Martin sa cez prázdniny na brigáde spriatelili s dievčatami
Evou a Vierou. Keď sa po skončení brigády lúčili, chlapci sľúbili dievčatám, že po
návrate domov každý chlapec napíše každému dievčaťu. Pokúsme sa túto situáciu
preložiť do matematického jazyka. Nech XJ,P,Mje množina chlapcov,
YE,Vje množina dievčat. Dopis, ktorý napíše Ján Viere, označme J;V. Ak
chlapci dodržia svoj sľub, potom množina všetkých dopisov, ktoré napíšu dievčatám,
bude množina J;E,J;V,P;E,P;V,M;E,M;V. Uvedomme si, že dopis
J;Enie je ten istý ako dopis E;J, ktorý by označoval dopis od Evy Jánovi.
V predchádzajúcej situácii sme pracovali s tzv. usporiadanými dvojicami. Usporiadané
dvojice budeme označovať x; y. Prvok x sa nazýva prvá zložka usporiadanej
dvojice
x; ya prvok y druhá zložka usporiadanej dvojice x; y.
Hovoríme, že usporiadaná dvojica x; ysa rovná usporiadanej dvojici x; ypráve
vtedy, ak x sa rovná u a zároveň y sa rovná v a píšeme
x;yu;vxuyv.
Ak xy tak x;yy;x.

Definícia
Nech A, B sú ľubovoľné množiny. Potom množina usporiadaných dvojíc x; y, kde
prvok x patrí do množiny A a prvok y patrí do množiny B, nazývame karteziánsky súčin
množín A a B, označujeme AB.
Teda ABx;y; xAyB
Ak A = B, namiesto AA píšeme A2 a hovoríme o karteziánskej mocnine množiny A.

Vlastnosti karteziánskeho súčinu
1. Nech A, B sú množiny.
a) Ak A alebo B , potom AB
b) Ak AB, potom Aalebo B .
2. Nech A, B, C sú množiny.
a) ABCACBC
b) ABCACBC
c) ABCACBC

3. Pre karteziánsky súčin neplatí komutatívny zákon, t.j. existujú množiny A, B tak,
že ABBA.
4. Pre karteziánsky súčin neplatí asociatívny zákon, t.j. existujú množiny A, B, C
tak, že ABCABC.

Grafické znázornenie karteziánskeho súčinu
Poznáme tri druhy grafov: karteziánsky, šachovnicový a uzlový.
Nech Aa;b;c;d; B0;1; 2. Znázornite karteziánskym, šachovnicovým
a uzlovým grafom karteziánsky súčin AB.

Karteziánsky
Zostrojíme dve na seba kolmé priamky. Na vodorovnej priamke znázorníme prvky
množiny A a na zvislej priamke prvky množiny B. Potom napríklad usporiadaná
dvojica
b;1AB je znázornená priesečníkom kolmice vedenej v bode b na vodorovnú
priamku a kolmice vedenej v bode 1 na zvislú priamku. Takto zostrojený graf
nazývame
karteziánsky graf množiny AB.
Šachovnicový
Prvky množín A a B neznázorníme bodom, ale úsečkou na vodorovnej, resp. zvislej
priamke. Potom napríklad usporiadaná dvojica a; 0AB je znázornená na obrázku
2
vyšrafovaným štvorcom.
Uzlový
Zostrojíme tak, že každému prvku množiny A a B odpovedá bod v rovine (tzv. uzol
grafu) a dva uzly x, y budú spojené orientovanou hranou, ak existuje usporiadaná
dvojica
x;yAB. Uzlový graf množiny AB je znázornený na obrázku:




Definícia
Nech A, B sú ľubovoľné množiny. Binárnou reláciou z množiny A do množiny B
nazývame každú podmnožinu R karteziánskeho súčinu AB. Ak A=B, potom množinu
RAA nazývame binárnou reláciou v množine A.

Príklad
Nech A 2; 4; 6, B 3; 5. Relácia R je určená charakteristickou vlastnosťou
nasledovne: Rx;yAB;xy. Vypíšte prvky množiny R.
Riešenie
R 2;3, 2;5, 4; 5.

Definícia
1. Daná je binárna relácia RAB. Doplnkovou reláciou k relácii R nazývame
reláciu RAB, ktorá obsahuje také usporiadané dvojice z AB, ktoré nepatria
do relácie R.
Teda RABR.
2. Daná je binárna relácia RAB. Inverznou reláciou k relácii R sa nazýva relácia
R1BA definovaná vzťahom x;yR1y;xR.
Teda R1x;yBA; y;xR.
3. Dané sú binárne relácie SAB a TBC. Potom binárnu reláciu SoTAC
definovanú vzťahom SoTx;yAC;zB:x;zSz;yT
nazývame zloženou binárnou reláciou z relácií S a T.

Vlastnosti binárnych relácií v množine
Nech R je binárna relácia definovaná na množine A, t.j. RAA.
a) Relácia R je reflexívna: ak pre každé xA platí x;xR.
b) Relácia R je symetrická: ak x;yR, potom aj y;xR.
c) Relácia R je tranzitívna: ak x;yR a y;zR, potom aj x;zR.
Reláciu R na zveme reláciou ekvivalencie práve vtedy, je reflexívna, symetrická
a tranzitívna.



FUNKCIA + vlastnosti a typy funkcií

Funkcie (zobrazenia)
Definícia: Funkcia f: A→B (alebo zobrazenie, transformácia) z množiny A do množiny B je
binárna relácia z množiny A do množiny B, pričom ku každému prvku a Є A existuje jediný
prvok b Є B tak, že (a, b) Є Rf. Inak f: A→B je pravidlo, ktoré ku každému prvku množiny A
priradí nejaký prvok množiny B.
Množina A sa nazýva oborom a množina B kooborom funkcie f.
f: A → B
f: ai → bj , ak bj = f (ai )

Definícia: Funkcia f: A → B sa nazýva surjekciou alebo funkciou z množiny A na
množinu B, ak ku každému b Є B existuje aspoň jedno a Є A tak, že b = f (a).
Definícia: Funkcia f: A → B sa nazýva injekciou alebo prostou funkciou, ak z a1 ≠ a2, pre a1,
a2 Є A, vyplýva f (a1 ) ≠ f (a2 ). To znamená, že funkcia f zobrazuje rôzne prvky množiny
A na rôzne prvky množiny B.
Definícia: Funkcia f: A→ B sa nazýva bijekciou, ak k nej inverzná relácia f -1 je funkciou
z B do A.
Veta: Funkcia f: A → B je bijekciou práve vtedy, keď je injekciou aj surjekciou.

Príklad 4: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {8,9,10, 11, 12, 13}
f: A → B
f(1)=10 f(4)=12
f(2)=13 f(5)=8
f(3)=9 f(6)=11
Funkcia f: A→ B je injekciou aj surjekciou, teda je bijekciou.


Poz: Funkcia

                -    definícia (reálna funkcia reálnej premennej)

                -    D(), H()

                -    zložená funkcia g

                -    rovnosť funkcií  = g

                -    inverzná funkcia (súmernosť grafov  a  1 podľa priamky y = x)
                 -     vlastnosti: ohraničenosť(zhora,        zdola),   monotónnosť,   (ne)párnosť,
                     periodickosť

                 -   (ne)elementárne funkcie

                 -   grafy elementárnych funkcií!!!



Elementárne funkcie

- spojité v každom bode, v ktorom sú definované

- získame súčtom (rozdielom, súčinom, podielom, odmocňovaním alebo skladaním)
konečného počtu základných elementárnych funkcií:

konštantná f.            -y=C

lineárna f.              - y = ax + b (prieniky s ox , oy)

kvadratická f.           - y = ax2 + bx + c (súradnice vrcholu)

polynomická f. - y = anxn + an  1xn  1 + … + a0 (špec. prípad racionálnej f.)

racionálna f.            - y = p(x) / q(x)

lineárna lomená f.        - y = (ax + b) / (cx + d) = a/c + (bc  ad)/c2/(x + d/c) = y0 + k/(x +
x0)

mocninová f.             - y = x ; všeobecne: D() = (0; ), 4 typy grafu pre  < 0,  < 1

                        (odmocninová funkcia),  = 1,  > 1

exponenciálna f.         - y = ax

logaritmická f.          - y = loga x; (y = loga x  ay = x)

goniometrické f.         - y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x

                        - vzorce pre sin2x, cos2x, sin(x  y), cos(x  y), sinx  siny, cosx  cosy

                        - sin2x + cos2x = 1, tgx. cotgx = 1

                        - informačne: sec x = 1/cosx („sekans“), cosec x = 1/sinx („kosekans“)

cyklometrické f.         - y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x

                        - arcsin x + arccos x = /2; arctg x + arccotg x = /2
hyperbolické f.         - y = sinh x = (ex - e - x)/2 , y = cosh x = (ex + e - x)/2 , y = tgh x = sinhx
                       /coshx, y = cotgh x = coshx/ sinhx

                           - cosh2x – sinh2x = 1, cosh 2x = cosh2x + sinh2x



Neelementárne funkcie

- nie sú spojité v každom bode, v ktorom sú definované; napr:

y = x („celá časť x“);

ak xn; n + 1), nZ  x = n

len informačne: niekedy sa používa aj funkcia y = x („necelá časť x“)  x = x  x)

y = sgn x („signum“ - znamienko);




y = A(x) (charakteristická funkcia množiny A);

ak AM 




y = (x) (Dirichletova f.);
2. Jednoduché výroky, pravdivostná hodnota výrokov,
výrokové premenné, výroková formula, pravdivostné
ohodnotenie výrokovej formuly, tautológia, kontradikcia,
splniteľná výroková formula, disjunktívna (konjunktívna)
normálna forma, úplná
disjunktívna (konjunktívna) normálna forma, minimalizácia
DNF

JEDNODUCHE VYROKY

Výrok je oznamovacia veta, o ktorej má zmysel hovoriť, či je pravdivá alebo nepravdivá. Za výroky
nepovažujeme také vety, ako napríklad „Prines si noviny!“, „Koľko je hodín?“. Za výroky
nepovažujeme ani sľuby, predpovede a podobne, o ktorých nemá zmysel rozhodovať, či sú alebo nie
sú pravdivé.

Príkladmi výrokov sú nasledovné vety:
  a) Štvorec je pravidelný štvoruholník.
  b) Pre ľubovoľné reálne čísla a, b platí a + b = b + a.
  c) 5 < 8.
  d) Sneh je čierny.
  e) 3 < 3.
Prvé tri výroky sú pravdivé, zatiaľ čo posledné dva sú nepravdivé.

Výroky sú odrazom istého obsahu. Tvrdia, že veci majú istú vlastnosť, alebo že medzi nimi existujú
isté súvislosti a vzťahy. Naproti tomu síce veta “Priamky p, q sa pretínajú v jednom bode." je veta
oznamovacia, ale nie je to výrok, pretože určite existuje dvojica priamok, ktoré sa pretínajú, ale aj
dvojica priamok, ktoré sa nepretínajú. Teda pravdivosť alebo nepravdivosť tejto vety záleží od
konkrétnych priamok. Výroky označujeme malými písmenami latinskej abecedy: p, q, r,... .


Pravdivostná hodnota výrokov
Pravdivostná hodnota výroku je znak používaný na označenie dvoch možných kvalít výroku -
pravdivosti alebo nepravdivosti. Hovoríme, že 1 je pravdivostná hodnota pravdivého výroku a 0 je
pravdivostná hodnota nepravdivého výroku. Niekedy znakom 1, resp. 0, označujeme ľubovoľný
pravdivý, resp. nepravdivý výrok.

Ak p, q sú výroky, tak pomocou logických spojok (operátorov) možno vytvoriť ďalšie výroky, tzv.
zložené výroky. Budeme používať tieto logické spojky:
    a)  - disjunkcia alebo alternatíva
    b)  - konjunkcia
    c)  - implikácia
    d)  - ekvivalencia
    e) ' - negácia (niekedy sa namiesto ' používa znak  ).




V hovorovej reči novoutvorené (zložené) výroky vyslovujeme nasledovne:
a) p  q - p alebo q
b) p  q - p a q, p a súčasne q, p aj q
c) p  q - ak p, tak aj q; p implikuje q; z p vyplýva q
d) p  q - p práve vtedy, keď q; p vtedy a len vtedy, keď q; p je ekvivalentné s q
e) p' - nie je pravda, že p, t.j. neplatí p.

Tieto slovné spojenia objasníme na príkladoch. Výrok "Zajtra pôjdem do kina alebo do divadla" je
disjunkcia výrokov "Zajtra pôjdem do kina". "Zajtra pôjdem do divadla". Výrok "Vonku prší a je
zima" je konjunkcia výrokov "Vonku prší" a "Vonku je zima". Výrok "Ak popoludní bude svietiť
slnko, pôjdem na prechádzku" je implikáciou výrokov "Popoludní bude svietiť slnko" a "Popoludní
pôjdem na prechádzku". Výrok "Číslo 6 je párne práve vtedy, keď je deliteľné 2" je ekvivalencia
výrokov "Číslo 6 je párne", "Číslo 6 je deliteľné 2". Výrok "Číslo 17 nie je prvočíslo" je negáciou
výroku "Číslo 17 je prvočíslo".
Z predchádzajúceho vidíme, že k ľubovoľným dvom výrokom p, q vieme pomocou logických spojok
vytvoriť disjunkciu, konjunkciu, implikáciu a ekvivalenciu týchto výrokov a k ľubovoľnému výroku p
vieme vytvoriť jeho negáciu. Pravdivostná hodnota týchto zložených výrokov bude zrejme záležať od
pravdivostných hodnôt výrokov       p    a q. Pravdivostné hodnoty zložených výrokov sú uvedené v
tabuľke 1. Z tabuľky vidíme, že platí:

                                               Tabuľka 1

                   p      q       pq          pq         pq      pq        p‘

                   1      1         1           1             1       1        0
                  1      0        0           1           0           0          0

                  0      1        0           1           1           0          1
                  0      0        0           0           1           1          1


a) Konjunkcia p  q výrokov p, q je pravdivá práve vtedy, keď sú pravdivé výroky p aj q.
b) Disjunkcia p  q výrokov p, q je pravdivá práve vtedy, keď je pravdivý aspoň jeden z výrokov p a
    q.
c) Implikácia p  q výrokov p, q je nepravdivá práve vtedy, keď výrok p je pravdivý a výrok q je
    nepravdivý; v ostatných prípadoch je pravdivá.
d) Ekvivalencia p  q výrokov p, q je pravdivá práve vtedy, keď výroky p, q majú rovnakú
    pravdivostnú hodnotu.
e) Výrok p je pravdivý práve vtedy, keď výrok p' je nepravdivý.

Poznamenajme, že niektoré logické spojky sa odlišujú od spojok používaných v bežnej reči. Napríklad
vo výroku "Zajtra pôjdem do kina alebo do divadla" sa spojka alebo chápe v bežnej reči ako
vylučovacia, t.j. platí práve jeden z výrokov "Zajtra pôjdem do kina", ''Zajtra pôjdem do divadla". V
matematickej interpretácii sa spojka alebo chápe v nevylučovacom význame, teda môžu platiť obidva
výroky (tabuľka 1 prvý riadok). Podobne, implikácia p  q sa často v bežnej reči chápe tak, že z
pravdivosti výroku p možno naozaj odvodiť pravdivosť výroku q. Ale v matematike je to inak.
Zoberme nasledovné tvrdenie, ktoré je zrejme pravdivé: "Ak je celé číslo x deliteľné číslom 6, potom
je deliteľné aj číslom 3". Ak za x dosadíme ľubovoľné celé číslo dostaneme vždy pravdivý výrok.
Napríklad, ak za x dosadíme 3, dostaneme výrok typu 0  1, ktorý je pravdivý (tabuľka 1 tretí
riadok). Ak za x dosadíme číslo 5, dostaneme výrok typu 1 0, ktorý je pravdivý (tabuľka1 štvrtý
riadok).
    Z tabuľky 1 vidieť, že symboly p, q nepredstavujú konkrétne výroky, pretože za p, q môžeme
ľubovoľne zvoliť výroky. Teda p a q môžeme chápať ako isté premenné a nazývame ich výrokové
premenné.
    Výrokovou formulou nazývame zápis, ktorý obsahuje výrokové premenné, logické spojky
a zátvorky tak, že po dosadení ľubovoľných výrokov za výrokové premenné dostaneme výrok.
    Príkladmi výrokových formúl sú zápisy: p  q, p  q, p  q', ( p  q)  p', (( p  r )  q  r ))
 r'.
    Zátvorky vo výrokových formulách majú dôležitú úlohu, pretože určujú v akom poradí treba
uplatňovať logické spojky. Potom môžeme pomocou tabuľky1 zistiť, pre ktoré pravdivostné hodnoty
výrokových premenných vznikne z výrokovej formuly výrok pravdivý alebo nepravdivý. Tento proces
budeme nazývať pravdivostné ohodnotenie výrokovei formuly.

Tabuľka 2 prezentuje pravdivostné ohodnotenie výrokovej formuly:
(( p  q')  (r  q' ))  q'.
Z posledného stĺpca tabuľky vidieť, že výroková formula sa stane pravdivým výrokom, ak za trojicu
premenných ( p, q, r ) dosadíme tieto pravdivostné hodnoty: (1,0,1), (0,0,1) a (0,0,0).

Výrokové formuly môžme z hľadiska ich pravdivostného ohodnotenia rozdeliť do troch skupín:
      a) tautológie
      b) kontradikcie
      c) splniteľné výrokové formuly

                                                Tabuľka 2

  p       q     r       q'      p  q'   rq   ( p  q')  ( r  q)    ((p  q’)  (r  q‘)  q'

  1       1     1       0         0       0             1                         0
  1       1     0       0         0       0             1                         0
  1       0     1       1         1       1             1                         1
  1       0     0       1         1       0             0                         0
  0       1     1       0         0       0             1                         0
  0       1     0       0         0       0             1                         0
  0       0     1       1         0       1             1                         1
  0       0     0       1         0       0             1                         1


      Tautológiou nazývame takú výrokovú formulu, z ktorej po dosadení ľubovoľných výrokov za
výrokové premenné vznikne vždy pravdivý výrok.

Uvedieme niekoľko najdôležitejších tautológií:
1. (p')'  p - zákon negácie negácie
2. (p  q)  (q  p)
3. (p  q )  (q  p)
4. (p  (q  r ))  ((p  q)  r )
5. (p  (q  r ))  ((p  q)  r)
6. (p  (q  r ))  ((p  q )  (p  r ))
7. (p  (q  r))  ((p  q)  (p  r))
8. (p  q)‘  (p'  q')
9. (p  q)‘  (p'  q')
10. (p  q)  (p'  q)
11. (p  q)  (q'  p‘)
12. (p  q)  ((p  q)  (q  p))
13. p  p‘  1, p  p‘ 0 – zákon vylúčenia tretieho
14. (p  p‘)‘ – zákon sporu
15. (p‘ p)  p
16. p  (q  p)
17. p  (p‘ r)
18. (p  q)  ((q  r)  (p  r))

Na ukážku uvedieme pravdivostné ohodnotenie tautológie (p  q)  (p'  q).

                                                Tabuľka 3

                      p       q    p'    pq         pvq     (p  q)  (p'  q)

                      1       1    0       1          1               1
                      1       0    0       0          0               1
                      0       1    1       1          1               1
                      0       0    1       1          1               1


    Kontradikciou nazývame takú výrokovú formulu, z ktorej po dosadení ľubovoľných výrokov za
výrokové premenné dostaneme vždy nepravdivý výrok. Príkladom kontradikcie je výroková formula p
 p'.
    Splniteľná výroková formula je výroková formula, ktorá nie je ani tautológiou, ani kontradikciou.
    Jednotlivé druhy výrokových formúl spoznáme z pravdivostného ohodnotenia výrokovej formuly
tak, že pri tautológii sú v poslednom stĺpci samé jedničky, pri kontradikcii samé nuly a pri splniteľnej
formule nuly aj jedničky.
    Výrokové formuly môžeme použiť aj na výrokovú analýzu slovného textu, ktorú si ukážeme na
jednoduchom príklade.


Príklad: V dielni sú tri stroje A, B, C, ktoré pracujú podľa týchto podmienok:
    a) Ak pracuje stroj A, tak pracuje aj stroj B.
    b) Pracuje stroj B alebo pracuje stroj C.
    c) Keď nepracuje stroj A, nepracuje ani stroj C.
Aké sú možnosti pre chod dielne?

Riešenie. Označme symbolom p výrok "Pracuje stroj A", symbolom q výrok "Pracuje stroj B"
a symbolom r výrok "Pracuje stroj C". Ak stroj A, B alebo C pracuje, potom pravdivostná hodnota
výroku p, q alebo r bude 1. V opačnom prípade bude pravdivostná hodnota daných výrokov rovná 0.
Podmienky, pri splnení ktorých stroje pracujú možno prepísať takto:
    a) p  q
    b) q  r
    c) p'  r'

Potom výroková formula (p  q)  (q  r)  (p'  r') charakterizuje chod dielne, pretože všetky tri
podmienky musia byť splnené súčasne. Ak z výrokovej formuly dostaneme pravdivý výrok pre nejakú
trojicu hodnôt výrokov p, q a r, potom bude chod dielne zabezpečený. V opačnom prípade bude dielňa
stáť.
V tabuľke 4 sa nachádza pravdivostné ohodnotenie našej formuly.


                                                 Tabuľka 4

        p q r p‘ r‘ p  q             qr     p‘ r‘         (p  q)  (q  r)  (p‘  r‘)

        1 1 1 0 0          1           1        1                         1
        1 1 0 0 1          1           1        1                         1
        1 0 1 0 0          0           1        1                         0
        1 0 0 0 1          0           0        1                         0
        0 1 1 1 0          1           1        0                         0
        0 1 0 1 1          1           1        1                         1
        0 0 1 1 0          1           1        0                         0
        0 0 0 1 1          1           0        1                         0


Posledný stĺpec v tabuľke 4 ukazuje, že chod dielne bude zabezpečený v týchto troch prípadoch:
1. Pracujú všetky tri stroje naraz.
2. Pracujú stroje A, B a nepracuje stroj C.
3. Pracuje stroj B a stroje A, C nepracujú.



Disjunktívna normálna forma (DNF) : všeobecne je to výraz, ktorý pozostáva z logického
súčtu navzájom rôznych elementárnych (logických) súčinov.

Konjunktívna normálna forma (KNF) : všeobecne je to výraz, ktorý pozostáva z logického
súčinu navzájom rôznych elementárnych (logických) súčtov.

Úplná disjunktívna normálna forma (ÚDNF) : predstavuje disjunktívnu normálnu formu
(DNF), ktorá pozostáva zo súčtu navzájom rôznych úplných elementárnych (logických)
súčinov.
Úplná konjunktívna normálna forma (ÚKNF) : predstavuje konjunktívnu normálnu formu
(KNF), ktorá pozostáva zo súčinu navzájom rôznych úplných elementárnych (logických)
súčtov.

MINIMALIZACIA DNF




3. Grafy (orientovaný, neorientovaný, násobný),
reprezentácia grafu v počítači, algoritmus na testovanie
súvislosti grafu, kostra grafu, stromy, algoritmus na nájdenie
minimálnej (maximálnej) kostry grafu.
Grafy (orientovaný, neorientovaný, násobný)
Definícia grafu
Pre podobné štruktúry, ako sú uvedené vyššie sa historicky vyvinul názov graf.
Objekty
nazývame vrcholmi a prvky vyjadrujúce vzťahy nazývame hranami. Veľmi často ich
znázorňujeme obrázkom. Vrcholy kreslíme ako malý krúžok, hrany sú čiary spájajúce
krúžky.
Obrázok grafu nazývame diagram.
Na nasledujúcich obrázkoch sú diagramy grafov (a) až (f).
Definícia Grafom G, presnejšie neorientovaným, nazývame dvojicu množín G=(V,H),
kde V je množina vrcholov a H je množina hrán daného grafu, ak je pre každú jeho
hranu
určené, ktorú dvojicu vrcholov spája.
Ak máme vrcholy u, v a hranu h, ktorá ich spája, zapisujeme to h = uv a hovoríme, že
hrana h
je incidentná s vrcholmi u a v. O vrcholoch u, v hovoríme, že sú susedné.
Vrcholovú množinu grafu G označujeme V(G) a hranovú množinu grafu G
označujeme
H(G).
Ak hrana spája vrchol sám so sebou, h = uu, nazývame ju slučka. Hranu, ktorá nie je
slučka,
nazývame linka. Niekedy môžu byť vrcholy spojené viacerými hranami. Takéto hrany
nazývame násobné. Graf, ktorý nemá slučky ani násobné hrany nazývame obyčajný.

Počet hrán, s ktorými je vrchol u incidentný je stupeň vrcholu (označujeme deg(u)). Ak
je
vrchol incidentný so slučkou, počítame ju ako dve hrany. Stupeň vrcholu potom
môžeme
vypočítať ako
degul2s,
kde l je počet liniek a s je počet slučiek incidentných s vrcholom u.

Veta Nech G je konečný graf. Potom platí:

                                                                        
kde h je počet hrán grafu G.
Ak G je graf, ktorého každý vrchol má rovnaký stupeň k, nazývame ho pravidelným
stupňa k.
Ak K je obyčajný graf, ktorého každý vrchol je spojený hranou (je incidentný) so
všetkými
ostatnými vrcholmi grafu, nazývame ho kompletný a označujeme Kn, kde n je počet
vrcholov
kompletného grafu. Na nasledujúcich obrázkoch sú grafy 1 2 5 K,K,...,K.




Orientované grafy
Pozrime sa na obrázok 1.4. Vidíme, že na niektorých hranách sú nakreslené šípky.
Sú
prípady, kedy musíme vedieť, či hrana z vrcholu vychádza, alebo doň vchádza. Na
obrázku
vrcholy znázorňujú križovatky a hrany ulice. Niektoré ulice sú však jednosmerné a ak
chceme
jazdiť podľa dopravných predpisov, nemôžeme ich použiť vždy. Na označenie hrán
sme
použili šípku vyjadrujúcu, z ktorého vrcholu sa môžeme dostať do ktorého, ale
naopak nie.
Hrany bez šípky sú obojsmerné ulice. O hrane, ktorú sme označili šípkou hovoríme,
že sme
jej priradili smer, čiže orientáciu.




Definícia Hranu h z hranovej množiny H(G) grafu G nazývame orientovaná, ak jej
priradíme smer. To znamená, že o nej vieme povedať, v ktorom vrchole začína a v
ktorom
končí.
Hranu h z hranovej množiny H(G) grafu G nazývame neorientovaná, ak nie je
orientovaná.
Podľa toho, či graf obsahuje orientované alebo neorientované hrany, resp. obidva
druhy,
môžeme o ňom povedať že je orientovaný, neorientovaný alebo zmiešaný.
Definícia Graf G nazývame orientovaný, ak všetky hrany h z jeho hranovej množiny
H(G) sú orientované.
Graf G nazývame neorientovaný, ak všetky hrany h z jeho hranovej množiny H(G) sú
neorientované.
Graf G nazývame zmiešaný, ak obsahuje orientované aj neorientované hrany.

Definícia Graf G nazývame hranovo ohodnotený, ak je každej hrane h z hranovej
množiny H(G) grafu G priradené reálne číslo h x .


reprezentácia grafu v počítači

Pri programovaní grafových algoritmov môžeme využiť viacero spôsobov
reprezentácie grafu
v počítači. Od údajovej štruktúry, ktorou reprezentujeme graf G, požadujeme, aby
zaberala čo
najmenej miesta v pamäti a zároveň aby umožňovala rýchlu modifikáciu grafu
(pridanie,
prípadne odobratie vrcholu či hrany).




Maticou susednosti možno popísať graf až na izomorfizmus, pričom popis je síce
matematicky elegantný, ale u grafov s menším počtom hrán dosť neúsporný. Matica
vtedy
obsahuje veľký počet núl a vyhľadávanie nenulových prvkov v riadkoch a stĺpcoch
stojí
zbytočne veľa času. Matica incidencie si vyžaduje ešte viac miesta v pamäti, pretože
v
každom stĺpci sú iba dva nenulové prvky. Pre zníženie pamäťovej zložitosti grafových
algoritmov sa používa popis grafu pomocou zoznamov.
Zoznam vrcholov a zoznam hrán je údajová štruktúra, v ktorej sú množiny vrcholov a
hrán popísané vymenovaním prvkov. Pre každú hranu je uvedená dvojica vrcholov
(začiatočný a koncový). Graf G je daný zoznamom okolí vrcholov, ak je ku každému
vrcholu i v priradený zoznam tých vrcholov, do ktorých vedie hrana z i v . Niekedy je
výhodné
uvádzať pre každý vrchol v dva zoznamy; zoznam hrán, ktoré z neho vychádzajú,
(v)
a zoznam hrán, ktoré do neho vchádzajú, (v).


algoritmus na testovanie súvislosti grafu
Definícia
Nech G je orientovaný graf. Sled z vrcholu 0 x do vrcholu n x nazveme spojenie, ak
každá
hrana i i1 x x v ňom obsiahnutá je orientovaná z vrcholu i x do vrcholu i1 x
(pre i0,1,...,n1).
Spojenie, ktoré je ťahom, nazývame trať.
Spojenie, ktoré je cestou, nazývame dráha.
Spojenie, ktoré je kružnicou nazývame cyklus.
Definícia
Nech G je graf. Ak medzi každými dvoma vrcholmi u, v grafu G existuje sled,
hovoríme, že
graf je súvislý.
Graf je nesúvislý, ak nie je súvislý.
Definícia
Nech G je orientovaný graf. Ak medzi každými dvoma vrcholmi u, v grafu G existuje
spojenie, hovoríme, že graf je silne súvislý.
STROMY A KOSTRY

Nech graf G má faktor G0 a nech tento faktor je strom. Potom graf G0 nazývame
kostra grafu
G.
Niekedy namiesto pojmu kostra používame pojem skelet.
Graf, ktorý neobsahuje kružnice, nazývame acyklický.
Súvislý acyklický graf nazývame strom.
Nesúvislý graf, ktorého každý komponent je strom, nazývame les.




Na to, aby sme zistili, či je graf strom, nemusíme vždy skúmať, či je súvislý a bez
kružníc.
Zvlášť v grafoch s väčším počtom vrcholov to niekedy môže byť problematické. Preto
existuje niekoľko iných kritérií, na základe ktorých to môžeme zisťovať. Sú uvedené
v nasledujúcej vete:

Charakterizačná veta o stromoch
Pre obyčajný graf G, kde h je počet hrán a v je počet vrcholov, sú ekvivalentné
nasledujúce
tvrdenia:
(1) G je strom.
(2) Ľubovoľné dva vrcholy grafu G sú spojené jedinou cestou.
(3) G je súvislý graf a h = v – 1.
(4) G je acyklický graf a h = v – 1.

ALGORITMUS NA NAJDENIE MIN,MAX KOSTRY GRAFU
Kruskalov algoritmus
Na začiatku máme graf 1 S , ktorý obsahuje všetky vrcholy grafu G, ale jeho hranová
množina
je prázdna, skladá sa iba z izolovaných vrcholov. Postupne pridávame hrany s
najmenším
ohodnotením tak, aby v novom grafe nevznikla kružnica. Tento postup vychádza z
princípu,
ktorý sa nazýva „hladný“ algoritmus (greedy algorithm).

Primov algoritmus
Tento postup je veľmi vhodný pre realizáciu v počítači. Objavil ho v r. 1930 V. Jarník
a v roku 1954 bol znovu objavený R. C. Primom.
I. Z grafu vyberieme ľubovoľný vrchol v. Tým nám vznikne podgraf 1 G . Do
minimálnej
kostry vyberieme hranu s minimálnym ohodnotením, ktorá je z hrán vychádzajúcich
z vrcholu v. Vznikne podgraf, ktorý obsahuje vrchol v, minimálnu hranu a s ňou ďalší
incidentný vrchol. Tento podgraf označíme 2 G .
II. Máme vytvorený podgraf i G . Aby sme mohli zostrojiť graf i1 G , tak musíme vybrať
zo
všetkých hrán, ktoré vychádzajú z podgrafu i G a končia mimo neho, takú hranu, ktorá
má minimálne ohodnotenie. Pri konečných grafoch tento postup skončí. Dokonca, ak
má graf n vrcholov, postup skončí po n krokoch.
Výsledný podgraf je minimálna kostra grafu G.
4. Základné pojmy kombinatoriky – variácie, kombinácie,
permutácie.

Kombinatorika
Kombinatorika sa zaoberá
   vytváraním skupín prvkov s určitým počtom k vyberaných z množiny s počtom
     prvkov n
   určovaním počtu týchto skupín

Pri tomto vyhľadávaní skupín prvkov ide o tieto zásadné rozdiely:
     záleží alebo nezáleží na poradí prvkov
     môžu sa alebo sa nemôžu prvky opakovať
5.Numerické metódy na riešenie sústav lineárnych rovníc